专题03 函数（重庆专用）-【好题汇编】2025年中考数学二模试题分类汇编

专题03 函数 题型概览 题型01 一次函数和反比例函数 题型02二次函数压轴题 ( 题型0 1 )一次函数和反比例函数 1．（2025年重庆市南开中学九年级下学期中考二模）氯酸钾在二氧化锰的催化作用下加热到一定的温度能产生氧气．如图，折线表示在该反应过程中，收集到氧气的质量M（克）随加热时间t（分钟）的变化情况，则下列说法错误的是（   ） A．第3分钟时未产生氧气 B．第6分钟时开始产生氧气 C．第10分钟时氧气质量达到最大9.6克 D．10分钟后，氧气质量仍在增加 2．（2025年重庆市南开中学九年级下学期中考二模）已知反比例函数的图象经过点，则下列各点在该反比例函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25九下·重庆第一中学校·第二次模拟)如图，在平面直角坐标系，平行四边形的边在轴上，点在轴上，与交于点，反比例函数的图象经过点，若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（2025年重庆市育才中学校九年级中考二模）反比例函数的图象分别位于（    ） A．第一、三象限 B．第一、四象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 5．（2025年重庆市九龙坡区四川外国语大学附属外国语学校中考二模）下列各点在反比例函数图像上的是（   ） A． B． C． D． 6．（2025年重庆市渝中区中考二模）正比例函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C． D．2 7．（2025年重庆市开州区云枫教育集团中考二模）反比例函数经过点，则k的值是（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 8．(24-25九下·重庆潼南区·二模)反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 9．(24-25九下·重庆大渡口区·二模)下列各点在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 10．(24-25九下·重庆复旦中学教育集团·二模)如图，是反比例函数图象上一点，是反比例函数图象上一点，连接交轴于点，若，，则的值为（    ） A． B．2 C． D．4 11．（重庆市第一中学2025年九年级第二次模拟）当时，反比例函数的图象可能经过点（   ） A． B． C． D． ( 题型0 2 )二次函数压轴题 12．（2025年重庆市南开中学九年级下学期中考二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． (1)求的长； (2)点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作交x轴于点M，点N为直线上一动点，过点N作轴交PM于点Q，连接，，，．当的面积取得最大值时，求的最大值； (3)如图2，将原抛物线沿射线方向平移，使平移后的新抛物线过点C，点D为新抛物线的对称轴与x轴的交点，点F为新抛物线对称轴上一动点，连接，．若平分，请直接写出所有符合条件的点F的坐标，并写出其中一个点F的坐标的求解过程． 13．（2025年重庆市巴南区市实验集团九年级中考联考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，交y轴于C点，交x轴于A，两点（A在B的左侧），连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作于点D，点Q是抛物线对称轴上的一动点，连接，，当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)在（2）中线段长度取得最大值的条件下，连接，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使得新抛物线经过点B，且与直线相交于另一点M，点N为新抛物线上的一个动点，当，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 14．(24-25九下·重庆江津实验中学、李中学、白沙中学等五校·)如图，在平面直角坐标系中，抛物线的表达式与x轴交于点和点B（A在B的右侧）与y轴交于点C，． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上的一动点，连接交于点D，连接，点M是直线上一动点，轴，垂足为N，连接．当取最大值时，求的最小值； (3)在（2）的条件下，过点P作轴，垂足为Q，交直线于点E，将抛物线沿射线方向平移，使新抛物线经过点E，点F为新抛物线上一动点，连接，当时，请直接写出所有符合条件的点F的横坐标，并写出其中一个点求解过程． 15．(24-25九下·重庆第一中学校·第二次模拟)直线：与抛物线分别交于轴上的点和轴上的点． (1)求抛物线的表达式； (2)点为点关于轴的对称点，为直线上方抛物线上一点，将直线向下平移2个单位长度得到直线，为直线上任意一点，过点作于点；当面积取得最大值时，求的最小值； (3)将抛物线右移1个单位长度，上移5个单位长度可得新抛物线．与轴右交点记为点，直线与新抛物线交于点，与原抛物线交于点．点在原抛物线上的对应点为，已知、、、四点构成的四边形有一组对边平行，求的值． 16．（2025年重庆市西南大学附属中学九年级中考二诊）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，已知的面积为3． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上一动点，当点P在第一象限运动时，过点P作轴，垂足为H，作交于点Q，点G是y轴上的动点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过点C，且与直线交于另一点D．点K为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点K的坐标，并写出其中一种情况的求解过程． 17（2025年重庆市育才中学校九年级中考二模）．如图，已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，连接． (1)求该抛物线解析式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作于D，点E为y轴上一动点，连接，当有最大值时，求的最小值； (3)如图2，在上取一点Q，连接，使，将抛物线沿射线方向平移2个单位得到新抛物线，点M为新抛物线上对称轴右侧的一动点，过M作交直线于点N，连接，当时，直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M坐标的其中一种情况的过程． 18．（2025年重庆市九龙坡区四川外国语大学附属外国语学校中考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于，B两点（A在B的左侧），抛物线的对称轴是直线，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作交于点D，点E，F为x轴上的两个动点，点E在F的左侧，且，连接．当线段的长度取得最大值时，求的最小值； (3)如图2，将该抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得，新抛物交于点N，点M是新抛物上对称轴左侧的一个动点，点K在的对称轴上，连接，当且时，请写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解其中一个点M坐标的过程． 19．（重庆巴蜀中学2025年中考二模）如图1，抛物线与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，已知，连接，点D是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点P是位于直线上方抛物线上一点，过点P做轴交于点E，连接，点F是直线上一动点，当时，求出此时点P的坐标周长的最小值； (3)如图3，抛物线关于原点对称后得新抛物线y，新抛物线交x轴于点，交y轴于点，点Q是新抛物线y上位于x轴下方的一点，满足，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出其中一种情况的推理过程． 20．（2025年重庆市渝中区中考二模）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点在线段上，点与点关于对称轴对称，过点作轴交抛物线于点，直线交轴于点．若四边形是平行四边形，求点的坐标； (3)若点是对称轴上一动点，当最大时，直接写出点的坐标． 21．（2025年重庆市开州区云枫教育集团中考二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点和点，交轴于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上一点，轴交于，当最大时，在直线上运动，且，点，求的最小值； (3)将抛物线沿射线平移个单位，在平移后的抛物线上，是否存在点，使得，若存在，直接写出的坐标，若不存在，请说明理由． 22．(24-25九下·重庆潼南区·二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是线段上方抛物线上的一动点，过点作，垂足为点，点，为直线上的两个动点（点在的左侧），且，连接，．当线段的长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿方向平移，使得新抛物线经过点且与直线相交于另一点，点为新抛物线上的一个动点，当时，请求出所有符合条件点的坐标（写出必要的求解过程） 23．(24-25九下·重庆大渡口区·二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，且，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是直线上方抛物线上一动点，过点作轴，交于点，求的最大值及点的坐标； (3)将抛物线绕点旋转，得到新抛物线，在新抛物线上找一点，使得，直接写出点的坐标． 24．(24-25九下·重庆复旦中学教育集团·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点B，且点A在点B的左侧，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，直线与轴交于点D，与轴交于点E，在x轴上方的抛物线上有一动点P，设射线与直线交于点N，求的最大值，及此时点P的坐标； (3)如图2，连接，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点B，新抛物线与x轴的另一交点为点M，请问在新抛物线上是否存在一点T，使得？若存在，则直接写出点T的坐标；若不存在，则说明理由． 25．（重庆市第一中学2025年九年级第二次模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，交y轴于点C，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作轴，垂足为E，交于点D，点M、N分别在上运动，当取得最大值时，求的最小值． (3)将该抛物线沿射线方向平移，且平移后的新抛物线经过点C，点Q为新抛物线对称轴上的一动点，当时，直接写出满足条件的点Q的坐标． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 函数 题型概览 题型01 一次函数和反比例函数 题型02二次函数压轴题 ( 题型0 1 )一次函数和反比例函数 1．（2025年重庆市南开中学九年级下学期中考二模）氯酸钾在二氧化锰的催化作用下加热到一定的温度能产生氧气．如图，折线表示在该反应过程中，收集到氧气的质量M（克）随加热时间t（分钟）的变化情况，则下列说法错误的是（   ） A．第3分钟时未产生氧气 B．第6分钟时开始产生氧气 C．第10分钟时氧气质量达到最大9.6克 D．10分钟后，氧气质量仍在增加 【答案】D 【来源】2025年重庆市南开中学九年级下学期中考二模数学试题 【分析】本题考查了函数的图象，从图象中得出有效信息是解题关键； 根据图象提供的信息逐项判断即可得到答案. 【详解】解：由图象可得：第6分钟时开始产生氧气，第3分钟时未产生氧气，到第10分钟时氧气质量达到最大9.6克，10分钟后，氧气质量不再增加，仍然是9.6克， 故选项ABC的说法正确，D选项的说法错误； 故选：D. 2．（2025年重庆市南开中学九年级下学期中考二模）已知反比例函数的图象经过点，则下列各点在该反比例函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】2025年重庆市南开中学九年级下学期中考二模数学试题 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关键是掌握图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．首先利用待定系数法求出的值，再分别计算出四个选项中的点的横纵坐标的积，比较即可得答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， A．，故不在图象上，不符合题意， B．，故在图象上，符合题意， C．，故不在图象上，不符合题意， D．，故不在图象上，不符合题意， 故选：B． 3．(24-25九下·重庆第一中学校·第二次模拟)如图，在平面直角坐标系，平行四边形的边在轴上，点在轴上，与交于点，反比例函数的图象经过点，若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】重庆市第一中学校2024-2025学年九年级下学期第二次模拟数学试题 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，平行四边形的性质，中点坐标公式等知识点，熟悉掌握中点坐标公式是解题的关键． 根据点和点的位置设，，再利用中点坐标公式运算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵点在上，在轴上， ∴设，， ∵四边形为平行四边形， ∴为中点， ∴， 解得：， ∴， 故选：C． 4．（2025年重庆市育才中学校九年级中考二模）反比例函数的图象分别位于（    ） A．第一、三象限 B．第一、四象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 【答案】D 【来源】2025年重庆市育才中学校九年级中考二模数学试题 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，以及反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数的性质（1）当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（2）当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．根据反比例函数的性质：当，双曲线的两支分别位于第二、四象限． 【详解】解：反比例函数中，，根据反比例函数的性质，该函数的图象位于第二、四象限． 故选：D． 5．（2025年重庆市九龙坡区四川外国语大学附属外国语学校中考二模）下列各点在反比例函数图像上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】2025年重庆市九龙坡区四川外国语大学附属外国语学校中考二模数学试题 【分析】本题主要考查反比例函数图象的性质，掌握根据反比例函数自变量的值求函数值的计算方法是解题的关键． 分别将各选项的点代入反比例函数进行计算即可解答． 【详解】解：A、反比例函数，当时，，则不在反比例函数图象上，不符合题意； B、反比例函数，当时，，则不在反比例函数图象上，不符合题意； C、反比例函数，当时，，则不在反比例函数图象上，不符合题意； D、反比例函数，当时，，则在反比例函数图象上，符合题意． 故选：D． 6．（2025年重庆市渝中区中考二模）正比例函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【来源】2025年重庆市渝中区中考二模数学试题 【分析】本题考查了正比例函数的计算，掌握待定系数法是关键． 根据题意，把点代入，运用待定系数法即可求解． 【详解】解：正比例函数的图象经过点， ∴， 解得，， 故选：C ． 7．（2025年重庆市开州区云枫教育集团中考二模）反比例函数经过点，则k的值是（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【来源】2025年重庆市开州区云枫教育集团中考二模数学试题 【分析】本题考查了求反比例函数解析式．将点的坐标代入反比例函数表达式中计算是解题的关键． 将点的坐标代入反比例函数表达式中即可求出k的值． 【详解】解：将代入， 得到，解得：，符合题意， 故选C． 8．(24-25九下·重庆潼南区·二模)反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】重庆市潼南区2024-2025学年九年级下学期第二次联合测试数学试题 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．将点的横坐标代入反比例函数的解析式计算，再与点的纵坐标进行比较即可得． 【详解】解：A、将代入反比例函数得：，则这个函数的图象不经过点，此项不符合题意； B、将代入反比例函数得：，则这个函数的图象一定经过点，此项符合题意； C、将代入反比例函数得：，则这个函数的图象不经过点，此项不符合题意； D、将代入反比例函数得：，则这个函数的图象不经过点，此项不符合题意； 故选：B． 9．(24-25九下·重庆大渡口区·二模)下列各点在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】重庆市大渡口区2024-2025学年九年级下学期第二次适应性检测数学试题 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数，掌握反比例函数的基本性质是解题关键． 根据得，所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于，就在函数图象上． 【详解】解：A、，所以，点不在函数图象上，故选项A不符合题意； B、，所以，点不在函数图象上，故选项B不符合题意； C、，所以，点在函数图象上，故选项C符合题意； D、，所以，点不在函数图象上，故选项D不符合题意； 故选：C． 10．(24-25九下·重庆复旦中学教育集团·二模)如图，是反比例函数图象上一点，是反比例函数图象上一点，连接交轴于点，若，，则的值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【来源】重庆市复旦中学教育集团2024-2025学年九年级下学期二调模拟数学试题 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合；作轴于点，于点，可证得，从而将转化为，设，则，再根据面积公式列出等式，即可求出的值． 【详解】解：如图：作轴于点，于点， ，， 设，则， ， 解得：， 故选：D． 11．（重庆市第一中学2025年九年级第二次模拟）当时，反比例函数的图象可能经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】重庆市第一中学2025年九年级第二次模拟考试数学试题（2） 【分析】本题考查了反比例函数的图象、点所在的象限，熟练掌握反比例函数的图象是解题关键．先判断出反比例函数的图象在第一、三象限，再根据点所在的象限逐项判断即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴反比例函数的图象在第一、三象限． A、点位于第二象限，则此项不符合题意； B、点位于第四象限，则此项不符合题意； C、点位于第二象限，则此项不符合题意； D、点位于第一象限，则此项符合题意； 故选：D． ( 题型0 2 )二次函数压轴题 12．（2025年重庆市南开中学九年级下学期中考二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． (1)求的长； (2)点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作交x轴于点M，点N为直线上一动点，过点N作轴交PM于点Q，连接，，，．当的面积取得最大值时，求的最大值； (3)如图2，将原抛物线沿射线方向平移，使平移后的新抛物线过点C，点D为新抛物线的对称轴与x轴的交点，点F为新抛物线对称轴上一动点，连接，．若平分，请直接写出所有符合条件的点F的坐标，并写出其中一个点F的坐标的求解过程． 【答案】(1)4 (2) (3)或 【来源】2025年重庆市南开中学九年级下学期中考二模数学试题 【分析】（1）令，解得点A和点B即可求得； （2）过点P作轴交于点K，则，可知当取得最大值时，的面积取得最大值，利用待定系数法求得直线的解析式为，设点，则点，那么，，可知点时，的面积取得最大值，根据题意求得直线的解析式为，则有点，进一步将点P向右平移个单位得到，即四边形为平行四边形，则，作点A关于直线的对称点，则，直线的解析式为，并求得，连接交于点Q，可知，利用勾股定理求得即可； （3）根据题意得，原抛物线沿x轴负半轴平移3个单位，沿y轴正半轴平移3个单位，则，根据角平分的性质和平行线的性质得，过点C作于点H，设点，则，利用勾股定理求得m即可． 【详解】（1）解：令，解得， ∴点， 则； （2）解：过点P作轴交于点K，如图， 则， 即当取得最大值时，的面积取得最大值， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得， 那么，直线的解析式为， 设点，则点， ， 则点时，的面积取得最大值为， ∵， ∴设直线的解析式为， ∵直线过点， ∴，解得， 则直线的解析式为， ∴点， ∴， 将点P向右平移个单位得到， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， 则， 作点A关于直线的对称点，连接交于点O，交轴于点G， 则， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 则点，点， 设直线的解析式为， ，解得， 则直线的解析式为， ，解得， 则点， 那么，点， 连接交于点，如图， 则， 当Q点与点重合时，取得最大值，且最大值为线段的长； ∵， ∴的最大值； （3）解：根据题意得，原抛物线沿x轴负半轴平移3个单位，沿y轴正半轴平移3个单位，则， ∴点F的横坐标为， ∵平分， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 过点C作于点H，如图， 设点，则， 在中，， 则，解得， 那么，或． 13．（2025年重庆市巴南区市实验集团九年级中考联考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，交y轴于C点，交x轴于A，两点（A在B的左侧），连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作于点D，点Q是抛物线对称轴上的一动点，连接，，当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)在（2）中线段长度取得最大值的条件下，连接，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使得新抛物线经过点B，且与直线相交于另一点M，点N为新抛物线上的一个动点，当，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 【答案】(1) (2)的最小值为 (3)N的坐标为或 【来源】2025年 重庆市巴南区市实验集团九年级中考联考二模数学试题 【分析】本题考查了二次函数及其图象的性质，求一次函数的解析式，图象的平移，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义等知识，解决问题的关键是较强计算能力． （1）将点和代入函数解析式，进一步得出结果； （2）作于，交于，先推出当最大时，最大，求得的函数解析式，进而设点和点坐标，进而表示出的关系式，进一步得出点坐标；连接，交对称轴于点，则最小，最小值是的长，进一步得出结果； （3）先求出平移后的抛物线解析式，可得出，进而推出，当时满足条件，从而得出坐标；作，交于，交轴于点，设，根据列出方程，从而求得坐标，进而求得的解析式，求出其与的交点，从而得出结果． 【详解】（1）解：将，代入 ， ， ； （2）解：如图1， 作于，交于， 轴， ， ∵当时，， ， ，又， ， ， ， 当最大时，最大， ，， 直线的解析式为：， 设，， ， ，， 当时，最大， ， ， 连接，交对称轴于点，则最小，最小值是的长， 由得， 或， ， ， 的最小值为：； （3）解：如图2， 抛物线向右平移4个单位，向下平移2个单位后为：， 即：， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 当时，， 由题意得， 当平移到点，点平移到， ， ，即， 作，交于，交轴于点， 设， ， ， ， ， ， ， 的解析式为：， 由得，或， ， ， 综上所述：或． 14．(24-25九下·重庆江津实验中学、李中学、白沙中学等五校·)如图，在平面直角坐标系中，抛物线的表达式与x轴交于点和点B（A在B的右侧）与y轴交于点C，． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上的一动点，连接交于点D，连接，点M是直线上一动点，轴，垂足为N，连接．当取最大值时，求的最小值； (3)在（2）的条件下，过点P作轴，垂足为Q，交直线于点E，将抛物线沿射线方向平移，使新抛物线经过点E，点F为新抛物线上一动点，连接，当时，请直接写出所有符合条件的点F的横坐标，并写出其中一个点求解过程． 【答案】(1) (2) (3) 【来源】重庆市江津实验中学、李市中学、白沙中学等五校2024-2025学年下学期第二次联考九年级数学试题 【详解】（1）解：由得， ∵， ∴，则， 将，代入中， 得，解得， ∴该抛物线的表达式为； （2）解：令，则， ∴，， 设直线的函数表达式为， 则，解得， ∴直线的函数表达式为， 如图，过P作轴交直线于H， 则， ∴，则当最大时，取得最大值， 设，则， ∴， ∵，， ∴当时，取得最大值，即取得最大值，此时， 连接，则轴， ∵M是直线PC上一动点，轴， ∴， 如图，过D作，且，连接，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，当、N、C共线时取等号， ∴的最小值为， 设直线的函数解析式为，则， ∴直线的函数解析式为， 联立方程组，解得， ∴，则， ∴， 故的最小值为； （3）解：如图，连接， 由（2）知，，直线的函数表达式为， ∵轴交直线于点E，， ∴，，， ∵将抛物线沿射线方向平移，使新抛物线经过点E， ∴将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位可得新抛物线的解析式为， ∵， ∴， 设直线与直线交点为M，，则， ∴， 解得，则， 设直线的函数表达式为， 将，代入，得， 解得， ∴直线的函数表达式为， 联立方程组，整理得， 解得， ∴满足条件的点F横坐标为． 15．(24-25九下·重庆第一中学校·第二次模拟)直线：与抛物线分别交于轴上的点和轴上的点． (1)求抛物线的表达式； (2)点为点关于轴的对称点，为直线上方抛物线上一点，将直线向下平移2个单位长度得到直线，为直线上任意一点，过点作于点；当面积取得最大值时，求的最小值； (3)将抛物线右移1个单位长度，上移5个单位长度可得新抛物线．与轴右交点记为点，直线与新抛物线交于点，与原抛物线交于点．点在原抛物线上的对应点为，已知、、、四点构成的四边形有一组对边平行，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【来源】重庆市第一中学校2024-2025学年九年级下学期第二次模拟数学试题 【分析】（1）先利用直线的表达式求得点、的坐标，然后利用待定系数法即可求得抛物线的表达式； （2）作直线，并与与抛物线相切时，如图所示，当切点为点时，此时点与的距离最大，即面积取得最大值，不妨设，通过与抛物线联立，判别式为0，可求得，接着利用勾股定理算出和之间的距离，将点沿平行方向移动的长度，得到点，连接，，四边形为平行四边形，可证当、、共线时，取得最小值，即取得最小值，此时取得最小值；接着通过平移规律求得，最后利用两点距离公式求得，最后求得答案； （3）先写出新抛物线表达式，表示出，，，，接着分成或者讨论，分别表示出，，，的表达式，通过斜率相等即可得出答案． 【详解】（1）解：对于直线：，当时，；当时，， ，， 直线：与抛物线分别交于轴上的点和轴上的点， ， 解得，， 抛物线的表达式为． （2）解：为直线上方抛物线上一点， 作直线，并与与抛物线相切时，如图所示，当切点为点时，此时点与的距离最大，即面积取得最大值， 不妨设：， 则，即有两个相等的实数根， ， 解得， ：， ，解得，， 即当时，面积取得最大值； 由（1）可知，，， ， 为等腰直角三角形， ， 将直线：向下平移2个单位长度得到直线， ：， 设直线与轴交于点，过点作于点，如上图所示， 则为等腰直角三角形， 对于直线：，当时，，即， ， ， ， 直线和直线的距离为， 为直线上任意一点，过点作于点， ； 将点沿平行方向移动的长度，得到点，连接，，如上图所示， 则，， 四边形为平行四边形， ， ， 当、、共线时，取得最小值，即取得最小值， 为定值， 此时取得最小值； 作轴于点，如上图所示， 则为等腰直角三角形， ， ， 即点向右平移1个单位，向下平移1个单位可得到点， ，，，， 点向右平移1个单位，向下平移1个单位可得到点， ， ， 点为点关于轴的对称点，， 当、、共线时， 此时， 当面积取得最大值时，最小值为． （3）解：抛物线右移1个单位长度，上移5个单位长度可得新抛物线， ， 时，， 与轴右交点记为点， ， 直线与新抛物线交于点，与原抛物线交于点， ，， 点在原抛物线上的对应点为， ，即， 、、、四点构成的四边形有一组对边平行， 有可能或者， 当时， 不妨设直线为，代入，， ， ， 不妨设直线为，代入，， ， ， ， ， ， 或， ， ； 同理可得，当时，，符合题意； 综上，可得． 16．（2025年重庆市西南大学附属中学九年级中考二诊）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，已知的面积为3． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上一动点，当点P在第一象限运动时，过点P作轴，垂足为H，作交于点Q，点G是y轴上的动点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过点C，且与直线交于另一点D．点K为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点K的坐标，并写出其中一种情况的求解过程． 【答案】(1) (2) (3)点K的坐标为或 【来源】2025年重庆市西南大学附属中学九年级中考二诊数学试题 【分析】（1）利用三角形的面积公式求得，得到，再待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式为，直线的解析式为，作交轴于，令交于，则可求出直线的解析式为，从而可得，证明，由相似三角形的性质可得，即当最大时，取得最大值，设且，则，求出的最大值即可，此时，，得出、关于轴对称，连接交轴于，连接，由轴对称的性质可得，即的最小值为的长，求出直线的解析式为，联立得出，再由勾股定理计算即可得解； （3）利用平移求出新抛物线解析式为，联立，得出；再分两种情况：当点在直线的上方时，连接交轴于，取的中点，连接，则；当点在直线的下方时，延长交于；分别求解即可． 【详解】（1）解：对于，当时，， ∴， ∴， ∵的面积为3， ∴， ∴， ∵， ∴， 将，代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵，，， ∴设直线的解析式为， 代入得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， 设直线的解析式为， 代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 如图，作交轴于，令交于， ∴设直线的解析式为， 将代入解析式可得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，，即， ∴， ∵， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最大时，取得最大值， 设且，则， ∴， ∵， ∴当时，的值最大为，此时的值也最大， 当时，，即， ∴， ∴、关于轴对称， 连接交轴于，连接， 由轴对称的性质可得：， ∴的最小值为的长， ∴设直线的解析式为， 将代入解析式可得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得，即， ∴，即的最小值为； （3）解：∵原抛物线为，直线的解析式为， ∴设将该抛物线沿射线方向平移（即向右平移个单位长度，向上平移的单位长度）得到新的抛物线， ∴新抛物线解析式为， ∵新抛物线经过点C， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴新抛物线解析式为， 联立， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴； 如图，当点在直线的上方时，连接交轴于，取的中点，连接，则， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 作于，则为等腰直角三角形， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：，即， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴； 如图，当点在直线的下方时，延长交于， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， 同理可得：直线的解析式为， 联立， 解得或（不符合题意，舍去）， 此时； 综上所述，点K的坐标为或． 17（2025年重庆市育才中学校九年级中考二模）．如图，已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，连接． (1)求该抛物线解析式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作于D，点E为y轴上一动点，连接，当有最大值时，求的最小值； (3)如图2，在上取一点Q，连接，使，将抛物线沿射线方向平移2个单位得到新抛物线，点M为新抛物线上对称轴右侧的一动点，过M作交直线于点N，连接，当时，直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2) (3)或 【来源】2025年重庆市育才中学校九年级中考二模数学试题 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）过点P作轴于H，交于Q，求出点C坐标得到直线解析式为；证明是等腰直角三角形，得到，则可证明是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，则，，由此可得到，则的最大值即为的最大值，故当点P为抛物线的顶点时，有最大值，即此时有最大值；作，过点E作，则，可推出当P、E、G三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长；如图所示，过点G作于T，设直线交于R，设，可求出直线解析式为，则，可得，证明，则，据此可得答案； （3）如图3-1所示，过点O作于L，过点Q作轴于K，可求出，则解直角三角形得到，据此求出；证明是等腰直角三角形，得到，则，解直角三角形得到，则，利用勾股定理得到，则，据此可得将抛物线向右平移2个单位，向上平移6个单位得到新抛物线，则新抛物线的解析式为；在分点N在x轴上方和在x轴下方两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：把代入到中得：， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图所示，过点P作轴于H，交于Q， 在中，当时，， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为； ∵， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ， ∴的最大值即为的最大值， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当点P为抛物线的顶点时，有最大值，即此时有最大值， ∴此时点P的坐标为； 如图所示，作，过点E作， ∴， ∴， ∴当P、E、G三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长； 如图所示，过点G作于T，设直线交于R，设，则， 在，， ∴， ∴， ∴点G在直线上，即直线解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当有最大值时，的最小值为； （3）解：如图3-1所示，过点O作于L，过点Q作轴于K， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，， ∴将抛物线沿射线方向平移2个单位得到新抛物线，相当于将抛物线向右平移2个单位，向上平移6个单位得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为； 如图3-2所示，当点N在x轴上方时，设点S为射线上一点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 同理可得直线解析式为， ∴可设直线解析式为， ∴，解得， ∴直线解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴此时点M的坐标为； 如图3-3所示，当点N在x轴下方时，取点，过点W作轴于Z，过点Q作轴于U，设直线交x轴于S， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得直线解析式为， ∴同理可得直线解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴此时点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或． 18．（2025年重庆市九龙坡区四川外国语大学附属外国语学校中考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于，B两点（A在B的左侧），抛物线的对称轴是直线，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作交于点D，点E，F为x轴上的两个动点，点E在F的左侧，且，连接．当线段的长度取得最大值时，求的最小值； (3)如图2，将该抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得，新抛物交于点N，点M是新抛物上对称轴左侧的一个动点，点K在的对称轴上，连接，当且时，请写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解其中一个点M坐标的过程． 【答案】(1) (2) (3)或 【来源】2025年重庆市九龙坡区四川外国语大学附属外国语学校中考二模数学试题 【分析】（1）根据抛物线的对称轴是直线，得到，将代入抛物线解析式计算即可； （2）先求出，，直线的解析式为，过点P作x轴平行线，交延长线于点G，证明，推出，即，设，则点纵坐标为，求出，利用二次函数的性质求出；将点P向右平移1个单位到点Q，作点Q关于x轴的对称点，连接，易证四边形是平行四边形，得到，当三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为的长，利用勾股定理求解即可； （3）分点M在点上方和下方，利用相似三角形和等腰三角形的性质分类讨论即可． 【详解】（1）解：根据题意：，则， 将代入抛物线解析式得：， 解得：，则， ∴抛物线的表达式为； （2）解：将代入，则， 令，解得：或， ∴，， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， 过点P作x轴平行线，交延长线于点G， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 设， 则点纵坐标为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为，即有最大值， 此时，，即； 将点P向右平移1个单位到点Q，作点Q关于x轴的对称点，连接， 则，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为的长； ∵， ∴， ∴的最小值为； （3）解：根据题意， 令，解得：或， 根据题意：， ∴， ∴， ∵二次函数图象的对称轴为， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， 过点M作于点H，过点作轴平行线交抛物线对称轴于点T，过点作轴平行线，交于点，过点作轴平行线交于点L，则，，， 当点M在点上方时， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，点横坐标为， 设，，则， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， 则， ∴； 当点M在点下方时， 同上得，，，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， 则， ∴； 综上，所有符合条件的点M的坐标为或． 19．（重庆巴蜀中学2025年中考二模）如图1，抛物线与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，已知，连接，点D是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点P是位于直线上方抛物线上一点，过点P做轴交于点E，连接，点F是直线上一动点，当时，求出此时点P的坐标周长的最小值； (3)如图3，抛物线关于原点对称后得新抛物线y，新抛物线交x轴于点，交y轴于点，点Q是新抛物线y上位于x轴下方的一点，满足，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出其中一种情况的推理过程． 【答案】(1) (2)；周长的最小值为 (3)或或，推理过程见解析 【来源】重庆巴蜀中学2025年中考二模数学试卷 【分析】本题考查了二次函数与几何综合，四点共圆，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，画出正确的辅助线是解题的关键． （1）根据求得点，利用待定系数法即可解答； （2）利用相似三角形的判定和性质求得点的坐标，再根据将军饮马原理可得周长的最小值； （3）求得新抛物线解析式，利用定弦定角原理作圆，则可得圆与新抛物线在轴下方的点都符合题意，利用相似三角形的判定和性质逐一解答即可． 【详解】（1）解：， ， 把代入解析式可得， ， 解得， 所以抛物线的解析式为； （2）解：如图，作，交于点，过点作，交于点， 当时，， 解得， ， 设直线的解析式为， 把代入可得， 解得， 所以直线的解析式为， 轴， ， 轴，， 当时，， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在直线上， ， 解得， ； 如图，作点关于的对称点，连接，连接，延长交轴于点， ，轴， ， 点关于的对称点， ， ， ， 周长等于，当三点共线时，最短，即的长， 周长的最小值为， ， ， ， 即周长的最小值为； （3）解：抛物线关于原点对称后得新抛物线y，新抛物线交x轴于点， ， 设新抛物线的解析式为， 把代入可得，解得， 新抛物线的解析式为， ， ，, ， 当点和点重合时，符合题意，此时； 如图，过点作交于点，以点为圆心长度为半径作圆，交新抛物线轴下方部分于点，此时，符合题意， 当点在轴左边时，过点作，交于点，过点作交的延长线于点， 为直径， ， , ， ，， ， ， 设，则，，，， 故可得方程， 整理得， ， 解得（正值舍去）， 经检验，是原方程的解， ， 当点在轴右边时，过点作，交于点，过点作交的延长线于点， 同理可得， ， 设，则，，，， 故可得方程， 解得（负值舍去）， 经检验，是原方程的解， ， 综上所示，的坐标为或或． 20．（2025年重庆市渝中区中考二模）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点在线段上，点与点关于对称轴对称，过点作轴交抛物线于点，直线交轴于点．若四边形是平行四边形，求点的坐标； (3)若点是对称轴上一动点，当最大时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为 (2)四边形是平行四边形求点的坐标为或 (3) 【来源】2025年重庆市渝中区中考二模数学试题 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）设，则，，则，直线的解析式为，则，根据四边形是平行四边形，得，即，由此即可求解； （3）根据题意，设，如图所示，取的外接圆圆心，连接并延伸，交于点，交抛物线对称轴直线榆点，连接，当于抛物线对称轴相切时的最最大，则，设，且，，，点是三角形的内心，则，由此列式得，求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点对称轴， ∴， 解得，， ∴抛物线解析式为； （2）解：抛物线解析式为，令，则， 解得，， ∴， 令，则， ∴， 当时，，即顶点坐标为， ∵点在线段上，点与点关于对称轴对称， ∴设，则，， ∴， 这直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 整理得，， ∴， 解得，，，， ∵，，， ∴或， ∴当时，，即； 当时，，即； ∴四边形是平行四边形求点的坐标为或； （3）解：点是对称轴上一动点， ∴设， 如图所示，取的外接圆圆心，连接并延伸，交于点，交抛物线对称轴直线榆点，连接， ∴， ∴当于抛物线对称轴相切时的最最大，则， 设，且， ∴，， ∵点是三角形的内心， ∴， ∴， 由得，，则， 由得，， 整理①②得，， ∴， 解得，，， ∵（不符合题意，舍去），， ∴，则， ∴， ∴． 21．（2025年重庆市开州区云枫教育集团中考二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点和点，交轴于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上一点，轴交于，当最大时，在直线上运动，且，点，求的最小值； (3)将抛物线沿射线平移个单位，在平移后的抛物线上，是否存在点，使得，若存在，直接写出的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，， 【来源】2025年重庆市开州区云枫教育集团中考二模数学试题 【分析】本题为二次函数综合题，考查了解直角三角形，图像的平移，线段和的最值问题，分类求解是解题的关键． （1）将点和点代入，解方程组即可； （2）将点沿平行于的方向平移个单位，得，连接，当，，三点共线时，，即可求解； （3）当点在的右侧时，构造等腰中，求出直线为，进而联立抛物线与直线解析式，即可求解；当点在的左侧时，同理可得． 【详解】（1）解：将点和点代入， 得到：， 解得：， 所以抛物线的解析式为：． （2）设直线的解析式为，将，，代入， 得到，解得 直线的解析式为， 设， 轴交于 则， ， 其中，函数图像开口向下，对称轴为， 当时，， ， 将点沿平行于的方向平移个单位，因为直线斜率为1，所以相当于将点向右平移2个单位，向上平移2个单位，得，连接，如图： 当，，三点共线时， ∴． （3）解：存在，理由： 将抛物线沿射线平移个单位，相当于抛物线向左平移1个单位，向下平移1个单位， 则新抛物线的表达式为：， 当点在右侧时， 设将绕点逆时针旋转得，作射线交于， ∵，， ∴， ∵，， ∴由旋转可得：点， ∴由点，的坐标得直线的表达式为：， 联立直线和新抛物线得， 解得：（负值已舍去），即点， 当点在的左侧时， 同理可得：点，直线的表达式为：， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ． 综上所述：存在点，使得，它的坐标为或． 22．(24-25九下·重庆潼南区·二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是线段上方抛物线上的一动点，过点作，垂足为点，点，为直线上的两个动点（点在的左侧），且，连接，．当线段的长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿方向平移，使得新抛物线经过点且与直线相交于另一点，点为新抛物线上的一个动点，当时，请求出所有符合条件点的坐标（写出必要的求解过程） 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【来源】重庆市潼南区2024-2025学年九年级下学期第二次联合测试数学试题 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出点，进而可得直线的解析式为，由勾股定理可得，求出，设作轴交于，则，，从而可得，推出，表示出，结合二次函数的 可得当时，的值最大，此时，即，将点沿方向平移个长度得到，即将点向左平移个长度，向上平移个单位长度得到，连接，则，，得出四边形为平行四边形，由平行四边形的性质可得，从而得出，当、、在同一直线上时，的值最小，为，即可得解； （3）求出平移后的解析式为，联立，得出 ，由题意可得，在轴负半轴上取一点，作直线交新抛物线于点，则，，从而可得，求出直线的解析式为，联立，解得（不符合题意，舍去）或，得出此时；作点关于直线的对称点，作直线交新抛物线于点，连接，由轴对称的性质可得，，，求出，再同理求解即可． 【详解】（1）解：将，两点代入得：， 解得：， 抛物线的表达式为； （2）解：在中，当时，，故， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 设，如图，作轴交于，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，此时，即， 将点沿方向平移个长度得到，即将点向左平移个长度，向上平移个单位长度得到，连接，则，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴，当、、在同一直线上时，的值最小，为， ∴的最小值为； （3）解：， ∵将该抛物线沿方向平移， ∴设该抛物线向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， 故平移后的解析式为， ∵新抛物线经过点， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴平移后的解析式为， 联立，解得：或， ∴， ∵， ∴， 如图，在轴负半轴上取一点，作直线交新抛物线于点， ， 则， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得, 解得：， ∴ 直线的解析式为， 联立，解得（不符合题意，舍去）或， 此时； 作点关于直线的对称点，作直线交新抛物线于点，连接， 由轴对称的性质可得，， ∴， 设点，则，， 解得：（不符合题意，舍去）或，即， 同理可得直线的解析式为， 联立，解得（不符合题意，舍去）或， 此时， 综上所述，点的坐标为或． 23．(24-25九下·重庆大渡口区·二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，且，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是直线上方抛物线上一动点，过点作轴，交于点，求的最大值及点的坐标； (3)将抛物线绕点旋转，得到新抛物线，在新抛物线上找一点，使得，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)最大值为9，此时， (3)或． 【来源】重庆市大渡口区2024-2025学年九年级下学期第二次适应性检测数学试题 【分析】（1）将，，三点坐标代入抛物线解析式，求解即可； （2）过点作轴，先求出直线的函数关系式为，设，则， 可得出，再求解即可； （3）分为当点在的下方时及当点在的上方时，这两种情况，构造全等三角形，分别求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 将，，三点坐标代入抛物线解析式： ，解得：, 抛物线的表达式为：； （2）解：如图，过点作轴， 设直线的函数关系式为，将，两点坐标代入得： ，解得， 直线的函数关系式为， 设，则， ，， ， ， ， ， ， ， ， 当时，有最大值，为9，此时； （3）解：将抛物线绕点旋转，得到新抛物线， 关于对称点都在抛物线上， 设新抛物线的函数关系式为， 将代入得： ，解得：， 新抛物线的函数关系式为， 当点在的下方时， 如图，过点作，过点作轴，过点作的延长线于点， 设点， 则， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 在直线：上， ， 解得：（舍去）， ， 当点在的上方时， 如图，过点作，过点作轴，过点作的延长线于点 ， 设点， 则， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 在直线：上， ， 解得：（舍去）， ， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，全等三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度． 24．(24-25九下·重庆复旦中学教育集团·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点B，且点A在点B的左侧，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，直线与轴交于点D，与轴交于点E，在x轴上方的抛物线上有一动点P，设射线与直线交于点N，求的最大值，及此时点P的坐标； (3)如图2，连接，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点B，新抛物线与x轴的另一交点为点M，请问在新抛物线上是否存在一点T，使得？若存在，则直接写出点T的坐标；若不存在，则说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，或 【来源】重庆市复旦中学教育集团2024-2025学年九年级下学期二调模拟数学试题 【分析】（1）根据抛物线，经过点，，后利用待定系数法确定解析式即可． （2）过点P作交直线于点Q．设点，则点．根据平行线证明，列出比例式解答即可． （3）如图2，连接，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点B，新抛物线与x轴的另一交点为点M，请问在新抛物线上是否存在一点T，使得？若存在，则直接写出点T的坐标；若不存在，则说明理由． 【详解】（1）解：∵抛物线，经过点，， ∴， 解得 故抛物线的解析式为． （2）解：过点P作交直线于点Q． 设点，则点． ∵ ∴， ． ∵，且， ∴时，的值最大，最大值为． 把代入，得． ∴点P的坐标为． （3）解：∵直线与轴交于点D，与轴交于点E， ∴， ∴， ∴沿着方向平移是一个先向下，再向右平移同样的单位长度的平移变换，设平移的距离为n个单位长度， 由， ∴设，把点代入得：， 解得（舍去）或， ∴， 令，，解得或， 故点 ∵，， ∴， 设点，过点T作于点G， 故， 即， 解得：或（舍去）， ∴； 同理可得， 即， 解得：：或（舍去）， ∴， 综上，点T的坐标为或． 25．（重庆市第一中学2025年九年级第二次模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，交y轴于点C，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作轴，垂足为E，交于点D，点M、N分别在上运动，当取得最大值时，求的最小值． (3)将该抛物线沿射线方向平移，且平移后的新抛物线经过点C，点Q为新抛物线对称轴上的一动点，当时，直接写出满足条件的点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【来源】重庆市第一中学2025年九年级第二次模拟考试数学试题（2） 【详解】（1）解：把，代入中得：， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解；在中，当时，， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为； 设，则， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当，即时，有最大值，即此时点P的坐标为，点D的坐标为，点E的坐标为； 如图所示，取，连接，过点N作于H， ∵，轴， ∴P、E、F三点共线， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴当P、M、H三点共线，且时，有最小值，最小值为的长， 此时有， ∴， ∴的最小值为； （3）解：∵， ∴， ∴将该抛物线沿射线方向平移时，每向左移动个单位长度，则向下平移个单位长度， 设原抛物线向左移动个单位长度后得到新抛物线， ∴平移后的抛物线解析式为， ∵平移后的抛物线经过点C， ∴， 解得或（舍去）， ∴平移后的抛物线解析式为； ∴平移后的抛物线对称轴为直线； 如图所示，取，则，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴B、Q、C、P四点共圆， ∴点Q在以为直径的圆上， 设的中点为T，，则，， ∴， 解得， ∴点Q的坐标为或； 同理当构造的直角三角形中，点P在下方时，以为直径的圆与直线不存在交点，即此时不存在点Q； 综上所述，点Q的坐标为或． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$