专题01 几何压轴（重庆专用）-【好题汇编】2025年中考数学二模试题分类汇编

专题01 几何压轴 题型概览 题型01几何求解问题 题型02圆相关计算（双空题） 题型03几何解答压轴题 ( 题型0 1 )几何求解问题 1．（2025年重庆市南开中学九年级下学期中考二模）如图，在菱形中，O为对角线中点，将绕顶点A逆时针旋转至，使E点恰好落在上，连接．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】2025年重庆市南开中学九年级下学期中考二模数学试题 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，菱形的性质．作于点，根据平行线分线段成比例结合菱形的性质求得，根据旋转的性质结合等腰三角形的性质，求得，再证明，求得，，据此计算即可求解． 【详解】解：作于点， ∵， ∴， ∴， ∵O为菱形对角线中点， ∴， ∴， ∵将绕顶点A逆时针旋转至，使E点恰好落在上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵菱形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．（2025年重庆市巴南区市实验集团九年级中考联考二模）如图，在矩形中，E为对角线上一点，连接，过点E作交延长线于F，若，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【来源】2025年重庆市巴南区市实验集团九年级中考联考二模数学试题 【分析】过点E作于点N，延长交于M，证明四边形是矩形，四边形是矩形，设，则，由得到，证明，则，得到，则，得到，勾股定理得到，即可得到答案． 【详解】解：过点E作于点N，延长交于M， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【点睛】此题考查了矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形等知识，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键． 3．(24-25九下·重庆江津实验中学、李中学、白沙中学等五校·)如图，将矩形沿对角线翻折，的对应边交于点F，过点B作交于点H，垂足为G，若，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】重庆市江津实验中学、李市中学、白沙中学等五校2024-2025学年下学期第二次联考九年级数学试题 【分析】过点B作于点Q，根据勾股定理求出，，证明，得出，证明，得出，即，求出结果即可． 【详解】解：过点B作于点Q，如图所示： ∵四边形为矩形， ∴， 根据勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 根据折叠可知：，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 4．(24-25九下·重庆第一中学校·第二次模拟)如图，在正方形中，点为边上一点，连接，使，点在上，接，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】重庆市第一中学校2024-2025学年九年级下学期第二次模拟数学试题 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程．设正方形的边长为，，求得，，在中，根据勾股定理列式计算求得，作的平分线，交于点，作于点，设，在中，利用勾股定理列式计算求得，在中，求得，再证明，延长交于点，证明，求得，，据此求解即可． 【详解】解：设正方形的边长为，， ∴，， ∴， ∵正方形， ∴， 在中，，即， 整理得， 解得（舍去）或， ∴，，， 作的平分线，交于点，作于点， ∵平分，，， ∴， 设，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，，即， 整理得， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵正方形， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， 延长交于点， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 5．（2025年重庆市西南大学附属中学九年级中考二诊）如图，在边长为5的正方形中，，连接，交于点H，连接交于点G，连接交于点M，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】2025年重庆市西南大学附属中学九年级中考二诊数学试题 【分析】先证明，可得，，证明，如图，延长交于，证明，可得，，进一步求解，从而可得答案． 【详解】解：∵在边长为5的正方形中，， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， 如图，延长交于， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∵， ∴，而， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，作出合适的辅助线是解本题的关键． 6．（2025年重庆市育才中学校九年级中考二模）如图，在正方形中，E为边上一点，连接，在右侧作，满足，，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】2025年重庆市育才中学校九年级中考二模数学试题 【分析】如图所示，连接，，证明出点A，B，F，E四点共圆，得到，，然后证明出点A，F，C三点共线，得到，，然后证明出，得到，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】如图所示，连接， ∵四边形是正方形 ∴ ∵， ∴ ∴点A，B，F，E四点共圆 ∴， ∴ ∴点A，F，C三点共线 ∵四边形是正方形 ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴ ． 故选：D． 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 7．（2025年重庆市九龙坡区四川外国语大学附属外国语学校中考二模）如图，在正方形中，点E、F、G分别在、、上，连接、交于点H，连接，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】2025年重庆市九龙坡区四川外国语大学附属外国语学校中考二模数学试题 【分析】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理，作交于，连接，证明四边形为矩形，得出，，，再证明，得出，再证明、、、四点共圆，得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：如图：作交于，连接， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴、、、四点共圆， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8．（重庆巴蜀中学2025年中考二模）如图，正方形，点E在边上，点P在对角线上，且满足，，连接，过P做交于F，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】重庆巴蜀中学2025年中考二模数学试卷 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，设正方形的边长为，则可得，，，过点作，延长交于点， 利用得到，即可解答，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为，则， 四边形是正方形， ， ， ，， 如图，过点作，延长交于点， ，为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 9．（2025年重庆市渝中区中考二模）如图，四边形中，，，，交的延长线于点，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】2025年重庆市渝中区中考二模数学试题 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，解直角三角形；连接，过点作于点，先证明，得出，进而证明是等边三角形，根据，设，则，得出，解，进而求得，然后根据正切的定义，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵ 设，则 ∴ 又∵ ∴， ∴ ∴ 故选：A． 10．（2025年重庆市开州区云枫教育集团中考二模）如图，在正方形中，点E是上一点，点F是延长线上一点，连接，，．点P是的中点，连接，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】2025年重庆市开州区云枫教育集团中考二模数学试题 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．综合运用以上知识点是解题的关键． 根据正方形的性质证明，，再通过角的等量代换得到，，再根据三角形的外角性质得出，最后代入计算即可求出的度数． 【详解】解：连接， 四边形是正方形， ，， 在与中， ， ， ，． ， ． 点P是的中点， ，， ，点P是的中点， ， ． 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ． 故选B． 11．(24-25九下·重庆潼南区·二模)如图，在矩形中，为对角线，平分交于点F，点E是上一点，连接、，若，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】重庆市潼南区2024-2025学年九年级下学期第二次联合测试数学试题 【分析】先证明，作于点，设，则，利用证明，推出，在中，利用勾股定理列式求得，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 作于点， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 12．(24-25九下·重庆大渡口区·二模)如图，正方形中，分别取和边的中点，连接相交于点，连接，若，则的度数一定为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】重庆市大渡口区2024-2025学年九年级下学期第二次适应性检测数学试题 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线，构造全等三角形是解决问题的难点．延长交的延长线于，先证明和全等得，进而得，再证明和全等得，由此可得，由此即可得出答案． 【详解】解：延长交的延长线于，如图所示： 四边形是正方形， ，，， ，， 点，分别是，的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即点是斜边上的中点， ， ， ． 故选：D． 13．(24-25九下·重庆复旦中学教育集团·二模)如图，在正方形中，点为上的一点，且，连接，过点作交延长线于点，连接，则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】重庆市复旦中学教育集团2024-2025学年九年级下学期二调模拟数学试题 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理等，作交的延长线于点G，先证，求出，再证，求出，，最后用勾股定理计算出． 【详解】解：如图，作交的延长线于点G， 四边形是正方形，， ，， ， ， ，， ， ，即， ， ，， ， ，即， 解得，， ， 故选B． 14．（重庆市第一中学2025年九年级第二次模拟）在等腰中，，点D在上，点E在上且，连接，将沿翻折到的内部，得到，连接．则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】重庆市第一中学2025年九年级第二次模拟考试数学试题（2） 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、折叠的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质和解直角三角形的方法是解题关键．设，则，，利用勾股定理可得，再连接，交于点，过点作于点，根据折叠的性质可得垂直平分，，利用三角形的面积公式可得的长，从而可得的长，利用勾股定理可得的长，然后利用三角形的面积公式可得的长，利用勾股定理可得的长，从而可得的长，最后根据正切的定义计算即可得． 【详解】解：∵在等腰中，， ∴， 设， ∵， ∴， ∴，， ∴， 如图，连接，交于点，过点作于点， 由折叠的性质得：垂直平分，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 故选：C． ( 题型0 2 )圆相关计算（双空题） 15．（2025年重庆市南开中学九年级下学期中考二模）如图，在中，，，点O为中点，以点O为圆心，为半径的交延长线于点E，的中垂线交于点F，交于点G，H，连接，．若，则的长度为 ，的面积为 ． 【答案】 2 / 【来源】2025年重庆市南开中学九年级下学期中考二模数学试题 【分析】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理．作于点，利用三角函数的定义求得，再利用勾股定理求得的半径，解，求得，据此可求得的长；作于点，记与交于点，连接，利用垂径定理求得，证明，求得，，再证明，求得，利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：作于点， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵点O为中点， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴，则， ∴； 作于点，记与交于点，连接， ∵， ∵是的中垂线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴的面积为， 故答案为：． 16．（2025年重庆市巴南区市实验集团九年级中考联考二模）如图，四边形内接于，连结，为的直径，E是的中点．过点E作的切线，交的延长线于点F，且，，，则的长为 ，的半径为 ． 【答案】 5 【来源】2025年 重庆市巴南区市实验集团九年级中考联考二模数学试题 【分析】本题考查了勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，弧与弦的关系，正确添加辅助线是解题的关键． 连接，则，由勾股定理得：，即；由圆周角定理得到，继而，则，可求直径，继而可求半径． 【详解】解：连接， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵，，， ∴由勾股定理得：， ∴； ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴半径为， 故答案为：5；． 17．(24-25九下·重庆江津实验中学、李中学、白沙中学等五校·)如图，以为直径的与相切于点A，与交于点D，过D作于点H，连接交于点F、交于点G．若，则 ， ． 【答案】 【来源】重庆市江津实验中学、李市中学、白沙中学等五校2024-2025学年下学期第二次联考九年级数学试题 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质及切线的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． ①连接，根据题意先求出直径的长，得到半径的长，根据垂径定理得到，再根据勾股定理即可求解； ②连接，先求出，再证明，，得到，，求得，，根据勾股定理求出，再证明，即可求解． 【详解】解：①如图，连接， ∵为的直径，， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴； ②如图，连接， 在中，， ∵是的切线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4，． 18．(24-25九下·重庆第一中学校·第二次模拟)如图，⊙是锐角的外接圆，为⊙的切线，连接交于点，交圆于点，点恰好为的中点，连接并延长交于点，连接、．若，，，则 ，的周长为 ． 【答案】 / 【来源】重庆市第一中学校2024-2025学年九年级下学期第二次模拟数学试题 【分析】连接，连接交于点，过点作于点，由点恰好为的中点，得，由等腰三角形三线合一的性质，得出也是等腰的中线和高，根据垂径定理，可得，由已知条件和等面积法，在中，得，即可求得长；连接，连接，由易得，由，，可得，由为⊙的切线，可得，可得，由点恰好为的中点及角的关系，推出，可得，进而得，得，再通过角的关系，易得，得，可得，即可求出的周长． 【详解】解：如图所示，连接，连接交于点，过点作于点， 点恰好为的中点， ， ， ， ， 又，， ， ，， ，， ， ， ， ； 如图所示，连接，连接， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又为⊙的切线， ， ， ， 点恰好为的中点， ， ，， ， ，， ， ，， ， ， 在中， ，， 设，， ， 在中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 的周长为． 19．（2025年重庆市西南大学附属中学九年级中考二诊）如图，平行四边形的顶点A、B、D在上，交于点F，连接并延长交AB于点E，将线段沿翻折，点A恰好能落在点B处，连接交于点N，若，，则 ， ． 【答案】 【来源】2025年重庆市西南大学附属中学九年级中考二诊数学试题 【详解】解：如图：， ∵， ∴， ∵平行四边形ABCD， ∴， ∴， ∵将线段AD沿DE翻折，点A恰好能落在点B处， ∴， ∴ ∴ ∴，， ∴，即，解的：， ∴ 如图：连接，设该圆的半径为r，则， 由勾股定理可得：，即，解得， ∵，， ∴， 如图：过F作，则， ∴， ∴，， ∴，解得：；， ∵， ∴， ∴，， ∴，解得：； ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、折叠的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造相似三角形成为解题的关键． 20．（2025年重庆市育才中学校九年级中考二模）如图，内接于半径为的，于点，延长交于点，为的中点，连接交于点，若，，，则 ， ． 【答案】 【来源】2025年重庆市育才中学校九年级中考二模数学试题 【分析】连接，，过点作于点，利用圆周角定理及推论得出，，利用垂径定理求出 ，，，由，得出，利用，列式求出或，结合，得，得出，再利用，即可求出；连接，，，，延长交于点，利用为的中点，得出垂直平分，可得，，求出，再利用，，求出，在中，求出，利用即可求解． 【详解】解：如图，连接，，过点作于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， 即， 解得：或， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 得（负值舍）； 如图，连接，，，，延长交于点， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 得（负值舍）， 在中，， ∴． 故答案为：；． 21．（2025年重庆市九龙坡区四川外国语大学附属外国语学校中考二模）如图，是的直径，点C，E为圆上两点，若点C为的中点，连接并延长与交于点F，与的延长线交于点H．若，则 ， ． 【答案】 6 【来源】2025年重庆市九龙坡区四川外国语大学附属外国语学校中考二模数学试题 【详解】解：∵点C为的中点，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图：连接，设， ∵是的直径， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 根据圆周角定理得：， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：6； ． 22．（重庆巴蜀中学2025年中考二模）如图，的三点A、B、C在上，与交于点E，且直线l与相切于点C．分别连接，延长交于点M，交直线l于点P，满足．若半径．则 ， ． 【答案】 / 【来源】重庆巴蜀中学2025年中考二模数学试卷 【分析】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，切线性质定理，利用垂径定理逆定理可得，利用三角形面积法即可求得，再证明，利用相似三角形的性质即可解答，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 四边形为平行四边形， ， 直线l与相切于点C， ， ， ， ， 根据三角形面积公式可得， ， ， 如图，连接， ， ， ， ， ， ， 在直角三角形中，, ， ， ，， ， 故答案为：；． 23．（2025年重庆市渝中区中考二模）如图，在平面直角坐标系中，，，的半径为2．若将点绕点顺时针旋转得到点，则点在 （填“内”或“上”或“外”）；若线段绕点顺时针旋转，其对应线段恰好是的弦，则点的坐标为 ． 【答案】 上 或 【来源】2025年重庆市渝中区中考二模数学试题 【分析】本题考查了旋转的性质，点和圆的位置关系．根据题意画出图形，即可得解． 【详解】解：点如图所示，则点在上； 如图，线段是线段绕点顺时针旋转得到，的坐标为； 线段是线段绕点顺时针旋转得到，的坐标为； 故答案为：上；或． 24．（2025年重庆市开州区云枫教育集团中考二模）如图，是的切线，B为切点，与交于点C，D是上一点，连接，，，延长至点F，使得，连接，过点B作于点G，，则 ，四边形的面积为 ． 【答案】 【来源】2025年重庆市开州区云枫教育集团中考二模数学试题 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质定理，勾股定理，解直角三角形等知识．综合运用以上知识点是解题的关键． 连接，根据圆周角定理，得到，再根据切线定理得到，，通过特殊角的三角函数得到，进而得到，用勾股定理得出的代数式，再利用即可求出；利用勾股定理求出，将四边形的面积看作和的和即可求解． 【详解】解：连接， ， ， 是的切线， ，即， 设， ， ， ， ， 在中， ， ， 则有：， 解得：，， 则． 在中， ， 四边形的面积为：， 则有． 故答案为：，． 25．(24-25九下·重庆潼南区·二模)如图，是的外接圆，是的直径，AD与相切，且与的延长线交于点D，过点C作分别交，于F，G两点，若，则 ；且，则 ． 【答案】 5 【来源】重庆市潼南区2024-2025学年九年级下学期第二次联合测试数学试题 【分析】本题主要考查圆周角定理，切线的性质，勾股定理以及相似三角形的判定与性质，连接，根据切线的性质和圆周角定理得出，由平行线的性质可得，从而得出，再证明，根据相似三角形的性质得出；由得，设，则，在中，由勾股定理得，可得，连接，设，得，由勾股定理得，从而可求出． 【详解】解：连接，如图， ∴， ∵是的直径， ∴ ∴ ∵是的切线， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又 ∴ ∴ ∴, ∴（负值舍去）； ∵， ∴设，则， 在中， ∴， 解得， ∴， 连接，设， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴， 故答案为：5；． 26．(24-25九下·重庆大渡口区·二模)如图，是的直径，点在上，过点作于点，点为上一点，连接交于点，，若，，则 ； ．    【答案】 2 1 【来源】重庆市大渡口区2024-2025学年九年级下学期第二次适应性检测数学试题 【分析】本题考查圆的性质、勾股定理、三角形面积公式、等腰三角形三线合一及相似三角形的判定与性质； 先利用圆和直角三角形性质求、进而得，再通过作辅助线，借助相似三角形和勾股定理求． 【详解】∵是的直径，点在上， ∴． ∵，， ∴ ∵． 将，，代入，可得： 在中， ，将，代入可得： ， ∴， 连接，作，    ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． 27．(24-25九下·重庆复旦中学教育集团·二模)如图，已知是的直径，弦于点C，过点F作的切线交的延长线于点D，G为的中点，连接，若，，则的半径是 ，＝ ． 【答案】 2 【来源】重庆市复旦中学教育集团2024-2025学年九年级下学期二调模拟数学试题 【分析】此题主要考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质，圆周角定理是解决问题的关键． 连接， 先证明，则是等边三角形， 设，则再证明，然后在中， 由勾股定理可求出，进而可得的半径是；再求出则 然后求出，，则， 由此可得的值． 【详解】解：连接， 如图所示： ∵与相切于点， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵弦， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形，设， ， ∵点是的中点， ∴设， ， 在中， 由勾股定理得：， 在中， ， 由勾股定理得：， (不合题意，舍去)， ∴的半径是； ， 是等边三角形， ∴于点， ， 在中， 由勾股定理得：， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：；． 28．（重庆市第一中学2025年九年级第二次模拟）如图，在平行四边形中，为锐角，，点E、F分别是、上的点，连接、交于点M，以为直径的圆O交于点G，且，，则 ；若， ． 【答案】 【来源】重庆市第一中学2025年九年级第二次模拟考试数学试题（2） 【分析】先证出，根据等腰三角形的判定可得，再连接，根据圆周角定理可得，然后解直角三角形和勾股定理求解即可得的长；设与的交点为点，连接，其中交于点，过点作于点，先根据等腰三角形的三线合一可得，再证出，根据相似三角形的性质可得的长，然后证出，根据相似三角形的性质可得的长，从而可得的长，最后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 如图，连接， 由圆周角定理得：， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴，． 如图，设与的交点为点，连接，其中交于点，过点作于点， 由圆周角定理得：，即， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∴， 在和， ， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得，经检验，是所列分式方程的解， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∴， 故答案为：，． ( 题型0 3 )几何解答压轴题 29．（2025年重庆市南开中学九年级下学期中考二模）如图，在中，，点为线段上一动点，以为边向左作等边． (1)如图1，当为边中点时，若，，求的周长； (2)若，点在线段上，且满足，线段交线段于点，连接． ①如图2，若，用等式表示线段和之间的数量关系，并证明； ②如图3，连接，，点运动过程中，当为直角三角形时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②或 【来源】2025年重庆市南开中学九年级下学期中考二模数学试题 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角函数，含角的直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． （1）在中，利用三角函数求得，由勾股定理得，再利用直角三角形斜边中线的性质得，最后利用等边三角形性质求解； （2）①在上取一点，使，连接，，延长交于点，利用倒角得，可得是等边三角形，结合等边，利用手拉手模型证明，可得，，通过倒角可得，则，，则可证，则，，得，，再证明，，，易得，利用，倒角可得，则，即可证明； ②同①在上取一点，使，连接，，延长交于点，同①可得，，设，则，分两种情况：当时和当时，分别作图计算即可 ． 【详解】（1）解：在中， ∵，，， ∴， ∴， ∵为边中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴的周长； （2）解：①，理由如下： 在上取一点，使，连接，，延长交于点， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴, ∴， ∴， ∴； ②同①在上取一点，使，连接，，延长交于点， 同①可得，， 设， ∴， 当时，如图， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当时，如图， ∵， ∴，， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴； 综上，或． 30．（2025年重庆市巴南区市实验集团九年级中考联考二模）如图，在中，，点D是边上一点，点E是线段上一点． (1)如图1，若，且，求的长； (2)如图2，若，，点E是的中点，连接，点F是线段上一点且，连接．用等式表示线段，之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，若平分，平分，于点F，的面积为，，直接写出的最大值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【来源】2025年 重庆市巴南区市实验集团九年级中考联考二模数学试题 【分析】（1）若，则，如图1，过点作于，则，，得出，根据，解直角三角形求出，根据，求出即可． （2）如图，连接，延长至，使，连接，根据，得出，结合，得出证明是等边三角形，得出，，，证明，得出，即可得，证出，，即可证明，即可证出； （3）过点作于点于点，连接，利用角平分线性质得出，再利用，得出，可知当最小时，最大，过点作于点，利用，可得，点轨迹为到直线距离为3的定直线，即，且距离为3，过点作直线的对称点，连接，当依次共线时，取最小值，此时，证明，证明共线，求出，利用即可求解． 【详解】（1）解：若，则， 如图，过点作于，则， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴． （2）解：，理由如下： 如图，延长至，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：如图，过点作于点于点，连接， ∵平分平分， ， ， ∵的面积为，， ， 则当最小时，最大， 即当最小时，最大， 过点作于点， 则， 即， 解得：， 点轨迹为到直线距离为3的定直线，即，且距离为3，如图， 过点作直线的对称点，连接， 则， 利用两点之间线段最短，知，当且仅当三点共线时，取最小值，即当三点共线时，最小值为， 当三点共线时，如图， ， ， 又， ， ， 平分平分， 平分， ， 又， ∴共线， 即是与l的距离， ， ， ， ， 得， 解得：， 即的最大值为． 31．(24-25九下·重庆江津实验中学、李中学、白沙中学等五校·)如图，在中，点是边上一动点，连接． (1)如图1，点是边上一点，连接，若，平分，．当，时，求线段的长度； (2)如图2，，当且时，将线段绕着点逆时针旋转到，使，连接，过点作于点，点为边中点．连接并延长交的延长线于点，且交于点．若，求证：； (3)如图3，当，时，将线段绕着点顺时针旋转到，是边上一点且，连接、．为直线上一动点，当点、、在同一直线上时，将沿直线翻折到同一平面的，连接、．当最小时，直接写出的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【来源】重庆市江津实验中学、李市中学、白沙中学等五校2024-2025学年下学期第二次联考九年级数学试题 【分析】（1）过点作于，根据角平分线的性质定理，得出，根据等腰三角形三线合一的性质，结合勾股定理求出，根据得出答案即可； （2）连接，根据等腰三角形三线合一，利用证明，得出，推出，，利用证明，得出，，推出，根据，，证明即可； （3）根据题目条件补充图形，并连接，过点作于，利用证明，得出，，利用证明，结合，，得出，，根据、计算，再计算求出，，根据翻折得出计算，分析点的运动轨迹在以点为圆心，为半径的圆上，得出当点在如图位置，点、、在同一直线上时，最小，计算，根据、、、，分别计算，最后根据计算出答案即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于， ∵，平分，， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵，点为边中点， ∴，，， 又∵， ∴， ∵将线段绕着点逆时针旋转到，使， ∴， ，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，即； （3）解：如图，连接，过点作于， ∵将线段绕着点顺时针旋转到， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ， ∴， ∴， ∵将沿直线翻折到同一平面的， ∴，，， ， ∴点的运动轨迹在以点为圆心，为半径的圆上， ∴当点在如图位置，点、、在同一直线上时，最小， ∴此时点在线段上，， ∴， ，， ， ∴ ． 32．(24-25九下·重庆第一中学校·第二次模拟)如图，在中，于点，点在左侧，且，连接交于点． (1)如图1，若，，求的度数（用含的代数式表示）； (2)如图2，过点作的垂线，垂足为点，交于点，若，，请用等式表示线段、、之间的数量关系并证明； (3)如图3，，取的中点，点是线段上的动点，连接、，当度数取得最大值时，过点作于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、、，当取得最大值时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【来源】重庆市第一中学校2024-2025学年九年级下学期第二次模拟数学试题 【分析】（1）利用，，得出，，再利用直角得出，即可求出，利用等腰三角形内角求出和，再求出，即可求解； （2）在上取点使，连接，利用，，，进行导角得出，证明，得出，再导角得出，则，再证明，得出，即可证明； （3）构造的外接圆，当与相切时，此时设为，为，设与交于点，在中，，又由，得出，由点是线段上的动点，即可知当的外接圆与相切时，度数取得最大值，此时，连接并延长交于点，连接，通过证明，得出，设，得出，，求出，，再求出，利用是定值，，构造的外接圆，连接，，证明点是中点，得出的轨迹在以中点为圆心，半径长为的圆上部分，由旋转知，，连接，，延长至点，使，连接，通过，得出，，得出点在点为圆心，半径长为的圆上部分，由点到圆上一点的距离可知，当，，依次共线时，取得最大值，此时证明点，，，共线，，再进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，在上取点使，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：如图，构造的外接圆，当与相切时，此时设为，为，设与交于点， 在中，， 又∵， ∴， 由点是线段上的动点， 即可知当的外接圆与相切时，度数取得最大值， 此时如图，连接并延长交于点，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，则， ∵为的中点， 则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，利用是定值，，构造的外接圆，连接，， ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形，且，， ∴，， ∴点是中点， ∴的轨迹在以中点为圆心，半径长为的圆上部分， 如图，由旋转知，， 连接， ∴， 如图，延长至点，使，连接， ∴（点在上），， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴点在点为圆心，半径长为的圆上部分， 由点到圆上一点的距离可知，当，，依次共线时，取得最大值， 此时如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，是中点，， ∴， ∴，， ∴点，，，共线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 33．（2025年重庆市西南大学附属中学九年级中考二诊）在中，，点为边上中点，为直线上一点，连接． (1)如图，若，，求线段的长度； (2)如图，若，点为边上一点，且，连接并延长至点，使，连接．请猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图，若，，点为直线上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，点为的中点，连接，请直接写出当取得最小值时的面积． 【答案】(1)； (2)，理由见解析； (3)当取得最小值时的面积为． 【来源】2025年重庆市西南大学附属中学九年级中考二诊数学试题 【分析】（）由等腰三角形的性质可得，，，，则，根据性质可得，设，则，则，然后求出的值即可； （）延长至，使得，连接，证明，则，，设，，再证明，故有，，从而求出，所以，过作于点，可得，然后由线段和差即可求解； （）通过勾股定理得，由折叠性质可知，，，则点在以为圆心，为长度的圆上，即点在上运动，取中点，连接，所以点在以为圆心，为长度的圆上运动，当点三点共线时，当取得最小值，过作，交于点，过作，交延长线于点，由平行线分线段成比例可得，求出，所以，证明，则，故，求出，所以，然后用面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵，点为边上中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴，整理得， 解得：（负值已舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，延长至，使得，连接， ∵点为边上中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设，， ∵，点为边上中点， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， 过作于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵点为边上中点， ∴， ∴， 由折叠性质可知，， 如图，点在以为圆心，为长度的圆上，即点在上运动，取中点，连接， ∵点为的中点， ∴， ∴点在以为圆心，为长度的圆上运动， ∴如图，当点三点共线时，当取得最小值，过作，交于点，过作，交延长线于点， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴为中点， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为， ∴当取得最小值时的面积为． 【点睛】本题考查了圆有关概念，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理，中位线定理，全等三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 34．（2025年重庆市育才中学校九年级中考二模）在中，，，点D为线段上动点，连接，将绕点A顺时针旋转到，连接． (1)如图1，若，且，求的长； (2)如图2，垂直交于点G，用等式表示线段，之间的数量关系，并证明； (3)如图3，点F为中点，连接，将绕点A旋转，点F的对应点为P，点E的对应点为Q，直线与直线交于点T，若，则当取得最小值时，请直接写出点T到直线距离的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【来源】2025年重庆市育才中学校九年级中考二模数学试题 【分析】（1）过点作于点，于点，易求，，，根据题意，绕点A顺时针旋转到，即，，推出，在中，，通过即可求解； （2）延长到点使得，连接、，则，延长交于点，从而构造出，，，由，得，，进而通过，，证明，得出，得以证明； （3）由题意得，当取得最小值时，取最小值，即当时，取最小值，此时，易知点在线段上．由，得，，，点在以点为圆心，为半径的圆上运动，证明，从而证明，得，得出、、、四点共圆，根据特殊点，确定点的运动轨迹是在以为直径的圆的劣弧上，设的中点为点，过点作交的延长线于点，延长交劣弧于点，当点运动到点时，点到直线的距离最大，通过证明，得出，即可求出，从而求出点到直线距离的最大值． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，于点， 则， 在中，，， ， ，， ，， 在中，，， ， 在中，， ， 根据题意，绕点A顺时针旋转到， ，， ， 在中，， ， ，， ； （2），证明如下： 如图所示，延长到点使得，连接、，则，延长交于点， 根据题意，绕点A顺时针旋转到， ，， ，， 在中，，， ， ，， ， ，， ， ， ， ，， ，， ，， ，， ， ； （3）绕点A顺时针旋转到， ，， ，， ， 当取得最小值时，取最小值，如图所示，当时，取最小值，连接， 此时， 点在线段上， ， 在中，，， ， ，， 在中，， 在中，， 在中，， 如图所示，点在以点为圆心，为半径的圆上运动， 绕点A旋转，点F的对应点为P，点E的对应点为Q， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 、、、四点共圆， ， 如图所示，点在以为直径的圆上， 当与重合时，直线与直线交于点，如图所示， 当与重合时，直线与直线交于点，如图所示， 点的运动轨迹为劣弧， 如图所示，设的中点为点，过点作交的延长线于点，连接， 延长交劣弧于点，当点运动到点时，点到直线的距离最大， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， 则当取得最小值时，点T到直线距离的最大值为． 35．（2025年重庆市九龙坡区四川外国语大学附属外国语学校中考二模）如图，，，将线段绕着点A顺时针旋转α，，得到，连接、，点E为线段中点，过点D作交于点H．连接交于点F． (1)如图1，当时，求的度数． (2)如图2，过点C作于点Q，请猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想． (3)如图3，若，点M是直线上一动点，作点M关于点E的对称点N，连接、，对于α的每一个确定值，都有一个对应的最小值，当最小值等于时，请直接写出四边形的面积． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【来源】2025年重庆市九龙坡区四川外国语大学附属外国语学校中考二模数学试题 【分析】（1）根据等腰三角形的性质求解，，再结合平行四边形的性质与三角形的外角的性质可得答案； （2）仿照（1）求解，，可得，，结合点E为线段中点，，证明，可得为等腰直角三角形，，过作于，而，证明为等腰直角三角形，可得，即，进一步可得结论； （3）如图，由（2）同理可得：，，延长至，使，证明，可得，可得当三点共线时，最小，即的长，此时三点重合，如图，记的交点为，可得，过作于，过作于，证明，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵，，将线段绕着点A顺时针旋转α得到，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： 如图， ∵，，将线段绕着点A顺时针旋转α得到， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点E为线段中点，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 过作于，而， ∴， ∴四边形为矩形，， ∴，， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，即， ∴， 即． （3）解：如图，由（2）同理可得：，， ∵点M关于点E的对称点N， ∴， ∴， 延长至，使， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小，即的长， 此时三点重合，如图，记的交点为， ∵此时，， ∴， 过作于，过作于， ∵， 结合（2）可得： ，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴四边形的面积为：． 36．（重庆巴蜀中学2025年中考二模）已知，在等边中，点在边上，点在边的延长线上． (1)如图1，连接交于点，若，，求的长度； (2)如图2，点绕点逆时针旋转后的对应点恰好落在的延长线上，在直线下方有一点，连接、，其中交于点，且，，请猜想、、的数量关系并证明； (3)如图3，当时，在边上有一点，在边上有一点，满足，当最小时，将沿翻折得到，点为点的对应点，当最小时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【来源】重庆巴蜀中学2025年中考二模数学试卷 【详解】（1）解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵等边， ∴ ∵ ∴， ∵ 在中，， 在中，， 同理可得 ∴； （2）如图，延长到，使得，连接 ∵点绕点逆时针旋转后的对应点恰好落在的延长线上， ∴， ∵等边， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴，， 设， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴， ∵， 中，， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴，则 又∵， ∴ ∴ ∴ 过点作 ∴， ∴； （3）如图，过点作，过点过点作交于点，连接，过点作于点， ∴是等腰直角三角形 ∴， ∵等边， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴当最小时，则最小， ∴时最小， 又∵， ∴是等腰直角三角形， 设，则，， ∴， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴三点共线， 在中， ∴ ∴ ∴ ∴是的角平分线， ∴垂直平分 ∴ ∵当最小时，将沿翻折得到，点为点的对应点， ∴在以为圆心，的长为半径的圆上运动， ∴当最小时，， ∵， ∴． 37．（2025年重庆市渝中区中考二模）已知，中，，，点在边上，点为直线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接． (1)如图1，点在边上，，与分别相交于点和点，若，求的度数； (2)如图2，点在边的反向延长线上，点与点重合，是的中点，与相交于点，用等式表示与的数量关系，并证明； (3)若，，将沿翻折到所在平面内，得到，点为线段上一动点，点是的中点，连接，．直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【来源】2025年重庆市渝中区中考二模数学试题 【详解】（1）解：∵中，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，连接、，作交的延长线于， ∵将绕点逆时针旋转得到，点与点重合， ∴为等腰直角三角形，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形，是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴点、、、四点共圆， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； （3）解：∵中，，，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 由题意可得，为等腰直角三角形， 由折叠的性质可得：为等腰直角三角形， ∴，， 如图，作等腰直角，则，，， ∴，即， ∴， ∴， ∴点在定直线上， 作点关于的对称点，连接、，作交于， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴当、、在同一直线上，且时，取得最小值，为， 作交的延长线于， 由轴对称的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴的最小值为． 38．（2025年重庆市开州区云枫教育集团中考二模）在中，，，点在边上，连接． (1)如图1，若，，求； (2)如图2，若，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，点为的中点，连接，请探究并证明线段与之间的关系； (3)如图3，若，，点在边上，连接，，在边上有一点，当取得最小值时，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)且，证明见解析 (3) 【来源】2025年重庆市开州区云枫教育集团中考二模数学试题 【详解】（1）解：设， ∵，， ∴，，则， 在中，； （2）且， 证明：延长至，使得，连接，， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 由题意可知，，，则，， 由旋转可知，，则， ∴， ∴， ∴，， ∵，则， ∴，则， ∵， ∴，， ∴； （3）由题意可知，， ∴， 过点作，且，则， ∵， ∴， ∴， 则，当点在上时，取得等号， 即当取得最小值时，点在上，此时， ∴， ∴，则， 过点作于点，则， 在上取，连接，则，， ∴，， 过点作， ∵，则 ∴， 过点作，则， ∴，当点与点重合时，取等号， 此时有最小值，最小值为． 【点睛】本题考查解直角三角形，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，垂线段最短等知识点，添加辅助线构造全等三角形及直角三角形是解决问题的关键． 39．(24-25九下·重庆潼南区·二模)点是三角形内一点，连接、，． (1)如图，若、分别平分、，，，求的长； (2)如图，连接，若，且，是的中点，求证：； (3)在（1）的条件下，若点是直线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转至，连接，取的中点，直接写出当取得最小值时，的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【来源】重庆市潼南区2024-2025学年九年级下学期第二次联合测试数学试题 【分析】（1）先求出，由直角三角形的性质可求，的长，由等腰直角三角形的性质可求解； （2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，，可得结论； （3）通过证明，可得，则当时，有最小值，即有最小值，再求出的面积，由相似三角形的性质可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于， ， ， 、分别平分、， ，， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ； （2）证明：如图，过点作，交的延长线于点，作，交于点， ， ，，， 点是中点， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ，， ， 又， 是等边三角形， ， ， ； （3）解：如图，连接并延长交的垂线于点，连接，过点作于， 、分别平分、， 平分， ， ，， ，， 将绕点顺时针旋转至， ，， 是等边三角形， 点是的中点， ， ，， ， ， ， ， 当有最小值时，有最小值， 点在上运动， 当时，有最小值，即有最小值， 此时，，， 是等腰直角三角形， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判断和性质，旋转的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形或相似三角形是解题的关键． 40．(24-25九下·重庆大渡口区·二模)如图，在中，，，点是直线上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接． (1)如图1，若点在边上，且，，求线段的长； (2)如图2，若点在的延长线上，点是的中点，的延长线交的延长线于点，探索线段，，之间的数量关系，并证明； (3)如图3，若点在边上，点是的中点，，连接，将线段绕点旋转得到，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，当取最大值时，直接写出此条件下的面积的最大值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【来源】重庆市大渡口区2024-2025学年九年级下学期第二次适应性检测数学试题 【分析】（1）过点作于点，先证明，得出，再由，得出，得出，再由将绕点顺时针旋转得到，即可求解； （2）连接，过点作于点，由题可得，是等腰直角三角形，可证明，再利用，得出，则，可得，，则，证明，则； （3）利用，，构造的外接圆，连接，，得出，则是定长，是定圆，点的轨迹为上部分，由点到圆上一点的最长距离可知当、、依次共线时，最长， 求出是定值，由将线段绕点旋转得到，得点的轨迹为以为圆心，为半径的，由将绕点逆时针旋转得到，通过全等确定点的轨迹为以为圆心，为半径的，过点作延长线于点，易得当最大时，的面积最大，由圆上一点到直线的最大距离可知当、、依次共线时，最大，此时，连接，，通过证明四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形，得出，得，再由，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，连接，过点作于点， ∵，，将绕点顺时针旋转得到， ∴，是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：； （3）解：∵，， ∴， ∵点是的中点，， ∴， 如图，构造的外接圆，连接，， 则， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是定长，是定圆，点的轨迹为上部分， 由点到圆上一点的最长距离可知当、、依次共线时，最长，此时点位置为如图的点， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴， 当最长时，位置如图， ∵将线段绕点旋转得到， ∴点的轨迹为以为圆心，为半径的， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， 如图，将绕点逆时针旋转得到， ∴，，点是定点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的轨迹为以为圆心，为半径的， 如图，过点作延长线于点， ∵， ∴当最大时，的面积最大， 由圆上一点到定直线的最大距离可知当、、依次共线时，最大，此时如图， 连接，， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴，， ∴， ∴． 41．(24-25九下·重庆复旦中学教育集团·二模)已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点． (1)如图，当点在射线上时，求证：是的中点； (2)如图，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明． (3)如图3，当时，过点作，垂足为点，以为一边构造如图正方形，连接，当时，直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【来源】重庆市复旦中学教育集团2024-2025学年九年级下学期二调模拟数学试题 【分析】（1）连接，由题意得：，进而得出，得到，证明是中点． （2）通过作辅助线构造，再结合得出线段间的数量关系． （3）先求出动点的运动轨迹是的角平分线，再利用正方形的性质和对称，将转化为两点间线段，再根据勾股定理求最小值． 【详解】（1）证明：连接，由题意得： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴点是的中点； （2） 在射线上取点H，使得，取的中点G，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵G是的中点， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：， 在中，，， ， 正方形中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 动点的运动轨迹是的角平分线， 作点关于的对称点，则点一定在上， 连接，交于点， ，即的最小值就是， 过点作垂直于，交的延长线于点， 四边形是矩形， 四边形是正方形， ， ∴，即的最小值是． 42．（重庆市第一中学2025年九年级第二次模拟）已知在中，，点E在线段上，点F在线段上，且E、F均不在线段端点处，连接，点D在线段的延长线上，连接交于点N． (1)如图1，若点N恰为中点，，，求的度数． (2)如图2，在内有一点Q，连接，，，若，且，．猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，延长至G，使，连接，若，在内有一点P，连接，，．当最小时，在线段上截取使得，将点H绕点D旋转，连接，点M为线段的中点，将点M绕点B顺时针旋转得到点，连接，当最大时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【来源】重庆市第一中学2025年九年级第二次模拟考试数学试题（2） 【详解】（1）解：如图，作交于，则， ， ∴， ∵点N恰为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：，证明如下： ， 如图，作交于，作且，连接、， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴、、、四点共圆， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，将绕点顺时针旋转并放大倍，得到，连接，， ， 由旋转的性质可得：，，，， ∴， ∴， ∴当、、、在同一直线上时，的值最小为， 作交的延长线于，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∵当最小时，在线段上截取使得， ∴， ∴点的运动轨迹为以为圆心，为半径的圆上， 取的中点为， ∵点M为线段的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， ∵将点M绕点B顺时针旋转得到点， ∴由旋转的性质可得：，，点在以为圆心，为半径的圆上，则，， 作交的延长线于，交的延长线于，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴当在的延长线时最大，为， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴的面积为． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 几何压轴 题型概览 题型01几何求解问题 题型02圆相关计算（双空题） 题型03几何解答压轴题 ( 题型0 1 )几何求解问题 1．（2025年重庆市南开中学九年级下学期中考二模）如图，在菱形中，O为对角线中点，将绕顶点A逆时针旋转至，使E点恰好落在上，连接．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025年重庆市巴南区市实验集团九年级中考联考二模）如图，在矩形中，E为对角线上一点，连接，过点E作交延长线于F，若，则的值为（   ）． A． B． C． D． 3．(24-25九下·重庆江津实验中学、李中学、白沙中学等五校·)如图，将矩形沿对角线翻折，的对应边交于点F，过点B作交于点H，垂足为G，若，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 4．(24-25九下·重庆第一中学校·第二次模拟)如图，在正方形中，点为边上一点，连接，使，点在上，接，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（2025年重庆市西南大学附属中学九年级中考二诊）如图，在边长为5的正方形中，，连接，交于点H，连接交于点G，连接交于点M，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025年重庆市育才中学校九年级中考二模）如图，在正方形中，E为边上一点，连接，在右侧作，满足，，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（2025年重庆市九龙坡区四川外国语大学附属外国语学校中考二模）如图，在正方形中，点E、F、G分别在、、上，连接、交于点H，连接，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．（重庆巴蜀中学2025年中考二模）如图，正方形，点E在边上，点P在对角线上，且满足，，连接，过P做交于F，则的值为（　　） A． B． C． D． 9．（2025年重庆市渝中区中考二模）如图，四边形中，，，，交的延长线于点，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．（2025年重庆市开州区云枫教育集团中考二模）如图，在正方形中，点E是上一点，点F是延长线上一点，连接，，．点P是的中点，连接，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 11．(24-25九下·重庆潼南区·二模)如图，在矩形中，为对角线，平分交于点F，点E是上一点，连接、，若，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 12．(24-25九下·重庆大渡口区·二模)如图，正方形中，分别取和边的中点，连接相交于点，连接，若，则的度数一定为（    ） A． B． C． D． 13．(24-25九下·重庆复旦中学教育集团·二模)如图，在正方形中，点为上的一点，且，连接，过点作交延长线于点，连接，则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 14．（重庆市第一中学2025年九年级第二次模拟）在等腰中，，点D在上，点E在上且，连接，将沿翻折到的内部，得到，连接．则（   ） A． B． C． D． ( 题型0 2 )圆相关计算（双空题） 15．（2025年重庆市南开中学九年级下学期中考二模）如图，在中，，，点O为中点，以点O为圆心，为半径的交延长线于点E，的中垂线交于点F，交于点G，H，连接，．若，则的长度为 ，的面积为 ． 16．（2025年重庆市巴南区市实验集团九年级中考联考二模）如图，四边形内接于，连结，为的直径，E是的中点．过点E作的切线，交的延长线于点F，且，，，则的长为 ，的半径为 ． 17．(24-25九下·重庆江津实验中学、李中学、白沙中学等五校·)如图，以为直径的与相切于点A，与交于点D，过D作于点H，连接交于点F、交于点G．若，则 ， ． 18．(24-25九下·重庆第一中学校·第二次模拟)如图，⊙是锐角的外接圆，为⊙的切线，连接交于点，交圆于点，点恰好为的中点，连接并延长交于点，连接、．若，，，则 ，的周长为 ． 19．（2025年重庆市西南大学附属中学九年级中考二诊）如图，平行四边形的顶点A、B、D在上，交于点F，连接并延长交AB于点E，将线段沿翻折，点A恰好能落在点B处，连接交于点N，若，，则 ， ． 20．（2025年重庆市育才中学校九年级中考二模）如图，内接于半径为的，于点，延长交于点，为的中点，连接交于点，若，，，则 ， ． 21．（2025年重庆市九龙坡区四川外国语大学附属外国语学校中考二模）如图，是的直径，点C，E为圆上两点，若点C为的中点，连接并延长与交于点F，与的延长线交于点H．若，则 ， ． 22．（重庆巴蜀中学2025年中考二模）如图，的三点A、B、C在上，与交于点E，且直线l与相切于点C．分别连接，延长交于点M，交直线l于点P，满足．若半径．则 ， ． 23．（2025年重庆市渝中区中考二模）如图，在平面直角坐标系中，，，的半径为2．若将点绕点顺时针旋转得到点，则点在 （填“内”或“上”或“外”）；若线段绕点顺时针旋转，其对应线段恰好是的弦，则点的坐标为 ． 24．（2025年重庆市开州区云枫教育集团中考二模）如图，是的切线，B为切点，与交于点C，D是上一点，连接，，，延长至点F，使得，连接，过点B作于点G，，则 ，四边形的面积为 ． 25．(24-25九下·重庆潼南区·二模)如图，是的外接圆，是的直径，AD与相切，且与的延长线交于点D，过点C作分别交，于F，G两点，若，则 ；且，则 ． 26．(24-25九下·重庆大渡口区·二模)如图，是的直径，点在上，过点作于点，点为上一点，连接交于点，，若，，则 ； ．    27．(24-25九下·重庆复旦中学教育集团·二模)如图，已知是的直径，弦于点C，过点F作的切线交的延长线于点D，G为的中点，连接，若，，则的半径是 ，＝ ． 28．（重庆市第一中学2025年九年级第二次模拟）如图，在平行四边形中，为锐角，，点E、F分别是、上的点，连接、交于点M，以为直径的圆O交于点G，且，，则 ；若， ． ( 题型0 3 )几何解答压轴题 29．（2025年重庆市南开中学九年级下学期中考二模）如图，在中，，点为线段上一动点，以为边向左作等边． (1)如图1，当为边中点时，若，，求的周长； (2)若，点在线段上，且满足，线段交线段于点，连接． ①如图2，若，用等式表示线段和之间的数量关系，并证明； ②如图3，连接，，点运动过程中，当为直角三角形时，请直接写出的值． 30．（2025年重庆市巴南区市实验集团九年级中考联考二模）如图，在中，，点D是边上一点，点E是线段上一点． (1)如图1，若，且，求的长； (2)如图2，若，，点E是的中点，连接，点F是线段上一点且，连接．用等式表示线段，之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，若平分，平分，于点F，的面积为，，直接写出的最大值． 31．(24-25九下·重庆江津实验中学、李中学、白沙中学等五校·)如图，在中，点是边上一动点，连接． (1)如图1，点是边上一点，连接，若，平分，．当，时，求线段的长度； (2)如图2，，当且时，将线段绕着点逆时针旋转到，使，连接，过点作于点，点为边中点．连接并延长交的延长线于点，且交于点．若，求证：； (3)如图3，当，时，将线段绕着点顺时针旋转到，是边上一点且，连接、．为直线上一动点，当点、、在同一直线上时，将沿直线翻折到同一平面的，连接、．当最小时，直接写出的面积． 32．(24-25九下·重庆第一中学校·第二次模拟)如图，在中，于点，点在左侧，且，连接交于点． (1)如图1，若，，求的度数（用含的代数式表示）； (2)如图2，过点作的垂线，垂足为点，交于点，若，，请用等式表示线段、、之间的数量关系并证明； (3)如图3，，取的中点，点是线段上的动点，连接、，当度数取得最大值时，过点作于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、、，当取得最大值时，直接写出的值． 33．（2025年重庆市西南大学附属中学九年级中考二诊）在中，，点为边上中点，为直线上一点，连接． (1)如图，若，，求线段的长度； (2)如图，若，点为边上一点，且，连接并延长至点，使，连接．请猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图，若，，点为直线上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，点为的中点，连接，请直接写出当取得最小值时的面积． 34．（2025年重庆市育才中学校九年级中考二模）在中，，，点D为线段上动点，连接，将绕点A顺时针旋转到，连接． (1)如图1，若，且，求的长； (2)如图2，垂直交于点G，用等式表示线段，之间的数量关系，并证明； (3)如图3，点F为中点，连接，将绕点A旋转，点F的对应点为P，点E的对应点为Q，直线与直线交于点T，若，则当取得最小值时，请直接写出点T到直线距离的最大值． 35．（2025年重庆市九龙坡区四川外国语大学附属外国语学校中考二模）如图，，，将线段绕着点A顺时针旋转α，，得到，连接、，点E为线段中点，过点D作交于点H．连接交于点F． (1)如图1，当时，求的度数． (2)如图2，过点C作于点Q，请猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想． (3)如图3，若，点M是直线上一动点，作点M关于点E的对称点N，连接、，对于α的每一个确定值，都有一个对应的最小值，当最小值等于时，请直接写出四边形的面积． 36．（重庆巴蜀中学2025年中考二模）已知，在等边中，点在边上，点在边的延长线上． (1)如图1，连接交于点，若，，求的长度； (2)如图2，点绕点逆时针旋转后的对应点恰好落在的延长线上，在直线下方有一点，连接、，其中交于点，且，，请猜想、、的数量关系并证明； (3)如图3，当时，在边上有一点，在边上有一点，满足，当最小时，将沿翻折得到，点为点的对应点，当最小时，求的值． 37．（2025年重庆市渝中区中考二模）已知，中，，，点在边上，点为直线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接． (1)如图1，点在边上，，与分别相交于点和点，若，求的度数； (2)如图2，点在边的反向延长线上，点与点重合，是的中点，与相交于点，用等式表示与的数量关系，并证明； (3)若，，将沿翻折到所在平面内，得到，点为线段上一动点，点是的中点，连接，．直接写出的最小值． 38．（2025年重庆市开州区云枫教育集团中考二模）在中，，，点在边上，连接． (1)如图1，若，，求； (2)如图2，若，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，点为的中点，连接，请探究并证明线段与之间的关系； (3)如图3，若，，点在边上，连接，，在边上有一点，当取得最小值时，直接写出的最小值． 39．(24-25九下·重庆潼南区·二模)点是三角形内一点，连接、，． (1)如图，若、分别平分、，，，求的长； (2)如图，连接，若，且，是的中点，求证：； (3)在（1）的条件下，若点是直线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转至，连接，取的中点，直接写出当取得最小值时，的面积． 40．(24-25九下·重庆大渡口区·二模)如图，在中，，，点是直线上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接． (1)如图1，若点在边上，且，，求线段的长； (2)如图2，若点在的延长线上，点是的中点，的延长线交的延长线于点，探索线段，，之间的数量关系，并证明； (3)如图3，若点在边上，点是的中点，，连接，将线段绕点旋转得到，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，当取最大值时，直接写出此条件下的面积的最大值． 41．(24-25九下·重庆复旦中学教育集团·二模)已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点． (1)如图，当点在射线上时，求证：是的中点； (2)如图，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明． (3)如图3，当时，过点作，垂足为点，以为一边构造如图正方形，连接，当时，直接写出的最小值． 42．（重庆市第一中学2025年九年级第二次模拟）已知在中，，点E在线段上，点F在线段上，且E、F均不在线段端点处，连接，点D在线段的延长线上，连接交于点N． (1)如图1，若点N恰为中点，，，求的度数． (2)如图2，在内有一点Q，连接，，，若，且，．猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，延长至G，使，连接，若，在内有一点P，连接，，．当最小时，在线段上截取使得，将点H绕点D旋转，连接，点M为线段的中点，将点M绕点B顺时针旋转得到点，连接，当最大时，请直接写出的面积． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$