八年级开学摸底测试卷（一）-【暑假分层作业】2025年七年级数学暑假培优练（苏科版2024）

限时练习：100min 完成时间： 月 日 天气： 八年级开学摸底测试卷（一） 注意事项： 本试卷满分120分，考试时间100分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置。 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 1．中国传统服装历史悠远，下列服装中，是轴对称的是（   ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．若与的乘积中不含的一次项，则的值为（   ） A．4 B．0 C．1 D．2 4．下列选项中，可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 5．下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．若整数是一个10位数，则的所有可能值是（    ） A．11，12，13 B．10，12，14 C．12，13，14 D．13，14，15 7．若关于的不等式组的整数解共有3个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．如图，点是线段上一点，以，为边向两边作正方形和，已知，两正方形的面积和，则图中阴影部分的面积为（   ） A．10 B．20 C．40 D．25 9．中国古代数学著作《九章算术》，中记载了这样一个题目：五只雀、六只燕，共重两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问：每只雀，燕的重量各为多少？设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 10．如图，将长方形纸片按照如图所示的方式折叠两次，第一次将四边形沿折叠得到四边形，交于点，第二次将四边形沿折叠形成四边形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 11．如果，那么的值为 ． 12．若，则 ． 13．深度求索（）是一家专注实现的中国人工智能公司．在研发人工智能模型时，常需处理一些数据，例如权重参数．将数据用科学记数法表示为 ． 14．已知是关于x、y的二元一次方程，则 ． 15．如图，将直角三角形沿方向平移距离得到直角三角形．已知，，，图中阴影部分的面积为 ． 16．数学活动课上，老师准备了若干张三种型号的纸片，其中A种纸片为边长为a的正方形，B种纸片为边长为b的正方形，C种纸片为长为a、宽为b的长方形，现要拼出一个长为宽为 的长方形，则需要A、B、C三种卡片共 张． 17．已知关于，的方程组的解，则的取值范围是 ． 18．将一个三角板如图所示摆放，直线与直线相交于点，，，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当 时，与三角板的边平行． 三、解答题（本大题共8小题，共66分） 19．运算． (1)计算：． (2)计算：． (3)解下列方程组：． (4)解不等式组：． 20．解不等式，把解集在数轴上表示出来，并求出它的正整数解． 21．按要求在如图所示的网格中完成画图（网格图中每个小正方形的边长均为个单位长度）． (1)画出将向上平移个单位长度，得到； (2)画出将绕点旋转，得到； (3)将沿某直线翻折，点的对应点是点，画出翻折后的． 22．某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，建筑区域是长为米，宽为米的长方形，开发商计划将阴影部分进行绿化． (1)求该小区绿化的总面积S； (2)若，绿化成本为50元/平方米，则完成绿化共需要多少钱？ 23．国漫之光《哪吒之魔童闹海》已连续创造多项纪录，成为全球动画电影票房榜首．某商家决定购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品进行销售，若购进“哪吒”纪念品1件和“敖丙”纪念品2件共需要70元；若购进“哪吒”纪念品3件和“敖丙”纪念品1件共需要110元． (1)求购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品每件各需要多少元？ (2)该商场计划用不超过3100元的资金购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品共120件，求最多购进“哪吒”纪念品多少件？ (3)在（2）的条件下，若每件“哪吒”纪念品的售价为40元，每件“敖丙”纪念品的售价为25元，销售完这120件纪念品所获得的利润不低于940元，则该商场有哪些可行的进货方案？ 24．下图是我国南宋数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出的“杨辉三角”，揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律． 根据以上规律，解答下列问题： (1)的展开式中共有______项，其中第三项是______； (2)利用表中规律计算：；（不按照规律计算不得分） (3)设，在等式中当时，可得的值为_______，从而可求得的值为_______． 25．规定两数之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空： ___________， ___________； ___________； （2）小明在研究这种运算时发现一个特征：，并作出了如下的说明： 设，则， ，即， ． 试参照小明的说明过程，解决下列问题： [运用] 计算； [探究] 若令，，，试说明； [综合应用] ①若，，，则，，之间的数量关系为___________； ②计算___________ 26．已知，分别是长方形纸条边，上两点（其中且），如图所示沿，所在直线进行第一次折叠，点，的对应点分别为点，，交于点． (1)若，则的度数__________． (2)如图2，继续沿进行第二次折叠，点，的对应点分别为点，． ①若，则的度数__________． ②若，请求出的度数． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：100min 完成时间： 月 日 天气： 八年级开学摸底测试卷（一） 注意事项： 本试卷满分120分，考试时间100分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置。 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 1．中国传统服装历史悠远，下列服装中，是轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了轴对称图形的定义，直接利用轴对称图形的定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进而判断得出答案． 【详解】解：A、观察衣服的领口可知，不是轴对称图形，故不合题意； B、是轴对称图形，故符合题意； C、观察衣服的领口可知，不是轴对称图形，故不合题意； D、观察衣服的领口可知，不是轴对称图形，故不合题意； 故选：B． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方计算，合并同类项，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 3．若与的乘积中不含的一次项，则的值为（   ） A．4 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 直接利用多项式乘法去括号，由不含一次项得出一次项系数为0，进而得出答案． 【详解】解： ， 与的乘积中不含的一次项， ， ， 故选D． 4．下列选项中，可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反例，理解反例的概念是解题的关键． 根据反例就是要符合命题的题设，但不符合命题的结论的例子逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴a和b必为一正、一负，故A、D两个选项，不符合题意； B．符合，但与结论相反，即该选项是命题的反例，符合题意； C．符合，但与结论相符，即该选项不是命题的反例，不符合题意． 故选：B． 5．下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质．要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变． 根据不等式的性质进行判断． 【详解】解：A、若，则，原变形正确，故此选项不符合题意； B、若，则，原变形正确，故此选项不符合题意； C、若，则，这里必须满足，原变形错误，故此选项符合题意； D、若，则，原变形正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 6．若整数是一个10位数，则的所有可能值是（    ） A．11，12，13 B．10，12，14 C．12，13，14 D．13，14，15 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂乘法法则、积的乘方法则以及对整数位数的理解．解题关键是熟练掌握同底数幂乘法法则． 首先利用同底数幂乘法法则将变形为 ，因为是位数．根据是10位数，得 乘一个数后变为10位数，这个数的范围是 ．最后根据的取值范围，进而得出的可能值． 【详解】， 是一个位数， 整数是一个10位数， ， 可能是，，， 可能是12，13，14． 故选：C． 7．若关于的不等式组的整数解共有3个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组只有3个整数解求解即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于的不等式组的整数解共有3个， ∴， 故选：B． 8．如图，点是线段上一点，以，为边向两边作正方形和，已知，两正方形的面积和，则图中阴影部分的面积为（   ） A．10 B．20 C．40 D．25 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，掌握完全平方公式的结构特征是解答本题的关键．设，，可得，，然后根据完全平方公式求出即可． 【详解】解：设，， ， ， 又， ， 由完全平方公式可得，， ， ， ， 即：阴影部分的面积为． 故选：A． 9．中国古代数学著作《九章算术》，中记载了这样一个题目：五只雀、六只燕，共重两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问：每只雀，燕的重量各为多少？设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，熟练根据题意正确列出等式是解题的关键．设雀每只两，燕每只两，分别根据“五只雀、六只燕，共重两”和“雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重”，进行列式即可 ． 【详解】解：设雀每只两，燕每只两， 由“五只雀、六只燕，共重两”，得：， 由“雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重” ，得：， 则可列出方程组为， 故选：B． 10．如图，将长方形纸片按照如图所示的方式折叠两次，第一次将四边形沿折叠得到四边形，交于点，第二次将四边形沿折叠形成四边形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，设，则，所以，再根据折叠的性质得到，则，接着利用折叠的性质得到，然后根据平角的定义得到，解方程可得到的度数，列出正确的方程是解题的关键． 【详解】解：， 设，则， ， 四边形沿折叠形成四边形， ， ， 四边形沿折叠得到四边形， ， ， ， 解得， 即的度数为． 故选：A． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 11．如果，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂除法的逆运用，根据同底数幂除法的逆运算直接计算即可，掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 12．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的计算，根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 13．深度求索（）是一家专注实现的中国人工智能公司．在研发人工智能模型时，常需处理一些数据，例如权重参数．将数据用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的个数所决定．确定a与n的值是解题的关键． 这里的． 【详解】解：． 故答案为：． 14．已知是关于x、y的二元一次方程，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，能熟记二元一次方程的定义的内容是解此题的关键． 根据二元一次方程的定义得出，，求出，，再代入求出即可． 【详解】解：∵是关于x、y的二元一次方程， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：1． 15．如图，将直角三角形沿方向平移距离得到直角三角形．已知，，，图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】利用平移的性质，可知和面积相等，通过面积的等量代换，将阴影部分面积转化为梯形的面积来计算，需要先确定梯形的上底、下底和高．本题主要考查了平移的性质以及梯形面积公式的应用，熟练掌握平移前后图形面积相等，以及准确识别图形进行面积等量代换是解题的关键． 【详解】解：∵三角形沿方向平移距离得到三角形， ∴，且 ． 那么阴影梯形 ． 又∵， ∴ ． 梯形的上底，下底，高 ． ∴梯形，即阴影部分面积为 ， 故答案为：． 16．数学活动课上，老师准备了若干张三种型号的纸片，其中A种纸片为边长为a的正方形，B种纸片为边长为b的正方形，C种纸片为长为a、宽为b的长方形，现要拼出一个长为宽为 的长方形，则需要A、B、C三种卡片共 张． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果即可得到答案． 【详解】解： ， ∵A种纸片为边长为a的正方形，B种纸片为边长为b的正方形，C种纸片为长为a、宽为b的长方形， ∴要拼出一个长为宽为 的长方形需要A卡片2张，B卡片9张，C卡片9张， ∴一共需要张卡片， 故答案为：． 17．已知关于，的方程组的解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式等知识点．利用加减消元法求得，的值，再根据列出关于m的不等式，求解即可． 【详解】解：， ，得③， ，得， 将代入③，得， 解得， ∵， ∴， ∴． 18．将一个三角板如图所示摆放，直线与直线相交于点，，，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当 时，与三角板的边平行． 【答案】5秒或秒或秒 【分析】分三种情况讨论：当时，当时（转到）时，当（转到）时，画图计算即可． 【详解】解：当时，如图： 延长交于Q． ∴， ∵， ∴， ∴，即旋转角度是， ∴（秒）． 当（转到）时，如图： ∴， ∴， ∴，即旋转角度是， ∴（秒）． 当（转到）时，如图， ∴， ∴，即旋转角度是， ∴（秒）． 故答案为：5秒或秒或秒． 【点睛】本题考查了根据平行线的性质求角的度数，根据旋转的性质求解，分类讨论思想的运用，根据题意画出所有可能情况是解题关键． 三、解答题（本大题共8小题，共66分） 19．运算． (1)计算：． (2)计算：． (3)解下列方程组：． (4)解不等式组：． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先计算同底数幂相乘，积的乘方，幂的乘方，同底数幂相除，再合并同类项； （2）先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算； （3）利用加减消元法求解； （4）先分别求出两个不等式的解，再求出不等式组的解集． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ①+②，得，解得：， 将代入①，得，解得：， 所以方程组的解为； （4） 解不等式，得， 解不等式，得， 所以不等式组的解集为． 【点睛】本题考查了同底数幂相乘，积的乘方，幂的乘方，同底数幂相除，平方差公式，完全平方公式，解一元一次不等式组，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用这些知识求解． 20．解不等式，把解集在数轴上表示出来，并求出它的正整数解． 【答案】，见解析，正整数解为，2，3，4，5 【分析】本题考查了解一元一次不等式，不等式的正整数解，在数轴上表示不等式的解集的应用，解此题的关键是能够根据不等式的性质求出不等式的解集．首先解这个不等式，然后在数轴上表示出解集，最后找出正整数解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 将解集在数轴上表示如图： ∴原不等式的正整数解为，2，3，4，5 21．按要求在如图所示的网格中完成画图（网格图中每个小正方形的边长均为个单位长度）． (1)画出将向上平移个单位长度，得到； (2)画出将绕点旋转，得到； (3)将沿某直线翻折，点的对应点是点，画出翻折后的． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】本题考查了基本作图，根据平移的性质，轴对称的性质，旋转的性质正确画出图形是解题的关键． （）利用平移的性质作图即可； （）利用旋转的性质作图即可； （）利用轴对称的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，即为所求． 22．某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，建筑区域是长为米，宽为米的长方形，开发商计划将阴影部分进行绿化． (1)求该小区绿化的总面积S； (2)若，绿化成本为50元/平方米，则完成绿化共需要多少钱？ 【答案】(1)平方米； (2)29000元 【分析】本题考查整式的混合运算的应用，理解题意，正确列出代数式是解答的关键． （1）根据大长方形的面积减去小长方形的面积即为绿化面积列代数式即可； （2）将代入（1）中代数式求得绿化面积，再乘以每平方米成本即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，该小区绿化的总面积 平方米； （2）解：当时， （平方米）， ∴（元）， ∴完成绿化共需要29000元． 23．国漫之光《哪吒之魔童闹海》已连续创造多项纪录，成为全球动画电影票房榜首．某商家决定购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品进行销售，若购进“哪吒”纪念品1件和“敖丙”纪念品2件共需要70元；若购进“哪吒”纪念品3件和“敖丙”纪念品1件共需要110元． (1)求购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品每件各需要多少元？ (2)该商场计划用不超过3100元的资金购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品共120件，求最多购进“哪吒”纪念品多少件？ (3)在（2）的条件下，若每件“哪吒”纪念品的售价为40元，每件“敖丙”纪念品的售价为25元，销售完这120件纪念品所获得的利润不低于940元，则该商场有哪些可行的进货方案？ 【答案】(1)购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品每件各需要、元； (2)最多购进“哪吒”纪念品件； (3)该商场有三种的进货方案：①购进“哪吒”纪念品件，则购进“敖丙”纪念品件；②购进“哪吒”纪念品件，则购进“敖丙”纪念品件；③购进“哪吒”纪念品件，则购进“敖丙”纪念品件． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意正确列方程组和不等式是解题关键． （1）设购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品每件各需要、元，根据“购进“哪吒”纪念品1件和“敖丙”纪念品2件共需要70元；若购进“哪吒”纪念品3件和“敖丙”纪念品1件共需要110元”列二元一次方程组求解即可； （2）设购进“哪吒”纪念品件，根据“用不超过3100元的资金购进纪念品”列不等式求解即可； （3）根据题意列不等式，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：设购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品每件各需要、元， 则，解得：， 答：购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品每件各需要、元； （2）解：设购进“哪吒”纪念品件，则购进“敖丙”纪念品件， 则， 解得：， 是正整数， 最多购进“哪吒”纪念品件； （3）解：根据题意得：， 解得：， 由（2）可知，， 的取值为68、69、70， 则该商场有三种的进货方案：①购进“哪吒”纪念品件，则购进“敖丙”纪念品件；②购进“哪吒”纪念品件，则购进“敖丙”纪念品件；③购进“哪吒”纪念品件，则购进“敖丙”纪念品件． 24．下图是我国南宋数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出的“杨辉三角”，揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律． 根据以上规律，解答下列问题： (1)的展开式中共有______项，其中第三项是______； (2)利用表中规律计算：；（不按照规律计算不得分） (3)设，在等式中当时，可得的值为_______，从而可求得的值为_______． 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】本题考查了整式的混合运算以及规律、有理数的乘方，理解题意，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据题意得出，由此即可得解； （2）将所求式子变形为，结合规律计算即可得解； （3）当时，，由此即可求出的值，当时，，由此即可得出的值． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴的展开式中共有项，其中第三项是； （2）解： ； （3）解：∵， ∴当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴． 25．规定两数之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空： ___________， ___________； ___________； （2）小明在研究这种运算时发现一个特征：，并作出了如下的说明： 设，则， ，即， ． 试参照小明的说明过程，解决下列问题： [运用] 计算； [探究] 若令，，，试说明； [综合应用] ①若，，，则，，之间的数量关系为___________； ②计算___________ 【答案】（1），，；（2）[运用]：；[探究]：见解析；[综合应用]：①；② 【分析】本题考查了新定义，幂的乘方、同底数幂相乘，理解新定义，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据运算的定义计算即可得解； （2）[运用]：根据例题，将各数写成幂的形式并计算即可得解； [探究]：根据运算的定义及同底数幂的乘法运算法则计算即可得解； [综合应用]：①根据运算的定义及同底数幂的乘法运算法则计算即可得解；②根据运算的定义及同底数幂的乘法运算法则计算即可得解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）[运用]： ； [探究]：∵令，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； [综合应用]：①∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； ②令，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 26．已知，分别是长方形纸条边，上两点（其中且），如图所示沿，所在直线进行第一次折叠，点，的对应点分别为点，，交于点． (1)若，则的度数__________． (2)如图2，继续沿进行第二次折叠，点，的对应点分别为点，． ①若，则的度数__________． ②若，请求出的度数． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】本题考查平行线的性质（两直线平行，内错角相等）、折叠的性质（折叠前后对应角相等）、邻补角和为以及平角为 ．解题关键在于准确运用这些性质，通过角之间的等量关系，结合设未知数建立方程等方法来求解角度． （1）根据平行线的性质得出，根据折叠得出，根据平行线的性质得出，最后求出结果即可． （2）①根据平行线的性质得出，，根据折叠得出，最后求出结果即可； ②设，则，根据平行线的性质得出．根据折叠得出，，根据平行线的性质得出，，列出方程，求出x的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴折叠可知， ∵， ∴， ∴． （2）解：①∵， ∴，， 根据折叠可知， ∴． ②设，则， ∵， ∴． ∴折叠可知，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 解得． ∴． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$