九年级开学摸底测试卷（一）-【暑假分层作业】2025年八年级数学暑假培优练（苏科版）

限时练习：100min 完成时间： 月 日 天气： 九年级开学摸底测试卷（一） 注意事项： 本试卷满分120分，考试时间100分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置。 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 1．中国的传统节日春节被正式列入世界非物质文化遗产！剪窗花、贴窗花是中国人过年的传统习俗之一．下面剪纸中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．下列调查中，适合用普查方法的是（   ） A．学校在做校服前对八年级学生的衣服尺寸大小的调查 B．环保部门对长江水域的水污染情况的调查 C．质检部门对各厂家生产的电池使用寿命的调查 D．军工厂对该厂生产的某种型号的炮弹爆炸范围的调查 3．有两个事件，事件A：在汽步枪比赛中，某运动员打出10环；事件：一个不透明的袋中装有除颜色外完全相同的6个小球（4个黑球，2个白球），从中随机摸出的3个球中有黑球．下列判断正确的是（    ） A．事件A是随机事件，事件是必然事件 B．事件A、事件都是必然事件 C．事件A是必然事件，事件是随机事件 D．事件A、事件都是随机事件 4．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 5．将分式中的、同时扩大为原来的2倍，分式的值将（　　） A．扩大2倍 B．不变 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 6．如图，在平行四边形中，，点是的中点，连接并延长交的延长线于点．若平分，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 7．若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．若关于的分式方程的解为正数，则满足条件的正整数的值为（    ） A．1，2，3 B．1，2 C．1，3，4 D．1，3 9．小明同学手中有一张矩形纸片，，，他进行了如下操作： 第一步，如图① ，将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平． 第二步，如图② ，再一次折叠纸片，把沿折叠得到，交折痕于点E，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 10．如图，菱形在平面直角坐标系的第一象限，且边轴，点的横坐标为2，若该菱形的面积为20，周长为20，反比例函数的图象经过两点，则的值是（   ） A．12 B．10 C．9 D．8 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 11．如果有意义，那么的取值范围是 ． 12．若分式的值为零，则 ． 13．从一副扑克牌中任意抽取1张，①这张牌是“Q”；②这张牌是“大王”；③这张牌是“红心”．将这些事件的序号按照发生的可能性从小到大的顺序排列： ． 14．如图，在四边形中中，，点E、F、G分别是、、的中点，连接、．若，则 ． 15．已知反比例函数（k为常数，且）与一次函数的图象有一个交点为，则的值为 ． 16．如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点B落在点E处，若，则的度数为 ． 17．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数与相交于点D，与相交于点E，若，且的面积是12，则k的值为 ． 18．如图，在边长为6的正方形中，E是的中点，P、Q分别是边、上的动点，且交于F，则 ，连接和，则的最小值为 ． 三、解答题（本大题共8小题，共66分） 19．计算： (1) (2) 20．先化简，再求值：，其中． 21．某学校开展了以“红色文化”为主题的研学活动，为了解学生参与情况，随机抽取部分学生对研学活动时长（用表示，单位：）进行调查．经过整理，将数据分成四组（组：；组：；组：；组：，并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． 请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)本次调查中，一共调查了_____名学生； (2)补全条形统计图； (3)扇形统计图中，组对应的扇形圆心角的度数是_____； (4)若该学校共有学生名，请估计该校研学活动时长为的学生人数． 22．如图，矩形中，点O是对角线的中点，过点O作的垂线分别交，于点E，F． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 23．2025年蛇年春晚吉祥物形象“巳升升”已正式发布亮相，因其憨态可掬的眉眼与满满的中式美好寓意，“巳升升”受到广大群众的喜爱．某厂家生产A，B两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的批发单价比B款吉祥物的批发单价高20元．若花800元批发购买A款吉祥物的数量与花600元批发购买B款吉祥物的数量相同． (1)求A，B两款“巳升升”吉祥物的批发单价分别是多少元？ (2)某网店从该厂家处批发购进了A，B两款型号的“巳升升”吉祥物共60个，A款吉祥物的数量不超过B款吉祥物数量的一半，B款吉祥物售价为80元/个，A款吉祥物的售价比B款吉祥物的售价高．若购进的这两种型号吉祥物全部售出，且要使得该网店所获利润最多，则该网店购进A款吉祥物多少个？最大利润是多少？ 24．如图，一次函数与x轴交于点A，与反比例函数交于两点． (1)求m，n， k的值； (2)连接，求的面积； (3)反比例函数上有一点M，使，直接写出所有符合条件的M坐标M ． 25．阅读下面内容： 我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现： 当，时，∵； ∴，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为 ； (2)当时，求当x取何值， 有最小值，最小值是多少？ (3)如图，四边形的对角线，相交于点O，、的面积分别为4和9，求四边形的面积的最小值． 26．【问题情境】在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动，在平行四边形纸片中，为边上任意一点，将△沿折叠，点的对应点为． 【分析探究】 （1）如图1，若，当点恰好落在边上时，的形状为______． 【问题解决】 （2）如图2，当，为边的三等分点时，连接并延长，交边于点．试判断线段与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当，时，连接并延长，交边于点E．若的面积为18，，请直接写出线段的长． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：100min 完成时间： 月 日 天气： 九年级开学摸底测试卷（一） 注意事项： 本试卷满分120分，考试时间100分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置。 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 1．中国的传统节日春节被正式列入世界非物质文化遗产！剪窗花、贴窗花是中国人过年的传统习俗之一．下面剪纸中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，理解定义，找准图形中的对称轴或对称中心是解答的关键．轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选不项符合题意； D、图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意， 故选：D． 2．下列调查中，适合用普查方法的是（   ） A．学校在做校服前对八年级学生的衣服尺寸大小的调查 B．环保部门对长江水域的水污染情况的调查 C．质检部门对各厂家生产的电池使用寿命的调查 D．军工厂对该厂生产的某种型号的炮弹爆炸范围的调查 【答案】A 【分析】本题考查调查方式的选择，根据范围窄或者具有特殊意义的用普查，范围广或者具有破坏性的，用抽样调查，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、学校在做校服前对八年级学生的衣服尺寸大小的调查，应采用普查，符合题意； B、环保部门对长江水域的水污染情况的调查，范围广，不易调查，应采用抽样调查，不符合题意； C、质检部门对各厂家生产的电池使用寿命的调查，具有破坏性，应采用抽样调查，不符合题意； D、军工厂对该厂生产的某种型号的炮弹爆炸范围的调查，具有破坏性，应采用抽样调查，不符合题意； 故选：A． 3．有两个事件，事件A：在汽步枪比赛中，某运动员打出10环；事件：一个不透明的袋中装有除颜色外完全相同的6个小球（4个黑球，2个白球），从中随机摸出的3个球中有黑球．下列判断正确的是（    ） A．事件A是随机事件，事件是必然事件 B．事件A、事件都是必然事件 C．事件A是必然事件，事件是随机事件 D．事件A、事件都是随机事件 【答案】A 【分析】本题主要考查了随机事件、必然事件的定义等只是点，正确掌握相关定义是解题关键． 根据随机事件、必然事件的定义逐个判断即可． 【详解】解：事件A：在汽步枪比赛中，某运动员打出10环是随机事件；事件：一个不透明的袋中装有除颜色外完全相同的6个小球（4个黑球，2个白球），从中随机摸出的3个球中有黑球是必然事件．即A选项符合题意． 故选A． 4．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了最简二次根式的定义，被开方数中不含分母，不含能开得尽方的因数或因式即为最简二次根式，根据最简二次根式的定义依次判断即可． 【详解】解：A、不是最简二次根式，故不符合题意； B、，不是最简二次根式，故不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，故不符合题意； 故选：C． 5．将分式中的、同时扩大为原来的2倍，分式的值将（　　） A．扩大2倍 B．不变 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【答案】C 【分析】此题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质及其应用，根据分式的基本性质求解即可． 【详解】解： ∴分式的值缩小为原来的 故选：C． 6．如图，在平行四边形中，，点是的中点，连接并延长交的延长线于点．若平分，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，平行线的性质及等角对等边，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出， ，确定，，再由角平分线及各角之间的关系得出，利用等角对等边即可求解． 【详解】解：∵点是的中点，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 7．若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，先确定图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小再根据性质判定大小即可． 【详解】解：∵反比例函数， ∴反比例函数图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小． ∵， ∴点A在第三象限， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：C． 8．若关于的分式方程的解为正数，则满足条件的正整数的值为（    ） A．1，2，3 B．1，2 C．1，3，4 D．1，3 【答案】D 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数的范围，求不等式组的整数解，先求出分式方程的解，根据方程的解为正数，且分式有意义，得到关于的不等式组，进行求解即可． 【详解】解：解方程，得：， ∵方程的解为正数，且， ∴，解得：且， ∴满足条件的正整数的值为1，3； 故选D． 9．小明同学手中有一张矩形纸片，，，他进行了如下操作： 第一步，如图① ，将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平． 第二步，如图② ，再一次折叠纸片，把沿折叠得到，交折痕于点E，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，由折叠可得垂直平分，四边形为矩形，得出，，由折叠的性质结合平行线的性质可得，从而得出，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕， ∴点与点关于直线对称， ∴垂直平分， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵把沿折叠得到，交折痕于点E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即线段的长为， 故选：C． 10．如图，菱形在平面直角坐标系的第一象限，且边轴，点的横坐标为2，若该菱形的面积为20，周长为20，反比例函数的图象经过两点，则的值是（   ） A．12 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】此题考查了菱形的性质、反比例函数的图象和性质等知识. 过点A作交的延长线于点G，的延长线交轴于点H，求出，，根据即可求出答案. 【详解】解：过点A作交的延长线于点G，的延长线交轴于点H， ∵菱形的面积为20，周长为20， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∵点的横坐标为2，边轴， ∴， ∴， ∴， 解得， 故选：B 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 11．如果有意义，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件及分式有意义的条件可得，进而求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 12．若分式的值为零，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式值为0的条件：当分母不为0且分子值为0时，分式值为0． 根据分式值为0的条件求解即可． 【详解】解：分式的值为零，则且， ， ， 故答案为：． 13．从一副扑克牌中任意抽取1张，①这张牌是“Q”；②这张牌是“大王”；③这张牌是“红心”．将这些事件的序号按照发生的可能性从小到大的顺序排列： ． 【答案】②①③ 【分析】此题主要考查了随机事件发生的可能性的大小问题，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出一副扑克牌中含“A”、“红桃”、“大王”、“红色的牌”的张数各是多少． 首先分别求出一副扑克牌中含“A”、“红桃”、“大王”、“红色的牌”的张数各是多少，然后根据每张牌被抽到的机会相等，只要比较出哪个事件的可能结果最多，即可判断出这些事件发生的可能性的大小，并将这些事件按发生的可能性从小到大顺序排列即可． 【详解】解：一副扑克牌中含“Q”4张，“红心”13张，“大王”1张， ∵， ∴将这些事件按发生的可能性从小到大顺序排列：②①③． 故答案为：②①③． 14．如图，在四边形中中，，点E、F、G分别是、、的中点，连接、．若，则 ． 【答案】7 【分析】此题主要考查三角形的中位线，直角三角形斜边上的中线性质，熟知相关性质是正确解答此题的关键． 直接利用三角形中位线与直角三角形斜边上的中线性质解答即可． 【详解】证明：点E、F分别是、的中点， 是的中位线， ， ， ， 是的中点，， ． 故答案为：7． 15．已知反比例函数（k为常数，且）与一次函数的图象有一个交点为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合（一次函数与反比例函数的交点问题），求反比例函数解析式等知识点，熟练掌握一次函数图象及反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 由一次函数的图象过点可得，进而可得，于是可得该交点坐标为，由反比例函数（k为常数，且）的图象过点可得，由此即可求出的值． 【详解】解：一次函数的图象过点， ， ， ， 反比例函数（k为常数，且）的图象过点， ， ， 故答案为：． 16．如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点B落在点E处，若，则的度数为 ． 【答案】63 【分析】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，，根据平行线的性质可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，然后根据三角形的外角性质可得，根据角的和差可得，由此即可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：63． 17．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数与相交于点D，与相交于点E，若，且的面积是12，则k的值为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了反比例函数的的意义，设点的坐标为，由可得，从而可得，根据，即可得到，从而即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， 设点的坐标为， ， ， ∵点在反比例函数的图象上， ， ， ， ， ， 故答案为：5． 18．如图，在边长为6的正方形中，E是的中点，P、Q分别是边、上的动点，且交于F，则 ，连接和，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点作于点，在正方形中，得出四边形是矩形，即可得，，根据，得出，证明，得出，根据勾股定理即可求出；将正方形沿翻折，得到正方形，在上取点，使，连接，则，过点作交于点，则四边形为平行四边形，则，得到，进而推出当，三点共线时，的值最小，在中利用勾股定理求出的长，即可得出结果． 【详解】解：如图，过点作于点， 在正方形中，， ∴四边形是矩形， ， ， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴； 故答案为：； 将正方形沿翻折，得到正方形，在上取点，使，连接，则，过点作交于点， 则四边形为平行四边形， 则， ， ∴当三点共线时，的值最小， ∵， ∴， ， ， ， ， ， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的性质和判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，翻折的性质，本题的综合性强，难度大，属于压轴题．熟练掌握相关性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共66分） 19．计算： (1) (2) 【答案】(1)； (2)10 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先化简二次根式，再去括号，最后合并同类项即可； （2）先根据完全平方公式和二次根式的乘法计算，再去括号，最后合并同类项即可． 【详解】（1） ； （2） ， 20．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，完全平方公式以及平方差公式的运用，熟练掌握分式的运算法则是关键．本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 21．某学校开展了以“红色文化”为主题的研学活动，为了解学生参与情况，随机抽取部分学生对研学活动时长（用表示，单位：）进行调查．经过整理，将数据分成四组（组：；组：；组：；组：，并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． 请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)本次调查中，一共调查了_____名学生； (2)补全条形统计图； (3)扇形统计图中，组对应的扇形圆心角的度数是_____； (4)若该学校共有学生名，请估计该校研学活动时长为的学生人数． 【答案】(1)； (2)补全统计图见解析； (3)； (4)估计该校研学活动时长为的学生人数有名． 【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图，圆心角，用样本估计总体，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （）用“”组的人数除以所占比例即可得出答案； （）先求出“”组的人数，然后利用总人数减去，，组人数，即可补全条形统计图； （）用乘以“”所占的比例即可； （）学校总人数乘以组人数所占的比即可得出答案． 【详解】（1）解：本次调查学生总数：（名）， 故答案为：； （2）解：组：（名），组：（名）， 补全统计图如图所示， （3）解：组对应扇形的圆心角度数为， 故答案为：； （4）解：估计该校研学活动时长为的学生人数为：（名）， 答：估计该校研学活动时长为的学生人数有名． 22．如图，矩形中，点O是对角线的中点，过点O作的垂线分别交，于点E，F． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由垂直平分线的性质得到，，证明，得到，则，即可得出结论； （2）根据勾股定理求出，设，则，再根据勾股定理求出，由菱形的性质得到，，，求出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵点O是对角线的中点，， ∴垂直平分， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 在中，， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴． 23．2025年蛇年春晚吉祥物形象“巳升升”已正式发布亮相，因其憨态可掬的眉眼与满满的中式美好寓意，“巳升升”受到广大群众的喜爱．某厂家生产A，B两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的批发单价比B款吉祥物的批发单价高20元．若花800元批发购买A款吉祥物的数量与花600元批发购买B款吉祥物的数量相同． (1)求A，B两款“巳升升”吉祥物的批发单价分别是多少元？ (2)某网店从该厂家处批发购进了A，B两款型号的“巳升升”吉祥物共60个，A款吉祥物的数量不超过B款吉祥物数量的一半，B款吉祥物售价为80元/个，A款吉祥物的售价比B款吉祥物的售价高．若购进的这两种型号吉祥物全部售出，且要使得该网店所获利润最多，则该网店购进A款吉祥物多少个？最大利润是多少？ 【答案】(1)A款“巳升升”吉祥物的批发单价为元，B款“巳升升”吉祥物的批发单价为元 (2)购进A款“巳升升”吉祥物20个时，获得最大利润，为1280元 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程，不等式和函数关系式是解题的关键． （1）设A款“巳升升”吉祥物的批发单价为元，则B款“巳升升”吉祥物的批发单价为元，根据花800元批发购买A款吉祥物的数量与花600元批发购买B款吉祥物的数量相同建立方程求解即可； （2）先求出A的售价，再设购进A款“巳升升”个，则购进B款“巳升升”个，根据A款吉祥物的数量不超过B款吉祥物数量的一半建立不等式求出m的取值范围，再分别求出A，B两款吉祥物的利润，进而得到总利润与m之间的一次函数关系式，再利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设A款“巳升升”吉祥物的批发单价为元，则B款“巳升升”吉祥物的批发单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：A款“巳升升”吉祥物的批发单价为元，B款“巳升升”吉祥物的批发单价为元； （2）解：由题意得，A款售价为元/个， 设购进A款“巳升升”个，则购进B款“巳升升”个， ∵A款吉祥物的数量不超过B款吉祥物数量的一半， ∴， ， 设利润为W元， ∴ ， ∵， W随着增大而增大，当时，W有最大值，最大值为为． 答：购进A款“巳升升”吉祥物20个时，获得最大利润，最大利润为1280元． 24．如图，一次函数与x轴交于点A，与反比例函数交于两点． (1)求m，n， k的值； (2)连接，求的面积； (3)反比例函数上有一点M，使，直接写出所有符合条件的M坐标M ． 【答案】(1)，， (2) (3)或 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的图象的性质以及一次函数的性质，利用数形结合解决此类问题，是非常有效的方法． （1）把两点的坐标代入一次函数的解析式即可求出、的值，再把的坐标代入反比例函数的解析式即可求出的值； （2）求得的坐标，然后根据求得即可； （3）设，根据，求解即可． 【详解】（1）解：把两点的坐标代入， 得，， 则， 把代入，得； （2）解：∴反比例函数的表达式为， 一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点D， 令，则，令，则， ， ， ． （3）解：设， ∴， 解得：或， ∴或． 25．阅读下面内容： 我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现： 当，时，∵； ∴，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为 ； (2)当时，求当x取何值， 有最小值，最小值是多少？ (3)如图，四边形的对角线，相交于点O，、的面积分别为4和9，求四边形的面积的最小值． 【答案】(1) (2)当时，有最小值，为4 (3)四边形面积的最小值为25 【分析】本题考查了完全平方公式在二次根式、分式及四边形面积计算中的应用与拓展，读懂阅读材料中的方法并正确运用是解题的关键． （1）当时，直接根据公式计算即可； （2）将原式化为：，再利用公式计算的形式，计算即可； （3）设，根据等高三角形的性质得出，结合图形确定，代入计算，利用题中性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴的最小值为2； （2）解：∵， ∴， 而， 当时， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去） 即时，等号成立， ∴， ∴当时，有最小值，为4． （3）解：设， ∵与同高，与同高， ∴， 由题知，， ∴， ∴， ∵ ， ∵， ∴， ∴四边形面积的最小值为25． 26．【问题情境】在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动，在平行四边形纸片中，为边上任意一点，将△沿折叠，点的对应点为． 【分析探究】 （1）如图1，若，当点恰好落在边上时，的形状为______． 【问题解决】 （2）如图2，当，为边的三等分点时，连接并延长，交边于点．试判断线段与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当，时，连接并延长，交边于点E．若的面积为18，，请直接写出线段的长． 【答案】（1）等边三角形；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查平行四边形的判定及性质，菱形的判定，翻折的性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键． （1）利用平行四边形的性质及折叠的性质可得， ，再证明四边形是菱形，可知，即可求解； （2）利用四边形是平行四边形，可得，，再由，为边的三等分点，可得，由折叠可知：，，则，可得，再由三角形外角性质可得，则，可得，可证明四边形是平行四边形，则有，再证明可得结论； （3）延长交于，过点作，先求得，由折叠可得，，得到，则为等腰直角三角形，从而得出，则，再由四边形是平行四边形，可得，得到，，即，得出，再由的面积为18，，即，求出，再求解可得结果． 【详解】解：（1）四边形是平行四边形， ， ，， 由折叠可知：，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 是等边三角形， 故答案为：等边三角形； （2）；理由如下： 四边形是平行四边形， ，， ，为边的三等分点， ， 由折叠可知：，， 则， ， 由三角形外角性质可知：， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ； （3）如图，延长交于，过点作， 的面积为18，， ， ， 设，则， ， ， （负值已舍去）， ， ，， ， ， ， 由折叠可知：，， ，则为等腰直角三角形， ， 则， 四边形是平行四边形， ， ，，即， ， 的面积为18，，即， ， 则， ． 故线段的长为． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$