高二期末复习：数列与概率融合问题专题训练-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

高二期末复习专题：数列与概率融合问题 概率中含的问题基本是通过概率知识建立关于n的关系式，进而转化为数列前n项和、数列的递推关系、求数列的通项的数列问题。难点在于利用概率知识建立与有关的关系式.接下来通过例题学习与巩固训练突破这个专题，加深数列与概率融合的理解. 【一】例题学习 一、利用全概率公式建立递推关系 例1：（教材课后习题）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，求n次传球后球在甲手中的概率. 【对应训练】甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两人中的任何一人．设n次传球后球在乙手中的概率为； (1)求； (2)求； 例2：（2023新高考卷1）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)求第次投篮的人是甲的概率； (3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求． 【对应训练】甲、乙两人玩一种游戏，游戏规则如下：放置一张纸片在地面指定位置，其中一人在固定位置投篮，若篮球被篮板反弹后击中纸片，则本次游戏成功，此人继续投篮，否则游戏失败，换为对方投篮．已知第一次投篮的人是甲、乙的概率分别为和，甲、乙两人每次游戏成功的概率分别为和． (1)求第2次投篮的人是甲的概率； (2)记第次投篮的人是甲的概率为， ①用表示； ②求． 二、利用事件的独立性建立关于n的关系式 例3：为庆祝祖国周年华诞，某商场决定在国庆期间举行抽奖活动．盒中装有个除颜色外均相同的小球，其中个是红球，个是黄球．每位顾客均有一次抽奖机会，抽奖时从盒中随机取出球，若取出的是红球，则可领取“特等奖”，该小球不再放回；若取出的是黄球，则可领取“参与奖”，并将该球放回盒中． (1)在第2位顾客中“参与奖”的条件下，第1位顾客中“特等奖”的概率； (2)记为第个顾客参与后后来参与的顾客不再有机会中“特等奖”的概率，求数列的通项公式； (3)设事件为第个顾客参与时获得最后一个“特等奖”，要使发生概率最大，求的值． 【对应训练】某大型超市为回馈广大顾客，开展消费抽奖活动，每消费满500元可参与一次抽奖（一个小盒里放入6个除颜色外其他都相同的小球，其中4个黑球和2个红球），顾客可自由选择抽奖方式．一次抽奖规则如下： 方案一：顾客一次性从中随机抽取2个小球． 方案二：顾客从中随机抽取1个小球，若取到红球，则将该红球放回盒中并再往盒中加入1个红球；若取出黑球，则将该黑球换成红球放回盒中，再从盒中随机抽取1个小球．奖励规则如下： 取球结果 2个红球 2个黑球 红、黑球各1个 奖金 100元 80元 50元 (1)顾客参与一次抽奖，求两种方案所得奖金的期望，并比较选择哪个方案所得奖金的期望更大． (2)顾客甲消费了1500元，若他每次抽奖选择方案一的概率为，选择方案二的概率为，求他抽奖获得的奖金总额的期望． (3)若该超市对消费不足500元的顾客设置一个幸运抽奖环节（一个小盒里仍然是4个黑球和2个红球）：顾客从中随机抽取1个小球，若取出黑球，则放回小盒中，无奖励；若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回小盒中，奖励幸运礼品一份，下一位顾客继续抽奖直至红球取完为止．求第位顾客抽奖时，恰好获得最后一份幸运礼品的概率． 【二】巩固训练 1.如图，在多面体的顶点处有一质点S，质点S每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点S的初始位置在点A处，记质点S移动n次后仍在平面ABCD上的概率为，则 ； ．    2．甲、乙两人进行五子棋比赛，比赛采用积分制，赛前每人的基础分为3分．在一轮比赛中，获胜的一方加一分，输的一方减一分，平局分数不改变，直至某人得到满分6分，获得6分的人获胜，比赛结束．已知在每一局中，甲胜的概率为，乙胜的概率为，各局的输赢互不影响．若表示在甲所得分数为时，最终甲获胜的概率，若，，则 ． 3．如图，一点从正方形的顶点处出发在各顶点间移动，每次移动要么以的概率沿平行于方向（正、反方向均可）移动一步；要么以的概率沿平行于方向（正、反方向均可）移动一步．设移动（）步后回到点的概率为，到达点的概率为，= ．    4．从原点出发的某质点，按向量移动的概率为，按向量移动的概率为，设可达到点的概率为，则的值为 ， （用含的式子表示）. 5．某学校为丰富学生活动，积极开展乒乓球选修课，甲、乙两位同学进行乒乓球训练，已知甲第一局赢的概率为，前一局赢后下一局继续赢的概率为，前一局输后下一局赢的概率为，如此重复进行乙同学第2局赢的概率是 ；甲同学第局赢的概率 ． 6.某次投篮游戏，规定每名同学投篮次，投篮位置有，两处，第一次在处投，从第二次开始，若前一次未投进，则下一次投篮位置转为另一处；若前一次投进，则下一次投篮位置不变.在处每次投进得2分，否则得0分；在处每次投进得3分，否则得0分.已知甲在，两处每次投进的概率分别为，，且每次投篮相互独立.记甲第次在处投篮的概率为，第次投篮后累计得分为. (1)求的分布列及数学期望； (2)求的通项公式； (3)证明：. 参考公式：若，是离散型随机变量，则. 7.五一假期期间，小明去商场消费，消费过后可以进行一次抽奖，抽奖规则如下：消费者可以连续抛掷若干次骰子，当骰子掷出5点或6点时，消费者得2分，其余情况消费者得1分，且每一次抛掷骰子的结果相互独立．商场根据得分给予相应奖品. (1)求小明连续抛掷骰子3次，累计得分为4分的概率； (2)求小明连续抛掷骰子次，累计得分为分的概率，，；（结果用和表示） (3)求小明连续抛掷若干次，累计得分为分的概率．（结果用表示） 8.在某场乒乓球比赛中，甲、乙两运动员进入到了比赛决胜局，且在该局中的比分为10:10，接下来比赛规则如下：两人轮流各发一个球，谁赢此球谁就获得1分，直到有一方得分超过对方2分时即可获得该局的胜利.已知甲先发球，且甲此球取胜的概率为0.6 .比赛既是实力的较量，也是心态的比拼，以后每球比赛，若上一球甲获胜则甲在下一球比赛中获胜的概率为0.8，若上一球乙获胜则甲在下一球比赛中获胜的概率为 . 记甲运动员在第球比赛中获胜的概率为. (1)求甲以的比分赢得比赛的概率； (2)求与的关系； (3)若要使甲运动员以后每球比赛获胜的概率都大于0.6，求的取值范围. 9.某人玩硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正反面的概率都是，棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…、第100站．一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站；若掷出反面，则棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站（胜利大本营）或第100站（失败大本营）时，该游戏结束，设棋子跳到第n站的概率为． (1)求：、、； (2)求证：； (3)求：玩该游戏获胜的概率． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二期末复习专题：数列与概率融合问题 概率中含的问题基本是通过概率知识建立关于n的关系式，进而转化为数列前n项和、数列的递推关系、求数列的通项的数列问题。难点在于利用概率知识建立与有关的关系式.接下来通过例题学习与巩固训练突破这个专题，加深数列与概率融合的理解. 【一】例题学习 一、利用全概率公式建立递推关系 例1：（教材课后习题）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，求n次传球后球在甲手中的概率. 解：记表示事件“经过次传球后，球在甲的手中”，设. 因为第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，故， 所以， ，又， ， 即， 所以，且， 所以数列表示以为首项，为公比的等比数列， 所以，故. 所以n次传球后球在甲手中的概率为. 【对应训练】甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两人中的任何一人．设n次传球后球在乙手中的概率为； (1)求； (2)求； 【答案】 【详解】（1）记“经过n次传球后，球在乙手中”，， 当时，， 当时， 当时， （2）由 ， 即， ∴， ∴是首项为，公比为的等比数列， ∴ ∴ 例2：（2023新高考卷1）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)求第次投篮的人是甲的概率； (3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求． 解：（1）记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件， 所以， . （2）设，依题可知，，则 ， 即， 构造等比数列， 设，解得，则， 又，所以是首项为，公比为的等比数列， 即． （3）因为，， 所以当时，， 故． 【对应训练】甲、乙两人玩一种游戏，游戏规则如下：放置一张纸片在地面指定位置，其中一人在固定位置投篮，若篮球被篮板反弹后击中纸片，则本次游戏成功，此人继续投篮，否则游戏失败，换为对方投篮．已知第一次投篮的人是甲、乙的概率分别为和，甲、乙两人每次游戏成功的概率分别为和． (1)求第2次投篮的人是甲的概率； (2)记第次投篮的人是甲的概率为， ①用表示； ②求． 【答案】 【详解】（1）第2次投篮的人是甲包含两种情况： ①第1次甲投篮且游戏成功，其概率为； ②第1次乙投篮且游戏失败，其概率为， 由全概率公式得第2次投篮的人是甲的概率为． （2）（ⅰ）第次投篮的人是甲包含两种情况： ①第次甲投篮且游戏成功，其概率为； ②第次乙投篮且游戏失败，其概率为， 由全概率公式得，即． （ⅱ）由（ⅰ）得， 又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即 二、利用事件的独立性建立关于n的关系式 例3：为庆祝祖国周年华诞，某商场决定在国庆期间举行抽奖活动．盒中装有个除颜色外均相同的小球，其中个是红球，个是黄球．每位顾客均有一次抽奖机会，抽奖时从盒中随机取出球，若取出的是红球，则可领取“特等奖”，该小球不再放回；若取出的是黄球，则可领取“参与奖”，并将该球放回盒中． (1)在第2位顾客中“参与奖”的条件下，第1位顾客中“特等奖”的概率； (2)记为第个顾客参与后后来参与的顾客不再有机会中“特等奖”的概率，求数列的通项公式； (3)设事件为第个顾客参与时获得最后一个“特等奖”，要使发生概率最大，求的值． 解：（1）设第位顾客中“特等奖”为事件，第位顾客中“参与奖”为事件， ，， 故， 所以在第位顾客中“参与奖”的条件下，第位顾客中“特等奖”的概率为. （2）由题意得，个顾客参与后后来的顾客不再有机会中“特等奖”表示最后一位顾客中“特等奖”，前位顾客中有一位中“特等奖”， 所以 ， 故数列的通项公式为. （3）设第个顾客参与时拿下最后一个“特等奖”的概率最大， 则概率， 要使最大，即使最大， 所以， 即，化简得，且， 又在上单调递减， 所以，综上所述，. 【对应训练】某大型超市为回馈广大顾客，开展消费抽奖活动，每消费满500元可参与一次抽奖（一个小盒里放入6个除颜色外其他都相同的小球，其中4个黑球和2个红球），顾客可自由选择抽奖方式．一次抽奖规则如下： 方案一：顾客一次性从中随机抽取2个小球． 方案二：顾客从中随机抽取1个小球，若取到红球，则将该红球放回盒中并再往盒中加入1个红球；若取出黑球，则将该黑球换成红球放回盒中，再从盒中随机抽取1个小球．奖励规则如下： 取球结果 2个红球 2个黑球 红、黑球各1个 奖金 100元 80元 50元 (1)顾客参与一次抽奖，求两种方案所得奖金的期望，并比较选择哪个方案所得奖金的期望更大． (2)顾客甲消费了1500元，若他每次抽奖选择方案一的概率为，选择方案二的概率为，求他抽奖获得的奖金总额的期望． (3)若该超市对消费不足500元的顾客设置一个幸运抽奖环节（一个小盒里仍然是4个黑球和2个红球）：顾客从中随机抽取1个小球，若取出黑球，则放回小盒中，无奖励；若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回小盒中，奖励幸运礼品一份，下一位顾客继续抽奖直至红球取完为止．求第位顾客抽奖时，恰好获得最后一份幸运礼品的概率． 解：（1）选择方案一，设一次抽奖的中奖金额为，则所有的可能取值为50，80，100． ；；． 故． 选择方案二，设一次抽奖的中奖金额为，则所有的可能取值为50，80，100． ；；． 故． 故． （2）因为顾客甲消费了1500元，所以他有3次抽奖机会． 因为他每次抽奖选择方案一的概率为，选择方案二的概率为， 所以他抽奖获得的奖金总额的期望为． （3）设第个顾客获得第一份幸运礼品，第个顾客获得第二份幸运礼品的概率为，则， 则第个顾客获得第二份幸运礼品的概率为中从1到取值累加求和， 即， 利用等比数列求和公式可得 所以第个顾客获得第二份幸运礼品的概率为． 【二】巩固训练 1.如图，在多面体的顶点处有一质点S，质点S每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点S的初始位置在点A处，记质点S移动n次后仍在平面ABCD上的概率为，则 ； ．    【详解】质点S点A处时，移动一次可以到四个位置的其中一个， 其中两个位置在平面ABCD上，因此,因为当质点在时，移动一次一定在平面ABCD上， 所以当质点移动第二次时，质点仍在平面ABCD上的概率， 因此，即，所以，所以， 所以数列是以为首项，公比的等比数列，所以 2．甲、乙两人进行五子棋比赛，比赛采用积分制，赛前每人的基础分为3分．在一轮比赛中，获胜的一方加一分，输的一方减一分，平局分数不改变，直至某人得到满分6分，获得6分的人获胜，比赛结束．已知在每一局中，甲胜的概率为，乙胜的概率为，各局的输赢互不影响．若表示在甲所得分数为时，最终甲获胜的概率，若，，则 ． 【详解】由题意得甲所得分数为时，下一局可能的结果有三种情况： 若甲胜，则甲得分变为，对应概率为， 若乙胜，则甲得分变为，对应概率为， 若平局，则甲得分保持，对应的概率为， 所以由全概率公式可得， 所以，， 所以（）， 所以数列（）是以为公比的等比数列， 所以， 所以，，， ，， 所以 , 所以， 所以， 因为，，所以，解得. 故答案为： 3．如图，一点从正方形的顶点处出发在各顶点间移动，每次移动要么以的概率沿平行于方向（正、反方向均可）移动一步；要么以的概率沿平行于方向（正、反方向均可）移动一步．设移动（）步后回到点的概率为，到达点的概率为，= ．    3.【详解】依题意，， 又， ， 所以， 又， 所以是以为首项，为公比的等比数列，所以. 故答案为： 4．从原点出发的某质点，按向量移动的概率为，按向量移动的概率为，设可达到点的概率为，则的值为 ， （用含的式子表示）. 4.【详解】空1：， 到达有两种可能：第一种是一次移动2个单位到达， 第二种是每次向上移动1个单位，共移动2次到达，故； 空2：到达点有两种情况： ①从点按向量移动，即 ②从点按向量移动，即 所以，即 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以 … ， 两边分别累加得 ，， 因为满足上式，所以. 故答案为：；. 5．某学校为丰富学生活动，积极开展乒乓球选修课，甲、乙两位同学进行乒乓球训练，已知甲第一局赢的概率为，前一局赢后下一局继续赢的概率为，前一局输后下一局赢的概率为，如此重复进行乙同学第2局赢的概率是 ；甲同学第局赢的概率 ． 5.【详解】记事件“第局甲赢”，则乙同学第2局赢的概率是 ， ，又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，则， . 故答案为：； 6.某次投篮游戏，规定每名同学投篮次，投篮位置有，两处，第一次在处投，从第二次开始，若前一次未投进，则下一次投篮位置转为另一处；若前一次投进，则下一次投篮位置不变.在处每次投进得2分，否则得0分；在处每次投进得3分，否则得0分.已知甲在，两处每次投进的概率分别为，，且每次投篮相互独立.记甲第次在处投篮的概率为，第次投篮后累计得分为. (1)求的分布列及数学期望； (2)求的通项公式； (3)证明：. 参考公式：若，是离散型随机变量，则. 【详解】（1）设“甲第次在处投进”为事件，“甲第次在处投进”为事件， ，2，依题意，的可能取值为0，2，3，4. ， ， ， ， 所以的概率分布为 0 2 3 4 （分）. （2）当时，甲第次在处投篮分两种情形： ①第次在处投篮且投进，这种情形概率为； ②第次在处投篮且未投进，这种情形概率为. 所以， 故， 因为， 所以是以为首项，为公比的等比数列. 所以， 即，，2，……，. （3）因为第次在处投篮的概率为，在处投篮的概率为， 记第次得分，则的可能取值为0，2，3， ， ， ， 所以， 因为， 所以 ， 因为， 所以. 7.五一假期期间，小明去商场消费，消费过后可以进行一次抽奖，抽奖规则如下：消费者可以连续抛掷若干次骰子，当骰子掷出5点或6点时，消费者得2分，其余情况消费者得1分，且每一次抛掷骰子的结果相互独立．商场根据得分给予相应奖品. (1)求小明连续抛掷骰子3次，累计得分为4分的概率； (2)求小明连续抛掷骰子次，累计得分为分的概率，，；（结果用和表示） (3)求小明连续抛掷若干次，累计得分为分的概率．（结果用表示） 【详解】（1）由题知小明得2分的概率为，小明得1分的概率为．记事件“小明参与3次掷骰子游戏，累计得分为4分”为A，则前3次中有2次得1分，1次得2分，所以． （2）记事件“小明参与次掷骰子游戏，累计得分为分”为B，则前次中有次得1分，次得2分， 所以． （3）设小明在掷若干次后，累计得分刚好为n分的概率为Pn，则，， 且当n≥3时，累计得分刚好为n分可分为以下两种情况： ①累计得分刚好为n－2分，然后再得2分，概率为， ②累计得分刚好为n－1分，然后再得1分，概率为，所以， 法1．，且， 所以，所以，…，， 累加得， 所以． 法2．，所以是常数列，，所以，， 所以， 所以． 8.在某场乒乓球比赛中，甲、乙两运动员进入到了比赛决胜局，且在该局中的比分为10:10，接下来比赛规则如下：两人轮流各发一个球，谁赢此球谁就获得1分，直到有一方得分超过对方2分时即可获得该局的胜利.已知甲先发球，且甲此球取胜的概率为0.6 .比赛既是实力的较量，也是心态的比拼，以后每球比赛，若上一球甲获胜则甲在下一球比赛中获胜的概率为0.8，若上一球乙获胜则甲在下一球比赛中获胜的概率为 . 记甲运动员在第球比赛中获胜的概率为. (1)求甲以的比分赢得比赛的概率； (2)求与的关系； (3)若要使甲运动员以后每球比赛获胜的概率都大于0.6，求的取值范围. 【详解】（1）记第一球比赛甲运动员获胜的事件为，第二球比赛甲运动员获胜的事件为， 由题意知，且， 可知； 即甲以 的比分赢得比赛的概率为. （2）记甲运动员在第球比赛中获胜的概率为， 则乙运动员在第球比赛中获胜的概率为， 所以， 即 （3）由（2）可知, 可知数列是首项为，公比为的等比数列， 则有，,             ①当时，，又， 故是一个递减数列，当时，， 依题需使，即，这与矛盾,舍去； ②当时，，不合题意； ③当时，，又，故是一个递增数列， 依题意，只需，即，解得， 故； 综上：时，甲运动员以后每球比赛获胜的概率都大于0.6. 9.某人玩硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正反面的概率都是，棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…、第100站．一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站；若掷出反面，则棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站（胜利大本营）或第100站（失败大本营）时，该游戏结束，设棋子跳到第n站的概率为． (1)求：、、； (2)求证：； (3)求：玩该游戏获胜的概率． 【详解】（1）依题意，得，，． （2）依题意，棋子跳到第站有两种可能： 第一种，棋子先到第站，又掷出反面，其概率为； 第二种，棋子先到第站，又掷出正面，其概率为． ， ， 即． （3）由（2）可知数列是首项为，公比为的等比数列， 于是有， ． 因此，玩该游戏获胜的概率为． 学科网（北京）股份有限公司 $$