知识清单-【红卷】2023-2024学年八年级下册数学期末复习卷（华东师大版）

王心童| ANG ON TONG 用心做好书 红卷 知 清单 火有效的期未复习方蒙 数学 八 年级 (红香》业民出编 窗郑州大学出版社 第16章分式 教材知识清 16.1 分式及其基本性质 1.分式的概念 形如(A,B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子，叫做分式其中A叫做分式的分子，B叫做 B 分式的分母。 2.分式的判断 (1)判断一个式子是否是分式，不能把原式变形再判断，要根据原来的形式判断.如2“(a≠0)就 是分式 (2)π是常数，故20不是分式而是整式 3.分式有意义、无意义的条件 (1)分式有意义的条件：分式的分母不等于0 (2)分式无意义的条件：分式的分母等于0. 讨论分式有无意义时，要对原分式进行讨论，而不能将分式化简后再讨论 4.分式的值为0的条件 分子为0且分母不为0. 5.分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以（或都除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.用式子表示是： A_AXM A_A+M(其中M是不等于零的整式). BBXM'BB÷M 特别提醒：基本性质中B≠0是已知条件中隐含着的条件，M≠0是在解题过程中另外附加的条 件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件. 6.约分、最简分式 (1)约分：把分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分 (2)最简分式：分子与分母没有公因式的分式称为最简分式. 特别提醒：确定一个分式的分子和分母的公因式的方法：①分子、分母能因式分解的先因式分 解：②取分子、分母中相同因式的最低次幂的积（数字因式取最大公因数）作为公因式： 7.通分、最简公分母 (1)通分：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分. (2)最简公分母：各分母所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母 特别提醒：确定几个分式的最简公分母的方法：①分母能因式分解的先因式分解：②取各分母中 所有因式的最高次幂的积（数字因式取最小公倍数）作为公分母 ·1 16.2 分式的运算 1.分式的乘法 分式来分式.用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分号，即号·-行(60，d0).如 果得到的不是最简分式，应该通过约分进行化简. 2.分式的除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即？÷=”·4=( 6d6‘。(6*0,c≠ 0,d≠0) 3.分式的乘方 分式的乘方等于把分子和分母分别乘方，副8)名6≠0为正整数。 6 特别提醒：负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数， 4.分式的加减法 （D同分母分式的加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加或.即片产。岩（山0》。 (2)异分母分式的加减法法则：异分母分式相加减，先通分，转化为同分母分式后，再加减，即 8号-资”600 5.分式的混合运算 与分数的加、减、乘、除混合运算一样，分式的加、减、乘、除混合运算，也是先算乘、除，后算加、 减：遇到括号，先算括号内的，按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序计算.分式运算结果必须达 到最简，能约分的要约分，保证结果是最简分式或整式 16.3可化为一元一次方程的分式方程 1.分式方程的概念 方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程 2.解分式方程的一般步骤 最简公分 解整式 母不为0 x=a是分式方径的解 分式 去分母 整式方程 检验 = 方程（乘最简公分母）方程 x=a不是分式方程的解 最简公分 母为0 特别提醒：去分母时不要漏乘不含分母的项：不要忘记验根 3.增根 将分式方程变形为整式方程时，该整式方程的根使原分式方程的分母为零，这种根通常称为 增根 特别提醒：①分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程分母为零的根：②分 式方程无解的原因有两个：一是去分母后的整式方程无解：二是整式方程的解使得最简公分母为零. ·2 4.列分式方程解应用题的步骤 审题→找等量关系→设未知数→列分式方程→解分式方程→检验（是否是分式方程的解：是否 符合实际情况)→答 16.4零指数幂与负整数指数幂 1.零指数幂 任何不等于零的数的零次幂都等于1，即a°=1(a≠0).零的零次幂没有意义， 2.负整数指数幂 任何不等于零的数的-n(n为正整数)次幂，等于这个数的n次幂的倒数，即a”=(口≠0，n为 正整数) 3.整数指数幂的运算性质 同底数幂的乘法 a”·a”=a"(m,n是正整数) 幂的乘方 (a")”=a(m,n是正整数) 积的乘方 (ab)”=ab(n是正整数) 同底数幂的除法 a"÷a“=a-(m,n是正整数，m>n,a≠0) 分式的乘方 b a（n是正整数】 4,科学记数法的两种形式 (1)绝对值较大的数：把一个绝对值大于10的数表示成a×10的形式，其中n是正整数，1≤ a<10. (2)绝对值较小的数：利用10的负整数指数幂表示一些绝对值较小的数.即将它们表示成α× 10的形式，其中n是正整数，1≤a<10. 易错考点清 易错点①分式值为0的条件 例1 若分式之-4 式-2的值为0，则x的值为 A.±2 B.-2 C.0 D.2 答案 B 易错解读 此题主要考查了分式值为0的条件，关键是掌握分式值为0的条件是分子等于0 且分母不等于“0”，注意：“分母不等于0”这个条件不能少.观察选项，只有选项B符合题意 练习1使分式 3-x 的值为0的x的值是 2-x-x 易错点2分式的基本性质 例2 将分式中的，y的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值 ( x+y A.扩大6倍 B.扩大3倍 C.不变 D.扩大9倍 ·3. 答案 D 易错解读；本题考查了分式的基本性质解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题 首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论.观察选项，只有选项D 符合题意 练习2把下列分式中x,y的值都同时扩大到原来的5倍，那么分式的值保持不变的是() A B.- C-y x-Y x-Y XY 易错点3约分 例3 x2-4x 化商2-8x*16 答案； x-4 易错解读 此题考查约分问题，解答此类题一定要熟练掌握分式的基本性质和因式分解。 练习3请写出一个化简结果为+ 的分式： 易错点(4分式的运算 例4t.a2-1 a+12x 的计算结果正确的是 B*1 D.a*1 2 C.1 2x "2a+2 答案A 易错解读； 本题主要考查分式的基本性质、分式的乘法，熟练掌握分式的基本性质、分式的乘 法法则是解决本题的关键观察选项，只有选项A符合题意 练习4小敏在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，即 a2-2a a2-1 1÷*,通过 查看答案，答案为1-0 则被污染的代数式章为 2a+1 B.+1 a-1 C a+1 A. D a+1 2a-1 a+1 2a-2 易错点5 零指数幂有意义的条件 例5关于代数式(a+1)°，下列说法正确的是 A.(a+1)°的值一定是0 B.(a+1)"的值一定是1 C.当a≠0时，(a+1)的值是1 D.当a≠-1时，(a+1)的值是1 答案；D 易错解读：本题考查了零指数幂有意义的条件，熟练掌握零指数幂有意义的条件是解题的关 键观察选项，只有选项D符合题意 4 练习5若(x+2)2=1,则x的值为 核心素养清 6【材料阅读]我们知道a6可以写成号的形式类地，对于是(6+e).akc,也可 n 以写成m +c c的形式我们把像这样的分子或分母中含有分式的分式，叫做繁分式. 1- abe 【问题解决】 1* (1)化简：y 1- F。-。+。0,可得R=,②，对繁分式2进行化简. (2)对于RR,R 11 RR2 (3)某快递公司有甲、乙、丙三个机器人进行快件分配任务.已知甲单独完成任务需要xh,乙单 独完成任务需要yh,丙单独完成任务需要zh.甲单独完成任务的时间是乙、丙合作完成任务的时间 的几倍？ R R2 答案 (1) Y-x (2)R=11=R,R, R1+R2 8[]9 R R2 RR2 RR2 xy+xz 甲单独完成任务的时间是乙、丙合作完成任务的时间的y+倍。 2 核心素弄 运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力，能够明晰运算的对象和意义，理解 算法与算理之间的关系：能够理解运算的问题，选择合理简洁的运算策略解决问题：能够通过运算促 进数学推理能力的发展，运算能力有助于形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科 学态度.本题主要考查分式的性质，掌握其性质进行化简是解题的关键. 医习6例：已知3，求+的值 解：因为3所以=9，即2-2+9所以+ 观察以上解答，解答以下问题：已知x+一=3. (1)求下列各式的值：①x-1= :②x+1= (2)直接写出x3-2x2-2x+3的值： 5. 第17章 函数及其图象 教材知识清 17.1变量与函数 1.变量与常量的概念 在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量：取值始终保持不变的量，叫做常量。 2.函数 (1)概念：一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x和y,对于x的每一个值，y都有 唯一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数 (2)表示函数关系的方法通常有三种：①解析法（关系式法）：②列表法：③图象法 (3)函数值的概念：对于自变量在可取值范围内的一个确定的值，函数有唯一确定的对应值. 这个对应值称为当自变量等于α时的函数值 3.函数中自变量取值范围的求法（即有意义） (1)用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数. (2)用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数， (3)用奇次根式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数.用偶次根式表示的函数，自变量的 取值范围是使被开方数为非负数的一切实数 (4)若函数表达式由上述几种形式综合而成，需先求出各部分的取值范围，然后再求其公共范 围，即为自变量的取值范围 17.2函数的图象 1.平面直角坐标系内点的坐标特征 点的位置 点(a,b)的横、纵坐标的符号 第一象限 (+,+) 第二象限 (-,+) 第三象限 (-,-) 第四象限 (+,-) 正半轴：(+，0) x轴上 负半轴：(-，0) 正半轴：(0.+) y轴上 负半轴：(0，-) 原点 (0,0) 特别提醒：当点(a,b)在第一、三象限的角平分线上时，a=b:当点(a,b)在第二、四象限的角平分 线上时，a+b=0. ·6 2.关于坐标轴及原点对称的点的坐标特征 点的坐标 特征 简记 关于x轴对称 (x,y) (x,-y) 横坐标相同，纵坐标互为相反数 “横同纵反” 关于y轴对称 (x,y) (-x,y) 横坐标互为相反数，纵坐标相同 “纵同横反” 关于原点对称 (x,y) (-x,-y） 横纵坐标分别互为相反数 “横纵皆反” 3.点坐标的几何意义 (I)点P(x,y)到x轴的距离为y,到y轴的距离为x,到原点的距离为√+y (2)若AB∥x轴，则A,B两点的纵坐标相同，横坐标之差的绝对值为AB的长：若AB∥y轴，则 A,B两，点的横坐标相同，纵坐标之差的绝对值为AB的长 4.函数图象的定义 般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横，纵坐标，那么在坐 标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象 5.用描点法画函数图象的一般步骤 (1)列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）， 特别提醒：列表时自变量由小到大，相差一样，有时需对称 (2)描点（在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中 数值对应的各点) (3)连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连起来）. 17.3一次函数 1.一次函数、正比例函数的概念 用自变量的一次整式表示的函数关系式称为一次函数.一次函数通常可以表示为y=kx+b(k,b 为常数，k≠0)的形式特别地，当b=0时，一次函数y=kx(常数k≠0)也叫做正比例函数 2.一次函数与正比例函数的关系 正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数，对于一次函数y=x+b(k,b为常数， k≠0)，只有当b=0时，一次函数才是正比例函数 3.一次函数y=x+b(k≠0)的图象和性质 k的正负 b的情况 图象 经过的象限 与坐标轴的交点 图象的形状 增减性 y b=0 第一、三象限 原点 第一、二、三 y随x的 k>0 b>0 从左向右上升的直线 增大而 0 象限 与y轴交于(0，b), 增大 b y↑ 与x轴交于0 第一、三、四 b<0 象限 …7 续表 k的正负 b的情况 图象 经过的象限 与坐标轴的交点 图象的形状 增减性 b=0 第二、四象限 原点 0 第一、二、四 y随x的 k<0 b>0 象限 从左向右下降的直线 增大而 0 与y轴交于(0，b), 减小 与x轴交于 第二、三、四 b<0 象限 4.一次函数与正比例函数图象间的关系 当b>0时，y=kx+b的图象由y=的图象向上平移得到；当b<0时，y=x+b的图象由y=kx的 图象向下平移得到：当b=0时，一次函数y=x+b的图象与正比例函数y=kx的图象重合. 5.求一次函数的表达式 (1)定义法：根据一次函数的定义(k≠0，自变量的次数是1)求出参数的值，并对结果进行取舍。 (2)待定系数法： ①设出含有未知系数的一次函数表达式：②列出由已知条件得到的关于未知系数的方程或方程 组：③解方程或方程组，求出未知系数：④将求出的系数的值代回所设的函数表达式 6.一次函数中的实际问题 (1)利用函数图象解决实际问题： ①运用一次函数图象解决实际问题时，最重要的是要审清题意，分析一次函数图象横轴、纵轴表 示的量及实际意义，同时注意特殊点所表达的实际意义及图象的变化趋势：②根据图象上特殊点的 坐标，利用待定系数法求出函数表达式，利用函数图象的性质解决实际问题 (2)列表达式，利用函数性质解决实际问题： 审清题意→列出函数表达式 方案选择问题结合白变量的取值 比较方案优 池围分情况讨论 劣，得出结论 根据一次函数的增 解决最值问题 减性，求出最值 17.4 反比例函数 1.反比例函数的概念 一般地，形如y=(k是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数 注意：反比例函数y=二(k≠0)也可以写成y=x'(k≠0)或y=k(k≠0)的形式. 2.自变量的取值范围 自变量的取值范围是不等于0的一切实数， ·8