第五章 一元一次方程 回顾与思考 课件-2025--2026学年北师大版七年级数学上册

第五章 一元一次方程 回顾与思考 1 1.方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。用方程解决实际问题，一般要经历哪些过程? 设出未知数，根据题意列出方程，解方程 2.列算式和列方程解决实际问题的区别和联系分别是什么? 区别：列算式是直接进行数的运算，展示每一步的计算过程，表达方式比较直观，能逐步验证结果的正确性；列方程是将问题中的已知量和未知量通过设未知数用代数式表示等量关系，从而列出方程，再解方程达到解决问题的目的。 联系：都离不开数学基本知识和运算能力，都是为了解决问题或验证结果的正确性，在某些情况下，列算式和列方程是可以相互转化的。 3.在列方程解决实际问题的过程中，你认为最关键的是什么? 找出题中等量关系. 4.解一元一次方程的依据和基本思路是什么? 依据是等式的基本性质。 基本思路是先观察方程的形式，然后按照解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项合并同类项、未知数的系数化为 1 进行求解。 对于形式较复杂的方程应先将其变形，再依据一般方法求解。 5.在解决实际问题的过程中，你怎样判断一个方程的解是否符合要求? 请举例说明。 比如说时间不可能是负数，工期，金钱等都不可能是负数，你算出来的负数解就是不符合实际要求的. 6. 梳理本章内容，用适当的方式呈现全章知识结构，并与同伴进行交流。 一元一次方程 概念 方程的解 解方程 认识方程 等式基本性质 同类相、移项 去括号 去分母 一元一次方程的解法 几何图形问题 古代数学问题 行程问题 一元一次方程应用 复习题 〉〉知识技能 1. 解方程： (1) x－＝； (2) －8x＝3－x； (3) 0.5x－0.7＝6.5－1.3x； (4) (3x－6)＝x－3； (5) 3(x－7)＋5(x－4)＝15； (6) 4x－3(20－x)＝－4； (7) ＝ 2－ ； (8) (1－2x)＝(3x＋1)。 (1) x－＝； 解：去分母，得 5x－3x ＝ 4 合并同类项，得 2x ＝ 4 方程两边都除以2，得 x ＝ 2 (2) －8x＝3－x； 解：去分母，得 4－48x ＝ 18－3x 移项，合并同类项，得 －45x ＝ 14 方程两边都除以－45，得 x ＝ (3) 0.5x－0.7＝6.5－1.3x； 解：移项，合并同类项，得 1.8x＝7.2 方程两边都除以1.8，得 x ＝ 4 (4) (3x－6)＝x－3； 解：去分母，得 5(3x－6)＝6×2x－3×30 去括号，得 15x－30＝12x－90 移项，合并同类项，得 3x＝－60 方程两边都除以3，得 x＝－20 (5) 3(x－7)＋5(x－4)＝15； 解：去括号，得 3x－21＋5x－20＝15 移项，合并同类项，得 8x＝56 方程两边都除以 8，得 x ＝ 7 (6) 4x－3(20－x)＝－4； 解：去括号，得 4x－60＋3x ＝－4 移项，合并同类项，得 7x＝56 方程两边都除以 7，得 x＝8 (7) ＝ 2－ ； 解：去分母，得 5(y－1)＝20－2(y＋2) 去括号，得 5y－5＝20－2y－4 移项，合并同类项，得 7y＝21 方程两边都除以7，得 y＝3 (8) (1－2x)＝(3x＋1)。 解：去分母，得 7(1－2x)＝ 6(3x＋1) 去括号，得 7－14x＝ 18x＋6 移项，合并同类项，得 －32x＝－1 方程两边都除以－32，得 x ＝ 2. 在公式 s＝s0＋vt 中，已知 s＝100，s0＝25，v＝10，求 t 的值。 解：将 s＝100，s0＝25，v＝10 代入 s＝s0＋vt， 得 t＝7.5. 〉〉数学理解 3. 儿子今年 13 岁，父亲今年 40 岁，是否有哪一年父亲的年龄恰好是儿子年龄的 4 倍?为什么? 解：有. 设 x 年后父亲的年龄恰好是儿子年龄的 4 倍. 由题意，得 40＋x＝4(13＋x). 解这个方程，得x＝－4. 因此，4 年前父亲的年龄恰好是儿子年龄的 4 倍. 4.《九章算术》中给出“盈不足术”：把盈余数与不足数相加，和为被除数把两次每人出的钱数之差作为除数，所得的商即为人数；将人数乘每人出的钱数，然后减对应的盈余数或加对应的不足数即为物价。试解释这种算法。 请分别用“盈不足术”及方程的方法求解下面的问题。 今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六。问：人数、鸡价各几何? 第二次出钱总数＋不足数＝物价 第一次出钱总数－盈余数＝物价 ①和②两边分别相减得到 所以 人数＝(盈余数+不足数) ÷两次每人钱数之差 两次出钱总数之差＝两次每人所出钱数之差×人数 ① ② 物价＝第一次出钱总数－盈余数＝人数×每人出钱数－盈余数 物价＝第二次出钱总数＋不足数＝人数×每人出钱数＋不足数 解：“盈不足术”的方法：(11＋16)÷(9－6)＝9(人). 9×9－11＝70 (钱). 因此，人数、鸡价各为 9 人、70 钱. 方程的方法：设人数为 x. 根据题意，得 9x－11＝6x＋16. 解这个方程，得 x＝9. 9×9－11＝70 (钱). 因此，人数、鸡价各为 9 人、70 钱. 〉〉问题解决 5. 把 100 写成两个数的和，使第一个数加 3 与第二个数减 3 的结果相等。这两个数分别是多少? 解：设第一个数是 x，则第二个数是 100－x. 由题意，得 x＋3＝100－x－3，解得 x＝47， 则 100－47＝53. 因此，第一个数是 47，第二个数是 53. 6. 今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三。问：人数、羊价各今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三。问：人数、羊价各几何? (选自《九章算术》) 题目大意：几个人合伙买羊，若每人出 5 钱，则差 45 钱；若每人出 7 钱，则差 3 钱。合伙人数、羊价各是多少? 题目大意：几个人合伙买羊，若每人出 5 钱，则差 45 钱；若每人出 7 钱，则差 3 钱。合伙人数、羊价各是多少? 解：设合伙人数为 x. 根据题意，得 5x＋45＝7x＋3. 解这个方程，得x＝21. 5×21＋45＝150 (钱). 因此，合伙人数为 21，羊价为 150 钱. 7. 牧童分杏各争竞，不知人数不知杏。三人五个多十枚，四人八枚两个剩。问：有几个牧童几个杏? (选自《算法统宗》) 题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏。若 3 人一组，每组 5 个杏，则多 10 个杏；若 4 人一组，每组 8 个杏，则多 2 个杏。有多少个牧童、多少个杏? 解：设有 x 个牧童. 由题意，得 ×5＋10＝×8＋2.解这个方程，得 x＝24. ×5＋10＝50 (个). 因此，有 24个牧童，50 个杏. 题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏。若 3 人一组，每组 5 个杏，则多 10 个杏；若 4 人一组，每组 8 个杏，则多 2 个杏。有多少个牧童、多少个杏? 8. 爷爷与孙子下棋，爷爷赢1盘记1分，孙子赢1盘记3分，下了8盘，每盘都分出了胜负，此时两人得分相等。他们各赢了多少盘? 解：设爷爷赢了 x 盘，则孙子赢了(8－x) 盘. 由题意，得 x＝3(8－x). 解这个方程，得 x＝6. 8－6＝2 (盘). 因此，爷爷赢了 6 盘，孙子赢了 2 盘. 9. 某文件需要排版，小李独立做需要 6h 完成，小王独立做需要8h 完成。如果他们俩共同做，需要多长时间完成? 解：设需要 x h 完成. 由题意，得 (＋)x＝1. 解这个方程，得 x＝. 因此，需要 h 完成. 10.一辆收割机收割一块麦田，上午收割了麦田的 25%，下午收割了剩下麦田的 20%，结果还剩下 6 hm? 麦田未收割。这块麦田一共有多少公顷? 解：设这块麦田一共有 x hm2. 由题意，得 25%x＋(1－25%)×20%x＋6＝x. 解这个方程，得 x＝10. 因此，这块麦田一共有 10 hm2. 11. 某商店出售两件衣服，每件60元，其中一件赚 25%，而另一件赔 25%那么这家商店是赚了还是赔了，或是不赚也不赔呢? 解：设第一件进价为 x 元. 由题意，得 60－x＝25%x. 解这个方程，得 x＝48. 设第二件进价为 y 元. 由题意，得 60－y＝－25%y. 解这个方程，得 y＝80. 60×2－(48＋80) ＝120－128 ＝－8 (元). 因此，这家商店赔了，赔了 8 元. 12. 甲车从A地开往B地，速度是60km/h；乙车沿同一路线同时从B地开往A地，速度是90km/h。已知A，B两地相距 200km，两车相遇的地方离 A 地多远? 解：方法一：设两车相遇的地方离 A 地 x km. 由题意，得 ＝ . 解这个方程，得 x＝80. 因此，两车相遇的地方离 A 地 80 km. 方法二：设两车经过 t h 相遇. 由题意，得 60t＋90t ＝ 200. 解这个方程，得 t＝. 60×＝80 (km). 因此，两车相遇的地方离 A 地 80 km. 13. 某商场将某种商品按原价的八折出售，此时商品的利润率是 10%。已知这种商品的成本价为1800元，那么这种商品的原价是多少? 解：设这种商品的原价为 x 元. 根据题意，得 0.8x－1 800＝1 800×10%. 解这个方程，得 x＝2 475. 因此，这种商品原价为 2475 元. 14. 某文艺团体为公益募捐组织了一场义演，成人票每张 80 元，学生票每张 50 元，共售出 1000 张票，所得票款可能是69300元吗?为什么?可能是 69 320元吗? 如果可能，那么成人票比学生票多售出多少张? 解：设售出成人票 x 张，则售出学生票 (1 000－x) 张. 根据题意，得 80x＋50(1 000－x)＝69 300. 解这个方程，得 x＝643，不合题意， 因此，所得票款不可能是 69 300. 若所得票款为 69 320元，则 80x＋50(1 000－x)＝69 320. 解这个方程，得 x＝644. 售出学生票 1000－644＝356 (张). 644－356＝288 (张). 因此，成人票比学生票多售出 288 张. ※15. 把 99写成四个数的和，使第一个数加2，第二个数减2，第三个数乘2，第四个数除以2，得到的结果都相等。这四个数分别是多少? 解：方法一：设第一个数为x，则第二个数为 x＋4，第三个数为 ， 第四个数为 2(x＋2). 由题意，得 x＋(x＋4)＋＋2(x＋2)＝99. 解这个方程，得 x＝20. 则 20＋4＝24， ＝11，2×(20＋2)＝44. 因此，拆成的 4 个数分别是 20，24，11，44. 方法二：设相等时的结果为 y，则第一个数为 y－2，第二个数为 y＋2，第三个数为 ，第四个数为 2y. 由题意，得 (y－2)＋(y＋2)＋＋2y＝99. 解得 y＝22. 则 22－2＝20，22＋2＝24，＝11，2×22＝44. 因此，拆成的 4 个数分别是 20，24，11，44. 16. 设未知数列方程与用字母表示数、表示数量关系有什么区别和联系? 谈谈你的体会。 用字母表示数是基础，它使得我们能够表示和描述数量关系，设未知数列方程则是在此基础上的进阶应用. 同时，通过解方程，我们可以找到用字母表示的数的具体值. 无论是用字母表示数、表示数量关系还是设未知数列方程，最终都是为了更简洁、更准确地描述和解决数学问题. 〉〉问题解决 ※17. 已知 x＝5 是方程 ax－8＝20＋a 的解，求 a 的值。 解：将 x＝5 代入方程 ax－8＝20＋a， 得 5a－8＝20＋a. 解这个方程，得 a＝7. 18. 图中的正方形由9个小方格组成。在每个小方格中各填一个数，如果每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，那么就称这个图是一个三阶幻方。 (1) 请将1~9这9个数填入图中的小方格中，构造一个三阶幻方。 4 5 9 2 3 7 8 1 6 (2) 改变(1)中所构造的三阶幻方中某些数的位置，构造一个新的三阶幻方。 6 5 7 1 2 8 9 3 6 4 5 1 8 7 3 2 9 4 (3) 在(1)(2)所构造的不同三阶幻方中，有没有位置始终不变的数?如果有，请你解释其中的道理。 幻方中心的数不变 每行、每列、每条对角线上的三个数的和都等于幻方中心数的3倍 (4) 你能选择其他9个数构造一个三阶幻方吗?请你试一试。 27 18 6 12 21 15 24 30 26 9 15 2 17 6 24 13 28 4 $$