第三章 整式及其加减 回顾与思考 课件-2025--2026学年北师大版七年级数学上册

第三章 整式及其加减 回顾与思考 1. 请你列举一些实际问题并用字母表示其中的数量关系。 解：如果 n 表示整数，那么 2n 表示偶数，2n±1 表示奇数. (答案不唯一) 2. 设计一个情境，使之尽可能多地包含单项式、多项式，并指出单项式的系数、多项式的次数。 解：如买单价为 c 元的球拍 a (a＞0)个，支付 500 元，应找回多少元? 用代数式表示，并说明你列出的代数式是单项式还是多项式，指出单项式的系数、多项式的次数. 因为买单价为 c 元的球拍 a (a＞0)个，需要 ac 元，所以如果支付 500 元，那么应找回 (500－ac) 元.其中 ac，500 是单项式，系数分别是 1,500；500－ac 是多项式，次数是 2. (答案不唯一) 3. 举例说明合并同类项、去括号法则。它们的依据是什么? 解：合并同类项：2a＋3a＝(2＋3)a－5a. 依据：逆用乘法对加法的分配律. 去括号法则：2(－2x＋3)＝2×(－2x)＋2×3＝－4x＋6. 依据：乘法对加法的分配律。 (答案不唯一) 4. 整式的加减运算与数的加减运算有什么联系与区别? 解：整式加减的实质就是合并同类项，若有括号，就要用去括号法则先去括号，然后合并同类项. 如计算： (9x－3)－2(x＋1)＝3x－1－2x－2＝x－3. 有理数加减中的交换律、结合律在整式加减中都成立. 5. 请你设计一个数字游戏问题，并用所学知识加以解释。 解：把 a9(a＞0) 按下列要求进行操作：若指数为奇数，则把它乘a，若指数为偶数，则把它的指数除以2，如此继续下去，则第几次操作时 a 的指数为 4? 第 10 次操作时 a 的指数是多少? 你有什么发现? 第5次操作时a的指数为 4，第 10 次操作时a的指数为2，从第6次操作开始，操作偶数次为 a2，操作奇数次为 a. (答案不唯一) 6. 梳理本章内容，用适当的方式呈现全章知识结构，并与同伴进行交流。 略. 复习题 〉〉知识技能 1. 用字母表示： (1) 乘法对加法的分配律______________________________； (2) 一个长方形的长是 b，宽是长的一半，它的周长是________，面积是_________； a(b＋c)＝ab＋ac 3a b2 (3) 一个三角形的三边长都是 c，它的周长是_________； (4) 一个平行四边形的一边长是 a，该边上的高是这边长的，这个平行四边形的面积是________。 3c a2 2. 一组“数值转换机”如图所示，请填写下表，并写出图(1)的输出结果、图(2)的运算过程。 ×2 2x －3 1 2 －7 －5 －4 －3 －1 0 3. 下列整式哪些是单项式，哪些是多项式? 它们的次数分别是多少? (1) 7y2； (2) 4xy2 ； (3) 35abc； (4) 3x＋5y； (5) 1＋s2＋st； (6) a2x-a2x3＋ x。 解：单项式有(1)(2)(3)，它们的次数分别是 2，3，3. 多项式有(4)(5)(6)，它们的次数分别是 1，2，5. 4. 下列多项式中分别有几项? 每项的系数和次数分别是多少? (1) －abx2＋x3－ab； (2) xy－pgx2＋p3＋9. 解：有3项，每项的系数分别是－1，， －，次数分别是 4，3，2. 解：有4项，每项的系数分别是1，－1，，9，次数分别是 2，4，3，0. 5. 化简下列各式： (1) 5x4＋3x2y－10－3x2y＋x4－1； (2) p2＋3pq＋6－8p2＋pq； 解：原式＝5x4＋x4＋3x2y－3x2y－10－1 ＝6x4－11. 解：原式＝p2－8p2＋3pq＋pq＋6 ＝－7p2＋4pq＋6. (3)(7y－3z)－(8y－5z)； (4)－(a5－6b)－(－7＋3b)； 解：原式＝7y－3z－8y＋5z ＝－y＋2z. 解：原式＝－a5＋6b＋7－3b ＝－a5＋3b＋7. (5)2(2a2＋9b)＋3(－5a2－4b)； (6)－3(2x2－xy)＋4(x2＋xy－6)。 解：原式＝4a2＋18b－15a2－12b ＝－11a2＋6b. 解：原式＝－6x2＋3xy＋4x2＋4xy－24 ＝－2x2＋7xy－24. 6. 求下列各式的值： (1) －3x＋5x－0.5x＋x－1，其中 x＝2； 解：－3x2＋5x－0.5x2＋x－1＝－3.5x2＋6x－1. 当 x＝2 时， 原式＝－3.5×22＋6×2－1＝－3. (2) －(－4x2＋2x－8)－(x－1)，其中 x＝号； 解： (3) (5a2－3b2)＋(a2＋b2)－(5a2＋3b2)，其中 a＝－1，b＝1； 解：(5a2－3b2)＋(a2＋b2)－(5a2＋3b2) ＝ 5a2－3b2＋a2＋b2－5a2－3b2 ＝ a2－5b2. 当 a＝－1，b＝1 时，原式＝ (－1)2－5×12＝－4. (4) 2(a2b＋ab2)－2(a2b－1)－2ab2－2，其中 a＝－2，b＝2。 解：2(a2b＋ab2)－2(a2b－1)－2ab2－2 ＝ 2a2b＋2ab2－2a2b＋2－2ab2－2 ＝ 0. 7. 如图，一个窗户的上部是个半圆，下部是由边长相同的 4 个小正方形组成的正方形。请计算这个窗户的面积和窗户外框的总长。 8. 某小区一块长方形绿地的造型如图所示 (单位：m)，其中两个扇形表示绿地，两块绿地用五彩石隔开，那么需要铺多大面积的五彩石? 9. 计算： (1) (2x2y＋3xy2)－(6x2y－3xy2)； (2) (5mn－2m＋3n)＋(－7m－7mn)； 解：原式＝2x2y＋3xy2－6x2y＋3xy2＝－4x2y＋6xy2. 解：原式＝5mn－2m＋3n－7m－7mn＝－2mn－9m＋3n. (3) (6a2－8a＋11b3)－(11a2＋2b3)； (4) (2ab＋3b2－5)－(3ab＋3b2－8)。 解：原式＝6a2－8a＋11b3－11a2－2b3＝－5a2＋9b3－8a. 解：原式＝2ab＋3b2－5－3ab－3b2＋8＝－ab＋3. 10. 已知 A＝a2－2ab＋b2，B＝a2＋2ab＋b2。 (1) 求 A＋B； 解：A＋B＝a2－2ab＋b2＋a2＋2ab＋b2 ＝ 2a2＋2b2. (2) 求 (B－A)； 解：(B－A)＝[(a2＋2ab＋b2)－(a2－2ab＋b2)] ＝(a2＋2ab＋b2－a2＋2ab－b2) ＝ ab. (3) 如果 2A－3B＋C＝0，那么 C 的表达式是什么? 解：因为 2A－3B＋C＝0， 所以 C＝ 3B－2A ＝ 3(a2＋2ab＋b2)－2(a2－2ab＋b2) ＝3a2＋6ab＋3b2－2a2＋4ab－2b2 ＝a2＋10ab＋b2. 〉〉数学理解 11. a是一个有理数，10a一定大于a吗? 一定小于 a 吗? 解：如果 a 是一个有理数，那么 10a 不一定大于a. 例如，当 a＝－1 时，10a＝－10， －10＜－1，即 10a 小于a. 如果 a 是一个有理数，那么 不一定小于 a . 例如，当 a＝－1 时，＝－，－＞－1，即 大于 a . 12. 有一道题目是一个多项式减 x2＋14x－6，小强误当成了加法计算，结果得到 2x2－x＋3，正确的结果应该是多少? 解：这个多项式为 (2x2－x＋3)－(x2＋14x－6) ＝ 2x2－x＋3－x2－14x＋6 ＝ x2－15x＋9， 所以正确的结果应该是 (x2－15x＋9)－(x2＋14x－6) ＝ x2－15x＋9－x2－14x＋6 ＝ －29x＋15. 13. (1) 观察下面图中小圆圈的排列方式，你发现了什么规律? 解：①中有1个小圆圈， ②中有 1＋3＝4＝22 (个) 小圆圈， ③中有 1＋3＋5＝9＝32 (个) 小圆圈， ④中有1＋3＋5＋7＝16＝42 (个) 小圆圈， ···· 第 n 幅图中有1＋3＋5＋7＋···＋ (2n－1)＝n2 (个)小圆圈. (2) 根据(1)中的规律猜想：1＋3＋5＋7＋···＋99＝________。 (3) 一般地，你能得到什么猜想? 请用代数式表示。 2 500 1＋3＋5＋7＋···＋ (2n－1)＝n2 . 14. 在下列各式的括号内填上恰当的项： (1) －a＋b－c＋d＝－a＋( )； (2) －a＋b－c＋d＝－( )＋d； (3) －a＋b－c＋d＝－a＋b－( )； (4) －a＋b－c＋d＝－( )。 b－c＋d a－b＋c c－d a－b＋c－d 〉〉问题解决 15. 人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关。如果用 a 表示一个人的年龄用 b 表示正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数那么 b＝0.8(220－a)。 (1) 正常情况下，一个 14岁的少年在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数是多少? (2) 一个45岁的人运动时 10s 心跳的次数为 22 次，他有危险吗? (1) 正常情况下，一个 14岁的少年在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数是多少? 解：当 a＝14 时， b＝0.8 (220－a)＝0.8×(220－14)＝164.8， 所以一个 14 岁的少年在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数是 164. (2) 一个45岁的人运动时 10s 心跳的次数为 22 次，他有危险吗? 解：没有危险. 因为当 a＝45 时， b＝0.8×(220－a)＝0.8×(220－45) ＝140， 而10秒心跳 22次，那么每分钟心跳 132次，低于每分钟最高 140 次的次数，所以没有危险. 16. 一根长 80cm 的弹簧，一端固定悬挂起来。如果另一端挂上物体，那么在正常情况下物体的质量每增加 1kg 可使弹簧增长2cm。 (1) 正常情况下，当挂着 x kg 的物体时，弹簧的长度是多少厘米? (2) 利用 (1) 的结果完成下表。 (80＋2x) cm. 82 84 86 88 17. 用长度相同的小棒按下图中的方式拼摆图形。 (1) 按图示规律填空； (2) 按照这种方式拼摆下去，第n个图形需要__________根小棒。 5 9 13 17 21 (4n＋1) 18. 用棋子摆出下列图形： (1) 摆第1个图形用______枚棋子，摆第2个图形用_____枚棋子，第3个图形用_______枚棋子； (2) 按照这种方式摆下去，摆第 n 个图形用__________枚棋子，摆第 100 个图形用_________枚棋子。 3 6 9 3n 300 19. 某会议中心购买了一批长方形会议桌，每张会议桌的长边可以坐 2 个人短边只能坐 1 个人。按照如图所示的规律拼摆会议桌，能够得到不同型号的大桌子。 (1) 型号3的大桌子可以坐多少人? 解：型号 3 的大桌子可以坐 20 人. (2) 型号n的大桌子可以坐多少人? 解：型号 1 的大桌子可以坐12人， 型号2的大桌子可以坐 12＋4＝16 (人)， 型号 3 的大桌子可以坐 12＋4×2＝20 (人)， ……型号 n 的大桌子可以坐 12＋4(n－1)＝(4n＋8) (人)。 (3) 如果有36人参会，那么哪个型号的大桌子恰好可以坐下?请说明理由。 解：型号 7 的大桌子恰好可以坐下. 理由如下：设型号 m 的大桌子恰好可以坐下， 则 4m＋8＝36，所以 m＝7， 即型号 7 的大桌子恰好可以坐下. 20. 一个两位数，若交换其个位数字与十位数字的位置，则所得新两位数比原两位数大 9。这样的两位数共有多少个?它们有什么特点? 解：设原两位数为 10a＋b. 根据题意，得 10a＋b＋9＝10b＋a， 所以 b＝a＋1，则 a 可取 1~8. 所以这样的两位数共有8个，它们的特点是个位数字比十位数字大 1. 21. 某商店出售一种商品，其原价为 m 元，现有如下两种调价方案：一种是先提价 10%，在此基础上再降价 10%；另一种是先降价 10%，在此基础上再提价 10%。 (1) 用这两种方案调价的结果是否一样? 调价后的结果是不是都恢复了原价? 解：结果一样，均为 m(1－10%)(1－10%) 元。 没有恢复原价。 (2) 将两种调价方案分别改为：一种是先提价20%，在此基础上再降价 20%；另一种是先降价20%，在此基础上再提价20%。这时结果怎样? 解：结果一样，价格均为 m(1＋20%)(1－20%) 元。没有恢复原价。 (3) 你能总结出什么规律? 解：在原价的基础上，先提价百分之多少，在此基础上再降价同样的百分数，与先降价百分之多少，在此基础上再提价同样的百分数，最后结果一样，但没有恢复原价. ※22.将一张长方形的纸对折，如右图所示可得到一条折痕。继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行。连续对折6次后，可以得到几条折痕? 想象一下，如果对折 10 次呢?对折 n 次呢? 解：对折 6 次后，可以得到 63 条折痕； 对折 10 次后，可以得到 1 023 条折痕； 对折 n 次后，可以得到 (2n－1) 条折痕。 23. 学习本章后，你对“字母表示数”有哪些新的认识? 请谈谈你的感悟。 略 〉〉联系拓广 ※24.当 a＝－4，－3，－2，－1，1，2，3，4 时，分别求出代数式 a2＋ 的值。你发现了什么? 可以发现：当 a 取互为相反数的值时，a2＋ 的值相等； 当 |a| ＝ 1 时， a2＋ 的值最小； 当 |a| ＞ 1 时， |a| 越大， a2＋ 的值也越大。 本课结束 $$