精品解析：广西南宁市第二中学2024-2025学年高三下学期5月收网考数学试题

南宁二中2025年5月高三收网考 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点为，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 3. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2 5. 已知直线垂直于轴，交双曲线的两条渐近线于两点，为坐标原点，为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 6. 已知圆：，点，点.点P是圆O上异于，的动点.过点P作x轴的垂线，垂足为Q，点满足，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 7. 四面体的棱长为4，E为棱BC的中点，过点E作其外接球的截面，则截面面积的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 设函数．若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 一组递增数据的平均数为3，方差为4，极差为6，若，则（ ） A. 的第80百分位数为 B. 的平均数为5 C. 的极差为12 D. 的方差为16 10. 已知函数，则（ ） A. 为的周期 B. 的图象关于对称 C. 的图象关于点对称 D. 是奇函数 11. 已知数列满足，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 若数列为常数列，则或 C. 若数列为递增数列，则 D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则的值等于______． 13. 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）． 14. 光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共焦点、的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时0.003秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒；已知与的离心率之比为，则________秒. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）证明：a，b，c成等差数列； （2）求B的最大值． 16. 已知函数． （1）若，求在处的切线方程． （2）当时，证明：有两个不同的极值点． （3）讨论的单调性． 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，平面． （1）求证：； （2）当时，求二面角的余弦值． 18. 记抛物线的焦点为F，过原点O作斜率为1的直线l，l与E交于另一点，取的中点，直线与E交于另一点，取的中点，以此类推，记直线的斜率为． （1）求点的坐标； （2）证明：是递减数列； （3）记的面积为，证明：． 19. 现市场上治疗某种疾病的药品有两种，其治愈率与患者占比如表所示，为试验一种新药，在有关部门批准后，某医院把此药给100个病人服用．设药的治愈率为，且每位病人是否被治愈相互独立． A B C（新药） 治愈率 患者占比 （1）记100个病人中恰有80人被治愈的概率为，求的最大值点； （2）设用新药的患者占比为（药品减少的患者占比，均为新药增加占比的一半，，以（1）问中确定的作为的值，从已经用药的患者中随机抽取一名患者，求该患者痊愈的概率（结果用表示） （3）按照市场预测，使用新药的患者占比能达到以上，不足的概率为，不低于且不超过的概率为，超过的概率为，某药企计划引入药品的生产线，但生产线运行的条数受患者占比的影响，关系如下表： 患者占比 最多投入生产线条数 1 2 3 若某条生产线运行，年利润为1000万，若某条生产线未运行，年亏损300万，欲使该药企生产药品的年总利润均值最大，应引入几条生产线？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁二中2025年5月高三收网考 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的描述法化简集合，再结合集合的交集运算即可. 【详解】因为集合，所以由，可得， 所以. 故选：C. 2. 在复平面内，复数对应的点为，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据复数的坐标写出复数的表达式，然后求复数的模即可. 【详解】因为复数对应的点为，所以. . 故选：D. 3. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】法一：根据向量线性运算与数量积的坐标运算直接计算；法二：利用转化法结合数量积的坐标运算公式直接计算. 【详解】方法一：因为，，所以， 所以； 方法二：由，， 则，， 又， 所以，即； 故选：B. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】将弦化切，即可求出，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，代入计算可得. 【详解】因为，所以，解得， 所以 . 故选：C 5. 已知直线垂直于轴，交双曲线的两条渐近线于两点，为坐标原点，为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先设出直线方程及与渐近线的交点，根据为等边三角形列出等式，求出的值，即可求出离心率. 【详解】设直线，与渐近线交于和两点. 由为等边三角形，可知， 即，化简可得. 故双曲线的离心率. 故选：C 6. 已知圆：，点，点.点P是圆O上异于，的动点.过点P作x轴的垂线，垂足为Q，点满足，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，，则，根据可得，代入即可求解. 【详解】设，，则， 所以，， 因为，所以，所以， 因为在圆上，所以， 所以，即， 因为点是圆上异于，的动点，所以， 所以点的轨迹方程为. 故选：. 7. 四面体的棱长为4，E为棱BC的中点，过点E作其外接球的截面，则截面面积的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将正四面体放置于正方体中，该正方体的外接球就是正四面体的外接球，求出半径，过点作其外接球的截面，当截面到外接球的球心的距离最大时，截面面积最小，据此即可求解. 【详解】将正四面体放置于如图所示的正方体中，可得该正方体的外接球就是正四面体的外接球， 设该外接球的球心为，半径为R， 正四面体的棱长为4，且正四面体的棱长是正方体的面对角线长， 正方体的棱长为， 正方体外接球的半径满足， 解得，为棱BC的中点， 过点作其外接球的截面， 当截面到外接球的球心的距离最大时，截面面积最小， 此时为截面圆心，球心到截面的距离， 由截面的性质可得截面半径， 故截面面积的最小值为． 故选： 8. 设函数．若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对数函数的性质得的正负，从而得到的正负，进而得到，转化为二次函数最值问题. 【详解】函数的定义域是， 当，得，，得， 当时，，则恒成立，又在区间单调递增，则， 当时，，则恒成立，又在区间单调递增，则， 由，得，则， 所以，当，时，的最小值为. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 一组递增数据的平均数为3，方差为4，极差为6，若，则（ ） A. 的第80百分位数为 B. 的平均数为5 C. 的极差为12 D. 的方差为16 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用百分位数的定义判断选项A；利用平均数的定义和计算公式判断选项B；利用极差的定义判断选项C；利用方差的性质判断选项D. 【详解】对于选项A，因为，为整数， 则第80百分位数是第4项与第5项数据的平均值，即，所以A错误； 对于选项B，因为数据的平均数为3，， 所以数据的平均数为， 所以数据,的平均数为，所以B正确； 对于选项C，因为数据的极差为6，所以， 根据可知：，， 所以，所以C正确； 对于选项D，因为数据的方差为4，， 所以根据方差的性质可知：数据的方差为，所以D正确. 故选：BCD 10. 已知函数，则（ ） A. 为的周期 B. 的图象关于对称 C. 的图象关于点对称 D. 是奇函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数的周期性，对称性，奇偶性的定义，和诱导公式，分别判断各选项正误. 【详解】已知， 则， 可得，所以为的周期，A正确. 可知， 可得，则B错误，C正确. 可知， 则，可知， 所以是奇函数，所以D正确. 故选：ACD. 11. 已知数列满足，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 若数列为常数列，则或 C. 若数列为递增数列，则 D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】令可得，据此判断A，令，由递推关系求出即可判断B，根据B及条件数列为递增数列，分类讨论求出或时判断C，通过对取对数，构造等比数列求解即可判断D. 【详解】对于A，当时，， 令，则，，故， 即，故A正确； 对于B，若数列为常数列，令，则，解得或， 或，故B正确； 对于C，令，则， 若数列为递增数列，则数列为递增数列， 则，解得或， 当时，，且， ，此时数列为递增数列，即数列为递增数列； 当时，，且， ，此时数列不为递增数列，即数列不为递增数列； 当时，， ，此时数列为递增数列，即数列为递增数列. 综上所述，当或，即或时，数列为递增数列，故C错误； 对于D，令，则，， 则，， 数列是首项为1，公比为2的等比数列， ，即，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则的值等于______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据分段函数，代入求值即可. 【详解】， 所以. 故答案为：1. 13. 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）． 【答案】64 【解析】 【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解. 【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种； （2）当从8门课中选修3门， ①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种； ②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种； 综上所述：不同的选课方案共有种. 故答案为：64. 14. 光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共焦点、的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时0.003秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒；已知与的离心率之比为，则________秒. 【答案】0.018 【解析】 【分析】根据椭圆和双曲线的定义推得和的周长，然后根据时间速度以及路程之间的关系列出等式，即可解得答案. 【详解】设 ，设椭圆的长轴长为 ，双曲线的实轴长为 ，光速为 ， 而与的离心率之比为，即 ，即 ， 在图①中， ， 两式相减得：， 即.即 的周长为， 在图②中，的周长为, 由题意可知： ， 则 ，故 （秒）， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）证明：a，b，c成等差数列； （2）求B的最大值． 【答案】（1） 由， 结合正弦定理可得， 整理得，① 因为，所以，② 将②代入①，得， 再由正弦定理得，故a，b，c成等差数列． （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理的边角互化以及正弦的和差角公式代入计算，即可证明； （2）由余弦定理结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由余弦定理得 ， 当且仅当时，等号成立， 由，可得， 所以B的最大值为． 16. 已知函数． （1）若，求在处的切线方程． （2）当时，证明：有两个不同的极值点． （3）讨论的单调性． 【答案】（1）； （2） 由题设，则， 由函数定义域为，则当时，当或时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 显然有两个不同的极值点，分别为和，得证. （3） 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程即可； （2）对函数求导研究单调性，即可证结论； （3）对函数求导，讨论参数a范围，研究对应的单调性即可. 【小问1详解】 由题设，则， 所以，，故切线方程为， 整理得. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题设，且， 当时，，故当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当时，由得，由得或， 所以在上单调递减，在上单调递增； 当时，恒成立，即在上单调递减； 当时，由得，由得或， 所以在上单调递减，在上单调递增. 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，平面． （1）求证：； （2）当时，求二面角的余弦值． 【答案】（1）平面，平面， ． ，且，,平面， 平面， 平面， ； （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理，结合线面垂直的判断定理，即可证明； （2）利用垂直关系，以点的中点为原点，建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用法向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连结， ，， 平面，平面， ，，平面， 平面， 取中点，又，． 分别以OA，OM，OP为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 在等腰中，，． ，，，，， 设平面的一个法向量为， ，， ，，令，得，， 设平面的一个法向量为， ，， ，则，令，得，，． ． 注意到二面角的平面角为钝角， 二面角的余弦值为． 18. 记抛物线的焦点为F，过原点O作斜率为1的直线l，l与E交于另一点，取的中点，直线与E交于另一点，取的中点，以此类推，记直线的斜率为． （1）求点的坐标； （2）证明：是递减数列； （3）记的面积为，证明：． 【答案】（1） （2）证明：联立，解得点， 所以，， 所以. 又因为，故，于是，即，故是递增数列. 又由，可知是递减数列，于是是递减数列. （3）证明：由（2）得，当时，，， 利用割补法，知 . 而，故. 而，故； 又，故， 由累乘法可知， 而，故. 故. 综上，. 【解析】 【分析】（1）联立，可解得，的坐标，进一步可求直线的方程，联立直线与抛物线方程即可求解； （2）联立，可解得，的坐标，根据斜率公式可得. 又因为，故，，即是递增的正数数列，是递减数列，即可证明； （3）由（2）得，当时，，，利用割补法及（2）中化简可得，又，故.根据可知；由可知，进而可得，故，即可证明. 【小问1详解】 如图所示，联立，解得或，故. 又，所以，，故直线， 联立，解得或，故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 现市场上治疗某种疾病的药品有两种，其治愈率与患者占比如表所示，为试验一种新药，在有关部门批准后，某医院把此药给100个病人服用．设药的治愈率为，且每位病人是否被治愈相互独立． A B C（新药） 治愈率 患者占比 （1）记100个病人中恰有80人被治愈的概率为，求的最大值点； （2）设用新药的患者占比为（药品减少的患者占比，均为新药增加占比的一半，，以（1）问中确定的作为的值，从已经用药的患者中随机抽取一名患者，求该患者痊愈的概率（结果用表示） （3）按照市场预测，使用新药的患者占比能达到以上，不足的概率为，不低于且不超过的概率为，超过的概率为，某药企计划引入药品的生产线，但生产线运行的条数受患者占比的影响，关系如下表： 患者占比 最多投入生产线条数 1 2 3 若某条生产线运行，年利润为1000万，若某条生产线未运行，年亏损300万，欲使该药企生产药品的年总利润均值最大，应引入几条生产线？ 【答案】（1） （2） （3）引入两条生产线 【解析】 【分析】（1）由题意，得到的解析式，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性，进而可解； （2）设事件为“从患者人群中抽一名痊愈者”，事件为“该患者服用药品治疗”，事件为“该患者服用药品治疗”，事件为“该患者服用药品治疗”，代入概率公式求解即可； （3）设随机变量为生产药品产生的年利润，分别讨论投入1条，2条，3条生产线时所对应的概率，代入期望公式求解，比较大小即可得解. 【小问1详解】 100个病人中恰好有80人被治愈的概率为， 则， 令，得， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以的最大值点为. 【小问2详解】 设事件“从患者人群中抽一名痊愈者”，事件“该患者服用药品治疗”， 事件“该患者服用药品治疗”，事件“该患者服用药品治疗”， 则 因此： 所以. 【小问3详解】 设随机变量为生产药品产生的年利润 ①若投入1条生产线，由于服用药品的患者的占比总大于，所以一条生产线总能运行， 此时对应的年利润 ②若投入2条生产线，当，1条生产线运行， 年利润，当时，2条生产线运行， 年利润， 此时的分布列如下： 700 2000 所以； ③若投入3条生产线，当时，1条生产线运行， 年利润 ， 当时2条生产线运行，年利润， 当时，3条生产线运行，年利润， 此时的分布列如下： 400 1700 3000 所以 综上所述，欲使该药企生产药品的年度总利润均值最大，应引入两条生产线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $