精品解析：湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期5月适应性检测数学试题

湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期5月适应性检测数学试题 时限：120分钟 满分：150分 命审题：高三数学备课组 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 图中的阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数 ，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 3. 在平面直角坐标系xOy中，设角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，，则（ ） A. -2 B. C. D. 2 4. 如图，在平行四边形ABCD中，为CD的中点，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 5. 数列的前2025项和为（ ） A. 1012 B. C. 1013 D. 6. 某地统计了辖区内从2017年至2024年这8年的新能源汽车和纯电动汽车的销量（单位：百辆），得到如下折线图： 现对2021年至2024年这4年的数据进行分析，设新能源汽车的销量数据和纯电动汽车的销量数据的方差分别为和，新能源汽车的销量数据和纯电动汽车的销量数据的年平均增长率分别为和，则（ ） A. B. C. D. 7. 正三棱柱的9条棱长均相等，且体积为36．P，Q，R分别是棱上的点，其中，则几何体的体积为（ ） A. 22 B. 23 C. 24 D. 25 8. 已知函数的定义域为，且满足下列性质： ①；② 则下列说法一定正确的为（ ） A. 在 上无最小值 B. 在上单调递减 C. 在 上有最小值 D. 在上单调递增 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分. 9. 使关于的不等式成立的充分不必要条件是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 10. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 11. 在平面直角坐标系xOy中，为坐标原点.已知曲线，点为曲线上的任意一点，下列结论正确的是（ ） A. 曲线关于轴对称 B. 曲线围成的封闭图形的面积大于 C. 过原点的直线与曲线有且仅有两个交点 D. 点到原点的距离不超过3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知抛物线，直线与 交于两点，为弦的中点，则直线的斜率为______． 13. 若函数在区间上单调，则的取值范围为______. 14. 甲乙两位同学一起玩掷骰子的游戏，骰子为均匀的正方体，且正方体的六个面上分别标注了点数.现甲乙两位同学轮流掷骰子，规定玩家完成一轮投掷的规则如下： ①玩家开始投掷骰子，若玩家掷出的点数为6，则获得6分，且玩家继续掷骰子，本轮投掷继续； ②若玩家掷出的点数小于6，则获得相应点数的得分，此时将骰子交给对手投掷，该玩家完成了一轮投掷. 称甲乙两人各完成一轮投掷为完成了一轮游戏，则甲在三轮游戏中共得14分的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）若为的极值点，求 ； （2）当时，恒成立，求 的取值范围. 16. 在三棱柱中，底面ABC是正三角形， ，. （1）求证：； （2）若，且 ，求直线与平面所成角的余弦值. 17. 设是坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，离心率. （1）求双曲线的标准方程； （2）直线交双曲线的右支于 两点，且关于轴的对称点为的外心为. （i）求外心的坐标（用表示）； （ii）求的取值范围. 18. 盒子里有编号为 的个大小、形状、质地完全相同的小球，在盒子中连续有放回地取出两个小球，记为第次取出的小球的编号， （1）试计算比大的概率； （2）求的分布列和期望； （3）已知随机变量的期望具有线性可加性，即对于随机变量 ，有 ，试分别计算的期望.其中， 表示a，b中的最小者，表示a，b中的最大者. （参考公式：）． 19. 已知集合，其中，集合．定义运算，记|A|为集合中元素的个数. （1）若，求的值； （2）若集合中的元素构成等差数列，且公差. （i）当时，求的最小值； （ii）当时，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期5月适应性检测数学试题 时限：120分钟 满分：150分 命审题：高三数学备课组 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 图中的阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图知，阴影部分为集合与的公共部分，且不在集合中，再用集合表示出. 【详解】由韦恩图知，阴影部分集合为与的交集，再与集合的补集的交集， 所以表示的集合为. 故选：D 2. 已知复数 ，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先求，代入后，再利用复数模的公式求解即可. 【详解】因为复数 ，所以 所以， 故选：A. 3. 在平面直角坐标系xOy中，设角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，，则（ ） A. -2 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数的定义求出 ，再结合诱导公式可得. 【详解】由题意可得，， 则，解得（舍去）. 故选：B 4. 如图，在平行四边形ABCD中，为CD的中点，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质，将与用和表示出来，然后根据向量数量积的运算律进行展开，最后结合已知条件求解AB的长度. 【详解】用和表示与，在平行四边形中，. 因为为 的中点，所以，又因为在平行四边形中，则. 那么，，，所以. 已知，，则. 可得：. 已知，，设， 则， 即，. 所以. 因为，即，得，则或. 因为AB为平行四边形的边，长度不为，所以舍去，故 . 故选：A. 5. 数列的前2025项和为（ ） A. 1012 B. C. 1013 D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过将数列的前2025项和进行分组，根据相邻两项的规律，并项求出和. 【详解】设数列的前项和为，则. 可以将相邻两项看作一组，即，，， ，，一共有组，还剩下最后一项2025. 每一组的值都为，例如，，，以此类推. 因为一共有1012组，每组的值为，所以前2024项分组后的和为. 等于前2024项分组后的和加上最后一项2025，即. 故选：C. 6. 某地统计了辖区内从2017年至2024年这8年的新能源汽车和纯电动汽车的销量（单位：百辆），得到如下折线图： 现对2021年至2024年这4年的数据进行分析，设新能源汽车的销量数据和纯电动汽车的销量数据的方差分别为和，新能源汽车的销量数据和纯电动汽车的销量数据的年平均增长率分别为和，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用方差公式计算可得和的大小，计算出两类车的年增长率，进而可得年均增长率，可得和. 【详解】因为2021年至2024年这4年新能源汽车的销量数据为， 平均数为， 所以 ， 2021年的年增长率为，2022年的年增长率为， 2023年的年增长率为，2024年的年增长率为， 这四年的新能源汽车的销量数据和年平均增长率分别为； 因为2021年至2024年这4年纯电动汽车的销量数据为， 平均数为， 所以 ， 2021年的年增长率为，2022年的年增长率为， 2023年的年增长率为，2024年的年增长率为， 这四年的纯电动汽车的销量数据和年平均增长率分别为； 所以. 故选：B 7. 正三棱柱的9条棱长均相等，且体积为36．P，Q，R分别是棱上的点，其中，则几何体的体积为（ ） A. 22 B. 23 C. 24 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】先根据正三棱柱体积公式求出的值，再分别计算四棱锥的体积、三棱柱的体积，最后将四棱锥体积与三棱柱体积相加得到几何体的体积. 【详解】设正三棱柱的9条棱长均为a ， 已知正三棱柱的体积为，化简可得得. 设 的中点为，的中点为. 因为，，，所以，. 又因为到平面的距离等于到的距离，即为. 根据四棱锥体积公式四棱锥的底面积为，高为，则其体积为： 将代入上式可得：. 因为三棱柱的体积为正三棱柱的体积的一半，正三棱柱体积为36，所以三棱柱的体积为. 几何体的体积等于四棱锥的体积与三棱柱的体积之和，即. 故选：B. 8. 已知函数的定义域为，且满足下列性质： ①；② 则下列说法一定正确的为（ ） A. 在 上无最小值 B. 在上单调递减 C. 在 上有最小值 D. 在上单调递增 【答案】C 【解析】 【分析】利用题给条件构造函数，结合二次函数的性质，即可得到在上不一定单调递增或单调递减，在 上有最小值. 【详解】由于函数的定义域为，且， 令，则， 得，抛物线对称轴为 由可得， 解之得，则， 故在上不一定单调递增或单调递减，选项不确定， 由于表示开口向上的抛物线， 故函数在取得最小值，即在 上有最小值. 故选项C正确，选项A错误． 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分. 9. 使关于的不等式成立的充分不必要条件是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】ABC 【解析】 【分析】先化简不等式，再根据充分不必要条件判断即可. 【详解】不等式等价于， 则与同正或同负，即或， 对于A，由且 能推出或，但由或不能推出且 ，故A符合题意； 对于B，由 且能推出或，反之不能，故B符合题意； 对于C，且等价于且 ， 故且能推出或，反之不能，故C符合题意； 对于D，且等价于或 且 或， 故且不能推出或，故D不符合题意. 故选：ABC. 10. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】求导，分四种情况讨论求解即可. 【详解】， 当时，若 ，得，即函数在上单调递减， 若 ，得，即函数在上单调递增， 此时函数有最小值为，且，故B符合题意，A不符合题意； 当时，若 ，得，即函数在上单调递减， 若 ，得，即函数在上单调递增， 此时函数有最小值为，故C符合题意； 当时，若 ，得，即函数在上单调递减， 若 ，得，即函数在上单调递增， 此时函数有最小值为，且，故D符合题意； 当时，恒成立，则函数在上单调递增. 故选：BCD 11. 在平面直角坐标系xOy中，为坐标原点.已知曲线，点为曲线上的任意一点，下列结论正确的是（ ） A. 曲线关于轴对称 B. 曲线围成的封闭图形的面积大于 C. 过原点的直线与曲线有且仅有两个交点 D. 点到原点的距离不超过3 【答案】ABD 【解析】 【分析】A证明关于轴的对称点也在曲线上；B根据曲线与圆的位置关系判断；C举反例，取；D利用即可求证. 【详解】对于选项A：因为曲线上任意一点，则， 则仍成立， 即关于轴的对称点也在曲线上，故A选项正确； 对于选项B：易知， 即曲线C上的点在圆的圆周上或其外部， 又圆的面积为，故面积大于，B选项正确； 对于选项C：取，方程化简为，解得，故有3个交点， 故C选项不正确； 对于选项D：，所以，D选项正确； 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知抛物线，直线与交于两点，为弦的中点，则直线的斜率为______． 【答案】1 【解析】 【分析】写出直线的方程，与抛物线方程联立，运用韦达定理求解. 【详解】由题意直线的方程为 ，即 ，与抛物线方程联立： ，得， 即，， 解得 . 故答案为：1. 13. 若函数在区间上单调，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】在指定区间内求出相位的范围，再利用正弦函数单调性列式求解. 【详解】当时，，依题意，，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 14. 甲乙两位同学一起玩掷骰子的游戏，骰子为均匀的正方体，且正方体的六个面上分别标注了点数.现甲乙两位同学轮流掷骰子，规定玩家完成一轮投掷的规则如下： ①玩家开始投掷骰子，若玩家掷出的点数为6，则获得6分，且玩家继续掷骰子，本轮投掷继续； ②若玩家掷出的点数小于6，则获得相应点数的得分，此时将骰子交给对手投掷，该玩家完成了一轮投掷. 称甲乙两人各完成一轮投掷为完成了一轮游戏，则甲在三轮游戏中共得14分的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】分两种情况讨论，其一三轮游戏中未掷出6点，其二，拋掷4次骰子，有且只有一次掷出6点，再利用独立事件的概率公式计算即可. 【详解】①甲在三轮游戏中未掷出6点时，则三轮得分为5，5，4，共有3种情况，概率为，②甲在三轮游戏中掷出过6点时，则仅可能在其中一轮掷出一次6点，共有3种情况，且仅拋掷4次骰子， 分别记另外三次掷出的点数为，则，且， 利用隔板法可得，共有种情况（其中3指的是两次1，一次6的情况）， 概率为， 综上，甲在三轮游戏中共得14分的概率 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）若为的极值点，求； （2）当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，根据为的极值点，可得，即可求出； （2）法一：利用分离参数法可得对于恒成立，构造函数，再利用导数求出函数的最小值即可得解. 法二：根据当时，有，解得，再充分性，即证当时，时，有，进而可得出答案. 【小问1详解】 ，由于为的极值点， 所以，解得 ， 当 时，令，则， 所以在 上单调递增，又 ， 所以当时，单调递减， 所以当时，单调递增， 故 ； 【小问2详解】 法一：由题意有对于恒成立， 即对于恒成立， 当时，，故对于恒成立， 令， 则时，， 当且仅当时， 成立， 所以在 上单调递增，所以，所以， 法二：当时，有，即当时，有，解得； 下证充分性，即证当时，时，有， 即证当时，有，记， ，故 在上单调递减， 则， 记，则， 当时，，当且仅当时，成立， 即在上单调递增，故， 故当时，有恒成立. 16. 在三棱柱中，底面ABC是正三角形， ，. （1）求证：； （2）若，且 ，求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）过点作 平面ABC于点平面ABC，所以 ， 又平面， 平面平面， 同理可证 ，又是正三角形，则是的中心， 连接AO，CO并延长交BC，AB于E，F，则E，F分别为BC，AB的中点， 又 平面 平面，故， 同理可证， 综上，. （2） 【解析】 【分析】（1）先证得点在平面ABC内的射影是的中心，进而证得； （2）法一先作出直线与平面所成角，再解三角形即可求得该角的余弦值；法二建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求得直线与平面所成角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：由（1）知，三棱锥是正三棱锥， 且在底面ABC内的投影为等边的中心， 又，故三棱锥的三个侧面 均为直角三角形， 且，则，又 ， 可知，则， 解得,在平面中过作， 交延长线于点，则平面， 则即为直线与平面所成角，其中 ， 故 即直线与平面所成角的余弦值. 法二：以BC的中点为坐标原点，以EA，EB为x，y的正方向， 过且与平行的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 因为， 则，取，则， 又， 设直线与平面所成角为，， 所以，故， 即直线与平面所成角的余弦值. 17. 设是坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，离心率. （1）求双曲线的标准方程； （2）直线交双曲线的右支于 两点，且关于轴的对称点为的外心为. （i）求外心的坐标（用表示）； （ii）求的取值范围. 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的方程知，根据离心率及 列式计算即可； （2）（i）联立直线与双曲线的方程，由韦达定理可求得线段 的中点坐标为，又线段的垂直平分线方程为，联立求解即可得点；（ii）分别求出与 ，结合（i）化简求解即可. 【小问1详解】 由双曲线的方程知，，又离心率，故 ， 因为， 故双曲线的方程为； 【小问2详解】 （i）直线 的方程为 ， 联立，得， 故且， 设， 则， ， 由已知，所以， 所以线段 的中点坐标为， 所以线段 的垂直平分线方程为， 又线段的垂直平分线方程为， 所以点的坐标为， （ii）由题意，右焦点，故， ， 所以，则由知， 所以，即， 所以的取值范围为. 18. 盒子里有编号为 的个大小、形状、质地完全相同的小球，在盒子中连续有放回地取出两个小球，记为第次取出的小球的编号， （1）试计算比大的概率； （2）求的分布列和期望； （3）已知随机变量的期望具有线性可加性，即对于随机变量 ，有 ，试分别计算的期望.其中， 表示a，b中的最小者，表示a，b中的最大者. （参考公式：）． 【答案】（1） （2）的分布列为： Z 0 1 （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可知，再由概率的性质即可求解； （2）由题可知可能取值为 ，其中，，再由数学期望的计算公式求解即可； （3）方法一：求得，，分别求出，，再由随机变量的期望具有线性可加性计算即可.方法二：， 分别算出，，再由随机变量的期望具有线性可加性计算即可. 【小问1详解】 由题意可知，且 所以. 【小问2详解】 的可能取值为 ∴的分布列为： Z 0 1 【小问3详解】 法一：， 的可能取值为 ， ，同理有 法二：的可能取值为 ， ，同理有， 又， 由期望得线性可加性有： ① ② 联立①②解得. 19. 已知集合，其中，集合．定义运算，记|A|为集合中元素的个数. （1）若，求的值； （2）若集合中的元素构成等差数列，且公差. （i）当时，求的最小值； （ii）当时，求的最小值. 【答案】（1） （2）（i）5；（ii）4050 【解析】 【分析】（1）当 ，先按条件确定 ，再根据 定义找出元素，最后数元素个数得 . （2）（i）解法一：设 元素，算 元素，让 、 相同元素最多求 最小. 解法二：由等差性质得范围，结合 最小元素确定 范围，用公式求 最小. （i i）先证引理确定 元素及，再根据 、 元素关系确定 范围，用公式求 最小，最后代入 求值. 【小问1详解】 若，则，此时，， ，所以. 【小问2详解】 （i）解法一：设，则有， ， 所以，为使最小，应尽量使A，B中相同元素最多， 而，故A，B中最多一个相同元素，令，即时，最小， ，此时. 解法二：由构成严格递增的等差数列可知，，则必有 又中最小元素为，则，则有，所以， 另一方面，当时，，此时， 综上，时，的最小值为5. （ii）引理：当时，集合中的元素构成公差为的等差数列，则 引理的证明：对任意 当时，，当时，， 因此有； 另一方面，再证明可以取到满足的所有整数， ①取，当依次取时，可取到满足的所有整数； ②取，当 依次取时，可取到满足的所有偶数； ③取，当 依次取时，可取到满足 或的所有奇数； ④取，此时 ， 由上述讨论可知，可以取到满足的所有整数，此时有 综上，引理得证． 故当时，，， 又，即，则有， 所以； 另一方面，当时，，，， 此时， 综上，当时，的最小值为2n，所以，当时，的最小值为4050. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $