精品解析：江苏省太湖高级中学2024-2025学年高二下学期5月阶段性测试数学试题

江苏省太湖高级中学高二年级阶段性测试（数学） 一、单选题（本大题共8小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 设集合，，则． A. B. C. D. 2. 已知点(,27)在幂函数的图象上，则＝（　　） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 3. 设偶函数在上单调递增，则满足的的范围是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集是，则的解集是（ ） A. B. C 或 D. 或 5 若随机变量X服从正态分布，随机变量Y服从正态分布，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数（，且）在R上单调递增，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 若定义在R上的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，共18分．在每小题有多项符合题目要求） 9. 甲公司从某年起连续7年的利润情况如下表所示． 第x年 1 2 3 4 5 6 7 利润y（亿元） 2.9 3.3 3.6 4.4 m 5.2 5.9 根据表中的数据可得回归直线方程为，则以下正确的是（ ） A. B. 相关系数 C. 第8年的利润预计大约为8.3亿元 D. 第6个样本点的实际值比预测值小0.1 10. 若a，b均为正数，且满足，则（ ） A. 的最大值为2 B. 的最小值为4 C. 的最小值是6 D. 的最小值为 11. 已知偶函数满足：，且当0≤x≤2时，，则下列说法正确的是（ ） A. －2≤x≤0时， B. 点（1，0）是f(x)图象的一个对称中心 C. f(x)在区间[－10，10]上有10个零点 D. 对任意，都有 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 在的展开式中，常数项是______. 13. 函数的单调减区间是_____． 14. 若关于x的方程有4个不相等的实数根，则实数m的取值范围是____________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 设全集为R，集合． （1）若，求； （2）若，求实数a的取值范围． 16. 设函数． （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若，且都有， ①求的最大值； ②若在上恒成立，求实数的取值范围． 17. 某小微企业对其产品研发的年投入金额（单位：万元）与其年销售量（单位：万件）的数据进行统计，整理后得到如下的数据统计表： 1 5 7 8 9 2 3 6 8 11 0.7 1.1 1.8 2.1 2.4 （1）公司拟分别用①和②两种模型作为年销售量关于年投入金额的回归分析模型，根据上表数据，分别求出两种模型的经验回归方程； （2）统计学中常通过残差的平方和比较两个模型的拟合效果，若模型①和②的残差的平方和分别为9.9和3.2，请在①和②中选择拟合效果更好的模型，并估计当年投入金额为10万元时的年销售量． 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：． 参考数据：，，． 18. 近年来，随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活，某小区将一周网上买菜次数超过3次的居民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的居民认定为“不喜欢网上买菜”．为了解该社区居民网上买菜的情况，工作人员随机抽取了该社区100名居民，得到的统计数据如下表所示： 喜欢网上买菜 不喜欢网上买菜 合计 年龄不超过45岁的居民 40 10 50 年龄超过45岁居民 20 30 50 合计 60 40 100 （1）试根据独立性检验，分析该社区的居民是否喜欢网上买菜与年龄有关系． （2）居民小张周一、二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜．如果周一选择在A平台买菜，那么周二选择在A平台买菜的概率为；如果周一选择在B平台买菜，那么周二选择在A平台买菜的概率为，求小张周二选择在B平台买菜的概率． （3）用频率估计概率，现从该社区随机抽取10名居民，记其中喜欢网上买菜的居民人数为随机变量X，求X的数学期望和方差． 参考公式及数据：，其中． a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19. 已知，函数． （I）求曲线在点处的切线方程： （II）证明存在唯一的极值点 （III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省太湖高级中学高二年级阶段性测试（数学） 一、单选题（本大题共8小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 设集合，，则． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 对集合用列举法进行表示，对集合用不等式描述集合元素特征，然后根据集合交集的运算法则，求出. 【详解】因为，， 所以，故本题选A. 【点睛】本题考查了集合交集的运算、集合的表示方法.本题易错的地方是认为自然数集不包括零.解决集合问题的关键是对集合元素属性特征的认识. 2. 已知点(,27)在幂函数的图象上，则＝（　　） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由幂函数过(,27)，结合幂函数图象的第一象限必过(1,1)，可得、的值，即可求 【详解】由点(,27)在幂函数的图象上 ∴，即 在第一象限必过(1,1)，有，即 综上，有 ∴= 0 故选：B 【点睛】本题考查了幂函数，由幂函数过已知点且第一象限图象必过(1,1)求参数值，进而求出目标式的值，属于简单题 3. 设偶函数在上单调递增，则满足的的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用单调性对不等式进行转化，然后得到答案. 【详解】由于是偶函数，且在上递增，故原不等式等价于. 此即，解得. 故选：C. 4. 不等式的解集是，则的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据不等式的解集求出的值，可求出的解集. 【详解】因为不等式的解集是， 所以是方程的两个根. 所以，解得. 所以不等式化简得. 所以. 故选：B. 5. 若随机变量X服从正态分布，随机变量Y服从正态分布，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布的期望和方差公式以及对称性，即可判断选项. 【详解】由正态分布的性质可知，，则，故A错误； ，则，故B错误； 随机变量所服从的正态分布密度曲线关于轴对称，所以，故C正确； ， ，，故D错误. 故选：C 6. 已知函数（，且）在R上单调递增，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性，得到每段函数的单调性，以及在分界点处比较函数值大小，即可得到的取值范围. 【详解】由条件可知，，单调递增，即，得， ，单调递增，得， 且在分界点处满足条件，得， 上述三个不等式求交集得的取值范围是. 故选：D 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件概率公式求出，再由全概率公式求得，再用条件概率求. 【详解】，， ，， . 故选：C. 8. 若定义在R上的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，由已知可得，结合，可解不等式. 【详解】因为，所以，所以， 令，则函数在上单调递增， 因为，所以， 原不等式等价于，即，所以， 所以不等式的解集是. 故选：A. 二、多选题（本大题共3小题，共18分．在每小题有多项符合题目要求） 9. 甲公司从某年起连续7年的利润情况如下表所示． 第x年 1 2 3 4 5 6 7 利润y（亿元） 2.9 3.3 3.6 4.4 m 5.2 5.9 根据表中的数据可得回归直线方程为，则以下正确的是（ ） A. B. 相关系数 C. 第8年的利润预计大约为8.3亿元 D. 第6个样本点的实际值比预测值小0.1 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线性回归方程，逐项分析即可. 【详解】由表可知， ， ， 根据回归直线的性质，样本中心点必须在直线上，  ， 解得m=4.8，故A正确； 由表可知，y是随着x的增加而增加的，即是正相关，故B正确； 将带入回归方程，得 ，故C错误； 将带入回归方程，得 ，由表可知，实际值为5.2， 故D正确； 故选：ABD 10. 若a，b均为正数，且满足，则（ ） A. 的最大值为2 B. 的最小值为4 C. 的最小值是6 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据基本不等式、二次函数的性质对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，， 当且仅当时等号成立，A选项正确. B选项， ，但由解得，不满足， 所以等号不成立，所以B选项错误. C选项，， 当且仅当时等号成立，所以C选项错误. D选项，， 所以当，时， 取得最小值，D选项正确. 故选：AD 11. 已知偶函数满足：，且当0≤x≤2时，，则下列说法正确的是（ ） A. －2≤x≤0时， B. 点（1，0）是f(x)图象的一个对称中心 C. f(x)在区间[－10，10]上有10个零点 D. 对任意，都有 【答案】AC 【解析】 【分析】由偶函数的定义得解析式，判断A，由上的解析式判断B，已知条件得是一条对称轴，这样函数是周期函数，周期为4，利用周期性可判断零点个数，判断C，由最值判断D． 【详解】因为是偶函数，所以时，，A正确； 在上，不关于对称，因此不是的一个对称中心，B错； 由得，因此在上，有两个零点， 又，所以是函数图象的一条对称轴， ，所以是周期函数，周期为4，因此在上各有2个零点，在上共有10个零点，C正确； 由周期性知，，，D错． 故选：AC． 【点睛】思路点睛：本题考查函数的奇偶性、对称性与周期性，解题关键是由两个对称性得出函数具有周期性，因此只要在一个周期内确定函数的零点，从而可得函数的性质可得整个定义域上函数的性质． 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 在的展开式中，常数项是______. 【答案】15 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项特征，即可求解. 【详解】由题意展开式的通项为， 令即，则，所以的展开式中的常数项为. 故答案为：. 13. 函数单调减区间是_____． 【答案】 【解析】 【分析】首先求函数的定义域，再求函数的单调递减区间，最后求交集，即可求解. 【详解】由，得：或， 所以函数的定义域为， 函数的单调递减区间是， 再和定义域求交集得. 故答案为： 14. 若关于x的方程有4个不相等的实数根，则实数m的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】画出函数的图象后可求实数m的取值范围. 【详解】设，则， 故的图象如图所示： 由图象可得：若有4个不同的实数根，则， 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 设全集为R，集合． （1）若，求； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1）或；或. （2）或. 【解析】 【分析】（1）分别求两个集合的解集，再求并集和混合运算； （2）首先求，再根据条件，讨论和两种情况，列不等式求参数的取值范围. 【小问1详解】 不等式， 即，解得：或， 所以或， 当时，，所以或， 或，所以或. 【小问2详解】 ，若 当，即，得满足条件， 当，则或，解得：或， 综上可知，或. 16. 设函数． （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若，且都有， ①求的最大值； ②若在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】(1)根据一元二次不等式的解集即可求解； (2) ①根据题意可得函数关于直线对称，利用二次函数的对称轴得出，再结合基本不等式即可求解. ②通过参变分离求最值即可求解. 【小问1详解】 依题意可知：和是方程的两根，且抛物线的开口方向向下， ∴且 ∴, ∴, ∴； 【小问2详解】 ①由知关于直线对称， 即 又∵， 当且仅当时等号成立. ∴的最大值为 ②由①，可得：， 则在上恒成立，即在上恒成立， 即在上恒成立， 所以. 又若，， 综上实数的取值范围. 17. 某小微企业对其产品研发的年投入金额（单位：万元）与其年销售量（单位：万件）的数据进行统计，整理后得到如下的数据统计表： 1 5 7 8 9 2 3 6 8 11 0.7 1.1 1.8 2.1 2.4 （1）公司拟分别用①和②两种模型作为年销售量关于年投入金额的回归分析模型，根据上表数据，分别求出两种模型的经验回归方程； （2）统计学中常通过残差的平方和比较两个模型的拟合效果，若模型①和②的残差的平方和分别为9.9和3.2，请在①和②中选择拟合效果更好的模型，并估计当年投入金额为10万元时的年销售量． 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：． 参考数据：，，． 【答案】（1）， （2）模型②拟合效果更好，11.94万件 【解析】 【分析】（1）求出变量的均值后，根据经验回归方程中的公式计算即可求出系数，得到回归方程； （2）根据残差平方和选择模型，利用模型的回归方程预测时的销售量即可. 【小问1详解】 由题知， 所以， 所以，， 所以模型①的经验回归方程为， 由，两边取自然对数可得，即， 所以，， 所以模型②的经验回归方程为 【小问2详解】 因为，即②的残差平方和较小，所以，模型②的拟合效果更好. 所以当时，， 即当年投入金额为10万元时的年销售量的估计值为11.94万件. 18. 近年来，随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活，某小区将一周网上买菜次数超过3次的居民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的居民认定为“不喜欢网上买菜”．为了解该社区居民网上买菜的情况，工作人员随机抽取了该社区100名居民，得到的统计数据如下表所示： 喜欢网上买菜 不喜欢网上买菜 合计 年龄不超过45岁的居民 40 10 50 年龄超过45岁的居民 20 30 50 合计 60 40 100 （1）试根据的独立性检验，分析该社区的居民是否喜欢网上买菜与年龄有关系． （2）居民小张周一、二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜．如果周一选择在A平台买菜，那么周二选择在A平台买菜的概率为；如果周一选择在B平台买菜，那么周二选择在A平台买菜的概率为，求小张周二选择在B平台买菜的概率． （3）用频率估计概率，现从该社区随机抽取10名居民，记其中喜欢网上买菜的居民人数为随机变量X，求X的数学期望和方差． 参考公式及数据：，其中． a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）在犯错概率不超过的情况下，喜欢网上买菜与年龄有关； （2） （3），. 【解析】 【小问1详解】 假设：社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄无关. 由给定的列联表，得：. 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为是否喜欢网上买菜与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于. 【小问2详解】 设表示周在A平台买菜，表示周在B平台买菜， 由题可得， 由全概率公式，小张周二选择平台买菜的概率为： ； 【小问3详解】 依题意，喜欢网上买菜的概率为：. 从社区随机抽取10名市民，其中喜欢网上买菜的市民人数服从二项分布：， 所以，. 19. 已知，函数． （I）求曲线在点处的切线方程： （II）证明存在唯一的极值点 （III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围． 【答案】（I）；（II）证明见解析；（III） 【解析】 【分析】（I）求出在处导数，即切线斜率，求出，即可求出切线方程； （II）令，可得，则可化为证明与仅有一个交点，利用导数求出的变化情况，数形结合即可求解； （III）令，题目等价于存在，使得，即，利用导数即可求出的最小值. 【详解】（I），则， 又，则切线方程； （II）令，则， 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 当时，，，当时，，画出大致图像如下： 所以当时，与仅有一个交点，令，则，且， 当时，，则，单调递增， 当时，，则，单调递减， 为的极大值点，故存在唯一的极值点； （III）由（II）知，此时， 所以， 令， 若存在a，使得对任意成立，等价于存在，使得，即， ，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，故， 所以实数b的取值范围. 【点睛】关键点睛：第二问解题的关键是转化为证明与仅有一个交点；第三问解题的关键是转化为存在，使得，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $