1.3【专题】利用勾股定理解决折叠问题（5大基本题型） 课时同步训练 2025～2026学年 北师大版数学八年级上册

2025~2026学年度北师大版数学八年级上册课时同步训练 第一章 勾股定理 1.3 勾股定理的应用 【专题】利用勾股定理解决折叠问题（5大基本题型） 【专题概述】 1 【例1】直角三角形折叠 2 【例2】长方形折叠 3 【例3】正方形折叠 4 【例4】动态问题中的折叠 5 【例5】折叠后产生的面积问题 6 【专题概述】 1. 折叠的本质是轴对称变换，关键性质包括： （1） 全等关系：折叠前后图形全等，对应边、角相等 （2） 折痕的作用：折痕是对称轴，可能隐含角平分线或垂直平分线 （3） 直角三角形的生成：折叠常构造新直角三角形，便于用勾股定理列方程 2. 解题步骤（六步法）： （1） 找折痕：确定对称轴（折痕所在直线） （2） 标等量：标注折叠前后的相等线段和角 （3） 设未知数：设所求线段长为x （4） 列勾股方程：在关键直角三角形中应用 （5） 解方程：求未知数 （6） 验结果：检查是否符合几何约束（如边长非负、三角形存在性） 3. 总结与技巧 （1） 模型识别： 折叠类型 关键特征 解题工具 直角三角形 沿直角边/斜边折叠 30°~60°性质、勾股定理 长方形 沿对角线折叠 全等三角形、勾股方程 正方形 多顶点重合 共线分析、方程思想 （2） 易错点： a. 忽略折叠后的共线关系（如正方形例题） b. 未验证解的合理性（如边长需满足三角形不等式） 【例1】直角三角形折叠 【典例】如图，中，，，，，将折叠，使A点与的中点D重合，折痕为，则线段的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式1】如图，中，，，，将点折叠到边的点处，折痕为，则的长为 ． 【变式2】如图，三角形纸片，，将纸片沿过点C的直线折叠，使点A落在边上点D处，再折叠纸片使点B与点D重合，折痕交于点E．若，，则的长为 ． 【变式3】在中，分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是． (1)如图①，如果点和顶点重合，求的长； (2)如图②，如果是的中点，求的长． 【例2】长方形折叠 【典例】如图，将长方形纸片沿着折叠，点落在边上的点处，已知，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的面积为（   ） A．54 B．90 C．108 D．216 【变式2】如图，在长方形纸片中，．将沿折叠，使点落在点处，交于点，则的长为 ． 【变式3】如图，把一张长方形纸片折叠起来，使其对角顶点与点重合，点与点重合，若，求： (1)求的长； (2)求阴影部分的面积． 【例3】正方形折叠 【典例】如图，正方形的边长是6，点是上一点，，点是上一动点，连接，将沿折叠，使点落在，连接，则的最小值是 ． 【变式1】如图1，点，为边长为8cm的正方形边，上的动点，连接，点为边的中点．将正方形沿线段折叠，使点的对应点落在线段上，点的对应点为，如图2所示．则线段的取值范围是 ． 【变式2】阅读与思考 【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】从面积的角度思考；不难发现：大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积，从而得数学等式：___________（用含字母、、式子表示），化简证得勾股定理：． 【初步运用】 （1）如图1，若，则小正方形面积:大正方形面积___________． （2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，，此时空白部分的面积为___________． （3）如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，求该风车状图案的面积． 【变式3】如图，将边长为的正方形折叠，使点D落在边的中点E处，点A落在F处，折痕为． (1)求线段长． (2)求线段的长． 【例4】动态问题中的折叠 【典例】在长方形中，，，点是边上的一个动点，把沿折叠，点落在处，当为直角三角形时，的长为（    ） A．7 B． C．7或 D．以上答案均不对 【变式1】如图，中，，，，，分别是边，上的两个动点．将沿直线折叠，使得点的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为 ． 【变式2】如图，中，分别是边上的两个动点．将沿直线折叠，使得点A的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为 ． 【变式3】如图，在长方形中，，，P是射线上一动点，l为长方形的一条对称轴，将沿折叠，当点B的对应点落在l上时，的长为多少？ 【例5】折叠后产生的面积问题 【典例】如图，在直角三角形纸片中，，，．将该纸片折叠，折叠后点A与点B重合，折痕与边交于点D，与边交于点E．求： (1)的面积； (2)的长； (3)折痕的长． 【变式1】如图，将长方形沿直线 折叠，顶点 恰好落在边上点处，未被覆盖的部分涂黑记为阴影部分，已知，． (1)求 的长; (2)求阴影部分的面积． 【变式2】如图，将长方形纸片沿对角线折叠，使点落到点位置，与交于点． (1)试说明：； (2)若，求的面积； (3)在（2）的条件下，若点为线段上任一点，于于．求的值． 【变式3】如图，把长方形纸片沿折叠，使得点与点重合，点落在点的位置上． (1)试说明； (2)若，，求的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025~2026学年度北师大版数学八年级上册课时同步训练 第一章 勾股定理 1.3 勾股定理的应用 【专题】利用勾股定理解决折叠问题（5大基本题型） 【专题概述】 1 【例1】直角三角形折叠 2 【例2】长方形折叠 5 【例3】正方形折叠 10 【例4】动态问题中的折叠 15 【例5】折叠后产生的面积问题 19 【专题概述】 1. 折叠的本质是轴对称变换，关键性质包括： （1） 全等关系：折叠前后图形全等，对应边、角相等 （2） 折痕的作用：折痕是对称轴，可能隐含角平分线或垂直平分线 （3） 直角三角形的生成：折叠常构造新直角三角形，便于用勾股定理列方程 2. 解题步骤（六步法）： （1） 找折痕：确定对称轴（折痕所在直线） （2） 标等量：标注折叠前后的相等线段和角 （3） 设未知数：设所求线段长为x （4） 列勾股方程：在关键直角三角形中应用 （5） 解方程：求未知数 （6） 验结果：检查是否符合几何约束（如边长非负、三角形存在性） 3. 总结与技巧 （1） 模型识别： 折叠类型 关键特征 解题工具 直角三角形 沿直角边/斜边折叠 30°~60°性质、勾股定理 长方形 沿对角线折叠 全等三角形、勾股方程 正方形 多顶点重合 共线分析、方程思想 （2） 易错点： a. 忽略折叠后的共线关系（如正方形例题） b. 未验证解的合理性（如边长需满足三角形不等式） 【例1】直角三角形折叠 【典例】如图，中，，，，，将折叠，使A点与的中点D重合，折痕为，则线段的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠问题，解题的方法是设要求的线段长为，然后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．设，则，依据中，，列方程求解即可． 【详解】解：设，则， 是的中点， ， ， 中，， 即， 解得， ， 故选：C． 【变式1】如图，中，，，，将点折叠到边的点处，折痕为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握相关知识点的应用是解题的关键． 由勾股定理求出，再根据折叠性质得，，，设，则，最后通过勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 由折叠性质可知：，，， ∴，， 设，则， ∴，即， ∴，即， 故答案为：． 【变式2】如图，三角形纸片，，将纸片沿过点C的直线折叠，使点A落在边上点D处，再折叠纸片使点B与点D重合，折痕交于点E．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理．由折叠的性质可证得是直角三角形，得到，设，则，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：由折叠可得，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 设，则， 由勾股定理得，即， 解得， ∴． 故答案为： 【变式3】在中，分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是． (1)如图①，如果点和顶点重合，求的长； (2)如图②，如果是的中点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解此题的关键． （1）由折叠可得，设，则，再由勾股定理进行计算即可得出答案； （2）由题意得，由折叠的性质可得：，设，则，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）解：若点和顶点重合，由折叠的性质可得：， 设，则， ， ∴由勾股定理得：， ， 解得：， ． （2）解：∵点落在的中点， ， 设，则， ， ∴由勾股定理得：， ， 解得：， 即的长为：． 【例2】长方形折叠 【典例】如图，将长方形纸片沿着折叠，点落在边上的点处，已知，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），长方形的性质，勾股定理等知识点，根据长方形的性质得到，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，根据勾股定理即可得到结论，解题关键是熟练掌握折叠的性质及勾股定理． 【详解】∵四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， ∵将长方形沿着折叠，点D落在边上的点F处， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：D． 【变式1】已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的面积为（   ） A．54 B．90 C．108 D．216 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键； 设，利用勾股定理建立方程，解方程求出，利用三角形面积计算公式即可解答． 【详解】解：根据折叠的性质得 ， 设， ， ， 在，， 由勾股定理， ， 解得：， ， ， ． 故选：A． 【变式2】如图，在长方形纸片中，．将沿折叠，使点落在点处，交于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，根据折叠前后的图形全等得到相关条件是解答本题的关键．先证明，可得，设，则，在中，由勾股定理得，即可得出结论． 【详解】解：在长方形中，，， ∵由折叠的性质可知：，， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵在中，由勾股定理得：， ∴，解得， ∴， 故答案为：． 【变式3】如图，把一张长方形纸片折叠起来，使其对角顶点与点重合，点与点重合，若，求： (1)求的长； (2)求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)阴影部分的面积为 【分析】此题主要考查了折叠的性质、勾股定理的应用： （1）由折叠可知，设，则，在中，根据，求出的长；过点作于，在 中，由勾股定理的长，在中，由勾股定理即可得出答案； （2）过点作于，根据三角形面积不变性，，求出的长，根据三角形面积求出结果即可． 【详解】（1）解：由折叠可知， 设，则， 在中，， ， 解得：， ； 过点作于，则， 在中， ，由勾股定理：，即， ． ， ， ， ； （2）解：过点作于， ， ，， ， ， ． 【例3】正方形折叠 【典例】如图，正方形的边长是6，点是上一点，，点是上一动点，连接，将沿折叠，使点落在，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，折叠问题；连接．利用勾股定理求出，根据，由此可得结论． 【详解】解：连接． ∵将沿折叠，使点落在，连接， ∴ ∵ ∵正方形的边长是6，点是上一点，， ∴ ∴， 故答案为：． 【变式1】如图1，点，为边长为8cm的正方形边，上的动点，连接，点为边的中点．将正方形沿线段折叠，使点的对应点落在线段上，点的对应点为，如图2所示．则线段的取值范围是 ． 【答案】 【分析】当点P 与点B 重合时，CN 取得最小值0；当点P 与点E 重合时，CN 取得最大值，根据正方形边长为8，点为边的中点，设CN=x，则，CE=4，根据，利用勾股定理即可得出CN的长，取两种情况的中间值即可得到线段的取值范围． 【详解】当点P 与点B 重合时，CN 取得最小值0； 当点P 与点E 重合时，CN 取得最大值 如图， 正方形边长为8，点为边的中点 设CN=x，则，CE=4 在中， 即 解得 此时， 所以，线段的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠问题，涉及正方形的性质、勾股定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式2】阅读与思考 【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】从面积的角度思考；不难发现：大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积，从而得数学等式：___________（用含字母、、式子表示），化简证得勾股定理：． 【初步运用】 （1）如图1，若，则小正方形面积:大正方形面积___________． （2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，，此时空白部分的面积为___________． （3）如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，求该风车状图案的面积． 【答案】【探索新知】 【初步运用】（1）；（2）12；（3）24 【分析】本题考查了勾股定理的证明与应用，掌握勾股定理内容是解题的关键． 1、【探索新知】利用“大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积”，列式即可求解； 2、【初步运用】（1）分别表示出大正方形面积与小正方形面积，即可求解； （2）利用边长为c的正方形面积减去两个直角三角形面积，即可求解； （3）设，则，由题意得，则，由勾股定理建立方程即可求得，从而得，即可求得面积． 【详解】解：【探索新知】由题意，大正方形面积为，小正方形面积为，四个直角三角形的面积为， ∴； 故答案为：； 【初步运用】（1）大正方形面积为， 小正方形面积为， 则， 故答案为：； （2），一个直角三角形的面积为， 则空白部分面积为：； 故答案为：12； （3）设，则， 由题意得， ∴， 即； 由勾股定理得：， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故风车状图案的面积为． 【变式3】如图，将边长为的正方形折叠，使点D落在边的中点E处，点A落在F处，折痕为． (1)求线段长． (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，翻折问题关键是找准对应重合的量，哪些边、角是相等的，本题中翻折是解题的关键． （1）设长度为．由题意得，，在中，，根据勾股定理得：，建立方程求解即可； （2）连接，设的长度为，在中，，根据勾股定理得：，在中，，根据勾股定理得；，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设长度为． 由题意得，， 在中，，根据勾股定理得：， 解得： ∴线段的为； （2）解：连接，设的长度为． 由题意得，， ∴在中，，根据勾股定理得：， 在中，，根据勾股定理得；， 解得： 的长为． 【例4】动态问题中的折叠 【典例】在长方形中，，，点是边上的一个动点，把沿折叠，点落在处，当为直角三角形时，的长为（    ） A．7 B． C．7或 D．以上答案均不对 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理等知识．注意分类讨论．由勾股定理求得，当在上时，是直角三角形，设，由翻折的性质和勾股定理求得；当在上时，是直角三角形，此时四边形是正方形，易得． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ， ， 当在上时，是直角三角形，如图1所示： 设， 由翻折的性质得：， ， ， 在中， ， 解得：，即， ； 当在上时，是直角三角形，如图2所示： 则， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． 综上，的长为或7． 故选：C． 【变式1】如图，中，，，，，分别是边，上的两个动点．将沿直线折叠，使得点的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为 ． 【答案】3或 【分析】本题主要考查勾股定理及折叠的性质，熟练掌握勾股定理及折叠的性质是解题的关键；由题意可知或，然后分两种情况进行求解即可． 【详解】解：∵点落在边的三等分点处，， ∴或， 由折叠可知：， ∴， 当时，在中，由勾股定理得：， ∴， ∴； 当时，在中，由勾股定理得：， ∴， ∴； 综上所述：的长为3或； 故答案为：3或． 【变式2】如图，中，分别是边上的两个动点．将沿直线折叠，使得点A的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为 ． 【答案】3或 【分析】本题主要考查勾股定理及折叠的性质，熟练掌握勾股定理及折叠的性质是解题的关键；由题意可知或，然后分两种情况进行求解即可． 【详解】解：∵点落在边的三等分点处，， ∴或， 由折叠可知：， ∴， 当时，在中，由勾股定理得：， ∴， ∴； 当时，在中，由勾股定理得：， ∴， ∴； 综上所述：的长为3或； 故答案为3或． 【变式3】如图，在长方形中，，，P是射线上一动点，l为长方形的一条对称轴，将沿折叠，当点B的对应点落在l上时，的长为多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，轴对称的性质，先由轴对称和长方形的性质得到；，，再由平行线间间距相等得到，由折叠的性质可得，，则由勾股定理得到，可得，设，则，由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设直线l分别与交于E、F， ∵l为长方形的一条对称轴， ∴；，， ∵， ∴， 由折叠的性质可得，， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 【例5】折叠后产生的面积问题 【典例】如图，在直角三角形纸片中，，，．将该纸片折叠，折叠后点A与点B重合，折痕与边交于点D，与边交于点E．求： (1)的面积； (2)的长； (3)折痕的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）直接利用三角形面积公式求解即可； （2）利用勾股定理求解即可； （3）根据折叠的性质可以得到，，．设，则，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解： 是直角三角形，，， ． （2）解：是直角三角形，，， ． （3）解：由折叠，得． 设，则． 在中，， 即， 解得， ． 由折叠，得， ∴在中，． 【变式1】如图，将长方形沿直线 折叠，顶点 恰好落在边上点处，未被覆盖的部分涂黑记为阴影部分，已知，． (1)求 的长; (2)求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定与折叠问题； （1）根据折叠得出，在中，根据勾股定理即可求解； （2）设，则，在中，根据勾股定理建立方程，求得，进而根据即可求解． 【详解】（1）解：四边形是长方形， ，， 由折叠得，， 在中，根据勾股定理可得 ； （2）由（1）得，则  设，则 在中，根据勾股定理可得 即  解得，即 【变式2】如图，将长方形纸片沿对角线折叠，使点落到点位置，与交于点． (1)试说明：； (2)若，求的面积； (3)在（2）的条件下，若点为线段上任一点，于于．求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)4 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，全等三角形的性质与判定： （1）由长方形的性质和折叠的性质证明，进而可利用证明； （2）由全等三角形的性质得到，设，则，利用勾股定理建立方程，解方程求出，再根据三角形面积计算公式求解即可； （3）先利用勾股定理求出，再根据列式求解即可． 【详解】（1）证明：由长方形的性质可得， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴ （2）解：∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴； （3）解：如图所示，连接， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式3】如图，把长方形纸片沿折叠，使得点与点重合，点落在点的位置上． (1)试说明； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理： （1）根据折叠的性质，长方形的性质，利用证明即可； （2）设，则：，在中，利用勾股定理求出的值，进而求出的值，全等三角形的性质，得到，利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）∵四边形是长方形， ∵把长方形纸片沿折叠， ， 在和△中 （2）设， 根据翻折不变性，得： 在中，由勾股定理，得： 解得， ∴，则 ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$