1.3 勾股定理的应用（5大基本题型） 学案 2025～2026学年度北师大版数学八年级上册

2025~2026学年度北师大版数学八年级上册课时同步训练 第一章 勾股定理 1.3 勾股定理的应用（5大基本题型） 【课时概述】 知识点：利用勾股定理解决数学问题、利用勾股定理解决实际问题 主要题型：两点间距离问题、判定两线段是否垂直、立体图形中的最短路径问题、最短路程问题（将军饮马问题）、航行问题 【知识点1】利用勾股定理解决数学问题 1. 两点间距离问题：作出正确，利用勾股定理求边长； 2. 判定两线段是否垂直：以已知线段为边构造三角形，利用三角形三边关系判断是否垂直 【知识点2】利用勾股定理解决实际问题 1. 利用勾股定理解决实际问题的关键在于将实际问题转化为数学问题，画出几何图形，结合方程解决 2. 常见的利用勾股定理解决实际问题的几种类型 （1） 立体图形中的最短路径问题：利用“两点之间线段最短”将立体图形侧面展开，再构造直角三角形求解； 【数学素养】如图，从B点环绕建筑物建梯子，正好到B点的正上方A点，若要梯子最短，最省材料，则需要将建筑物的侧面展开，得到一个平面图形，沿建梯子。 （2） 最短路程问题：利用轴对称作对称点，构造直角三角形求解； （3） 航行问题：理解方向角的概念，根据题意作出图形，利用勾股定理解题 【例1】两点间距离问题 【典例】如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． 设的长为x m，则，故．在直角中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意可知，， ∴． 设的长为， 则， ∴． 在中，由勾股定理， 得， 即， 解得：． 故选：B． 【变式1】11月9日全国消防日，某中学开展消防技能演练，特邀消防大队现场指导，消防大队出动了消防云梯助力．消防云梯主要用于高层建筑火灾救援，能让消防员快速到达火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务．如图，已知云梯最大伸长长度为（即），消防车顶端距地面高度为（点，到地面的垂直距离，即），首次救援时，云梯升至距地面高的点（即），而后需从距离地面高的点（即）进行二次救援，此时，消防车需从点水平移动至点，靠近楼房．求消防车水平移动距离的长度？（已知：点均在同一平面内，所在的直线与地面平行，与楼房垂直） 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．过点作，根据题意求出的值即可得到答案． 【详解】解：过点作， ， ， ， ， ， ， ． 【变式2】随着中小学双休制度的全面落实，各学校提倡学生利用周末走进大自然，调动五官，提高感知力，解放身心，放松自我，缓解学习压力．某周周末，小明和小亮相约去母鸡山公园放风筝，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.65米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降11米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)风筝的垂直高度为17.65米 (2)他应该往回收线7米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意可知：米，米，米， 在中，由勾股定理得，， ∴（负值已舍去）， ∴（米）， 答：风筝的垂直高度为17.65米； （2）解：∵风筝沿方向下降11米，保持不变，如图， ∴此时的（米）， 即此时在中，米，有（米）， 相比下降之前，缩短长度为（米）， ∴他应该往回收线7米． 【变式3】小明与爸妈在公园里荡秋千．如图，小明坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离分别为、，且． (1)若点、到地面的距离是分别是、，，求秋千的长度； (2)在（1）的条件下，求爸爸在距离地面多高的地方接住小明的？ 【答案】(1)秋千的长为； (2)爸爸在距离地面高的地方接住小明的． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用； （1）设，则，在中，，求得，即可求解； （2）根据AAS证明，根据全等三角形的性质可得，进而求得，结合点到地面的高度，即可求解． 【详解】（1）解：设，则， ∵点、到地面的距离是分别是、， ∴， ∴， 在中，， ∴； 解得：， ∴秋千的长为； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴到地面的高为． 答：爸爸在距离地面高的地方接住小明的． 【例2】判定两线段是否垂直 【典例】为验证勾股定理，小明进行了如下的思考：如图，在中，，在边上截取，延长到点D，使得，连接，，并延长交于点F，已知，，． (1)在验证之前小明发现和存在着一定的数量关系和位置关系，猜想和的数量关系和位置关系，并证明； (2)通过以上条件验证勾股定理． 【答案】(1)，，见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理的证明等知识， （1）先证明，得，则∠，进而即可得解； （2）由面积公式可得，化简整理即可得解； 证明是解题的关键． 【详解】（1），．理由如下： ∵ ， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，． （2）∵， 又∵， ∴， ∴． 【变式1】在中，，D为内一点，连接，延长到点E，使得． (1)如图1，延长到点F，使得，连接． ①求证：； ②若，求证：． (2)如图2连接，交的延长线于点H，若，试猜想直线与的位置关系，并证明．（请按图2虚线提示，证明时先叙述辅助线的作法） 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)；见解析 【分析】（1）①直接推导即可；②由全等可得可以证明结论； （2）延长到点F，使得，连结，由（1）可知，可以得出得出结论． 【详解】（1）①证明： 在和中， ∴ ②证明：由①证可知 ∴， ∴ ∵， ∴ （2）直线与的位置关系是： 证明：延长到点F，使得，连结， ∵， ∴垂直平分 ∴ 由（1）证可知 ∴，， ∴ ∵， ∴ ∴即 又， ∴ 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【变式2】（1）【基础巩固】如图1，在和中，点D在线段上，，．线段与的数量关系为 ，位置关系为 ； （2）【变式训练】如图2，当点D在线段的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由． （3）【拓展提高】如图3，在和中，点D在线段上，如果，，，．求的值． 【答案】（1） （2）仍成立；理由见解析  （3）128 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理等，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据证明，得出，从而得到； （2）根据证明，得出，从而得到； （3）由勾股定理得，过点A作，交于点F，证明得，求出，由勾股定理求出，进而可求出的值． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， 即； 故答案为：； （2）当点D在的延长线上时，（1）的结论仍成立． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （3）在中，， ∴ 过点A作，交于点F， ∴ ∴ ∵在中， ∴ ∴ 又∵， ∴， ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ ∴ ∴ 【变式3】【综合与实践】如图，在等腰中，，，分别是中，上的点，且． (1)问题探究：固定图1中不变，将绕点旋转至如图2所示位置时，连接，则与的数量关系是______，位置关系是______． (2)猜想说明：固定图1中不变，将旋转至如图3所示位置，使得点落在的延长线上，连接，与的数量关系和位置关系是否与（1）相同，请说明理由． (3)实践运用：在（2）的前提下，直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)； (2)相同，理由见解析 (3) 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质解答； （2）证明，得到，同理根据全等三角形的性质解答即可； （3）如图3，由，利用勾股定理可得结论． 【详解】（1）解：如图2，在中，， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）与的数量关系和位置关系与（1）相同，理由如下： 如图3，∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3），理由是： 由（2）已得，， ，为直角三角形． 在中，有，且， ． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，勾股定理，以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 【例3】立体图形中的最短路径问题 【典例】如图，一个长方体形状的饮料盒的底面长为，宽为，高为，在它的一角处开一个插吸管的小孔，将一根吸管最大限度插入盒中，露在外面的长度为，则此吸管的总长度为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．如图（见解析），连接，不妨设，利用勾股定理可得，，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，不妨设， 由题意得：，，，，， ∴在中，， ∴在中，， ∵将一根吸管最大限度插入盒中，露在外面的长度为， ∴此吸管的总长度为， 故答案为：16． 【变式1】如图，半径为1，高为3的圆柱体，一只甲壳虫从点到点，则甲壳虫的最短路程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．先求出这个圆柱的侧面展开图是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱底面周长为，宽等于圆柱的高3，再画出图形，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：这个圆柱的侧面展开图是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱底面周长、宽等于圆柱的高3， 如图，由题意得：，，， 则甲壳虫的最短路程为， 故答案为：． 【变式2】如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深．在水面上紧贴内壁的处有一块面包屑，且．一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的处吃面包屑，则蚂蚁爬行的最短路线的长为 ． 【答案】100 【分析】本题考查平面展开−最短路径问题，关键知道两点之间线段最短，从而可找到路径求出解．作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，此时最短；为直角的斜边，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，蚂蚁沿着的路线爬行时路程最短． 则， 根据题意：，， ∴， ∴， ∴最短路线长为， 故答案为：． 【变式3】如图，观察图形解答下面的问题： (1)此图形的名称为_______； (2)请你与同伴一起做一个这样的立体图形，并把它的侧面沿剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是一个_______； (3)如果点是的中点，在处有一只蜗牛，在处恰好有蜗牛想吃的食物，且它只能绕此立体图形的侧面爬行一周到处．你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？ (4)的长为10，侧面展开图的圆心角为，请你求出蜗牛爬行的最短路程的平方． 【答案】(1)圆锥 (2)扇形 (3)见解析 (4)125 【分析】本题考查勾股定理应用、圆锥的侧面展开图，“化曲面为平面”等知识，解题的关键是理解扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． （1）根据几何体的特点可判断此图形为圆锥； （2）圆锥的侧面展开图是扇形； （3）要求蜗牛爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果； （4）直接用勾股定理解直角三角形即可． 【详解】（1）解：此图形的名称为圆锥; 故答案为：圆锥； （2）动手操作略．它的侧面展开图是一个扇形； 故答案为：扇形； （3）把此立体图形的侧面展开，如答图所示，连接，则为蜗牛爬行的最短路线． （4）由题易知． 在中，由勾股定理，得． 故蜗牛爬行的最短路程的平方为125． 【例4】最短路程问题 【典例】如图，在三角形中，，，，点M是边上的一个动点，连接，则线段长度的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，垂线段最短，掌握点到直线垂线段最短是解题的关键． 根据题意，当时，的长度最短，由等面积法求高的方法列式求解即可． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，的长度最短， ∴在中，由勾股定理得：， 由面积公式得：， 即， 解得，； 故答案为：． 【变式1】如图，在中，，，，AD是的平分线，若M，N分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了最短距离问题，勾股定理，全等三角形的判定及性质；在上截取，过作，由可判定，由全等三角形的性质得，当时，取得最小值，结合勾股定理，即可求解；找出取得最小值的条件是解题的关键． 【详解】解：如图，在上截取，过作， 平分， ， 在和中 ， ， ， ， 当时，取得最小值， ，，， ， ， ， 解得：； 故答案：． 【变式2】小明从A点出发，走到水平直线上P点，再回到到B点，若A、B到水平直线的距离分别是2，1，两点之间水平距离是4，则最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题以及勾股定理．首先作A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，此时最小；然后可得的最小值，再利用勾股定理求解，即可求得答案． 【详解】解：作A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，此时最小； 则， ∴， 过点B作于点C， 则， ∴， ∴， ∴最小值． 故答案为：． 【变式3】如图，在中，，，点在上，，，以为一边作，使，．若是上一个动点，则线段长的最小值为 ． 【答案】 【分析】此题重点考查同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理，连接，作于点，可证明，得，，则，求得，由，得，由，求得线段的最小值为，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，作于点， ，，， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 线段的最小值为， 故答案为：． 【例5】航行问题 【典例】在某海防观测站的正东方向12海里处有A，B两艘船相会之后，A船以每小时12海里的速度往南航行，B船以每小时3海里的速度向北漂流，则经过 h后，观测站及A，B两船恰成一个直角三角形． 【答案】2 【分析】此题考查了勾股定理的应用，如图所示，O为观测站，海里．设经过后，观测站及A，B两船恰成一个直角三角形，则，利用勾股定理得到，解方程即可求出答案． 【详解】解：如图所示，O为观测站，海里． 设经过后，观测站及A，B两船恰成一个直角三角形，则， ∴在中，， 在中，， 在中， ， 解得或（舍去）． ∴经过后，观测站及A，B两船恰成一个直角三角形．、 故答案为： 【变式1】如图，甲船以20千米/时的速度从港口A向正北方向航行，乙船以15千米/时的速度，同时从港口A向正东方向航行，行驶2小时后，两船相距 千米．． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理的实际应用，连接，首先求出和的长度，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设行驶小时后，甲船行驶到处，乙船行驶到B处，连接， ∵甲船以20千米/时的速度从港口A向正北方向航行，乙船以15千米/时的速度，同时从港口A向正东方向航行， ∴，千米，千米， ∴（千米）． ∴行驶小时后，两船相距千米， 故答案为：． 【变式2】如图，某港口P有甲，乙两艘渔船．两船同时离开港口后，甲船沿北偏东方向以每小时的速度航行，乙船沿南偏东某方向以每小时的速度航行，它们两个小时后分别位于R，Q处，且相距．请求出乙船沿哪个方向航行． 【答案】乙船航行的方向是南偏东 【分析】本题考查了方位角问题，勾股定理的逆定理；分别求出、、的值，可得，由勾股定理的逆定理得为直角三角形，即可求解； 理解方位角，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意得， ， ， 甲船航行的距离∶ （）， 乙船航行的距离∶ （）， ， ， ， 为直角三角形， ， ， 故乙船航行的方向是南偏东． 【变式3】在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是800海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是600海里． (1)求点A与点B之间的距离； (2)若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，每隔半小时会发射一次信号，此时在点B处有一艘轮船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向A处的过程中，最多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）． 【答案】(1)海里 (2)最多能收到29次信号 【分析】（1）由题意易得是直角，由勾股定理即可求得点A与点B之间的距离； （2）过点C作交于点H，在上取点M，N，使得海里，分别求得的长，可求得此时轮船过时的时间，从而可求得最多能收到的信号次数； 【详解】（1）由题意，得：； ∴； ∵； ∴海里； （2）过点C作交于点H，在上取点M，N，使得海里． ∵； ∴； ∵； ∴； ∵； ∴； 则信号次数为（次）． 答：最多能收到29次信号． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，直角三角形的判定等知识，涉及路程、速度、时间的关系，熟练掌握勾股定理是关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025~2026学年度北师大版数学八年级上册课时同步训练 第一章 勾股定理 1.3 勾股定理的应用（5大基本题型） 【课时概述】 知识点：利用勾股定理解决数学问题、利用勾股定理解决实际问题 主要题型：两点间距离问题、判定两线段是否垂直、立体图形中的最短路径问题、最短路程问题（将军饮马问题）、航行问题 【知识点1】利用勾股定理解决数学问题 1. 两点间距离问题：作出正确，利用勾股定理求边长； 2. 判定两线段是否垂直：以已知线段为边构造三角形，利用三角形三边关系判断是否垂直 【知识点2】利用勾股定理解决实际问题 1. 利用勾股定理解决实际问题的关键在于将实际问题转化为数学问题，画出几何图形，结合方程解决 2. 常见的利用勾股定理解决实际问题的几种类型 （1） 立体图形中的最短路径问题：利用“两点之间线段最短”将立体图形侧面展开，再构造直角三角形求解； 【数学素养】如图，从B点环绕建筑物建梯子，正好到B点的正上方A点，若要梯子最短，最省材料，则需要将建筑物的侧面展开，得到一个平面图形，沿建梯子。 （2） 最短路程问题：利用轴对称作对称点，构造直角三角形求解； （3） 航行问题：理解方向角的概念，根据题意作出图形，利用勾股定理解题 【例1】两点间距离问题 【典例】如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 【变式1】11月9日全国消防日，某中学开展消防技能演练，特邀消防大队现场指导，消防大队出动了消防云梯助力．消防云梯主要用于高层建筑火灾救援，能让消防员快速到达火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务．如图，已知云梯最大伸长长度为（即），消防车顶端距地面高度为（点，到地面的垂直距离，即），首次救援时，云梯升至距地面高的点（即），而后需从距离地面高的点（即）进行二次救援，此时，消防车需从点水平移动至点，靠近楼房．求消防车水平移动距离的长度？（已知：点均在同一平面内，所在的直线与地面平行，与楼房垂直） 【变式2】随着中小学双休制度的全面落实，各学校提倡学生利用周末走进大自然，调动五官，提高感知力，解放身心，放松自我，缓解学习压力．某周周末，小明和小亮相约去母鸡山公园放风筝，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.65米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降11米，则他应该往回收线多少米？ 【变式3】小明与爸妈在公园里荡秋千．如图，小明坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离分别为、，且． (1)若点、到地面的距离是分别是、，，求秋千的长度； (2)在（1）的条件下，求爸爸在距离地面多高的地方接住小明的？ 【例2】判定两线段是否垂直 【典例】为验证勾股定理，小明进行了如下的思考：如图，在中，，在边上截取，延长到点D，使得，连接，，并延长交于点F，已知，，． (1)在验证之前小明发现和存在着一定的数量关系和位置关系，猜想和的数量关系和位置关系，并证明； (2)通过以上条件验证勾股定理． 【变式1】在中，，D为内一点，连接，延长到点E，使得． (1)如图1，延长到点F，使得，连接． ①求证：； ②若，求证：． (2)如图2连接，交的延长线于点H，若，试猜想直线与的位置关系，并证明．（请按图2虚线提示，证明时先叙述辅助线的作法） 【变式2】（1）【基础巩固】如图1，在和中，点D在线段上，，．线段与的数量关系为 ，位置关系为 ； （2）【变式训练】如图2，当点D在线段的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由． （3）【拓展提高】如图3，在和中，点D在线段上，如果，，，．求的值． 【变式3】【综合与实践】如图，在等腰中，，，分别是中，上的点，且． (1)问题探究：固定图1中不变，将绕点旋转至如图2所示位置时，连接，则与的数量关系是______，位置关系是______． (2)猜想说明：固定图1中不变，将旋转至如图3所示位置，使得点落在的延长线上，连接，与的数量关系和位置关系是否与（1）相同，请说明理由． (3)实践运用：在（2）的前提下，直接写出，，之间的数量关系． 【例3】立体图形中的最短路径问题 【典例】如图，一个长方体形状的饮料盒的底面长为，宽为，高为，在它的一角处开一个插吸管的小孔，将一根吸管最大限度插入盒中，露在外面的长度为，则此吸管的总长度为 ． 【变式1】如图，半径为1，高为3的圆柱体，一只甲壳虫从点到点，则甲壳虫的最短路程为 ． 【变式2】如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深．在水面上紧贴内壁的处有一块面包屑，且．一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的处吃面包屑，则蚂蚁爬行的最短路线的长为 ． 【变式3】如图，观察图形解答下面的问题： (1)此图形的名称为_______； (2)请你与同伴一起做一个这样的立体图形，并把它的侧面沿剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是一个_______； (3)如果点是的中点，在处有一只蜗牛，在处恰好有蜗牛想吃的食物，且它只能绕此立体图形的侧面爬行一周到处．你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？ (4)的长为10，侧面展开图的圆心角为，请你求出蜗牛爬行的最短路程的平方． 【例4】最短路程问题 【典例】如图，在三角形中，，，，点M是边上的一个动点，连接，则线段长度的最小值是 ． 【变式1】如图，在中，，，，AD是的平分线，若M，N分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【变式2】小明从A点出发，走到水平直线上P点，再回到到B点，若A、B到水平直线的距离分别是2，1，两点之间水平距离是4，则最小值为 ． 【变式3】如图，在中，，，点在上，，，以为一边作，使，．若是上一个动点，则线段长的最小值为 ． 【例5】航行问题 【典例】在某海防观测站的正东方向12海里处有A，B两艘船相会之后，A船以每小时12海里的速度往南航行，B船以每小时3海里的速度向北漂流，则经过 h后，观测站及A，B两船恰成一个直角三角形． 【变式1】如图，甲船以20千米/时的速度从港口A向正北方向航行，乙船以15千米/时的速度，同时从港口A向正东方向航行，行驶2小时后，两船相距 千米．． 【变式2】如图，某港口P有甲，乙两艘渔船．两船同时离开港口后，甲船沿北偏东方向以每小时的速度航行，乙船沿南偏东某方向以每小时的速度航行，它们两个小时后分别位于R，Q处，且相距．请求出乙船沿哪个方向航行． 【变式3】在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是800海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是600海里． (1)求点A与点B之间的距离； (2)若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，每隔半小时会发射一次信号，此时在点B处有一艘轮船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向A处的过程中，最多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）． 学科网（北京）股份有限公司 $$