1.2【专题】正方体的有关问题（5大基本题型） 课时同步训练 2025～2026学年 北师大版数学七年级上册

2025~2026学年度北师大版数学七年级上册课时同步训练 第一章 丰富的图形世界 1.2 从立体图形到平面图形 【专题】正方体的有关问题（5大基本题型） 【专题概述】 一、正方体的展开与折叠 （一）正方体展开图的基本类型（11种） 类型 结构特点 图形说明 特征种数 1-4-1型 中间4个正方形，上下各1个 如箱形（头、身、脚） 6种 2-3-1型 中间3个，上行2个，下行1个 如山形（头2、身3、脚1） 3种 2-2-2型 每行2个正方形，共3行 阶梯状排列 1种 3-3型 每行3个正方形，共2行 两行平行排列 1种 1-4-1型 2-3-1型 2-2-2型 3-3型 【口诀记忆】中间四个面，上下各一面；中间三个面，一二隔河见；中间两个面，楼梯天天见；中间没有面，三三连一线。 （二）判断展开图能否折叠成正方体的关键： （1）“田”字型：如展开图中有四个正方形形成“田”字形。 原因：同一顶点出现四个面，违反顶点最多三个邻面的规则。 （2）“凹”字型：如展开图中有连续三个正方形形成“凹”字形。 原因：折叠后会导致面重合或无法封闭。 （3）“L”字型：如一条直线贯穿三个正方形。 原因：一个面同时与三个面相邻，矛盾。 【快速判断口诀】一线不过四，田凹应弃之 二、正方体的截面问题 截面类型 可能形状 条件说明 三角形 等腰、等边三角形 过三个相邻顶点 四边形 正方形、长方形、梯形、菱形 平行于面或倾斜切割 五边形 不规则五边形 不平行于任何面 六边形 正六边形 过六条棱中点 【注意】无法截出圆形（因所有面为平面） 三、正方体及其组合体的三视图 （一）单个正方体的三视图 从任何方向观察均为正方形。 （二）组合体的三视图 根据小正方体的堆叠方式判断主视图、左视图、俯视图。 （三）根据组合体的三视图推测组合体的形状 （1）从俯视图确定“地基”布局：俯视图的每个小正方形代表底层的一个位置，数字标注表示该位置堆叠的正方体数量（未标注时默认为1）。 （2）主视图与左视图确定“堆叠高度” 主视图每列高度=该列所有位置的最大堆叠高度。 左视图每列高度=该行所有位置的最大堆叠高度。 四、正方体的计算问题 表面积公式： 体积公式： 【例1】正方体的展开图 【典例】下列图形中，是正方体表面展开图的是（　　） A．   B．   C．   D．   【变式1】年月日，我国成功发射天链二号星．小亮准备制作一个正方体，使其每个表面上分别写有“天”“链”“二”“号”“”“星”．如图是他做的无盖的正方体的展开图，需再补充一个写着“星”的正方形，则该正方形不能补充在（   ） A．①处 B．②处 C．③处 D．④处 【变式2】如图，将图中剪去一个正方形，使剩余的部分恰好能折成一个正方体，应剪去小正方形的序号不能是（   ） A．2 B．1 C．6 D．3 【变式3】如图，在的正方形网格中，选择一个空白的小正方形，能与阴影部分组成正方体的展开图的方法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【例2】正方体相对面上的字或图案 【典例】“非学无以广才”出自诸葛亮《诫子书》，其大意为：不学习就无从增长知识，提高才干．一个正方体的六个面上分别写有汉字“非”“学”“无”“以”“广”“才”，其展开图如图所示，则与“非”字相对面上的汉字为（   ） A．学 B．广 C．才 D．以 【变式1】将一个小正方体按图中所示方式展开．则在展开图中表示棱a的线段是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，一个正方体的上面和正面各有一块三角形的阴影，下列是该正方体的展开图的为（  ） A． B．C． D． 【变式3】用硬卡纸做一个骰子，使骰子相对两面的点数之和为7，折叠前后如图所示，下列判断正确的是（    ） A．点数1的对面是面 B．点数2的对面是面 C．，两个面的点数和为9 D．，两个面的点数和为6 【例3】正方体的截面问题 【典例】通过读取截面相关的信息，用特定材料将截面逐层打印出来，再将各层截面以多种方式粘合起来，从而制造出一个实体，这就是3D打印技术．某数学兴趣小组读取到某几何体截面的相关信息有三角形、梯形和六边形，那么3D打印机可能打出来的是哪一种几何体（   ） A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．正方体 【变式1】下列几何体：①正方体；②圆锥；③六棱柱；④球；在这些几何体中截面可能是圆的有 ．（只填写序号） 【变式2】下列说法正确的是（   ） A．五棱柱有10个顶点，10条棱，7个面 B．点动成线，线动成面，面动成体 C．圆锥的侧面展开图是一个圆 D．用平面去截一个正方体，截面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形、七边形 【变式3】过正方体有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图所示的几何体，其正确展开图为（   ） A． B． C． D． 【例4】正方体及其组合体的三视图问题 【典例】如图是由6个棱长为1的小正方体组成的简单几何体，请在方格纸中分别画出该几何体的主视图、左视图和俯视图． 【变式1】用5个小正方体搭一个立体图形，使其从上面看到的形状是，共有( )种不同的搭法． 【变式2】由一些大小相同的小正方体搭成的几何体从正面看和从上面看的形状如图所示，则搭成该几何体的小正方体最少是 个． 【变式3】小林所在的综合实践小组准备制作一些大小相同的正方体纸盒，用来收纳班级讲台上的粉笔（盒盖单独制作）． (1)图1是综合实践小组的同学画出的一些形状图，其中______（填序号）经过折叠能围成一个无盖正方体形纸盒． (2)综合实践小组的同学用制作的8个正方体形纸盒摆成如图2所示的几何体． ①在图3中画出从正面观察图2的几何体所看到的形状图； ②如果在图2的几何体上再添加一些大小相同的正方体形纸盒，并保持从上面看到的形状图和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加______个正方体形纸盒． 【例5】正方体的计算问题 【典例】如图，是由若干个大小相同的小正方体搭成的一个几何体． (1)在下面相应的网格中，画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图； (2)已知小正方体的棱长为，求该几何体的表面积（包含底面）． 【变式1】在一个棱长为的正方体木块的每面中心挖一个相通的洞，洞口是边长为的正方形（如图）挖洞后正方体木块的体积是多少立方厘米？ 【变式2】一个几何体由若干个棱长为的小正方体搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数． (1)请画出从正面、左面看到的这个几何体的形状图． (2)求该几何体的表面积． 【变式3】问题情景：学校综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． 操作探究： (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图中的______经过折叠能围成无盖正方体纸盒； (2)如图，是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的字是______； (3)如图，有一张边长为30cm的正方形废弃宣传单，张乐准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒： ①请你在图中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕； ②若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求这个纸盒的体积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025~2026学年度北师大版数学七年级上册课时同步训练 第一章 丰富的图形世界 1.2 从立体图形到平面图形 【专题】正方体的有关问题（5大基本题型） 【专题概述】 一、正方体的展开与折叠 （一）正方体展开图的基本类型（11种） 类型 结构特点 图形说明 特征种数 1-4-1型 中间4个正方形，上下各1个 如箱形（头、身、脚） 6种 2-3-1型 中间3个，上行2个，下行1个 如山形（头2、身3、脚1） 3种 2-2-2型 每行2个正方形，共3行 阶梯状排列 1种 3-3型 每行3个正方形，共2行 两行平行排列 1种 1-4-1型 2-3-1型 2-2-2型 3-3型 【口诀记忆】中间四个面，上下各一面；中间三个面，一二隔河见；中间两个面，楼梯天天见；中间没有面，三三连一线。 （二）判断展开图能否折叠成正方体的关键： （1）“田”字型：如展开图中有四个正方形形成“田”字形。 原因：同一顶点出现四个面，违反顶点最多三个邻面的规则。 （2）“凹”字型：如展开图中有连续三个正方形形成“凹”字形。 原因：折叠后会导致面重合或无法封闭。 （3）“L”字型：如一条直线贯穿三个正方形。 原因：一个面同时与三个面相邻，矛盾。 【快速判断口诀】一线不过四，田凹应弃之 二、正方体的截面问题 截面类型 可能形状 条件说明 三角形 等腰、等边三角形 过三个相邻顶点 四边形 正方形、长方形、梯形、菱形 平行于面或倾斜切割 五边形 不规则五边形 不平行于任何面 六边形 正六边形 过六条棱中点 【注意】无法截出圆形（因所有面为平面） 三、正方体及其组合体的三视图 （一）单个正方体的三视图 从任何方向观察均为正方形。 （二）组合体的三视图 根据小正方体的堆叠方式判断主视图、左视图、俯视图。 （三）根据组合体的三视图推测组合体的形状 （1）从俯视图确定“地基”布局：俯视图的每个小正方形代表底层的一个位置，数字标注表示该位置堆叠的正方体数量（未标注时默认为1）。 （2）主视图与左视图确定“堆叠高度” 主视图每列高度=该列所有位置的最大堆叠高度。 左视图每列高度=该行所有位置的最大堆叠高度。 四、正方体的计算问题 表面积公式： 体积公式： 【例1】正方体的展开图 【典例】下列图形中，是正方体表面展开图的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了正方体展开图的问题，掌握正方体表面的十一种展开图的性质是解题的关键． 利用正方体及其表面展开图的特点解题． 【详解】A、折叠后不能折成正方体，故本项不符合题意； B、折叠后不能折成正方体，故本项不符合题意； C、折叠后能折成正方体，故本项符合题意； D、折叠后不能折成正方体，故本项不符合题意； 故选：C． 【变式1】年月日，我国成功发射天链二号星．小亮准备制作一个正方体，使其每个表面上分别写有“天”“链”“二”“号”“”“星”．如图是他做的无盖的正方体的展开图，需再补充一个写着“星”的正方形，则该正方形不能补充在（   ） A．①处 B．②处 C．③处 D．④处 【答案】B 【分析】本题考查了正方体的表面展开图，根据正方体的表面展开图不可能出现“田”字形即可判断求解，掌握正方体的表面展开图的特征是解题的关键． 【详解】解：∵正方体的表面展开图不可能出现“田”字形， ∴该正方形不能补充在②处， 故选：． 【变式2】如图，将图中剪去一个正方形，使剩余的部分恰好能折成一个正方体，应剪去小正方形的序号不能是（   ） A．2 B．1 C．6 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了正方体的展开图及学生的空间想象能力，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据正方体展开图特征，进行作答，即可求解． 【详解】解：根据有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图可知：当剪去1或2或6时，剩余的部分恰好能折成一个正方体，当剪去3时，会导致5没有对面； ∴使剩余的部分恰好能折成一个正方体，应剪去小正方形的序号不能是3； 故选：D； 【变式3】如图，在的正方形网格中，选择一个空白的小正方形，能与阴影部分组成正方体的展开图的方法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】B 【分析】此题主要考查了几何体的展开图，关键是掌握正方体展开图的特点．依据正方体的展开图的结构特征进行判断，即可得出结论． 【详解】解：如图所示： 共有2种方法， 故选：B． 【例2】正方体相对面上的字或图案 【典例】“非学无以广才”出自诸葛亮《诫子书》，其大意为：不学习就无从增长知识，提高才干．一个正方体的六个面上分别写有汉字“非”“学”“无”“以”“广”“才”，其展开图如图所示，则与“非”字相对面上的汉字为（   ） A．学 B．广 C．才 D．以 【答案】C 【分析】本题主要考查正方体的展开图的性质，掌握正方体展开图的性质是解题关键；根据正方体的表面展开图，相对的面之间相隔一个正方形，根据这一特点即可求解． 【详解】解：与“非”字相对面上的汉字为“才”， 故选：C． 【变式1】将一个小正方体按图中所示方式展开．则在展开图中表示棱a的线段是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何体的展开图； 先找出阴影三角形的对面，再进行判断． 【详解】解：在正方体中，阴影三角形的对面为面， 则在展开图中表示棱a的线段是． 故选：C． 【变式2】如图，一个正方体的上面和正面各有一块三角形的阴影，下列是该正方体的展开图的为（  ） A． B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何体的展开图，根据题意，两个三角形有一个公共顶点，公共顶点一个为直角三角形的直角顶点，另一个为锐角的顶点，据此逐项分析解题． 【详解】解：A．折叠后，两个三角形没有公共点，故该选项不正确，不符合题意； B．有公共顶点，但是位置不对，故该选项不正确，不符合题意； C．图形是该正方体的展开图，符合题意， D．不是正方体的展开图，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【变式3】用硬卡纸做一个骰子，使骰子相对两面的点数之和为7，折叠前后如图所示，下列判断正确的是（    ） A．点数1的对面是面 B．点数2的对面是面 C．，两个面的点数和为9 D．，两个面的点数和为6 【答案】C 【分析】本题考查正方体展开图的相对面，根据同行隔一个，确定出相对面，再进行判断即可． 【详解】解：由图可知：点数1的对面是面，故的点数为； 点数的对面是面，故的点数为； 点数的对面是面，故的点数为， ∴，两个面的点数和为9，，两个面的点数和为8； 故选C． 【例3】正方体的截面问题 【典例】通过读取截面相关的信息，用特定材料将截面逐层打印出来，再将各层截面以多种方式粘合起来，从而制造出一个实体，这就是3D打印技术．某数学兴趣小组读取到某几何体截面的相关信息有三角形、梯形和六边形，那么3D打印机可能打出来的是哪一种几何体（   ） A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．正方体 【答案】D 【分析】本题主要考查几何体的截面，截面截圆柱，截面可能为矩形、圆、椭圆等，但是无法截出六边形；截面截圆锥，截面图形可以是三角形、圆、椭圆等，但是无法截出梯形和六边形；截面截正四棱锥，截面图形可以是三角形、四边形、五边形，但是无法截出六边形；截面截正方体，截面图形可以是三角形、四边形、五边形、六边形．根据此作答即可． 【详解】解：． 圆柱的截面可能为矩形、圆、椭圆等，但是是无法截出六边形，该选项错误，不符合题意； ．圆锥的截面可能为三角形、圆、椭圆等，但是无法截出梯形和六边形，该选项错误，不符合题意； ．三棱锥的截面可能为三角形和四边形，但是无法截出六边形，该选项错误，不符合题意； ．正方体的截面可能为三角形、四边形、五边形、六边形，该选项正确，符合题意； 故选：D． 【变式1】下列几何体：①正方体；②圆锥；③六棱柱；④球；在这些几何体中截面可能是圆的有 ．（只填写序号） 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了立体图形的特点，掌握立体图形点、线、面的特点是解题的关键． 根据立体图形的面的特点进行分析即可判定． 【详解】解：①正方体，截面不可能是圆，不符合题意； ②圆锥，截面可能是圆，符合题意； ③六棱柱，截面不可能是圆，不符合题意； ④球，截面可能是圆，符合题意； 故答案为：②④． 【变式2】下列说法正确的是（   ） A．五棱柱有10个顶点，10条棱，7个面 B．点动成线，线动成面，面动成体 C．圆锥的侧面展开图是一个圆 D．用平面去截一个正方体，截面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形、七边形 【答案】B 【分析】本题考查立体图形的基本特征、点线面体的关系以及正方体的截面相关知识，解题的关键是准确记忆和理解这些概念． 分别对每个选项所涉及的知识点进行分析判断． 【详解】A、五棱柱上下底面各有5个顶点，共10个顶点；棱包括上下底面的棱和侧棱，上下底面各5条棱，侧棱有5条，共15条棱；面包括上下2个底面和5个侧面，共7个面，所以该选项中棱的数量错误； B、点动成线，比如笔尖在纸上移动能画出线；线动成面，例如汽车雨刮器在挡风玻璃上运动时，雨刮器经过的区域形成一个面；面动成体，像把长方形绕着它的一条边旋转一周就形成一个圆柱体，该选项说法正确； C、圆锥的侧面展开图是一个扇形，而不是圆，所以该选项错误； D、用平面去截一个正方体，最多与6个面相交，得到六边形，不可能得到七边形，所以该选项错误． 故选：B． 【变式3】过正方体有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图所示的几何体，其正确展开图为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了截一个几何体和几何体的展开图，熟练掌握不规则图形的几何特征，并利用这些特征探索展开图是解题的关键．利用各选项展开图进行折叠看是否可以变为原图，并结合被截去的正方体的特征进行解答即可． 【详解】解：由正方体正前方的一面展开可以排除选项A； 由过正方体有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，此平面是三角形， 则展开图平面中有三个平面都被截去一个直角三角形， 且被截去的三个直角三角形合起来应该共顶点， 则可以排除选项C、D，只有选项B符合题意， 故选：B． 【例4】正方体及其组合体的三视图问题 【典例】如图是由6个棱长为1的小正方体组成的简单几何体，请在方格纸中分别画出该几何体的主视图、左视图和俯视图． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了画小立方体组成的几何体的三视图，熟知三视图的定义是解题的关键．根据主视图，左视图，俯视图分别是从正面，左面和上面看到的图形进行画图即可． 【详解】解：如图所示，即为所求． 【变式1】用5个小正方体搭一个立体图形，使其从上面看到的形状是，共有( )种不同的搭法． 【答案】4/四 【分析】本题考查由三视图判定几何体，解题的关键是理解三视图的定义，利用俯视图，写出小正方体的个数，可得结论． 【详解】解：根据题意：这个立体图形没个位置的小立方体可能为： 或或或 共4种不同的搭法， 故答案为：． 【变式2】由一些大小相同的小正方体搭成的几何体从正面看和从上面看的形状如图所示，则搭成该几何体的小正方体最少是 个． 【答案】11 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，先充分理解几何体从正面看和从上面看的形状图，结合，从左到右数，得出每一列最少的个数，再算出搭成该几何体的小正方体的最少个数，即可作答． 【详解】解：根据从正面看和从上面看的形状，从左到右数： 第一列最少有小正方体的个数是（个）， 第二列最少有小正方体的个数是（个）， 第二列最少有小正方体的个数是（个）， ∴（个）， 故答案为：11． 【变式3】小林所在的综合实践小组准备制作一些大小相同的正方体纸盒，用来收纳班级讲台上的粉笔（盒盖单独制作）． (1)图1是综合实践小组的同学画出的一些形状图，其中______（填序号）经过折叠能围成一个无盖正方体形纸盒． (2)综合实践小组的同学用制作的8个正方体形纸盒摆成如图2所示的几何体． ①在图3中画出从正面观察图2的几何体所看到的形状图； ②如果在图2的几何体上再添加一些大小相同的正方体形纸盒，并保持从上面看到的形状图和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加______个正方体形纸盒． 【答案】(1)①③④ (2)①图见解析；②3 【分析】本题考查简单组合体，展开图折叠成几何体等知识． （1）根据要求动手操作可得结论； （2）①根据主视图的定义画出图形即可； ②根据要求作出判断即可． 【详解】（1）解：图1是综合实践小组同学制作的图形，其中①③④经过折叠能围成无盖正方体纸盒； 故答案为：①③④； （2）解：①如图所示： ②如果在图2的几何体上再添加一些大小相同的正方体形纸盒，并保持从上面看到的形状图和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加3个正方体形纸盒． 故答案为：3． 【例5】正方体的计算问题 【典例】如图，是由若干个大小相同的小正方体搭成的一个几何体． (1)在下面相应的网格中，画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图； (2)已知小正方体的棱长为，求该几何体的表面积（包含底面）． 【答案】(1)见解析 (2)96 【分析】本题考查从不同方向看正方体，从不同方向看到图形的表面积： （1）根据从正面看得到的图形，从左面看得到的图形，从上面看得到的图形，画出图形，即可； （2）该几何体的表面积公式，结合题干和从不同方向看到的图形即可求解． 【详解】（1）解：从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图： （2）解：该几何体的表面积为：． 【变式1】在一个棱长为的正方体木块的每面中心挖一个相通的洞，洞口是边长为的正方形（如图）挖洞后正方体木块的体积是多少立方厘米？ 【答案】 【分析】本题考查的是规则立体图形的体积计算，解决本题的关键是明确挖去三个小洞后，体积减少的图形的形状；挖去的是三个长、宽、高分别为、、的长方体，且三个长方体有重叠部分，重叠部分是棱长为的正方体； 根据正方体和长方体的体积计算公式，分别计算出原木块和挖去的部分的体积，再根据上述分析进行计算，即可得到答案． 【详解】 ， 答：挖洞后正方体木块的体积是． 【变式2】一个几何体由若干个棱长为的小正方体搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数． (1)请画出从正面、左面看到的这个几何体的形状图． (2)求该几何体的表面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查从不同方向观察几何体，熟练掌握从不同方向观察几何体是解题的关键； （1）根据从正面，左面观察几何体画出平面图即可； （2）根据不同方向看到的图形，即可求解 【详解】（1）解：从正面、左面看到的这个几何体的形状图如下； （2）解：从上面看有个面，从下面看有个面， 从正面看有个面，从后面看有个面， 从左边看个面，从右面看个面， 中间有个面； 该几何体的表面积为： 【变式3】问题情景：学校综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． 操作探究： (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图中的______经过折叠能围成无盖正方体纸盒； (2)如图，是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的字是______； (3)如图，有一张边长为30cm的正方形废弃宣传单，张乐准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒： ①请你在图中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕； ②若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求这个纸盒的体积． 【答案】(1)C (2)卫 (3)①画图见解析；②这个纸盒的体积为． 【分析】本题考查正方体的表面展开图、正方体相对两面上的字． （1）根据正方体的折叠，可得有5个面，依据正方体的展开图可得答案； （2）根据正方体的表面展开图的特征，得出答案； （3）①画出相应的图形即可；②直接根据体积公式计算即可． 【详解】（1）解：制作一个无盖的正方体纸盒， 展开图有5个面，选项B不符合题意； 再根据正方形的展开图的特征，可得选项A和选项D不符合题意，选项C符合题意； 故选C； （2）解：正方体的平面展开图中，相对的面中间必须隔着一个正方形，所以“保”字相对的字是“卫” 故答案为：卫； （3）解：①所画出的图形如图所示： ②当小正方形的边长为为时， 纸盒的底面积为 纸盒的体积为 答：这个纸盒的体积为． 学科网（北京）股份有限公司 $$