1.2 第3课时 截一个几何体（3大基本题型） 课时同步训练 2025～2026学年 北师大版数学七年级上册

2025~2026学年度北师大版数学七年级上册课时同步训练 第一章 丰富的图形世界 1.2 从立体图形到平面图形 第3课时 截一个几何体（3大基本题型） 【课时概述】 知识点：截一个几何体 主要题型：用平面截一个几何体所得截面形状、用平面截一个几何体所得几何体的形状、用平面截一个几何体所得几何体的表面积 【知识点1】【教材重现】截一个几何体（教材P11-12） 1. 截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面的叫作截面。截面的形状通常是三角形、正方形、长方形、梯形、圆等。截面的形状既与被截的几何体有关，还与切截的方向和角度有关 2. 截一个几何体所得截面的形状： 几种常见的几何体的截面如下： （1）用平面去截正方体 【★易错点】用一个平面去截正方体，截面图形的边数最多是6 （2）用平面去截圆柱 【★易错点】用一个平面去截圆柱，常见的截面的形状是长方形和圆，除此之外，还有其他形状的截面 （3）用平面去截圆锥 【★易错点】用一个平面去截圆锥，截面的形状可能是三角形、圆或椭圆等 （4）用平面去截球 【★易错点】用一个平面去截球，截面形状都是圆 【例1】用平面截一个几何体所得截面形状 【典例】用一个平面去截下列几何体，截面形状不可能是三角形的是（    ） A．长方体 B．直三棱柱 C．圆柱 D．正方体 【变式1】经过圆锥顶点的截面可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2】妙妙有一块如图所示的长方体橡皮，她用刀去切这块橡皮，切一刀，则截面形状不可能是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．圆 【变式3】用一个平面截下列几何体，若所得截面是长方形，则该几何体可能是（    ） A．正方体、三棱锥 B．圆柱、正方体 C．圆锥、棱柱 D．球、长方体 【例2】用平面截一个几何体所得几何体的形状 【典例】将一个正方体切去一个三棱柱，剩余部分的几何体是 ． 【变式1】如图所示，过长方体的一个顶点，截掉长方体的一个角，则剩余部分的顶点有 个． 【变式2】如果将圆柱切割后拼成一个近似的长方体，他们的（　　） A．体积和表面积都相等 B．体积相等，表面积不相等 C．表面积相等，体积不相等 D．体积和表面积都不相等 【变式3】图1是三棱柱和圆柱，将图1中的圆柱沿竖直方向切开后，得到图2的剩余几何体． (1)图2中的几何体与棱柱、圆柱有很多相同点，请你列举2条与棱柱或圆柱的相同点； (2)如何能求出图2中几何体的体积？请写出你的想法． 【例3】用平面截一个几何体所得几何体的表面积 【典例】如图，一个高的圆柱被截成两个完全一样的圆柱，表面积增加，原来圆柱的体积是 ． 【变式1】一根长方体的木料，正好可以截成两个同样的正方体，这时表面积增加了24平方厘米，这根长方体木料原来的表面积是 平方厘米． 【变式2】如图，在棱长分别为2cm，3cm，4cm的长方体中截掉一个棱长为1cm的正方体，求剩余几何体的表面积． 【变式3】把一个长8厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体截成两个长方体后，这两个长方体的表面积之和比原长方体增加了（   ）平方厘米． A．96 B．48 C．64 D．以上三种都有可能 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025~2026学年度北师大版数学七年级上册课时同步训练 第一章 丰富的图形世界 1.2 从立体图形到平面图形 第3课时 截一个几何体（3大基本题型） 【课时概述】 知识点：截一个几何体 主要题型：用平面截一个几何体所得截面形状、用平面截一个几何体所得几何体的形状、用平面截一个几何体所得几何体的表面积 【知识点1】【教材重现】截一个几何体（教材P11-12） 1. 截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面的叫作截面。截面的形状通常是三角形、正方形、长方形、梯形、圆等。截面的形状既与被截的几何体有关，还与切截的方向和角度有关 2. 截一个几何体所得截面的形状： 几种常见的几何体的截面如下： （1）用平面去截正方体 【★易错点】用一个平面去截正方体，截面图形的边数最多是6 （2）用平面去截圆柱 【★易错点】用一个平面去截圆柱，常见的截面的形状是长方形和圆，除此之外，还有其他形状的截面 （3）用平面去截圆锥 【★易错点】用一个平面去截圆锥，截面的形状可能是三角形、圆或椭圆等 （4）用平面去截球 【★易错点】用一个平面去截球，截面形状都是圆 【例1】用平面截一个几何体所得截面形状 【典例】用一个平面去截下列几何体，截面形状不可能是三角形的是（    ） A．长方体 B．直三棱柱 C．圆柱 D．正方体 【答案】C 【分析】本题考查几何体的截面，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关． 当截面的角度和方向不同时，圆柱体的截面无论什么方向截取圆柱都不会截得三角形． 【详解】解：A.长方体沿经过3个面的截面能截出三角形，故该选项不符合题意； B.直三棱柱能截出三角形，故该选项不符合题意． C．圆柱，无论什么方向截取圆柱都不会截得三角形，故该选项符合题意； D．正方体沿经过3个面的截面能截出三角形，故该选项不符合题意． 故选：C． 【变式1】经过圆锥顶点的截面可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查圆锥的截面，熟练掌握圆锥的截面是解题的关键． 根据过圆锥顶点的截面可能是三角形即可判断． 【详解】解：经过圆锥顶点的截面可能是三角形， 故选：B． 【变式2】妙妙有一块如图所示的长方体橡皮，她用刀去切这块橡皮，切一刀，则截面形状不可能是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．圆 【答案】D 【分析】此题考查的是长方形的截面图形，掌握长方形的各个截面图形的形状是解决此题的关键． 长方体共有六个面，故用平面截一个长方体时，最多与六个面都相交，此时截面为六边形，最少与三个面相交，此时为三角形，因此，截面图形的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形，不可能是圆． 【详解】解：长方体共有六个面，故用平面截一个长方体时，最多与六个面都相交，此时截面为六边形， 最少与三个面相交，此时为三角形， 因此，截面图形的形状可能为三角形、四边形、五边形、六边形，不可能为圆． 故选：D． 【变式3】用一个平面截下列几何体，若所得截面是长方形，则该几何体可能是（    ） A．正方体、三棱锥 B．圆柱、正方体 C．圆锥、棱柱 D．球、长方体 【答案】B 【分析】本题主要考查用一平面去截几何体，根据正方体、圆柱、圆锥，球、棱柱等的形状特点判断即可． 【详解】解：．用一个平面截三棱锥，所得截面得不出长方形，故该选项不符合题意； ．用一个平面 圆柱、正方体，都可以得出长方形，故该选项符合题意； ．用一个平面截圆锥，所得截面得不出长方形，故该选项不符合题意； ．用一个平面截球，所得截面得不出长方形，故该选项不符合题意； 故选：B． 【例2】用平面截一个几何体所得几何体的形状 【典例】将一个正方体切去一个三棱柱，剩余部分的几何体是 ． 【答案】三棱柱或四棱柱或五棱柱 【分析】本题考查正方体的截面．截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．本题注意分情况讨论． 根据题意用一个平面将一个正方体截去一个三棱柱，可以分：①三棱柱中三角形所在面的3个顶点在正方体的顶点上；②三棱柱中三角形所在面的2个顶点在正方体的顶点上；③三棱柱中三角形所在面的1个顶点在正方体的顶点上；依此即可求解． 【详解】解：如图所示：用一个平面将一个正方体截去一个三棱柱，剩下的几何体是：三棱柱或四棱柱或五棱柱． 故答案为：三棱柱或四棱柱或五棱柱． 【变式1】如图所示，过长方体的一个顶点，截掉长方体的一个角，则剩余部分的顶点有 个． 【答案】9 【分析】本题考查了截一个几何体．长方体有8个顶点，截掉长方体的一个角后，顶点就多出了1个． 【详解】解：如图，剩下的几何体有9个顶点． 故答案为：9． 【变式2】如果将圆柱切割后拼成一个近似的长方体，他们的（　　） A．体积和表面积都相等 B．体积相等，表面积不相等 C．表面积相等，体积不相等 D．体积和表面积都不相等 【答案】B 【分析】本题考查了截一个几何体，几何体的表面积，圆柱的表面积，圆柱的体积，根据圆柱和长方体的特征，即可解答． 【详解】解：如果将圆柱切割后拼成一个近似的长方体，他们的体积相等，而长方体的表面积大于圆柱的表面积， 故选：B． 【变式3】图1是三棱柱和圆柱，将图1中的圆柱沿竖直方向切开后，得到图2的剩余几何体． (1)图2中的几何体与棱柱、圆柱有很多相同点，请你列举2条与棱柱或圆柱的相同点； (2)如何能求出图2中几何体的体积？请写出你的想法． 【答案】(1)1、上下底面相同；2、它们的体积都等于底面积乘以高（答案不唯一） (2)见解析 【分析】本题考查了圆柱和棱柱，熟知圆柱和棱柱的特征是解题的关键． （1）根据与圆柱和棱柱相同点，写出两条即可； （2）可以将该几何体放入盛满水的容器里，测量溢出的水的体积，即可得到几何体的体积． 【详解】（1）解：图2中的几何体与棱柱、圆柱的相同点：1、上下底面相同；2、它们的体积都等于底面积乘以高； （2）解：可以将该几何体放入盛满水的容器里，测量溢出的水的质量，求出溢出水的体积即为该几何体的体积． 【例3】用平面截一个几何体所得几何体的表面积 【典例】如图，一个高的圆柱被截成两个完全一样的圆柱，表面积增加，原来圆柱的体积是 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了求圆柱的体积，先求出圆柱的底面积，再根据圆柱的体积=底面积高，即可求解． 【详解】解：一个高4dm的圆柱被截成两个完全一样的圆柱，增加的是两个底面面积， ∴底面面积：， ∴圆柱的体积是， 故答案为：20． 【变式1】一根长方体的木料，正好可以截成两个同样的正方体，这时表面积增加了24平方厘米，这根长方体木料原来的表面积是 平方厘米． 【答案】120 【分析】此题主要考查长方体、正方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式．根据题意可知，把这个长方体切成两个完全相同的小正方体后，表面积增加了24平方厘米，表面积增加的是2个切面的面积，据此可以求出一个切面的面积，根据正方体的表面积公式：，把数据代入公式求出2个正方体的表面积和，然后减去24平方厘米就是原来长方体的表面积． 【详解】解：（平方厘米） （平方厘米） 答：原来长方体的表面积是120平方厘米． 故答案为：120． 【变式2】如图，在棱长分别为2cm，3cm，4cm的长方体中截掉一个棱长为1cm的正方体，求剩余几何体的表面积． 【答案】52cm2 【分析】截去小正方体后，小正方体外露的三个面正好可以补上原正方体缺失部分，故表面积不变，根据长方体的表面积公式计算即可求解． 【详解】解：（2×3+2×4+3×4）×2 ＝（6+8+12）×2＝26×2＝52（cm2）， 答：剩余几何体的表面积为52cm2． 【点睛】本题考查了截一个几何体、认识立体图形、表面积的计算，明确截去的正方体中相对的面的面积都相等是此题关键． 【变式3】把一个长8厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体截成两个长方体后，这两个长方体的表面积之和比原长方体增加了（   ）平方厘米． A．96 B．48 C．64 D．以上三种都有可能 【答案】D 【分析】本题考查长方体的切割．通过不同的切割方式确定切面长方形的长和宽是解题的关键．求出切面的表面积进行比较即可． 【详解】解：如图， 按照上图虚线截成两个长方体后，这两个长方体的表面积之和比原长方体增加了平方厘米； 如图， 按照上图虚线截成两个长方体后，这两个长方体的表面积之和比原长方体增加了平方厘米； 如图， 按照上图虚线截成两个长方体后，这两个长方体的表面积之和比原长方体增加了平方厘米； ∴以上三种都有可能； 故选：D 学科网（北京）股份有限公司 $$