1.2 第2课时 柱体、锥体的展开与折叠（4大基本题型） 学案 - 2025～2026学年北师大版数学七年级上册

2025~2026学年度北师大版数学七年级上册课时同步训练 第一章 丰富的图形世界 1.2 从立体图形到平面图形 第2课时 柱体、锥体的展开与折叠（4大基本题型） 【课时概述】 知识点：柱体的展开与折叠、锥体的展开与折叠 主要题型：几何体展开图的认识、由展开图计算几何体的表面积、由展开图计算几何体的体积、求展开图上两点折叠后的距离 【知识点1】【教材重现】柱体、锥体的展开与折叠（教材P9-10） 1. 棱柱的特点：棱柱的上、下底面是多边形；棱柱的侧面都是多边形；棱柱的所有侧棱长都长方形；棱柱侧面的个数与底面多边形的边数相等 2. 圆柱、圆锥的展开 （1）圆柱的上、下底面为圆，侧面展开图为长方形 （2）圆锥的底面为圆，侧面展开图为扇形 3. 常见的立体图形（除球）可以展开成一个平面图形，而平面图形沿某些线折叠可以围成一定形状的立体图形，故展开与折叠是互逆的过程。对于同一个立体图形，当我们按不同的方式展开时，得到的表面展开图是不一样的， 但折叠成的几何体都是同一个 【数学素养】圆柱、圆锥的侧面展开图 【例1】几何体展开图的认识 【典例】如图是某几何体的表面展开图，则该几何体是（   ） A． B．C． D． 【变式1】如图是某直棱柱的侧面展开图，则该直棱柱的棱共有（   ） A．6条 B．7条 C．16条 D．15条 【变式2】压路机滚动一周，压过的路面就是压路机滚筒（圆柱）的（    ） A．体积 B．表面积 C．侧面积 D．底面积 【变式3】右图是亮亮制作的一个几何体的展开图，将其经过折叠可以围成的几何体是（    ） A． B． C． D． 【例2】由展开图计算几何体的表面积 【典例】正三棱柱（底面为正三角形）的展开图如图所示，则该正三棱柱的侧面积为 ．（用含a，b的式子表示） 【变式1】观察下面左图，把罐头盒的商标纸如下图所示沿高剪开，再展开． (1)把圆柱侧面展开后，得到_____（填图形名称）；这个图形的各边与圆柱有什么关系？其中运用什么数学思想方法？ (2)观察上面右图，圆柱的表面是由哪几部分组成的？ (3)圆柱的表面积计算公式是：_________．（写字母表达式） 【变式2】【问题情境】某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作长方体纸盒． 【操作探究】(1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的 图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒． (2)图2是嘉嘉的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的是 字． (3)如图3，有一张边长为的正方形废弃宣传单，嘉嘉准备将其四个角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒，折成的纸盒高为． ①四角应各剪去边长为 的小正方形； ②计算此长方体纸盒的容积． (4)根据如图4方式制作一个有盖的长方体纸盒．方法：先在边长为的正方形纸板四角剪去两个边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折叠起来．该长方体纸盒的体积为多少？ 【变式3】综合与实践 【问题情境】在一次数学实践活动课上，同学们利用一张边长为的正方形纸板开展了“长方体纸盒的制作”实践活动 （1）图1中，是无盖正方体的表面展开图的是______．（填序号） 【操作探究】如图2，勤学小组的同学先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，制成了一个无盖的长方体纸盒． 如图3，善思小组的同学先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，制成了一个有盖的长方体纸盒． 【计算分析】 （2）①图2中的长方体纸盒的底面周长为______； ②图3中的长方体纸盒的体积为______； 【问题解决】 （3）请你利用边长为的正方形纸板制作一个长方体纸盒（无盖，有盖均可），仿照图2，图3的绘图方式，画出2种不同的裁剪设计图． 【例3】由展开图计算几何体的体积 【典例】某几何体的展开图如图所示． (1)该几何体是 ；(填名称) (2)求这个几何体的体积． 【变式1】综合实践小组准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． 【操作探究】（）综合实践小组准备制作一个无盖的正方体纸盒，如图中只有四个正方形，请在原图上补画一个正方形，使其经过折叠能围成无盖的正方体纸盒； 【问题解决】（）图是综合实践小组的设计图，把它折成无盖的正方体纸盒后与有“卫”字一面的相对面上的字是______；（字在盒外） 【拓展探究】（）如图，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个相同的小正方形，折成一个无盖长方体纸盒.当四角剪去的小正方形的边长为时，请求出纸盒的容积．（纸张厚度忽略不计） 【变式2】用一张长为20厘米，宽为12厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．如图为三位同学的提供的方案，其中厘米，阴影为剪去部分，虚线为折痕． 上述三种方案中，长方体纸盒容积最大的是（   ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．一样大 【变式3】【问题情境】 《制作无盖的长方体纸盒》是苏科版数学课本七年级上册的课题学习内容，某综合实践小组参考这一课题中的内容，开展了“制作长方体纸盒”的实践活动． 【问题解决】 (1)在如图1所示的四个图形中，能够通过折叠围成有盖的长方体纸盒的是______（填序号）． (2)该小组利用边长为的正方形纸板设计了如下两种不同的制作长方体纸盒的方案． ①按如图2所示的方案制作一个无盖的长方体纸盒，其操作步骤为：先在纸板的四个角上剪去个边长为的小正方形，再沿虚线折叠纸板．若，，则该无盖长方体纸盒的底面周长为_______． ②按如图3所示的方案制作一个有盖的长方体纸盒，其操作步骤为：先在纸板的四个角上剪去个边长为的小正方形和个同样大小的小长方形，再沿虚线折叠纸板．若，，求该有盖长方体纸盒的体积． 【例4】求展开图上两点折叠后的距离 【典例】如图是正方体的平面展开图，若，则该正方体A、B两点间的距离为 ． 【变式1】如图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中小正方形的顶点A、B在图2围成的小正方体上的距离是 ． 【变式2】如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式3】如图，一只蜘蛛在长方体木块的顶点A处，一只苍蝇在顶点B处，蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着爬行，请你确定蜘蛛爬行路线最短时点D在上的位置． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025~2026学年度北师大版数学七年级上册课时同步训练 第一章 丰富的图形世界 1.2 从立体图形到平面图形 第2课时 柱体、锥体的展开与折叠（4大基本题型） 【课时概述】 知识点：柱体的展开与折叠、锥体的展开与折叠 主要题型：几何体展开图的认识、由展开图计算几何体的表面积、由展开图计算几何体的体积、求展开图上两点折叠后的距离 【知识点1】【教材重现】柱体、锥体的展开与折叠（教材P9-10） 1. 棱柱的特点：棱柱的上、下底面是多边形；棱柱的侧面都是多边形；棱柱的所有侧棱长都长方形；棱柱侧面的个数与底面多边形的边数相等 2. 圆柱、圆锥的展开 （1）圆柱的上、下底面为圆，侧面展开图为长方形 （2）圆锥的底面为圆，侧面展开图为扇形 3. 常见的立体图形（除球）可以展开成一个平面图形，而平面图形沿某些线折叠可以围成一定形状的立体图形，故展开与折叠是互逆的过程。对于同一个立体图形，当我们按不同的方式展开时，得到的表面展开图是不一样的， 但折叠成的几何体都是同一个 【数学素养】圆柱、圆锥的侧面展开图 【例1】几何体展开图的认识 【典例】如图是某几何体的表面展开图，则该几何体是（   ） A． B．C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了简单几何体的表面展开图，由表面展开图可知该几何体底面是正方形，侧面是四个三角形，从而得出该几何体是四棱锥． 【详解】解：由几何体的表面展开图可知该几何体的底面是正方形，侧面是四个三角形， ∴该几何体是四棱锥， 故选：A． 【变式1】如图是某直棱柱的侧面展开图，则该直棱柱的棱共有（   ） A．6条 B．7条 C．16条 D．15条 【答案】D 【分析】本题考查了几何体展开图的认识，几何体中的点、棱、面，根据这个侧面展开图得出这几何体是五棱柱，则该直棱柱的棱共有条，即可作答． 【详解】解：依题意，根据这个侧面展开图得出这几何体是五棱柱， ∴该直棱柱的棱共有条， 故选：D 【变式2】压路机滚动一周，压过的路面就是压路机滚筒（圆柱）的（    ） A．体积 B．表面积 C．侧面积 D．底面积 【答案】C 【分析】本题主要考查了几何体的有关知识，解题关键是理解圆柱侧面积的计算方法．根据压路机滚动一周，压过的路面就是压路机滚筒（圆柱）的侧面积，进行解答即可． 【详解】解：压路机滚动一周，压过的路面就是压路机滚筒（圆柱）的侧面积， 故选：C． 【变式3】右图是亮亮制作的一个几何体的展开图，将其经过折叠可以围成的几何体是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查几何体的展开图，熟练掌握几何体的展开图确定立体图形是解题的关键； 根据几何体的展开图确定立体图形，即可求解； 【详解】解：根据亮亮制作的一个几何体的展开图，可以看到底面为三角形，侧面为长方形，可以围成的几何体为三棱柱； 故选：B 【例2】由展开图计算几何体的表面积 【典例】正三棱柱（底面为正三角形）的展开图如图所示，则该正三棱柱的侧面积为 ．（用含a，b的式子表示） 【答案】/ 【分析】此题考查了正三棱柱（底面为正三角形）的展开图和侧面积，根据题意求解即可． 【详解】根据题意得，该正三棱柱的侧面积为． 故答案为：． 【变式1】观察下面左图，把罐头盒的商标纸如下图所示沿高剪开，再展开． (1)把圆柱侧面展开后，得到_____（填图形名称）；这个图形的各边与圆柱有什么关系？其中运用什么数学思想方法？ (2)观察上面右图，圆柱的表面是由哪几部分组成的？ (3)圆柱的表面积计算公式是：_________．（写字母表达式） 【答案】(1)长方形，长方形的长是圆柱底面圆的周长，宽为圆柱的高；转化的数学思想 (2)两个底面和一个侧面组成 (3) 【分析】（1）根据展开图判定是长方形，长恰好是圆柱底面圆的周长，宽为圆柱的高，解答即可． （2）根据几何体观察解答即可． （3）根据展开图，得到圆柱的表面积有两个底面圆的面积和侧面的长方形面积求和解答即可． 本题考查了圆柱的展开，圆柱表面积的计算，圆的面积，熟练掌握圆柱的展开，表面积的计算是解题的关键． 【详解】（1）解：根据展开图判定是长方形，长恰好是圆柱底面圆的周长，宽为圆柱的高运用转化的数学思想． 故答案为：长方形． （2）解：根据题意，得圆柱两个底面和一个侧面组成． （3）解：设圆柱的高为h，底面圆的半径为r， 故． 故答案为：． 【变式2】【问题情境】某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作长方体纸盒． 【操作探究】(1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的 图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒． (2)图2是嘉嘉的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的是 字． (3)如图3，有一张边长为的正方形废弃宣传单，嘉嘉准备将其四个角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒，折成的纸盒高为． ①四角应各剪去边长为 的小正方形； ②计算此长方体纸盒的容积． (4)根据如图4方式制作一个有盖的长方体纸盒．方法：先在边长为的正方形纸板四角剪去两个边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折叠起来．该长方体纸盒的体积为多少？ 【答案】(1)C (2)卫 (3)①；② (4)这个长方体的体积为． 【分析】（1）根据正方体表面展开图的“一线不过四，田凹应弃之”进行判断即可； （2）根据正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可得答案； （3）①高就是小正方形的边长；②确定长方体纸盒的长、宽、高，由体积计算公式进行计算即可； （4）根据棱柱的展开与折叠，求出长方体的长、宽、高，再根据体积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：由正方体表面展开图的“一线不过四，田凹应弃之”可知，选项A、选项D不符合题意，而选项B只有4个面，不符合题意；而选项C可以折叠成无盖的正方体的盒子， 故答案为：C； （2）由正方体表面展开图的“相间、端是对面”可知，“保”的对面是“卫”， 故答案为：卫； （3）①若折成的纸盒高为，四角应各减去边长为的小正方形， 故答案为：； ②当小正方形的边长为时，所折叠成长方体纸盒的底面是边长为（）的正方形，高是， 所以体积为（）； （4）由裁剪、折叠可知，所折叠的长方体的长为，宽为，高为（）， 所以长方体的体积为（）， 答：这个长方体的体积为． 【变式3】综合与实践 【问题情境】在一次数学实践活动课上，同学们利用一张边长为的正方形纸板开展了“长方体纸盒的制作”实践活动 （1）图1中，是无盖正方体的表面展开图的是______．（填序号） 【操作探究】如图2，勤学小组的同学先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，制成了一个无盖的长方体纸盒． 如图3，善思小组的同学先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，制成了一个有盖的长方体纸盒． 【计算分析】 （2）①图2中的长方体纸盒的底面周长为______； ②图3中的长方体纸盒的体积为______； 【问题解决】 （3）请你利用边长为的正方形纸板制作一个长方体纸盒（无盖，有盖均可），仿照图2，图3的绘图方式，画出2种不同的裁剪设计图． 【答案】（1）①；（2）①40；②294；（3）见解析 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，掌握棱柱展开图的特征是正确解答的关键． （1）根据正方体表面展开图的特征进行判断即可； （2）①根据裁剪方法得出底面是边长为的正方形即可；②得出长方体的长、宽、高，再根据长方体的体积的计算方法进行计算即可； （3）根据棱柱的展开与折叠的方法进行解答即可． 【详解】解：（1）根据正方体表面展开图的“田凹应弃之”可得，是无盖正方体的表面展开图的是①， 故答案为：①； （2）①图1中的正方体的底面是边长为的正方形，因此底面周长为， 故答案为：40； ②由折叠可知，图2中长方体纸盒的长为，宽为，高为， 所以体积为， 故答案为：294； （3）利用边长为的正方形纸板，利用按照图3、图4的裁剪方法可制作一个有盖的长方体纸盒． 【例3】由展开图计算几何体的体积 【典例】某几何体的展开图如图所示． (1)该几何体是 ；(填名称) (2)求这个几何体的体积． 【答案】(1)长方体 (2) 【分析】（1）根据长方体有6个面，相对两个面的形状大小完全相同可知该几何体为长方体． （2）由该长方体的平面展开图可知宽为，高为，长为，根据才给他体积公式即可可求得该长方体的体积． 本题主要考查了长方体的平面展开图，熟练掌握长方体的特征是解题的关键． 【详解】（1）解：该几何体是长方体. 故答案为：长方体 （2）解：该长方体的宽是，高是，长是， 所以这个几何体的体积是. 【变式1】综合实践小组准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． 【操作探究】（）综合实践小组准备制作一个无盖的正方体纸盒，如图中只有四个正方形，请在原图上补画一个正方形，使其经过折叠能围成无盖的正方体纸盒； 【问题解决】（）图是综合实践小组的设计图，把它折成无盖的正方体纸盒后与有“卫”字一面的相对面上的字是______；（字在盒外） 【拓展探究】（）如图，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个相同的小正方形，折成一个无盖长方体纸盒.当四角剪去的小正方形的边长为时，请求出纸盒的容积．（纸张厚度忽略不计） 【答案】（）画图见解析（答案不唯一）；（）“大”； （） 【分析】（）根据题意画出图形即可； （）根据正方体的平面展开图中，相对的面中间必须隔着一个正方形进行解答即可求解； （）根据长方体体积公式计算即可； 本题考查了正方体的展开图，长方体的体积，正确识图是解题的关键． 【详解】（）画图如下： （）∵正方体的平面展开图中，相对的面中间必须隔着一个正方形， ∴“卫”和“大”相对， 故答案为：“大”； （）纸盒的容积． 答：纸盒的容积为． 【变式2】用一张长为20厘米，宽为12厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．如图为三位同学的提供的方案，其中厘米，阴影为剪去部分，虚线为折痕． 上述三种方案中，长方体纸盒容积最大的是（   ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．一样大 【答案】B 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，掌握长方体表面展开图的特征是正确解答的关键． 分别求出各种方案所制作的长方体纸盒的长、宽、高，再计算出容积即可． 【详解】解：按照方案1，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， 按照方案2，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， 按照方案3，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， ， 按照方案2制作的长方体无盖之和的容积最大， 故选：． 【变式3】【问题情境】 《制作无盖的长方体纸盒》是苏科版数学课本七年级上册的课题学习内容，某综合实践小组参考这一课题中的内容，开展了“制作长方体纸盒”的实践活动． 【问题解决】 (1)在如图1所示的四个图形中，能够通过折叠围成有盖的长方体纸盒的是______（填序号）． (2)该小组利用边长为的正方形纸板设计了如下两种不同的制作长方体纸盒的方案． ①按如图2所示的方案制作一个无盖的长方体纸盒，其操作步骤为：先在纸板的四个角上剪去个边长为的小正方形，再沿虚线折叠纸板．若，，则该无盖长方体纸盒的底面周长为_______． ②按如图3所示的方案制作一个有盖的长方体纸盒，其操作步骤为：先在纸板的四个角上剪去个边长为的小正方形和个同样大小的小长方形，再沿虚线折叠纸板．若，，求该有盖长方体纸盒的体积． 【答案】(1)①②④ (2)①；② 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，掌握棱柱的展开图的特征是正确解答的前提，根据展开图得出折叠后长方体的长、宽、高是解决问题的关键． （1）根据长方体的展开图特征求解即可； （2）①由折叠可得底面是边长为的正方形，进而求出底面周长即可；②由展开与折叠可知，折叠成长方体的长、宽、高分别为、、，根据体积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：能够通过折叠围成有盖的长方体纸盒的是①②④， 故答案为：①②④； （2）①该无盖长方体纸盒的底面周长为， 故答案为：； ②该长方体纸盒的长为，宽为，高为， 该有盖长方体纸盒的体积为． 【例4】求展开图上两点折叠后的距离 【典例】如图是正方体的平面展开图，若，则该正方体A、B两点间的距离为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了正方体的展开图，根据A、B两点在展开图上的位置，确定其在正方体上的位置是解题关键．将正方体的展开图叠成一个正方体，刚好是同一个面的对角线，据此即可得到答案． 【详解】解：将正方体的展开图叠成一个正方体，刚好是同一个面的对角线， 因为展开图中，即两倍对角线为8， 那么对角线的长度就是4， 即正方体A、B两点间的距离为4， 故答案为：4． 【变式1】如图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中小正方形的顶点A、B在图2围成的小正方体上的距离是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了展开图折成几何体，判断出A、B两点在正方体上的位置是解题关键．由展开图折叠成几何体可知，正方体上的顶点A、B是同一棱上的两个端点，据此即可得到答案． 【详解】解：由展开图折叠成几何体可知，正方体上的顶点A、B是同一棱上的两个端点， 即A、B的距离是正方体的棱长1， 故答案为：1． 【变式2】如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了平面图形和立体图形，把图形围成立体图形求解． 【详解】解：把图形围成立方体如图所示： 所以与顶点距离最远的顶点是， 故选：A． 【变式3】如图，一只蜘蛛在长方体木块的顶点A处，一只苍蝇在顶点B处，蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着爬行，请你确定蜘蛛爬行路线最短时点D在上的位置． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，将该长方形木块的前面和右面展开，连接，交于点D，即可． 【详解】解：如答图，将该长方形木块的前面和右面展开，连接，交于点D，点D即为所求． 学科网（北京）股份有限公司 $$