1.1 第2课时 几何体的构成（3大基本题型） 课时同步训练 2025～2026学年 北师大版数学七年级上册

2025~2026学年度北师大版数学七年级上册课时同步训练 第一章 丰富的图形世界 1.1 生活中的立体图形 第2课时 几何体的构成（3大基本题型） 【课时概述】 知识点：点、线、面、体的关系 主要题型：点、线、面、体之间的关系、几何体的侧面积和表面积、平面图形旋转后所得的立体图形 【知识点1】【教材重现】点、线、面、体的关系（教材P4） （1）图形是由点线面构成的； （2）点动成线、线动成面、面动成体； （3）面与面相交得到线，线与线相交得到点 【★易错点】由平面图形绕某固定直线旋转一周形成的立体图形称为旋转体。面动成体，要特别注意哪个面绕哪条轴旋转；解答有关旋转的题目时，可动手操作，增强直观性。比如：直角三角形绕着某条直角边所在的直线旋转一周所形成的立体图形是圆锥。 【例1】点、线、面、体之间的关系 【典例】节日里向空中升起的烟火，这个过程体现了（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面与面相交形成线 【答案】A 【分析】根据点动成线，线动成面，面动成题进行判断即可. 此题考查点、线、面、体的关系，正确理解原物体的运动是解题的关键. 【详解】节日里向空中升起的烟火，这个过程体现了点动成线. 故选：A 【变式1】下面现象中，能说明“线动成面”的是（   ） A．天空划过一道流星 B．时钟的钟摆摆动留下的痕迹 C．抛出一块小石子，石子在空中飞行的路线 D．一枚硬币在桌面上旋转的轨迹 【答案】B 【分析】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握点、线、面、体四者之间的关系是解题的关键．根据点、线、面、体四者之间的关系，对选项逐个分析判断即可． 【详解】解：A、天空划过一道流星，能说明“点动成线”，不符合题意； B、时钟的钟摆摆动留下的痕迹，能说明“线动成面”，符合题意； C、抛出一块小石子，石子在空中飞行的路线，能说明“点动成线”，不符合题意； D、一枚硬币在桌面上旋转的轨迹，能说明“面动成体”，不符合题意； 故选：B 【变式2】画卷即为卷轴形的画，如图是一幅画卷展开的过程，这个过程体现的数学原理是 ． 【答案】线动成面 【分析】本题考查了点、线、面、体的关系，熟练掌握点动成线、线动成面、面动成体是解答本题的关键．根据线动成面解答即可． 【详解】解：这个过程体现的数学原理是线动成面． 故答案为：线动成面． 【变式3】笔尖可以看作一个点，这个点在纸上运动时就形成了线，这可以说成点动成线，钟表上的时针转动一周形成一个圆面，这可以说成 . 【答案】线动成面 【分析】此题考查了点、线、面、体，根据点线面体的关系求解． 【详解】解：钟表上的时针实际上是一条线，通过转动一周形成一个圆面，所以应是线动成面． 故答案为：线动成面． 【例2】几何体的侧面积和表面积 【典例】一个直五棱柱的模型如图所示，它的底面边长都为，侧棱长都为．求该直五棱柱所有侧面的面积之和． 【答案】该直五棱柱所有侧面的面积之和为 【分析】本题考查了求几何体的侧面积，有理数的乘法，由底面边长都是可知每个侧面的面积都相等，用一个侧面的面积乘以侧面的个数即可． 【详解】解：． 答：该直五棱柱所有侧面的面积之和为 【变式1】已知一个直棱柱，它有18条棱，侧棱长，底面边长都为． (1)这个直棱柱是 ___________棱柱，它有 ___________个面，___________个顶点； (2)这个棱柱的所有棱长的和为 ___________； (3)这个棱柱的所有侧面的面积之和是多少？ 【答案】(1)六，8，12 (2) (3) 【分析】（1）由n棱柱有条棱，有个顶点，有个面求解可得； （2）棱柱的所有棱长和=6个侧棱长+12个底边长； （3）将侧面长方形的面积乘以长方形的个数即可得． 本题考查了n棱柱有条棱，有个顶点，有个面，侧面积，棱长，熟练掌握基本内涵是解题的关键． 【详解】（1）解：∵此直棱柱有18条棱， ∴由知，此棱柱是六棱柱；这个六棱柱有8个面，有12个顶点； 故答案为：六，8，12． （2）解：∵一条侧棱长为，底面各边长都为， ∴棱柱的所有棱长和； 故答案为：． （3）解：这个棱柱的所有侧面的面积之和是． 【变式2】观察如图所示的棱柱： (1)这个棱柱的底面是 ； (2)这个棱柱有 个侧面，侧面的形状是 ； (3)侧面的个数与底面的边数 ；（填“相等”或“不相等” (4)这个棱柱有 个顶点， 条侧棱，一共有 条棱； (5)若这个棱柱的底面边长都是，侧棱长是，则该棱柱所有侧面的面积之和为 ． 【答案】(1)三角形； (2)3，长方形； (3)相等； (4)6；3，9； (5)45 【分析】此题主要考查了棱柱的特征，熟悉掌握棱柱的特征是解此题的关键． （1）根据棱柱这个几何体的特征即可求解； （2）根据棱柱这个几何体的特征即可求解； （3）根据棱柱这个几何体的特征即可求解； （4）根据棱柱这个几何体的特征即可求解； （5）根据棱柱的三个侧面相等，结合长方形的面积公式即可计算． 【详解】（1）解：这个棱柱的底面是三角形； 故答案为：三角形； （2）解：这个棱柱有3个侧面，侧面的形状是长方形； 故答案为：3，长方形； （3）解：依题意，侧面的个数是3，底面的边数是3 ∴侧面的个数与底面的边数相等； 故答案为：相等． （4）解：这个棱柱有6个顶点，3条侧棱，一共有9条棱； 故答案为：6；3，9； （5）解：， 则该棱柱所有侧面的面积之和为． 故答案为： 45． 【变式3】一个长6厘米，宽4厘米，高9厘米的长方体牛奶盒，装满牛奶． (1)制作这个牛奶盒至少需要多少平方厘米硬纸？（接头处忽略不计） (2)平平在准备喝牛奶时一不小心把盒子弄歪了（如图），洒出一些牛奶，也就是图中的空白部分．洒出多少毫升牛奶？ (3)如图中牛奶与盒子的接触部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】(1)228平方厘米 (2)36毫升 (3)174平方厘米 【分析】（1）根据长方体的表面积＝2（长×宽＋长×高＋宽×高），计算即可； （2）洒出牛奶的体积＝直角边长为6和3的直角三角形的面积×高4cm； （3）牛奶与盒子的接触部分的面积＝前后2个直角梯形的面积＋左面的边长为，的长方形的面积＋下面的边长为和的长方形的面积＋右面的边长为和的长方形的面积． 【详解】（1）解： （平方厘米）． 答：制作这个牛奶盒至少需要228平方厘米硬纸； （2） （立方厘米） （毫升）． 答：洒出36毫升牛奶； （3）∵牛奶与盒子的接触部分的面积＝前后2个直角梯形的面积＋左面的边长为，的长方形的面积＋下面的边长为和的长方形的面积＋右面的边长为和的长方形的面积， ∴牛奶与盒子的接触部分的面积 （平方厘米）． 答：牛奶与盒子的接触部分的面积是174平方厘米． 【例3】平面图形旋转后所得的立体图形 【典例】如图，在矩形中，，将该矩形绕直线旋转一周可得到的立体图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握面动成体得到的几何体的形状是解题的关键．根据矩形绕一边旋转一周得到圆柱体解答． 【详解】解：四边形是矩形，， ，是长边． 则该矩形绕直线旋转一周可得到的立体图形是较高的圆柱体． 故选：B． 【变式1】已知是直角三角形．将绕其一条直角边所在的直线旋转一周，得到的立体图形是（　　） A．球 B．圆柱 C．圆台 D．圆锥 【答案】D 【分析】本题考查了点、线、面、体，根据直角三角形绕直角边旋转是圆锥，可得答案，熟记各种平面图形旋转得到的立体图形是解题的关键． 【详解】解：将一个直角三角形绕其一条直角边所在的直线旋转一周，得到的立体图形是圆锥． 故选：D． 【变式2】如图，大长方形长，宽，小长方形长，宽，以两长方形长边中点连线（图中的虚线l）为轴，将八边形旋转一周得到的几何体的表面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查圆柱的表面积计算，解题关键是根据线动成面的知识得出旋转后的图形． 长方形旋转后形成圆柱，根据题意求出大圆柱的侧面积和小圆柱的侧面积，再加上大圆柱的上下两圆的面积，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得：大圆柱的侧面积； 小圆柱的侧面积； 大圆柱上下圆的面积为：， ∴几何体的表面积． 故答案为：． 【变式3】如图，将平面图形甲、乙分别绕轴旋转一周，可以得到立体图形，图形甲是直角边分别为的直角三角形，图形乙是长为、宽为的长方形． (1)立体图形的名称是______；（答案直接填写在答题卡的横线上） (2)请问立体图形比立体图形的体积大多少？（用含和的式子表示，，） 【答案】(1)圆柱； (2)． 【分析】本题考查了面动成体，圆锥的体积、圆柱的体积等知识点，掌握知识点的应用解题的关键． （）根据面动成体即可解答； （）设图形的体积分别为、，然后分别求得图形的体积，然后作差即可解答． 【详解】（1）解：以长方形的边所在直线为旋转轴得到的立体图形为圆柱， 故答案为：圆柱； （2）解：设图形的体积分别为、， 则， ， ∴， 即立体图形比立体图形的体积大． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025~2026学年度北师大版数学七年级上册课时同步训练 第一章 丰富的图形世界 1.1 生活中的立体图形 第2课时 几何体的构成（3大基本题型） 【课时概述】 知识点：点、线、面、体的关系 主要题型：点、线、面、体之间的关系、几何体的侧面积和表面积、平面图形旋转后所得的立体图形 【知识点1】【教材重现】点、线、面、体的关系（教材P4） （1）图形是由点线面构成的； （2）点动成线、线动成面、面动成体； （3）面与面相交得到线，线与线相交得到点 【★易错点】由平面图形绕某固定直线旋转一周形成的立体图形称为旋转体。面动成体，要特别注意哪个面绕哪条轴旋转；解答有关旋转的题目时，可动手操作，增强直观性。比如：直角三角形绕着某条直角边所在的直线旋转一周所形成的立体图形是圆锥。 【例1】点、线、面、体之间的关系 【典例】节日里向空中升起的烟火，这个过程体现了（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面与面相交形成线 【变式1】下面现象中，能说明“线动成面”的是（   ） A．天空划过一道流星 B．时钟的钟摆摆动留下的痕迹 C．抛出一块小石子，石子在空中飞行的路线 D．一枚硬币在桌面上旋转的轨迹 【变式2】画卷即为卷轴形的画，如图是一幅画卷展开的过程，这个过程体现的数学原理是 ． 【变式3】笔尖可以看作一个点，这个点在纸上运动时就形成了线，这可以说成点动成线，钟表上的时针转动一周形成一个圆面，这可以说成 . 【例2】几何体的侧面积和表面积 【典例】一个直五棱柱的模型如图所示，它的底面边长都为，侧棱长都为．求该直五棱柱所有侧面的面积之和． 【变式1】已知一个直棱柱，它有18条棱，侧棱长，底面边长都为． (1)这个直棱柱是 ___________棱柱，它有 ___________个面，___________个顶点； (2)这个棱柱的所有棱长的和为 ___________； (3)这个棱柱的所有侧面的面积之和是多少？ 【变式2】观察如图所示的棱柱： (1)这个棱柱的底面是 ； (2)这个棱柱有 个侧面，侧面的形状是 ； (3)侧面的个数与底面的边数 ；（填“相等”或“不相等” (4)这个棱柱有 个顶点， 条侧棱，一共有 条棱； (5)若这个棱柱的底面边长都是，侧棱长是，则该棱柱所有侧面的面积之和为 ． 【变式3】一个长6厘米，宽4厘米，高9厘米的长方体牛奶盒，装满牛奶． (1)制作这个牛奶盒至少需要多少平方厘米硬纸？（接头处忽略不计） (2)平平在准备喝牛奶时一不小心把盒子弄歪了（如图），洒出一些牛奶，也就是图中的空白部分．洒出多少毫升牛奶？ (3)如图中牛奶与盒子的接触部分的面积是多少平方厘米？ 【例3】平面图形旋转后所得的立体图形 【典例】如图，在矩形中，，将该矩形绕直线旋转一周可得到的立体图形是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知是直角三角形．将绕其一条直角边所在的直线旋转一周，得到的立体图形是（　　） A．球 B．圆柱 C．圆台 D．圆锥 【变式2】如图，大长方形长，宽，小长方形长，宽，以两长方形长边中点连线（图中的虚线l）为轴，将八边形旋转一周得到的几何体的表面积为 ．（结果保留） 【变式3】如图，将平面图形甲、乙分别绕轴旋转一周，可以得到立体图形，图形甲是直角边分别为的直角三角形，图形乙是长为、宽为的长方形． (1)立体图形的名称是______；（答案直接填写在答题卡的横线上） (2)请问立体图形比立体图形的体积大多少？（用含和的式子表示，，） 学科网（北京）股份有限公司 $$