1.1 第1课时 生活中的立体图形（5大基本题型） 课时同步训练 2025～2026学年 北师大版数学七年级上册

2025~2026学年度北师大版数学七年级上册课时同步训练 第一章 丰富的图形世界 1.1 生活中的立体图形 第1课时 生活中的立体图形（5大基本题型） 【课时概述】 知识点：常见的几何体及其特征、常见的几何体分类、棱柱的有关概念及其特征 主要题型：立体图形的识别、立体图形的分类、组合几何体的构成、认识棱柱、几何体的点、棱、面 【知识点1】【教材重现】常见的几何体及其特征（教材P2） 名称 图例 特征 柱体 圆柱 底面是圆 侧面是曲的面 两个（底）面互相平行 形状、大小相同 棱柱 底面是多边形 侧面是平行四边形 锥体 圆锥 底面是圆 侧面是曲的面 有一个顶点 棱锥 （扩展） 底面是多边形 侧面是三角形 各侧面有一个公共顶点 球 表面是曲的面 【★数学技巧】 （1）圆柱和棱柱的区别：圆柱的底面是圆，棱柱的底面是多边形；圆柱的侧面是曲的面，棱柱的侧面是平行四边形； （2）圆锥和棱锥的区别：圆锥的底面是圆，棱锥的底面是多边形；圆锥的侧面是曲的面，棱锥的侧面是三角形； （3）球与圆的区别：球是立体图形，圆是平面图形。 【例1】立体图形的识别 【典例】端午节吃粽子是我国传统节日里的一大亮点．2025年端午节前夜，小红包了一个粽子后发现它每个面均是等边三角形，如图所示，这个粽子可以近似看作（   ） A．长方体 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱锥 【变式1】下列图形中，是圆柱的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】一个足球有以下性质，其中属于几何性质的为（   ） A．皮质 B．黑白色 C．有弹性 D．直径厘米 【变式3】如图，小明拿到一个没装满水的有盖可密封的正方体盒子，盒子可以采用任何方式放置，他不断改变盒子的放置方式，盒子里的水便形成不同的几何体，则下列选项中：①长方体，②正方体，③圆柱体，④三棱锥，⑤三棱柱，可能是盒子里的水形成的几何体的有_____________（填写序号即可） 【知识点2】【教材重现】常见的几何体分类（教材P2-3） 立体图形除了按照柱体、锥体、球分类，也可以按照其他标准分类 （1）按照是否有顶点划分：①有顶点：圆锥、正方体、长方体等；②无顶点：圆柱、球等； （2）按围成几何体的面是否有曲的面划分：①有曲的面：圆柱、圆锥、球等；②没有曲的面：棱柱、棱锥等 【★易错点】对几何体进行分类时，要按照同一标准不重不漏地进行。分类的标准不同，分类的记过也不同。 【例2】立体图形的分类 【典例】下列说法不正确的是（    ） A．正方体有六个面，这六个面都是平的 B．圆柱有三个面，这三个面都是平的 C．圆锥有两个面，这两个面中一个是平的，一个是曲的 D．球由一个面围成，这个面是曲的 【变式1】分别观察下列几何体，其中只有曲面的是 （    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，图中柱体的个数是 个． 【变式3】将如图几何体分类，柱体有 ，锥体有 ，球体有 ．（填序号） 【例3】组合几何体的构成 【典例】如图，小明用几个棱长为的正方体积木塔了一个几何体，则这个几何体的体积是 ． 【变式1】如图，能看到的正方体有 块，看不到的正方体有 块． 【变式2】如图，一个棱长为的正方体，在它的一个角上挖掉一个棱长是的正方体，求出剩余部分的表面积是 ，体积是 ． 【变式3】如图，加工一个长，宽，高的长方体铁块，选择面积最小的一个面，从该面的正中间打一个直径为的圆孔，一直贯穿到对面做成一个零件．则这个零件的体积是 ．（结果保留） 【知识点3】【教材重现】棱柱的有关概念及其特征（教材P3-4） （1）在棱柱中，相邻的两个面的交线叫作棱，相邻两个侧面的交线叫作侧棱； （2）棱柱的所有侧棱长都相等。棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是平行四边形； （3）棱柱通常按照底面图形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们的底面图形的形状分别为三角形、四边形、五边形、六边形…… （3）棱柱的顶点数、棱数和面数之间的关系：底面多边形的边数n确定该棱柱是n棱柱，它有2n个顶点，3n条棱，n条侧棱，有（n+2）个面，n个侧面 【★易错点】 棱柱分别为直棱柱和斜棱柱，通常只讨论直棱柱 【例4】认识棱柱 【典例】下列几何体中，是棱柱的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列判断正确的有（    ） （1）正方体是棱柱，长方体不是棱柱；（2）正方体是棱柱，长方体也是棱柱；（3）正方体是柱体，圆柱也是柱体；（4）正方体不是柱体，圆柱是柱体． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】下列实物图中，能抽象出棱柱的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】几何体的下列性质：①侧面是平行四边形；②底面形状相同；③底面平行；④侧棱长相等．其中棱柱具有的性质有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例5】几何体的点、棱、面 【典例】若一个棱柱有6条侧棱，则下列说法错误的是（   ） A．这个棱柱共有18条棱 B．这个棱柱有12个顶点 C．这个棱柱有6个面 D．这个棱柱是六棱柱 【变式1】一个棱柱有个面，且所有的侧棱长的和为，底面边长都为，它的侧面积是 ． 【变式2】已知一个直棱柱，它有条棱，其中一条侧棱长为，底面各边长都为． (1)这是几棱柱？它有多少个面？多少个顶点？ (2)这个棱柱的所有侧面的面积之和是多少？ 【变式3】观察下列多面体，并把表格补充完整． 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数a 6 10 12 棱数b 9 12 面数c 5 8 (1)完成表格中的数据； (2)根据表格中的规律判断，十四棱柱共有 个面，共有 个顶点，共有　 　条棱； (3)若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为 棱柱． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025~2026学年度北师大版数学七年级上册课时同步训练 第一章 丰富的图形世界 1.1 生活中的立体图形 第1课时 生活中的立体图形（5大基本题型） 【课时概述】 知识点：常见的几何体及其特征、常见的几何体分类、棱柱的有关概念及其特征 主要题型：立体图形的识别、立体图形的分类、组合几何体的构成、认识棱柱、几何体的点、棱、面 【知识点1】【教材重现】常见的几何体及其特征（教材P2） 名称 图例 特征 柱体 圆柱 底面是圆 侧面是曲的面 两个（底）面互相平行 形状、大小相同 棱柱 底面是多边形 侧面是平行四边形 锥体 圆锥 底面是圆 侧面是曲的面 有一个顶点 棱锥 （扩展） 底面是多边形 侧面是三角形 各侧面有一个公共顶点 球 表面是曲的面 【★数学技巧】 （1）圆柱和棱柱的区别：圆柱的底面是圆，棱柱的底面是多边形；圆柱的侧面是曲的面，棱柱的侧面是平行四边形； （2）圆锥和棱锥的区别：圆锥的底面是圆，棱锥的底面是多边形；圆锥的侧面是曲的面，棱锥的侧面是三角形； （3）球与圆的区别：球是立体图形，圆是平面图形。 【例1】立体图形的识别 【典例】端午节吃粽子是我国传统节日里的一大亮点．2025年端午节前夜，小红包了一个粽子后发现它每个面均是等边三角形，如图所示，这个粽子可以近似看作（   ） A．长方体 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱锥 【答案】D 【分析】本题考查了几何体，熟练掌握各基本几何体的特征是解题的关键． 根据三棱锥的形态特征进行判断即可． 【详解】解：小红包了一个粽子后发现它每个面均是等边三角形，这个粽子可以近似看作三棱锥， 故选：D． 【变式1】下列图形中，是圆柱的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据几何体的分类逐项判断即可．本题主要考查几何图形，牢记几何体的分类是解题的关键． 【详解】A、为球，该选项不符合题意； B、为圆锥，该选项不符合题意； C、为正方体，该选项不符合题意； D、为圆柱，该选项符合题意． 故选：D． 【变式2】一个足球有以下性质，其中属于几何性质的为（   ） A．皮质 B．黑白色 C．有弹性 D．直径厘米 【答案】D 【分析】本题主要考查几何图形的几何性质的理解，几何性质报括几何对象的形状，大小，位置特征，利用几何特征的含义逐项判断即可． 【详解】解：A，B，C选项分别是足球的材质，颜色，及弹性等物理特征，而选项D为足球的形状及大小特征， 故选：D． 【变式3】如图，小明拿到一个没装满水的有盖可密封的正方体盒子，盒子可以采用任何方式放置，他不断改变盒子的放置方式，盒子里的水便形成不同的几何体，则下列选项中：①长方体，②正方体，③圆柱体，④三棱锥，⑤三棱柱，可能是盒子里的水形成的几何体的有 （填写序号即可） 【答案】①④⑤ 【分析】本题考查对常见几何体特征的理解，以及空间想象能力，解题关键在于依据正方体盒子的形状特点和水未装满的条件，结合长方体、正方体、圆柱体、三棱锥、三棱柱的几何特征，通过想象不同放置方式下水的形状来判断． 【详解】①当正方体盒子水平放置时，水在盒子里可以形成长方体； ②因为水没有装满盒子，所以无论怎样放置，都无法形成正方体； ③正方体盒子的形状决定了水无法形成圆柱体； ④将正方体盒子倾斜放置，让水刚好充满三棱锥的空间部分，可以形成三棱锥； ⑤把正方体盒子以一定角度放置，使水形成三棱柱的形状． 综上所述：可能是盒子里的水形成的几何体的有①长方体，④三棱锥，⑤三棱柱； 故答案为：①④⑤． 【知识点2】【教材重现】常见的几何体分类（教材P2-3） 立体图形除了按照柱体、锥体、球分类，也可以按照其他标准分类 （1）按照是否有顶点划分：①有顶点：圆锥、正方体、长方体等；②无顶点：圆柱、球等； （2）按围成几何体的面是否有曲的面划分：①有曲的面：圆柱、圆锥、球等；②没有曲的面：棱柱、棱锥等 【★易错点】对几何体进行分类时，要按照同一标准不重不漏地进行。分类的标准不同，分类的记过也不同。 【例2】立体图形的分类 【典例】下列说法不正确的是（    ） A．正方体有六个面，这六个面都是平的 B．圆柱有三个面，这三个面都是平的 C．圆锥有两个面，这两个面中一个是平的，一个是曲的 D．球由一个面围成，这个面是曲的 【答案】B 【分析】本题考查认识立体图形，掌握每一个立体图形的形状是解本题的关键．根据平面与曲面的区别进行分析即可． 【详解】解：A．正方体有六个面，这六个面都是平的，正确，故该选项不符合题意； B．圆柱有三个面，上底和下底是平的，侧面是曲的，故原说法错误，该选项符合题意； C. 圆锥有两个面，这两个面中一个是平的，一个是曲的，正确，故该选项不符合题意； D. 球由一个面围成，这个面是曲的，正确，故该选项不符合题意． 故选B． 【变式1】分别观察下列几何体，其中只有曲面的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了认识立体图形，熟练掌握每一个几何体围成的面是平面还是曲面是解题的关键． 根据图形观察，围成立体图形的各个面是平面还是曲面逐一判断即可． 【详解】 解：A. 只有曲面，故该选项符合题意； B. 有曲面也有平面，故该选项不符合题意； C. 有曲面也有平面，故该选项不符合题意； D. 只有平面，故该选项不符合题意； 故选：A． 【变式2】如图，图中柱体的个数是 个． 【答案】5 【分析】本题主要考查了柱体的识别，一个多面体有两个面互相平行且全等，余下的每个相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体就为柱体，柱体分为圆柱和棱柱，据此进行判断即可． 【详解】解：柱体有①③④⑤⑥，共5个． 故答案为：5． 【变式3】将如图几何体分类，柱体有 ，锥体有 ，球体有 ．（填序号） 【答案】 ①②③ ⑤ ④ 【分析】本题考查了认识立体图形，熟练掌握各定义是解题关键．解这类题首先要明确柱体、锥体、球体的概念，然后根据图示进行解答即可． 【详解】解：柱体包括圆柱和棱柱，所以柱体有①②③； 锥体包括圆锥和棱锥，所以锥体有⑤； 球体属于单独的一类，是有且只有一个连续曲面的立体图形，所以球体有④； 故答案为：①②③，⑤，④． 【例3】组合几何体的构成 【典例】如图，小明用几个棱长为的正方体积木塔了一个几何体，则这个几何体的体积是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了求简单几何体的体积，准确得出小正方体个数是解题的关键．求出一个小正方体的体积为立方厘米，再得出共用9个小正方体，因此求出总体积． 【详解】解：由图可知第一层有6个小正方体，第二层有个小正方体， ∴搭建这个几何体共用9个棱长为的小正方体， ∴该几何体的体积为：． 故答案为：9． 【变式1】如图，能看到的正方体有 块，看不到的正方体有 块． 【答案】 16 14 【分析】本题考查的是立体图形，解决本题的关键是利用总的正方体个数减去看到的正方体个数，得到看不到的正方体的个数．看到的正方体个数直接数出来就可以了，看不到的正方体个数用总的正方体个数减去看到的正方体个数即可． 【详解】解：看到的正方体有（块， 总的正方体个数有（块， 看不到的正方体有（块． 故答案为：16，14． 【变式2】如图，一个棱长为的正方体，在它的一个角上挖掉一个棱长是的正方体，求出剩余部分的表面积是 ，体积是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了几何体的表面积与体积求法，在一个大正方体的上面的一个角上挖出一个棱长的小正方体，那么它的表面积没有发生变化；用原大正方体的体积减去小正方体的体积就得到余下部分的体积．据此解答即可． 【详解】解：余下部分的体积： ； 表面积：1； 答：余下部分的表面积是，体积是． 【变式3】如图，加工一个长，宽，高的长方体铁块，选择面积最小的一个面，从该面的正中间打一个直径为的圆孔，一直贯穿到对面做成一个零件．则这个零件的体积是 ．（结果保留） 【答案】/ 【分析】本题考查长方体体积和圆柱的体积，根据零件的体积长方体体积圆柱体积，列式求解即可，注意圆孔选择面积最小的一个面，即圆柱的高为． 【详解】解：由题知，零件的体积． 故答案为：． 【知识点3】【教材重现】棱柱的有关概念及其特征（教材P3-4） （1）在棱柱中，相邻的两个面的交线叫作棱，相邻两个侧面的交线叫作侧棱； （2）棱柱的所有侧棱长都相等。棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是平行四边形； （3）棱柱通常按照底面图形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们的底面图形的形状分别为三角形、四边形、五边形、六边形…… （3）棱柱的顶点数、棱数和面数之间的关系：底面多边形的边数n确定该棱柱是n棱柱，它有2n个顶点，3n条棱，n条侧棱，有（n+2）个面，n个侧面 【★易错点】 棱柱分别为直棱柱和斜棱柱，通常只讨论直棱柱 【例4】认识棱柱 【典例】下列几何体中，是棱柱的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了立体图形，根据立体图形的分类即可求解，正确理解立体图形的概念是解题的关键． 【详解】解：、是圆锥，不符合题意； 、是球体，不符合题意； 、是圆柱，不符合题意； 、是五棱柱，符合题意； 故选：． 【变式1】下列判断正确的有（    ） （1）正方体是棱柱，长方体不是棱柱；（2）正方体是棱柱，长方体也是棱柱；（3）正方体是柱体，圆柱也是柱体；（4）正方体不是柱体，圆柱是柱体． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据棱柱的定义：有两个面平行，其余面都是四边形，并且相邻的两个四边形的公共边都互相平行；柱体的定义：一个多面体有两个面互相平行且相同，余下的每个相邻两个面的交线互相平行，进行判断即可． 【详解】解：（1）正方体是棱柱，长方体是棱柱，故此说法错误； （2）正方体是棱柱，长方体也是棱柱，故此说法正确； （3）正方体是柱体，圆柱也是柱体，故此说法正确； （4）正方体是柱体，圆柱是柱体，故此说法错误． 故选B． 【点睛】本题主要考查了棱柱和柱体的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关定义． 【变式2】下列实物图中，能抽象出棱柱的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了立体图形的识别，注意几何体的分类，一般分为柱体、锥体和球，柱体又分为圆柱和棱柱，锥体又分为圆锥和棱锥．根据棱柱有2个底面，一个侧面解答即可． 【详解】解：A．该图能抽象出棱柱，故符合题意； B．该图能抽象出球体，故不符合题意； C．该图能抽象出圆柱，故不符合题意； D．该图能抽象出圆锥，故不符合题意； 故选：A． 【变式3】几何体的下列性质：①侧面是平行四边形；②底面形状相同；③底面平行；④侧棱长相等．其中棱柱具有的性质有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了棱柱的性质，解题的关键是掌握棱柱侧面是平行四边形，底面形状相同，底面平行，侧棱长相等，据此逐个判断即可． 【详解】解：根据题意可得：棱柱侧面是平行四边形，底面形状相同，底面平行，侧棱长相等， ∴棱柱具有的性质有①②③④，共4个， 故选：D． 【例5】几何体的点、棱、面 【典例】若一个棱柱有6条侧棱，则下列说法错误的是（   ） A．这个棱柱共有18条棱 B．这个棱柱有12个顶点 C．这个棱柱有6个面 D．这个棱柱是六棱柱 【答案】C 【分析】本题考查了立体图形的特点，掌握棱、点、面的关系及其特点是解题的关键． 根据题意作图，图形结合分析即可求解． 【详解】解：一个棱柱有6条侧棱，作图如下， ∴A、这个棱柱共有18条棱，正确，不符合题意； B、这个棱柱有12个顶点，正确，不符合题意； C、这个棱柱有8个面，原选项错误，符合题意； D、这个棱柱是六棱柱，正确，不符合题意； 故选：C ． 【变式1】一个棱柱有个面，且所有的侧棱长的和为，底面边长都为，它的侧面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了棱柱的侧面积计算，先求出棱柱的棱数，再求出侧棱长，然后求侧面积即可，正确理解棱柱的有关定义是解题的关键． 【详解】解：∵棱柱有个面， ∴是棱柱， ∴侧棱长为， ∵底面边长都是， ∴底面周长是， ∴侧面积， 故答案为：． 【变式2】已知一个直棱柱，它有条棱，其中一条侧棱长为，底面各边长都为． (1)这是几棱柱？它有多少个面？多少个顶点？ (2)这个棱柱的所有侧面的面积之和是多少？ 【答案】(1)这是九棱柱，它有个面，有个顶点； (2)这个棱柱的所有侧面的面积之和是． 【分析】（）由棱柱有条棱，有个顶点，有个面即可求解； （）由棱柱个侧面，将侧面长方形的面积乘以长方形的个数即可求解； 本题考查了认识立体图形，解题的关键是掌握棱柱有条棱，有个顶点，有个面． 【详解】（1）解：∵此直棱柱有条棱， ∴由知，此棱柱是九棱柱，这个七棱柱有个面，有个顶点； 答：这是九棱柱，它有个面，有个顶点； （2）解：这个棱柱的所有侧面的面积之和是：， 答：这个棱柱的所有侧面的面积之和是． 【变式3】观察下列多面体，并把表格补充完整． 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数a 6 10 12 棱数b 9 12 面数c 5 8 (1)完成表格中的数据； (2)根据表格中的规律判断，十四棱柱共有 个面，共有 个顶点，共有　 　条棱； (3)若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为 棱柱． 【答案】(1)见解析 (2)16，28，42 (3)二十八 【分析】本题考查规律型问题，欧拉公式等知识，解题的关键是学会从特殊到一般探究规律的方法． （1）通过认真观察图象，即可一一判断； （2）根据面、顶点、棱的定义一一判断即可； （3）根据棱柱的定义判定即可． 【详解】（1）解：填表如下： 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数 6 8 10 12 棱数 9 12 15 18 面数 5 6 7 8 （2）解：根据上表中的规律可得：棱柱共有个面，共有个顶点，共有条棱， 所以十四棱柱共有16个面，共有28个顶点，共有42条棱； 故答案为：16，28，42； （3）解：若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为二十八棱柱； 故答案为：二十八． 学科网（北京）股份有限公司 $$