精品解析：河北省石家庄市新乐市第一中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

河北省石家庄市新乐市第一中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题 一、单项选择题： 1. ，若，则实数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足（i为虚数单位），则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 3. 紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：），那么该壶的容积约为（    ） A. B. C. D. 4. 设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知一组数，，，的平均数是3，方差为4，则数据，，，的平均数和方差分别是（    ） A. 7，8 B. 7，16 C. 6，8 D. 6，16 6. 在平行四边形中，，分别为，中点，与交于点，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知的内角，，所对的边分别为，，，且，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且，则下列结论中错误的是（ ） A. B. 平面 C. 三棱锥的体积为定值 D. 的面积与的面积相等 9. 已知三棱锥的侧棱长均为，底面是边长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的边长为分别为边上的动点，若为的中点，且满足，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 8 二、多项选择题 11. 已知是夹角为的单位向量，且，则下列选项正确的是（） A. B. C. 的夹角为 D. 在上的投影向量为 12. 已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（ ） A. 若为平面内任意一点，，则点为三角形的重心 B. 若，则动点的轨迹经过三角形的内心 C. 若为三角形的垂心，，则 D. 若为锐角的外心，且，则 13. 如图，在正方体中，为底面的中心，为棱的中点，则下列结论中正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 二面角等于 D. 异面直线与所成的角等于 三、填空题： 14. 已知向量，若，则______. 15. 母线长为的圆锥体，其侧面展开图的面积为，则该圆锥的体积为________________. 16. 如图，在边长为2的正三角形ABC中，E，F分别为AC，BC的中点，将沿EF翻折至，使得.则直线PB与平面所成角的正弦值为______. 17. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，则周长的取值范围为_________． 四、解答题． 18. 已知，，. （1）求； （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 19. 某企业为了解员工对“工作任务安排”的认可程度，人力部门随机抽取了200名员工，根据这200名员工对“工作任务安排”的认可程度给出的评分（评分均在［50，100］内），将所得数据分成五组：，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值，并估计这200名员工评分的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）； （2）估计这200名员工评分的第60百分位数； （3）为了了解部分员工对“工作任务安排”的认可程度较低的原因，人力部门从评分落在，的员工中用分层抽样的方法随机抽取54人进行沟通，求抽取的评分落在内的人数. 20. 在正三棱柱中，为棱的中点，如图所示． （1）求证：平面； （2）若二面角的大小为，求直线和平面所成角的正弦值． 21. 记锐角三角形的内角A,B,C的对边分别是a,b,c，的面积为S，已知． （1）求角A； （2）若，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省石家庄市新乐市第一中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题 一、单项选择题： 1. ，若，则实数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用共线向量的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】因为， 由，可得，解得. 故选：B． 2. 已知复数满足（i为虚数单位），则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再判断即可. 【详解】因为，所以，则. 故选：B 3. 紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：），那么该壶的容积约为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知圆台上底面半径为3，下底面半径为5，高为4，由圆台的结构可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，设大圆锥的高为，所以，求出的值，最后利用圆锥的体积公式进行运算，即可求出结果. 【详解】根据题意，可知石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台， 圆台上底面半径为3，下底面半径为5，高为4， 可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积， 设大圆锥的高为，所以，解得：， 则大圆锥的底面半径为5，高为10，小圆锥的底面半径为3，高为6， 所以该壶的容积. 故选：B. 4. 设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】作出满足条件的图，举出反例，排除ABD选项，作出满足条件的图，并证明，得到C选项正确. 【详解】A选项：如图： 在正方体中，，此时与夹角为，A选项错误； B选项：如图： 在正方体中，，此时，B选项错误； D选项：如图： 在正方体中：，此时，D选项错误； C选项：如图： 过作平面，使得，，∵，∴，则， 又∵，∴，∴，C选项正确. 故选：C. 5. 已知一组数，，，的平均数是3，方差为4，则数据，，，的平均数和方差分别是（    ） A. 7，8 B. 7，16 C. 6，8 D. 6，16 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数与方差的基本公式以及性质求解即可. 【详解】由题意，，. 所以，，，的平均数 ， 方差. 故选：B. 6. 在平行四边形中，，分别为，中点，与交于点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基底法得，再根据向量共线定理知，最后根据三点共线系数和为1结论即可得到答案. 【详解】在平行四边形中，因为，分别为，中点， 则， 因为，则， 则，显然，， 则，而三点共线， 故，则，则， 即 则，则. 故选：C. 7. 已知的内角，，所对的边分别为，，，且，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦定理求得，再由面积公式即可求解. 【详解】由， 可得：， 由，可得：， 所以， 解得：， 所以的面积为， 故选：C 8. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且，则下列结论中错误的是（ ） A. B. 平面 C. 三棱锥的体积为定值 D. 的面积与的面积相等 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，先假设，从而推出与矛盾得解；对于B，由线面平行判定定理即可得解；对于C，直接计算三棱锥的体积即可得出其为定值；对于D，由点A、B到的距离不等即可说明. 【详解】连接， 则由正方体性质可知是正三角形，故， 对于A，假设，连接，则由正方体性质得， ， 所以，又平面， 所以平面，又平面， 则，与矛盾，故A错误； 对于B，因为即，平面，平面， 所以平面，故B正确； 对于C，由正方体性质可知点A到平面的距离为， 所以， 所以体积是定值，故C正确； 对于D，设的中点是，由正三角形可知点A到直线的距离是， 而点到直线的距离是，显然由正方体结构性质， 又，， 所以的面积与的面积不相等，故D错误． 故选：AD. 【点睛】思路点睛：对于一些不成立且直接难求证的问题，通常可以采用反证法，先假设成立从而推出矛盾即可，所以对于选项A中判定是否成立，可先假设，从而推出平面，进而得，故与矛盾得出不成立. 9. 已知三棱锥的侧棱长均为，底面是边长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意推得该三棱锥为正三棱锥，找到外接球球心，构建勾股定理求得半径即可. 【详解】 因三棱锥的侧棱长均为，底面是边长为的等边三角形， 则点在底面上的投影为的中心，故三棱锥为正三棱锥. 因平面，则其外接球球心在直线上， 则 ， 设三棱锥的外接球半径为， 在中，，即， 解得，故三棱锥的外接球的体积为. 故选：A. 10. 如图，正方形的边长为分别为边上的动点，若为的中点，且满足，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法和基本不等式求得的最小值 【详解】如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向， 的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系， 则，设，其中，则， 因为，所以，又， 所以， 当且仅当时等号成立. 故选：A. 二、多项选择题 11. 已知是夹角为的单位向量，且，则下列选项正确的是（） A. B. C. 的夹角为 D. 在上的投影向量为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A：借助向量模长与数量积的关系计算即可得；对B：借助数量积公式计算即可得；对C：借助向量夹角公式计算即可得；对D：借助投影向量的定义计算即可得. 【详解】是夹角为的单位向量，， 对于，，同理可得，故错误； 对于，，故正确； 对于，因 又，，故C正确； 对于， 所以在上的投影向量为，故正确. 故选：． 12. 已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（ ） A. 若为平面内任意一点，，则点为三角形的重心 B. 若，则动点的轨迹经过三角形的内心 C. 若为三角形的垂心，，则 D. 若为锐角的外心，且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由题可得，然后由重心性质可判断选项正误；对于B，由A分析及题可得，据此可判段选项正误；对于C，设直线CP与AB交于点E，则，在上的投影向量为，据此可判断选项正误；对于D，取AC中点为F，由题可得，据此可得，可判断选项正误. 【详解】对于A，， 取BC中点为D，则， 则P点为BC边中线更靠近BC边中点D的三等分点，由重心性质可得P为的重心，故A正确； 对于B，由A分析，，则动点的轨迹经过三角形边BC的中点， 则动点的轨迹经过三角形的重心，又题目条件中未告知，则B错误； 对于C，设直线CP与AB交于点E，因为三角形的垂心， 则，在上的投影向量为，则，故C正确； 对于D， ， 取AC中点为F，则，从而三点共线. 又为锐角的外心，则，. 则，从而， 则，故D正确. 故选：ACD 13. 如图，在正方体中，为底面的中心，为棱的中点，则下列结论中正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 二面角等于 D. 异面直线与所成的角等于 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，连接，交于，连接、，证明即可由线面平行判定定理得平面；对于B，证明平面即可得证平面；对于C，求证为二面角的平面角即可得解；对于D，由得为异面直线与所成的角，从而依据正三角形得解. 【详解】对于A，连接，交于，连接、， 则由正方体性质可知且， 所以四边形为平行四边形，故． 因为平面，平面，所以平面，故A正确； 对于B，连接，因为为底面的中心，为棱的中点，所以， 由正方体性质有、平面， 因为平面，所以， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以，同理可得，又，平面， 所以平面，故平面，故B正确； 对于C，由正方体性质可知，又平面， 所以平面，又平面， 所以，，又 所以为二面角的平面角，显然不等于，故C错误； 对于D，因为，所以为异面直线与所成的角， 由正方体性质可知为等边三角形，所以，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：对于B，直接证明平面不好证，可通过证明的平行线垂直平面来得证，因为，故求证平面即可得证平面. 三、填空题： 14. 已知向量，若，则______. 【答案】5 【解析】 【分析】由，求出，进而求出的值. 【详解】由，，则，故， 则，故. 故答案为： 15. 母线长为的圆锥体，其侧面展开图的面积为，则该圆锥的体积为________________. 【答案】 【解析】 【详解】圆锥体其侧面展开图为扇形，S= ，解得，由圆锥的截面图可得 ， 故答案为 16. 如图，在边长为2的正三角形ABC中，E，F分别为AC，BC的中点，将沿EF翻折至，使得.则直线PB与平面所成角的正弦值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题可得平面平面，据此过P点做，则平面， 据此由等体积法可得B到平面距离，然后可得答案. 【详解】由题可得，因，则. 由对称性，可得，.又由题可得， 则，从而. 注意到，，又，平面. 则平面，又平面，则平面平面. 又因为以的直角三角形，则可过P点如图做. 又平面平面，平面，则平面. 则.注意到， 则， 则，则. 又注意到，，其中为B到平面距离， 又，则， 则直线PB与平面所成角的正弦值满足. 故答案为：. 17. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，则周长的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先求角，再结合基本不等式和余弦定理可求三角形周长的取值范围. 【详解】由， 因为为三角形内角，所以，所以，所以. 由余弦定理：，即. 所以，所以，所以. 又，所以. 故答案为： 四、解答题． 18. 已知，，. （1）求； （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在等式两边平方，利用平面向量数量积的运算性质可得出的值，再利用平面向量数量积的运算性质可得出的值； （2）分析可知以及与方向不相同，结合平面向量数量积的运算性质和平面向量共线的基本定理可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 因为，，，所以， 即，即， 所以. 【小问2详解】 因为与的夹角为锐角，所以， 即，即，解得， 若与同向，设，其中， 因为、不共线，所以，解得， 由题意可知，与方向不相同，则， 所以的取值范围为. 19. 某企业为了解员工对“工作任务安排”的认可程度，人力部门随机抽取了200名员工，根据这200名员工对“工作任务安排”的认可程度给出的评分（评分均在［50，100］内），将所得数据分成五组：，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值，并估计这200名员工评分的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）； （2）估计这200名员工评分的第60百分位数； （3）为了了解部分员工对“工作任务安排”的认可程度较低的原因，人力部门从评分落在，的员工中用分层抽样的方法随机抽取54人进行沟通，求抽取的评分落在内的人数. 【答案】（1），79.5 （2）85 （3）24 【解析】 【分析】（1）根据小矩形面积和为1得到关于m的方程，解出m值，再利用频率分布直方图中平均数公式求解即可； （2）根据百分位数的定义列方程求解即可. （3）求出各区间人数，再根据分层抽样的特点即可得到答案. 【小问1详解】 由题意知，解得． 估计这200名员工评分的平均数. 【小问2详解】 前3组的频率为， 前4组的频率为， 则第60百分位数位于，设为， 则，解得， 即这200名员工评分的第60百分位数为85. 【小问3详解】 评分落在的人数：， 评分落在的人数：， 评分落在的人数：， 所以评分落在区间的员工的人数比例为， 所以应抽取的评分落在内的人数为. 20. 在正三棱柱中，为棱的中点，如图所示． （1）求证：平面； （2）若二面角的大小为，求直线和平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明如下： 连接，设，连接， 在中，，，∴， 又平面，平面， ∴平面． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，设，连接，结合三角形中位线证得线线平行，利用线面平行判定定理得证； （2）由正三棱柱，得平面，从而得到，，证得平面，二面角定义得到二面角的平面角是，作，连接，因为平面平面，得到平面，找到直线和平面所成的角为，计算得到结果； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由正三棱柱，可得平面， ∵平面，∴，∵为的中点，∴， 又，，平面， 故平面， 而，平面，故，， ∴二面角的平面角是， 在平面内作，连接， ∵平面，∴平面平面， 又平面平面，平面， 故平面， ∴直线和平面所成的角为， 又平面，∴， ∴， ∴直线和平面所成角的正弦值为． 21. 记锐角三角形的内角A,B,C的对边分别是a,b,c，的面积为S，已知． （1）求角A； （2）若，求a的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）将三角形面积公式代入整理，利用余弦定理，辅助角公式化简得，根据锐角三角形即可求得角A； （2）由锐角三角形求出，由正弦定理推得，利用三角恒等变换将化成，根据正弦函数的图象性质即可求得. 【小问1详解】 由于，代入可得：． 因， 则有， 化简得，即 因，则，故得，即 【小问2详解】 因为，所以． 由题意，，，则得. 由正弦定理， 可得 而 ， 因，则，则的取值范围是． 故a的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $