青海省海南藏族自治州高级中学2024-2025学年高一下学期6月月考数学试卷

保密★启用前 2024-2025学年海南州高级中学第二学期高一第二次月考考试卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题 共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．化简（    ） A． B．0 C． D． 2．已知i为虚数单位，（    ） A． B． C． D． 3．一球体的表面积为，该球体的体积为（  ） A． B． C． D． 4．如图，在平行四边形中，，则 （   ） A． B． C． D． 5．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，，则的大小为（   ） A．30°或150° B．60°或120° C．30° D．60° 6．已知正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 7．如图，某实心零部件的形状是正四棱台，已知，，棱台的高为，现需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为0.5元，则该零部件的防腐处理费用是（    ） A．640元 B．347.5元 C．390元 D．512元 8．在三棱锥中，两两垂直，且该三棱锥外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知复数，为虚数单位，其共轭复数为，则下列说法正确的是（   ） A． B．的虚部为 C．对应的点位于复平面的第三象限 D． 10．已知向量，则（    ） A．向量的夹角为 B．若，则 C．若，则 D．向量在向量上的投影向量为 11．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（    ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和 D．三个几何体的表面积中，球的表面积最小 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．复数的模长为 ． 13．已知圆锥的底面半径为，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的表面积为 . 14．已知一个球内切于正方体，且这个球的体积为，那么这个正方体的体积为 ． 4、 解答题本（题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。） 15．（13分）已知复数，其中. (1)若，求的值； (2)若是纯虚数，求的值； (3)若对应的点在第一象限，求的取值范围. 16．（15分）已知按照斜二测画法画出的直观图如图所示，其中，，． （Ⅰ）画出的原图并求其面积： （Ⅱ）若以的边BA为旋转轴旋转一周，求所得几何体的体积和表面积． 17．（15分）已知三内角，，的对边分别为，，，且． (1)求角； (2)若，的面积为，求． 18．（17分）如图，在矩形和四分之一的拼接的平面图形中，，，将该图形绕所在直线旋转一周形成的面所围成的旋转体记为． (1)求的体积； (2)求的表面积． 19．（17分）如图，观测站在目标的南偏西方向，经过处有一条南偏东走向的公路，在处观测到与相距31km的处有一人正沿此公路向处行走，走20km到达处，此时测得，相距21km. (1)求； (2)求，之间的距离. 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A B C A D B CD AC 题号 11 答案 ABC 1．D 【分析】应用向量加减法则化简即可. 【详解】. 故选：D. 2．B 【分析】利用复数的乘法运算直接求解. 【详解】 故选：B 3．A 【分析】求出球体的半径，结合球体体积公式可得结果. 【详解】设球体半径为，则该球的表面积为，可得， 因此，该球的体积为. 故选：A. 4．B 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，进行化简，即可求解. 【详解】根据向量的线性运算法则，可得. 故选：B. 5．C 【分析】应用正弦定理计算，结合角的范围求解. 【详解】由正弦定理得，即，解得， 又为三角形内角，所以或150°， 又因为，所以，即， 故选：C. 6．A 【分析】根据题意得到斜高，从而得到四棱锥体高，由体积计算公式即可求解. 【详解】如图，在正四棱锥中，为四棱锥的高，为侧面的高， 因为正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍， 所以，解得， ， 所以， 故选：A. 7． D 【分析】首先根据已知条件求出侧面的高，然后求出侧面的面积，然后求出该四棱台的总的表面积，进而可求出该零部件的防腐处理费用. 【详解】因为正四棱台中，，高为8cm， 则侧面的斜高为. 所以. 所以该四棱台的表面积为， 又每平方厘米的防腐处理费用为0.5元， 所以该部件的防腐处理费用是元. 故选：D 8．B 【分析】将该三棱锥放入正方体中，借助正方体的外接球求解，即可根据体积公式计算. 【详解】由于两两垂直,将该三棱锥放入正方体中，如图： 故该三棱锥的外接球与正方体的外接球相同， 故该三棱锥外接球的半径. 所以外接球的体积. 故选：B 9．CD 【分析】利用复数的模长公式可判断A选项；利用复数的概念可判断B选项；利用复数的几何意义可判断C选项；利用复数的减法可判断D选项. 【详解】因为，则. 对于A选项，，A错； 对于B选项，的虚部为，B错； 对于C选项，对应的点的坐标为，位于第三象限，C对； 对于D选项，，D对. 故选：CD. 10．AC 【分析】对于A，直接由夹角公式计算即可；对于B，转换成即可验算；对于C，由向量平行的充要条件即可求解；对于D，由投影向量的定义即可求解. 【详解】对于A，向量的夹角的余弦值为，即向量的夹角为，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，若，则存在实数，使得， 因为，所以不共线，所以，故C正确； 对于D，向量在向量上的投影向量为，故D错误. 故选：AC. 11．ABC 【分析】根据球、圆锥、圆柱的表面积公式，体积公式逐项计算可得结论. 【详解】对于A：圆柱的侧面积为，所以A选项正确． 对于B：圆锥的侧面积为，所以B选项正确． 对于C：圆锥的体积为，圆柱的体积为， 球的体积为，所以圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和，所以C选项正确． 对于D：球的表面积为，圆柱的表面积为， 圆锥的表面积为，所以圆锥的表面积最小，故D错误. 故选：ABC. 12．5 【分析】首先利用复数的乘除计算对等式化简求出复数的表达式，然后求复数的模. 【详解】根据题意，. 所以. 故答案为：5. 13． 【分析】根据圆锥的侧面积列式求得圆锥母线长为，然后代入圆锥表面积公式计算即可. 【详解】设圆锥的母线为，因为底面半径，则，所以， 所以该圆锥的表面积. 故答案为： 14．64 【分析】利用球的体积公式求出球半径，进而求出正方体的棱长即可. 【详解】设正方体的内切球半径为，则该正方体的棱长为， ，可得，则正方体的棱长为4， 这个正方体的体积为. 故答案为：64 15．(1)或. (2) (3) 【分析】（1）根据复数的类型求参； （2）根据复数的类型求参； （3）应用复数对应的点所在象限列不等式组求参数范围. 【详解】（1）由，得，解得或. （2）由是纯虚数，得， 解得，所以. （3）由对应的点在第一象限，得， 解得且， 所以的取值范围为. 16．（Ⅰ）原图见解析，面积为8；（Ⅱ）体积为，表面积为. 【分析】（Ⅰ）根据斜二测画法规则还原的原图即可求解； （Ⅱ）以的边BA为旋转轴旋转一周所得几何体为圆锥，由圆锥体积和表面积公式即可求解. 【详解】解：（Ⅰ）由斜二测画法，原图中，，的原图如下： ； （Ⅱ）以的边BA为旋转轴旋转一周所得几何体为：底面圆半径为4，高为4，母线长为的圆锥，故所得几何体的体积为，所得几何体的表面积为. 17．(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，即可求出，从而得解； （2）利用余弦定理得到，再由的面积公式求得，即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 又，故． ∴， 即， 因为， 所以； （2）在中由余弦定理得：， 代入，得：，即， 又∵， ∴，所以，解得（负值已舍去）． 18．(1) (2) 【分析】（1）根据球体与柱体的体积公式直接求解； （2）根据球体与柱体的表面积公式直接求解. 【详解】（1）依题意得，旋转体的上方是一个半球体，下方是一个圆柱，如图所示． ，， ， ， ， 所以的体积为． （2），， ， ， ． 所以的表面积为． 19．(1) (2)15km 【分析】（1）利用余弦定理求出，即可求； （2）由正弦定理有求出，再由余弦定理有即可求解. 【详解】（1）由题意知：，， 在中，由余弦定理 因为, 所以 （2），,， 由题意知： 在中，由正弦定理得：，所以 由余弦定理得：， 即， 解得：或（舍） ，之间的距离为 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$