精品解析：安徽省鼎尖名校2024-2025学年高一下学期5月阶段性检测数学试题C卷

5月阶段性检测・高一数学C卷 满分：150分 考试时间：120分钟 命题学校：阜阳一中数学命题组 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足(为虚数单位)，则（ ） A. B. C. D. 2. 在中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若，则中最大角为（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B. 过圆锥顶点的所有截面中，轴截面面积最大 C. 有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 D. 有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 4. 在中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若，则的形状一定是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 等腰或直角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 5. 已知向量，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知角终边上一点坐标为，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在区间上单调递增且存在零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 用一个平面截如图所示圆柱体，截面的形状可能是（ ） A. B. C. D. 10. 设为复数，且不为0，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 11. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. 则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 的外接圆半径为 C. 若 且有一解，则b的取值范围为 D. 若 ，且为锐角三角形，则c 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 把水平放置的四边形按照斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中，则四边形的面积为_____． 13. 高中某DIY社团一学生想把实心的圆锥木块改造成一个正四棱柱木块，且正四棱柱的中心在圆锥的轴上，底面在圆锥的底面内.已知该圆锥的底面圆半径为3cm，高为 cm，则该正四棱柱侧面积的最大值为____________cm². 14. 已知，，设与的夹角为θ，则的最大值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数 （1）若 ，求角θ； （2）复数对应的向量分别是，若与的夹角为锐角，求θ的取值范围. 16. 已知函数. （1）求的单调递增区间和对称中心； （2）当时，，求的值. 17. 在中，角的对边分别为且 的面积为 （1）求; （2）若内角的角平分线交于点，求的最大值. 18. 用向量方法证明： （1）两角差的余弦公式：； （2）余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍． 19. 某高一学生在周末发展数学兴趣，研究平面向量和解三角形的相关内容时，学习了以下定理，尝试解决一些问题. 塞瓦定理：如图1，设P 为△ABC 三边所在直线外任一点，直线AP，BP，CP 分别交对边所在直线于点D，E，F，则 . 塞瓦定理逆定理：如图1，在△ABC 的三边所在直线BC，CA，AB 上分别各取一点D，E，F，若有 ,则AD，BE，CF 三线共点. 角元塞瓦定理：如图1，设P 为△ABC 三边所在直线外任一点，直线AP，BP，CP 分别交对边所在直线于点D，E，F，则 . 角元塞瓦定理逆定理：如图1，在△ABC 的三边所在直线BC，CA，AB上分别各取一点D，E，F，若有则 ,则AD，BE，CF 三线共点. （1）如图1，在△ABC中，直线AP，BP，CP 分别交对边所在直线于点D，E，F，其中F，D满足 利用塞瓦定理，求点 E 在线段CA 上的位置；若 求 （2）利用塞瓦定理证明角元塞瓦定理； （3）如图2，过△ABC的内心Ⅰ分别作BC，CA，AB 的垂线，交以Ⅰ为圆心的圆于点D，E，F，利用角元塞瓦定理逆定理证明AD，BE，CF 三线共点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 5月阶段性检测・高一数学C卷 满分：150分 考试时间：120分钟 命题学校：阜阳一中数学命题组 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足(为虚数单位)，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘除法则进行计算即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：A. 2. 在中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若，则中最大角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件可得，，由大边对大角可得，结合余弦定理求，再求可得结论. 【详解】因为， 所以，，， 所以，因为大边对大角，所以， 由余弦定理可得， 又， 所以，所以中最大角为， 故选：B. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B. 过圆锥顶点的所有截面中，轴截面面积最大 C. 有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 D. 有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间几何体的结构特征，即可求解ABD,根据过圆锥顶点的截面图形特征和截面图的面积公式即可判断C. 【详解】对于A，如图1所示，上下底面平行，各个面都是平行四边形， 此几何体不是棱柱，故A错误； 对于B，过圆锥顶点的截面为等腰三角形，且两腰长为母线长， 设该等腰三角形顶角为，则截面三角形面积为， 显然当，面积最大， 故当圆锥的轴截面三角形顶角大于时，圆锥的轴截面面积不一定是最大的，故B错误； 对于C，棱锥侧面全为三角形，有一个面是平行四边形，则此面为底面， 所以该棱锥为四棱锥，故C正确； 对于D，棱台是棱锥截得的，侧棱的延长线要交于同一点． 有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体， 不能保证侧棱的延长线交于同一点，因此该多面体不一定是棱台，故D错误． 反例1：如图2所示的几何体中，四边形和四边形均为矩形，且，，且平面平面，且，则该几何体满足D，但不是棱台； 反例2：如图3所示，由两个棱台组合而成的几何体满足D，但这个几何体不是棱台． 故选：C. 4. 在中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若，则的形状一定是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 等腰或直角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理边角互化，倍角公式结合三角函数性质可判断选项正误. 【详解】， 则或，则是等腰或直角三角形. 故选：B. 5. 已知向量，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由投影向量计算公式可得正确选项. 【详解】在上的投影向量为：. 故选：D 6. 已知角终边上一点坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出，代入求值，即得答案. 【详解】由题意知角终边上一点坐标为，故， 故， 故， 故选：D 7. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件两边平方，由同角三角函数基本关系求得的值以及判断的符号，由，即可求得的值. 法一：可用切化弦化简及二倍角公式，即可求解； 法二：可分别求出的值，即可求得，再利用二倍角公式化简，即可求解. 【详解】由，两边平方得， 即，而，故． 所以，而，解得， 法一：所以． 法二：由和，可解得，得， 则． 故选：A. 8. 已知函数在区间上单调递增且存在零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知单调性及零点列式得出，令结合正弦函数的性质，分的值计算求参. 【详解】设函数的最小正周期为，因为在区间上单调递增， 所以，解得，所以． 令，则当时，． 则在区间上单调递增且存在零点等价于在上单调递增且存在零点， 所以，解得， 又，当时，得；时，得，其他值，均不合要求， 所以或，所以的取值范围是. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 用一个平面截如图所示圆柱体，截面的形状可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】分类讨论截面的情况分别得出截面形状判断各个选项即可. 【详解】对于A：当截面与轴截面垂直时，得到的截面形状是圆； 对于B：当截面与轴截面平行时，得到的截面形状是长方形； 对于C：当截面与轴截面斜交时，得到的截面形状是椭圆； 对于D：截面的形状不可能是等腰梯形． 故选：ABC. 10. 设为复数，且不为0，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，虚数不能比较大小，对于B，根据复数模的定义和同角三角函数关系求，判断B，对于C，根据共轭复数定义求，对于D，设，证明得到，由此证明，判断D. 【详解】对于A，因为虚数不能比较大小，所以A错误， 对于B，因为，所以，B正确， 对于C，因为，所以，C错误， 对于D，设， 则，， 所以， 所以，D正确， 故选：BD. 11. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. 则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 的外接圆半径为 C. 若 且有一解，则b的取值范围为 D. 若 ，且为锐角三角形，则c 的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由正弦定理边角互化结合题意可得；对于B，由题可得，然后由正弦定理可得外接圆半径；对于C，考虑B为直角的特殊情况，可判断选项正误；对于D，由正弦定理边角互化结合和差化积公式可得，由为锐角三角形可得， 又由正弦定理可得，据此可得范围. 【详解】对于A，由正弦定理边角互化可得，故A正确； 对于B，， 则由正弦定理，外接圆半径r满足：，故B正确； 对于C，当B为直角时，该三角形为等腰直角三角形，显然满足题意的三角形只有一个， 但此时，不在中，故C错误； 对于D，由正弦定理边角互化可得， 注意到， 由和差化积公式可得 ， 因为，所以，所以， 所以，则. 因三角形为锐角三角形，则. 又由正弦定理可得，又， 则，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 把水平放置的四边形按照斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中，则四边形的面积为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】把直观图还原,可知是直角梯形，利用梯形面积公式可求答案. 【详解】根据斜二测画法，还原成平面图形后，得到; 水平方向长度不变，则四边形是直角梯形，． 故答案为：6. 13. 高中某DIY社团一学生想把实心的圆锥木块改造成一个正四棱柱木块，且正四棱柱的中心在圆锥的轴上，底面在圆锥的底面内.已知该圆锥的底面圆半径为3cm，高为 cm，则该正四棱柱侧面积的最大值为____________cm². 【答案】 【解析】 【分析】首先以上底面所在圆的半径为，再根据几何关系表示棱柱的侧面积，根据二次函数求最值. 【详解】设正四棱柱上底面所在圆的半径为，高为， 则正四棱柱底面棱长为，且，得， 所以正四棱柱的侧面积为， 当时，侧面积的最大值为. 故答案为： 14. 已知，，设与的夹角为θ，则的最大值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】以点为原点，为的负方向建立平面直角坐标系，结合条件可设，根据三角形面积公式可得，结合数量积运算公式可得，利用基本不等式求的最大值，结合正弦函数，正切函数性质同角关系可得结论. 【详解】由已知，，， 如图1，以点为原点，为的负方向建立平面直角坐标系， 则，，点在以为圆心，为半径的圆上，记此圆为圆， 则与的夹角，即为， 设，由对称性不妨设， 当或时，， 当时，， 又，所以， 所以， 又，，， 所以， 所以， 所以，故， 当且仅当，即时等号成立， 此时，故，又， 所以，因为，在都单调递增， 所以的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数 （1）若 ，求角θ； （2）复数对应的向量分别是，若与的夹角为锐角，求θ的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据共轭复数及复数相等的概念列出方程求解即可； （2）由复数得出对应的向量，利用向量夹角公式得出不等式求解，注意检验向量共线时即可得解. 【小问1详解】 因为 , 所以， 又， 所以. 【小问2详解】 由题意，， 若与的夹角为锐角， 则， 因为，所以， 所以，即， 当时，，即， 解得，此时与的夹角为， 综上，θ的取值范围 16. 已知函数. （1）求的单调递增区间和对称中心； （2）当时，，求的值. 【答案】（1）递增区间为（），对称中心为（） （2） 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换公式化简函数，代入正弦函数的单调递增区间和对称中心结论求解即可； （2）利用同角三角函数关系结合角的范围求得，然后由两角差的余弦公式代入求解即可. 【小问1详解】 ， 由（）得， 所以的单调递增区间为（）； 由（）得， 所以的对称中心为（）； 【小问2详解】 由（1）可得，所以， 因为，所以，所以， 所以. 17. 在中，角的对边分别为且 的面积为 （1）求; （2）若内角的角平分线交于点，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边角转化后结合余弦定理可得，故可得； （2）利用面积关系结合基本不等式可求 的最大值. 【小问1详解】 因为， 故可由正弦定理得：，整理得， 故，而为三角形内角，故 . 【小问2详解】 因为三角形面积为，故，故， 由可得，而为锐角，故， 故， 故，当且仅当时等号成立， 故的最大值为. 18. 用向量方法证明： （1）两角差的余弦公式：； （2）余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍． 【答案】（1） 如图（1）、（2），在平面直角坐标系内作单位圆，以为始边作角，． 它们的终边与单位圆的交点分别为． 则， 由向量数量积的坐标形式可得：， 设的夹角为，则， 所以， 另一方面，由图（1）可知，； 由图（2）可知，，于是． 所以，也有， 所以，对于任意角有：． （2） 如图（3），在中，设，，， 由三角形法则有，所以 又，所以． 同理可得，． 故余弦定理得证． 【解析】 【分析】（1）利用单位向量的数量积的两种表示方法（坐标形式和几何形式）建立等式证明， （2）利用向量的减法模长公式和点积的几何意义推导. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 某高一学生在周末发展数学兴趣，研究平面向量和解三角形的相关内容时，学习了以下定理，尝试解决一些问题. 塞瓦定理：如图1，设P 为△ABC 三边所在直线外任一点，直线AP，BP，CP 分别交对边所在直线于点D，E，F，则 . 塞瓦定理逆定理：如图1，在△ABC 的三边所在直线BC，CA，AB 上分别各取一点D，E，F，若有 ,则AD，BE，CF 三线共点. 角元塞瓦定理：如图1，设P 为△ABC 三边所在直线外任一点，直线AP，BP，CP 分别交对边所在直线于点D，E，F，则 . 角元塞瓦定理逆定理：如图1，在△ABC 的三边所在直线BC，CA，AB上分别各取一点D，E，F，若有则 ,则AD，BE，CF 三线共点. （1）如图1，在△ABC中，直线AP，BP，CP 分别交对边所在直线于点D，E，F，其中F，D满足 利用塞瓦定理，求点 E 在线段CA 上的位置；若 求 （2）利用塞瓦定理证明角元塞瓦定理； （3）如图2，过△ABC的内心Ⅰ分别作BC，CA，AB 的垂线，交以Ⅰ为圆心的圆于点D，E，F，利用角元塞瓦定理逆定理证明AD，BE，CF 三线共点. 【答案】（1）2 （2） 根据三角形面积公式 . ∴ 的充分必要条件是 . ∴由塞瓦定理可得角元塞瓦定理成立; （3） 如图，设过的内心分别作 的垂线分别交于, ∵,∴, 又∵,, ∴, ​在中由正弦定理得, 同理，,, ,, 由于, ∴ ， ∴ 三线共点. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，利用塞瓦定理得到,进而利用向量共线和平面向量基本定理得解； （2）利用三角形面积公式得到，从而证得； （3）设过的内心分别作 的垂线分别交于, 利用三角形全等得到,,,，利用正弦定理得到等等一系列结论，然后验证角元塞瓦定理逆定理中的条件成立，从而证得. 【小问1详解】 ，， 又由塞瓦定理，所以， 即点 是线段的三等分点，且靠近点. 用向量关系表示为, ∴, 又∵共线且同向，∴存在使得, 又∵ ，且向量不共线， 由平面向量基本定理可得, ∴; 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略​ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $