1.2.2全称量词与存在量词学案-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

1.2.2 全称量词与存在量词 【学习目标】 1.了解常用的全称量词和存在量词及其含义；掌握全称量词命题和存在量词命题的概念，能够判断命题的真假性（重点） 2.全称量词命题和存在量词命题的否定形式，原命题与其否定命题的真假性相反。（难点） 【导学流程】 1、 全称量词命题与存在量词命题 1.在给定集合中，断言所有元素都具有同一性质的命题叫作全称量词命题．在命题中的“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词。用符号“”表示，读作“对任意的” 2.全称量词命题例子：所有正方形都是矩形；每一个有理数都能写成分数的形式； 4.全称量词命题“对M中任意一个成立，可用符号表示为：” 3.有时全称量词可以省略；如：“正方形是矩形”“实数的平方非负”等等。 二、存在量词命题 1.在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题。在命题中的“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词。用符号“”表示，读作“存在” 2. 存在量词命题例子：“存在实数，使得”可表示为“，使得” 3.存在量词命题“对M中存在一个成立，可用符号表示为：” 三、命题的否定 1、命题的否定：一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定，记命题p的否定为.“”表示否定，反面的意思，命题与该命题的否定一真一假（真假相反） 2.全称量词命题的否定是存在量词命题；存在量词命题的否定是全称量词命题。 3.全称量词命题“，都具有性质”的否定为“，不具有性质”。 4.存在量词命题“，具有性质”的否定为“，都不具有性质”。 ④常见词语的否定 原词语 否定 所有 存在 任意的 某些个 都是 不都是 大于 不大于 【思维拓展】 问题1：请问至少一个的否定命题是什么？至多n个呢？ 答：一个也没有；至少n+1个 【题型专练】 1、 全称量词命题与存在量词命题的辨析以及改写为符号表示 1.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题． 矩形有一个外接圆 非负实数有两个平方根 有一对实数，使成立． 【答案】本题考查全称量词命题、存在量词命题，属于基础题．  【解析】解：可以改写为“所有的矩形都有一个外接圆”，是全称量词命题． 可以改写为“所有的非负实数都有两个平方根”，是全称量词命题． 可以改写为“，，使成立”，是存在量词命题． 2.用符号“”“”表达下列命题． 实数都能写成小数的形式； 存在一实数对，使成立； 任一实数乘，都等于它的相反数； 存在实数，使得． 【答案】解：，能写成小数形式； ，，，使； ，； ，．  【解析】本题考查了全称量词、存在量词符号的应用，属于基础题．解题时根据全称量词、存在量词的相关定义即可确定求解 2、 含有一个量词命题的否定 1.已知命题“某班所有的男生都爱踢足球”，则命题为(    ) A. 某班至多有一个男生爱踢足球 B. 某班至少有一个男生不爱踢足球 C. 某班所有的男生都不爱踢足球 D. 某班所有的女生都爱踢足球 【答案】B  【分析】本题考察全称量词命题的否定，属于基础题．某班所有的男生都爱踢足球的否定是某班至少有一个男生不爱踢足球． 【解答】解：根据全称量词命题的否定可知，某班所有的男生都爱踢足球的否定是某班至少有一个男生不爱踢足球，故选B． 2.命题“对，都有”的否定为          ． 【答案】，使得  【分析】本题考察全称量词命题的否定，属于简单题．根据全称量词命题的否定是特称量词命题，即可得出结论． 【解答】解：改变量词，否定结论，所以命题“对，都有”的否定为“，使得”． 3.命题“，”的否定是          ． 【答案】  【分析】本题考查了全称量词命题的否定，属于基础题．全称量词命题的否定为存在量词命题，改变量词，结论加以否定即可． 【解答】解：全称量词变存在量词，结论加以否定即可，故命题：的否定为．故答案为． 4.命题“”的否定是           【答案】  【分析】本题主要考查含有量词命题的否定，属于基础题． 根据全称量词命题的否定是存在量词命题求解即可． 【解答】解：命题“”的否定是． 故答案为． 3、 全称量词命题与存在命题的运用 1.若“”是假命题，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【分析】本题考查存在量词命题的否定，考查不等式恒成立问题，属于基础题．由“，”是假命题，可得“，”是真命题，对分类讨论，即可求解． 【解答】解：由“，”是假命题， 则“，”是真命题， 当时，，符合题意； 当时，则，解得． 综上，的取值范围是． 故选B． 2.若命题“存在，”是真命题，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【分析】问题等价于关于的方程有实数解，利用求出的取值范围．本题考查了存在量词命题的应用问题，是中档题． 【解答】解：命题“存在，”是真命题， 所以关于的方程有实数解， 所以， 解得， 所以的取值范围是． 故选：． 【当堂检测】 1.关于命题，下列判断正确的是(    ) A. 命题“每个正方形都是矩形”是存在量词命题 B. 命题“有一个自然数不大于”是全称量词命题 C. 命题“在素数中，有一个是偶数”是存在量词命题 D. 命题“每个整数都是有理数”的否定为“每个整数都不是有理数” 【答案】C  【分析】本题考查全称量词命题以及存在量词命题的定义，属于基础题根据全称量词命题以及存在量词命题的定义判断，再由全称量词命题的否定为存在量词命题可判断． 【解答】解：选项，命题“每个正方形都是矩形”含有全称量词“每个”，是全称量词命题，故A错； 选项，命题“有一个自然数不大于”含有存在量词“有一个”，是存在量词命题，故B错； 选项，命题“在素数中，有一个是偶数”含有存在量词“有一个”，是存在量词命题，故C正确； 选项，命题“每个整数都是有理数”的否定为“存在一个整数不是有理数”，故D错； 故选： 2.甲、乙、丙、丁四个人参加某项竞赛，四人在成绩公布前做出了如下预测： 甲说：获奖者在乙、丙、丁三人中 乙说：我不会获奖，丙获奖 丙说：甲和丁中有一人获奖 丁说：乙的猜测是对的． 成绩公布后表明，四人中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不相符已知有两人获奖，则获奖的是(    ) A. 甲和丁 B. 甲和丙 C. 乙和丙 D. 乙和丁 【答案】D  【分析】本题主要考查合情推理能力，主要抓住共同点及矛盾点去探索结果，属于中档题． 【解答】解：由题意可知： 乙、丁的预测是一样的， 乙、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不符． 假设乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立， 根据乙、丁的预测，丙获奖，甲、丁中必有一人获奖； 这与丙的预测不成立相矛盾， 故乙、丁的预测不成立， 乙、丁的预测不成立，则甲、丙的预测成立， 甲、丙的预测成立， 丁必获奖， 乙、丁的预测不成立，甲的预测成立， 丙不获奖，乙获奖． 从而获奖的是乙和丁． 故选：． 3.已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【分析】本题考查存在量词命题，命题的真假，属于中档题．利用命题为假命题，得到为真命题，即恒成立，即可求出实数的取值范围． 【解答】解：命题的否定． 因为是假命题，所以是真命题，即恒成立， 所以，解得． 故选：． 4.命题“，”的否定是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C  【分析】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．根据存在量词命题的否定是全称量词命题进行求解即可． 【解答】解：“，”是存在量词命题， 根据存在量词命题的否定是全称量词命题，得到命题的否定是：，． 故选C． 5.已知命题：“，有成立”，则命题的否定为(    ) A. ，有成立 B. ，有成立 C.  ，有成立 D. ，有成立 【答案】B  【分析】本题考查了存在量词命题的否定，属于基础题．解题时，根据存在量词命题的否定的定义即可求得，注意条件中“”改“”，同时结论要否定． 【解答】解：命题“，有成立”， 则命题的否定为“，有成立 ”． 故选B． 6.下列命题正确的是 A. “”是“”的充分不必要条件(    ) B. 命题“，”的否定是“，” C. 的充要条件是 D. 若，则，至少有一个大于 【答案】BD  【分析】本题考查命题的真假判断与应用，此类题型往往综合较多的其它知识点，综合性强，属于中档题．根据充分、必要条件的定义，全称量词命题的否定，逐一分析四个答案的真假，最后综合讨论结果，可得结论． 【解答】解：，故“”是“”的必要不充分条件，故A错误； 命题“，”的否定是“，”故B正确； ，故的充分不必要条件是，故C错误； 假设、全都不大于，即且，则，与条件矛盾，假设不成立， 故D正确． 7.（多选）下面选项中正确的有(    ) A. 命题“，”的否定是“，” B. 命题“，”的否定是“，” C. “”是“”的充要条件 D. 设，，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】BD  【分析】利用命题的否定，判断，的正误；利用充分条件、必要条件的定义及不等式的性质，判断，的正误即可．本题考查命题的真假的判断与应用，考查命题的否定，充分必要条件的应用，不等式的性质，是中档题． 【解答】解：对于选项A，存在量词命题的否定是全称量词命题， “，”的否定是“，”，故A错误； 对于选项B，全称量词命题的否定是存在量词命题， “，”的否定是“，”，故B正确； 对于选项C，或， 则“”是“”的充分不必要条件，故C错误； 对于选项D，且， 则““是““的必要不充分条件，故D正确． 故选：． 8.（多选）下列命题中是假命题的是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】ACD  【分析】本题考查命题真假的判断，存在量词命题与全称量词命题真假的判断，属于中档题． 举反例可判断；根据方程的根可判断． 【解答】解：当时，，所以，不正确，所以是假命题； 当时，，所以，，正确；所以是真命题； 当时，，所以，不正确，所以是假命题； 当且仅当时，，又，所以，不正确，所以是假命题． 故选ACD． 9.若命题“是假命题”，则实数的取值范围是          ． 【答案】  【解析】解：因为命题“是假命题”， 所以， 所以． 故答案为：． 10.命题“”为真命题，则取值范围为          ． 【答案】  【分析】本题考查存在量词与存在量词命题，属于基础题． 根据一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可． 【解答】解：因为命题“”为真命题， 所以， 所以，即取值范围为． 故答案为：． 4/4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2.2 全称量词与存在量词 【学习目标】 1.了解常用的全称量词和存在量词及其含义；掌握全称量词命题和存在量词命题的概念，能够判断命题的真假性（重点） 2.全称量词命题和存在量词命题的否定形式，原命题与其否定命题的真假性相反。（难点） 【导学流程】 1、 全称量词命题与存在量词命题 1.在给定集合中，断言所有元素都具有同一性质的命题叫作 ．在命题中的“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作 。用符号“ ”表示，读作 2.全称量词命题例子：所有正方形都是矩形；每一个有理数都能写成分数的形式； 4.全称量词命题“对M中任意一个成立，可用符号表示为：” 3.有时全称量词可以省略；如：“正方形是矩形”“实数的平方非负”等等。 二、存在量词命题 1.在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题叫作 。在命题中的“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作 。用符号“ ”表示，读作 2. 存在量词命题例子：“存在实数，使得”可表示为“，使得” 3.存在量词命题“对M中存在一个成立，可用符号表示为：” 三、命题的否定 1、命题的否定：一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为 ，记命题p的否定为 “ ”表示否定，反面的意思，命题与该命题的否定一真一假（真假相反） 2.全称量词命题的否定是 ；存在量词命题的否定是 。 3.全称量词命题“，都具有性质”的否定为“，不具有性质”。 4.存在量词命题“，具有性质”的否定为“，都不具有性质”。 ④常见词语的否定 原词语 否定 所有 任意的 都是 大于 【思维拓展】 问题1：请问至少一个的否定命题是什么？至多n个呢？ 【题型专练】 1、 全称量词命题与存在量词命题的辨析以及改写为符号表示 1.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题． 矩形有一个外接圆 非负实数有两个平方根 有一对实数，使成立． 2.用符号“”“”表达下列命题． 实数都能写成小数的形式； 存在一实数对，使成立； 任一实数乘，都等于它的相反数； 存在实数，使得． 2、 含有一个量词命题的否定 1.已知命题“某班所有的男生都爱踢足球”，则命题为(    ) A. 某班至多有一个男生爱踢足球 B. 某班至少有一个男生不爱踢足球 C. 某班所有的男生都不爱踢足球 D. 某班所有的女生都爱踢足球 2.命题“对，都有”的否定为          ． 3.命题“，”的否定是          ． 4.命题“”的否定是           3、 全称量词命题与存在命题的运用 1.若“”是假命题，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 2.若命题“存在，”是真命题，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【当堂检测】 1.关于命题，下列判断正确的是(    ) A. 命题“每个正方形都是矩形”是存在量词命题 B. 命题“有一个自然数不大于”是全称量词命题 C. 命题“在素数中，有一个是偶数”是存在量词命题 D. 命题“每个整数都是有理数”的否定为“每个整数都不是有理数” 2.甲、乙、丙、丁四个人参加某项竞赛，四人在成绩公布前做出了如下预测： 甲说：获奖者在乙、丙、丁三人中 乙说：我不会获奖，丙获奖 丙说：甲和丁中有一人获奖 丁说：乙的猜测是对的． 成绩公布后表明，四人中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不相符已知有两人获奖，则获奖的是(    ) A. 甲和丁 B. 甲和丙 C. 乙和丙 D. 乙和丁 3.已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 4.命题“，”的否定是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 5.已知命题：“，有成立”，则命题的否定为(    ) A. ，有成立 B. ，有成立 C.  ，有成立 D. ，有成立 6.下列命题正确的是 A. “”是“”的充分不必要条件(    ) B. 命题“，”的否定是“，” C. 的充要条件是 D. 若，则，至少有一个大于 7.（多选）下面选项中正确的有(    ) A. 命题“，”的否定是“，” B. 命题“，”的否定是“，” C. “”是“”的充要条件 D. 设，，则“”是“”的必要不充分条件 8.（多选）下列命题中是假命题的是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 9.若命题“是假命题”，则实数的取值范围是          ． 10.命题“”为真命题，则取值范围为          ． 4/4 学科网（北京）股份有限公司 $$