精品解析：湖南省长沙市雅礼教育集团2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

雅礼教育集团2025年上学期五月检测试卷 高一数学 时量：120分钟 分值：150分 命题人： 审题人： 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 为了合理调配电力资源，某市欲了解全市50000户居民日用电量.若通过简单随机抽样从中抽取了300户进行调查，得到其日用电量的平均数为，则可以推测全市居民用户日用电量的平均数（ ）. A. 一定为 B. 高于 C. 低于 D. 约为 【答案】D 【解析】 【分析】 根据样本平均数和总体平均数的关系来判断即可. 【详解】样本平均数是对总体平均数的一种估计，它们之间没有确定的大小关系，所以ABC均错误， 故选：D. 【点睛】本题考查样本平均数和总体平均数的关系，是基础题. 2. 已知直线l和平面，若，，则过点P且平行于l的直线（ ）． A. 只有一条，不在平面内 B. 只有一条，且在平面内 C. 有无数条，一定在平面内 D. 有无数条，不一定在平面内 【答案】B 【解析】 【分析】过直线外一点作该直线的平行线有且只有一条，即可得到答案. 【详解】过直线外一点作该直线的平行线有且只有一条，因为点P在平面内，所以这条直线也应该在平面内. 故选：B. 3. 圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱的体积比V球∶V柱为（ ） A. 1∶2 B. 2∶3 C. 3∶4 D. 1∶3 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆柱的底面直径与高都等于球的直径，代入球的体积和圆柱的体积公式，直接求比即可得解. 【详解】设球的半径为，则. 【点睛】本题考查了球和圆柱的体积公式，考查了计算能力，属于简单题. 4. 下列各组数的方差从小到大排序是（ ） （1）（2）； （3）；（4）． A. （1）（2）（3）（4） B. （4）（3）（2）（1） C. （3）（1）（2）（4） D. （2）（1）（3）（4） 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由方差的意义以及计算公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）组数据的平均数为6，则方差为0； （2）组数据的平均数为6，则方差为； （3）组数据的平均数为6，则方差为； （4）组数据的平均数为6，则方差为； 则方差从小到大排序是（1）（2）（3）（4）. 故选：A 5. 从这9个数字中随机选择一个数，则这个数平方的个位数字为1的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出这9个数字中每个数的平方，即可求出概率. 【详解】，，故个位数字为1的概率为：. 故选：B 6. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币反面向上”，事件“第二枚硬币正面向上”，下列结论中正确的是（ ） A. 与为互斥事件 B. C. 与相互独立事件 D. 与互为对立事件 【答案】C 【解析】 【分析】由相互独立事件及互斥事件、对立事件的定义以及古典概率依次判断即可. 【详解】由相互独立事件的定义知，A与B为相互独立事件，C正确； 事件可以同时发生，则A与B不是互斥事件，也不是对立事件，A错误；D错误； ，B错误. 故选：C. 7. 如图，在平行六面体中，与的交点为．设，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算即可求得结果. 【详解】几何体为平行六面体，各个面均为平行四边形， 为，中点， . 故选：A. 8. 已知分别为三个内角的对边，且则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理及三角恒等变换可得，又因为，所以，即可得，再根据正弦函数的性质求解即可. 【详解】因为， 所以， 即, ， 所以， ， 又因为， 所以，即， ，所以， 又因为，所以， 所以，解得. 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 若复数 ，则（ ） A. B. 在复平面内对应的点位于第四象限 C. D. 复数满足，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用复数除法求出，再结合共轭复数、复数的模及几何意义逐项判断. 【详解】复数， 对于A，，A错误； 对于B，在复平面内对应的点位于第四象限，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，由，得在复平面内复数对应点轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆， 表示该圆上的点与点的距离，所以的最大值为，D正确. 故选：BCD 10. 四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断可能出现点数为6的是（ ） A. 平均数为3，中位数为2 B. 中位数为3，众数为2 C. 平均数为2，方差为2.4 D. 中位数为3，极差为3 【答案】ABD 【解析】 【分析】举例即可判断ABD的正误；根据出现点数6时方差可判断C. 【详解】对于A，当掷骰子出现的结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点6，所以A正确； 对于B，当掷骰子出现的结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点6，所以B正确； 对于C，若平均数为2，且出现点数6，则方差，所以当平均数为2，方差为2.4时，一定不会出现点数6，所以C错误； 对于D，当郑骰子出现的结果为3，3，3，3，6时，满足中位数为3，极差为3，故D正确， 故选：ABD 11. 如图，设是平面内相交成角的两条数轴，其中，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在夹角为的坐标系中的坐标，记为，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若对任意的最小值为，则 D. 若对任意的，都有恒成立，则实数 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A：借助向量模长公式计算即可得；对B：借助数量积公式计算即可得；对C：借助向量模长与投影的关系计算即可得；对D：借助模长与数量积的关系，结合三角函数值域计算即可得. 【详解】对A： ，故A正确； 对B：， 即，故B正确； 对C：最小值为可知在方向投影向量的长度为，即， 可得或，故C错误； 对D：两边平方得， 即对，，即， 由于，， 故，解得或， 综上所述，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 在复数范围内方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用直接开平方法求出方程的解. 【详解】方程，化为，即，解得， 所以方程的解是. 故答案为： 13. 过所在平面外一点，作，垂足为，连接，，，若，则点是的______心. 【答案】外 【解析】 【分析】由线面垂直得到线线垂直，进而由求出，得到答案. 【详解】因为，，所以， 故， 因为，所以， 故是的外心. 故答案为：外 14. 在一次人才招聘会上，有一家公司的招聘员告诉你，“我们公司的收入水平很高”“去年，在名员工中，最高年收入达到了万，员工年收入的平均数是万”，而你的预期是获得万元年薪，下列判断中，正确的判断的个数是___________个． （1）年薪为万元的员工在这家公司算高收入者； （2）如果招聘员继续告诉你，“员工年收入的变化范围是从万到万”，那么这个信息能使你作出自己是否受聘的决定； （3）如果招聘员继续给你提供了如下信息，员工收入的第一四分位数为万，第三四分位数为万，则这条信息能使你作出自己是否受聘的决定； （4）根据（3）中招聘员提供的信息，估计平均数比中位数高． 【答案】 【解析】 【分析】根据平均收入、最高收入之间的关系可判断（1）；根据中位数的定义可判断（2）；根据百分位数的定义可判断（3）；根据中位数与极端值的关系可判断（4）. 【详解】（1）正确：因为平均收入和最高收入相差太大，说明高收入员工占极少数， 现在已经知道至少有一个人的年收入为万元， 那么其他员工的年收入之和为（万元）， 每人平均收入约万元． 如果再有几个收入特别高的，那么公司其它的员工的收入将会更低， 所以能认为年薪为万元的员工在这家公司算高收入者； （2）不正确：不能作出是否受聘的决定，要看中位数是多少； （3）正确：可以确定有的员工年收入在万元以上，其中的员工年收入在万元以上． （4）正确：收入的中位数大约是万元，因为受年收入万元这个极端值的影响，所以平均数比中位数高很多． 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 假设有5个条件类似的女孩（把她们分别记为A，B，C，D， E）应聘秘书工作，但只有2个秘书职位，因此5个人中只有2人能被录用.如果5个人被录用的机会相等，分别计算下列事件的概率； （1）女孩A得到一个职位； （2）女孩A和B各得到一个职位； （3）女孩A或B得到一个职位. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】 列举出5个人中2人被录用的所有基本事件，分别找出对应事件的基本事件的个数，利用古典概型的公式计算概率. 【详解】解：5个人，2个职位，每个人被录用的机会相等，该试验的样本空间可表示为，共有10个样本点. （1）A得到一个职位包含4个样本点，故其概率为； （2）A.B各得到一个职位包含1个样本点，故其概率为； （3）A或B得到一个职位包含7个样本点，故其概率为. 【点睛】本题主要考查了利用古典概型的公式计算概率，属于中等题. 16. 如图，四棱锥的底面是正方形，侧面PAD是正三角形，，且侧面底面ABCD，E为侧棱PD的中点． （1）求证：平面EAC； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】(1)连接交于，连接，由中位线得EO∥PB； (2)过P作PF⊥AD于F，则PF⊥平面ABCD，故. 【小问1详解】 连接交于，连接， ∵、分别为、的中点， ∴， ∵平面，平面， ∴∥平面； 【小问2详解】 过P作PF⊥AD于F， ∵侧面PAD是正三角形，∴PF⊥AD， ∵平面底面ABCD，平面底面ABCD＝AD，平面PAD， ∴PF⊥平面ABCD， 故. 17. 如图，在中，已知边上的两条中线相交于点． （1）求中线的长； （2）求的余弦值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，再平方求解即可. （2）首先根据题意得到，从而得到，再根据求解即可. 【小问1详解】 因为为的中点，， 【小问2详解】 ， ， . . 18. 某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩 作为样本进行统计． 将成绩进行整理后，分为五组 ， ，，， ，其中第一组的频数的平方为第二组和第四组频数的乘积.请根据下面的频率分布直方图，解决以下问题． （1）若根据这次成绩，学校准备淘汰 70% 的同学，仅保留 30% 的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理？(四舍五入精确到 1 分) （2）从样本数据在 两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取 6 名同学，再从这 6 名同学中随机选出 2 人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率； （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了 10 名同学的分数： ，已知这 10 个分数的平均数 ． 方差 ，若剔除其中的最高分 98 和最低分 86，求剩余 8 个分数的平均数与方差． 【答案】（1）76分 （2） （3）平均数，方差21 【解析】 【分析】（1）先根据“第 1 组的频数的平方为第 2 组和第 4 组频数的积”，得“第 1 组的频率的平方为第 2 组和第 4 组频率的积”求，，求该组数据的第70百分位数即可. （2）根据古典概型求概率. （3）根据平均数与方程的概念求新数据的平均数与方程. 【小问1详解】 由第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积可知， 第1组的频率的平方为第2组和第4组频率的积， 所以，解得 ， 又 ，解得， 所以， 成绩落在 内的频率为：，落在内的频率为： ， 设第70百分位数为，则，解得 ， 所以晋级分数线划76较为合理. 【小问2详解】 由图可知， 按分层抽样法， 两层应分别抽取 4 人和 2人， 分别记为 和 ， 则所有的抽样有： ， 共 15 个样本点， "抽到的两位同学来自不同小组"，则 ， 共 8 个样本点， 所以 ． 【小问3详解】 因为 ， 所以， 所以 ， 所以 ， 剔除其中的 和 86两个分数， 设剩余 8 个数为 ，，平均数与标准差分别为 ，则剩余 8 个分数的平均数： 方差：. 19. 如图，在棱长为3正方体中. （1）求证：平面； （2）若平面，求证：点E为的中心； （3）若点P是平面内一个动点，且，求直线与平面所成角大小. 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）要证平面，即证、，只需证平面、平面，从而根据正方体的结构特征证明即可； （2）由（1）知平面，结合正方体几何特征证明，进而得到E为的外心，根据为正三角形的外心，即可得到为正的中心. （3）首先、的长，再根据，求出，再由（2）得出线面角为，运用三角函数值，求出线面角即可. 【小问1详解】 如图，连接， 因为四边形为正方形，则， ∵平面，平面，则， 因为， ∴平面， ∵平面， ∴， 同理可证， ∵， 平面. 【小问2详解】 如图，由（1）知，平面， ∵， ∴， ∴， ∴E为的外心. ∵， ∴是正三角形； ∴E为正的中心. 【小问3详解】 如图，由（2）知E为正的中心，， 在中，由正弦定理得，， ， ∵， ∴， ∵平面，平面， ∴，即，， ∵， 即， ∵，解得， 所以，点P的轨迹是以点E为圆心，半径为1的圆， ∵平面， 所以，与平面所成的角为， 而， ∵， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 雅礼教育集团2025年上学期五月检测试卷 高一数学 时量：120分钟 分值：150分 命题人： 审题人： 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 为了合理调配电力资源，某市欲了解全市50000户居民的日用电量.若通过简单随机抽样从中抽取了300户进行调查，得到其日用电量的平均数为，则可以推测全市居民用户日用电量的平均数（ ）. A. 一定为 B. 高于 C. 低于 D. 约为 2. 已知直线l和平面，若，，则过点P且平行于l的直线（ ）． A. 只有一条，不在平面内 B. 只有一条，且在平面内 C. 有无数条，一定平面内 D. 有无数条，不一定在平面内 3. 圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱的体积比V球∶V柱为（ ） A. 1∶2 B. 2∶3 C. 3∶4 D. 1∶3 4. 下列各组数的方差从小到大排序是（ ） （1）（2）； （3）；（4）． A. （1）（2）（3）（4） B. （4）（3）（2）（1） C. （3）（1）（2）（4） D. （2）（1）（3）（4） 5. 从这9个数字中随机选择一个数，则这个数平方的个位数字为1的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币反面向上”，事件“第二枚硬币正面向上”，下列结论中正确的是（ ） A. 与为互斥事件 B. C. 与为相互独立事件 D. 与互为对立事件 7. 如图，在平行六面体中，与的交点为．设，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 8. 已知分别为三个内角对边，且则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 若复数 ，则（ ） A. B. 在复平面内对应的点位于第四象限 C. D. 复数满足，则的最大值为 10. 四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断可能出现点数为6的是（ ） A. 平均数为3，中位数为2 B. 中位数为3，众数为2 C. 平均数为2，方差为2.4 D. 中位数为3，极差为3 11. 如图，设是平面内相交成角的两条数轴，其中，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在夹角为的坐标系中的坐标，记为，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若对任意的最小值为，则 D. 若对任意的，都有恒成立，则实数 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 在复数范围内方程解是______． 13. 过所在平面外一点，作，垂足为，连接，，，若，则点是的______心. 14. 在一次人才招聘会上，有一家公司的招聘员告诉你，“我们公司的收入水平很高”“去年，在名员工中，最高年收入达到了万，员工年收入的平均数是万”，而你的预期是获得万元年薪，下列判断中，正确的判断的个数是___________个． （1）年薪为万元的员工在这家公司算高收入者； （2）如果招聘员继续告诉你，“员工年收入的变化范围是从万到万”，那么这个信息能使你作出自己是否受聘的决定； （3）如果招聘员继续给你提供了如下信息，员工收入的第一四分位数为万，第三四分位数为万，则这条信息能使你作出自己是否受聘的决定； （4）根据（3）中招聘员提供信息，估计平均数比中位数高． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 假设有5个条件类似的女孩（把她们分别记为A，B，C，D， E）应聘秘书工作，但只有2个秘书职位，因此5个人中只有2人能被录用.如果5个人被录用的机会相等，分别计算下列事件的概率； （1）女孩A得到一个职位； （2）女孩A和B各得到一个职位； （3）女孩A或B得到一个职位 16. 如图，四棱锥的底面是正方形，侧面PAD是正三角形，，且侧面底面ABCD，E为侧棱PD的中点． （1）求证：平面EAC； （2）求三棱锥的体积． 17. 如图，在中，已知边上的两条中线相交于点． （1）求中线的长； （2）求的余弦值； 18. 某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩 作为样本进行统计． 将成绩进行整理后，分为五组 ， ，，， ，其中第一组的频数的平方为第二组和第四组频数的乘积.请根据下面的频率分布直方图，解决以下问题． （1）若根据这次成绩，学校准备淘汰 70% 的同学，仅保留 30% 的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理？(四舍五入精确到 1 分) （2）从样本数据在 两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取 6 名同学，再从这 6 名同学中随机选出 2 人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率； （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了 10 名同学的分数： ，已知这 10 个分数的平均数 ． 方差 ，若剔除其中的最高分 98 和最低分 86，求剩余 8 个分数的平均数与方差． 19. 如图，在棱长为3的正方体中. （1）求证：平面； （2）若平面，求证：点E为的中心； （3）若点P是平面内一个动点，且，求直线与平面所成角大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$