精品解析：重庆市第七中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

重庆市第七中学校2024-2025学年下学期 高2027届五月考试数学测试题 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某校高一年级有四个班共有学生200人，其中1班60人，2班50人，3班50人，4班40人．该校要了解高一学生对食堂菜品的看法，准备从高一年级学生中随机抽取40人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按班级来分层，则高一2班应抽取的人数是（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】由分层抽样的概念求解． 【详解】解：依题意高一2班应抽取的人数为人， 故选：B． 2. 如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】根据直观图还原原图形，然后可求出的面积. 【详解】由的直观图可知原图中，， 所以的面积为. 故选：C 3. 已知复数（i为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的四则运算，模的计算公式即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：D. 4. 在中，为的中点，为的中点，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的线性运算结合图形特征，求出的值即可. 【详解】在中，为的中点，为的中点， 则，所以，. 故选：B 5. 设、表示两条直线，、表示两个平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】由直线与平面平行分析直线与平面内直线的关系判断A；由直线与直线平行分析线面关系判断B；由直线与平面平行、平面与平面垂直分析线面关系判断C；由线面平行的性质及平面与平面垂直的判定判断D． 【详解】若，，则或与异面，故A错误； 若，，则或，故B错误； 若，，则或或与相交，相交也不一定垂直，故C错误； 若，过的平面与相交，设交线为，则，又，则，而，则，故D正确． 故选：D． 6. 在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正方体中，，将问题转化为求共面直线与所成角的正切值，在中进行计算即可. 【详解】在正方体中，，所以异面直线与所成角为， 设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，所以， 则.故选C. 【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法： （1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角； （2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值. 7. 如图，在海面上有两个观测点，，点在的正北方向，距离为，在某天10：00观察到某商船在处，此时测得，5分钟后该船行驶至处，此时测得，，，则该船行驶的距离（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在中可得，在中由正弦定理可得，再在中，由余弦定理可得. 【详解】, ， 在中，，，则， 又因为，所以km. 在中，，，则. 由正弦定理，得AB=km， 在中，，由余弦定理得 ， 即. 故选：A. 8. 如图，已知正方形边长为4，若动点P在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出辅助线，利用极化恒等式得到，结合的最值得到答案. 【详解】取的中点，连接， 则，， 两式分别平方再相减得， 设中点为，连接交圆弧于点，则当与重合时，最小，最小值为2， 当当与或重合时，最大，最大值为， 所以. 故选：B 【点睛】思路点睛：平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路： ①形化，即用平面向量几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解； ②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组样本数据：2，2，0，2，4，1，3，则下列关于该组样本数据说法正确的是（ ） A. 极差是4 B. 众数不等于平均数 C. 方差是 D. 分位数是3 【答案】AD 【解析】 【分析】由数据的最大值减去最小值可得极差，即可判断；出现次数最多的为众数，求出7个数据的平均数即可判断；根据方差公式求解即可判断；将数据从小到大排序，由百分位数的计算方法即可求解. 【详解】对于，由已知样本数据的最大值为，最小值为，所以极差为，故正确； 对于，样本数据的众数为，平均数为， 所以众数等于平均数，故错误； 对于，方差为，故错误； 对于，将数据按照从小到大的顺序排列可得，，，，，，， 因为，所以分位数是，故正确. 故选：. 10. 已知向量，，则（ ） A. 向量方向上的单位向量为 B. 当时，向量在向量上的投影向量为 C. 当与的夹角为锐角时， D. 当时， 【答案】BC 【解析】 【分析】向量方向上的单位向量为即可判断A；向量在向量上的投影向量为判断B；根据且与不同向判断C，根据求出，再由向量模的坐标表示判断D. 【详解】对于A：因为，则， 所以向量方向上的单位向量为，故A错误； 对于B：当时，所以，， 所以向量在向量上的投影向量为，故B正确； 对于C：当与的夹角为锐角，则且与不同向， 故，解得，故C正确； 对于D：当，则，解得，所以， 所以，所以，故D错误. 故选：BC 11. 如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 存在点，使得平面 B. 过三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形 C. 三棱锥的体积为定值 D. 三棱锥的外接球表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】当为中点时平面，即可判断A，根据平行关系作出截面图，即可判断B，根据锥体的体积公式判断C，转化为求长方体的外接球，即可判断D. 【详解】对于A：当为中点时，因为是的中点，所以， 平面，平面， 所以平面，故A正确； 对于B：因为，分别是，中点，所以， 在正方体中，易证，所以， 过三点的平面截正方体所得截面图形是梯形，故B错误； 对于C：因为，所以三棱锥的体积为定值，故C正确； 对于D：三棱锥的外接球可以补形为长方体（长为，宽为，高为）的外接球， 所以外接球的半径，所以外接球的表面积，故D正确， 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为虚数单位，设，若为纯虚数，则的值为__________. 【答案】3 【解析】 【分析】由纯虚数的定义计算可得. 【详解】由题意可得，解得所以. 故答案为：3. 13. 若圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】由条件确定圆锥的底面半径和母线长，结合圆锥侧面积公式求结论. 【详解】因为圆锥的轴截面是边长为的等边三角形， 所以圆锥的底面半径，母线长， 所以圆锥的侧面积. 故答案为：. 14. 如图，已知直四棱柱的所有棱长等于1，，和分别是上下底面对角线的交点，在线段上，，点在线段上移动，则三棱锥的体积最小值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，证得平面，利用等体积法将三棱锥的体积最小值转化为求的面积最小值，结合图形可得此最小面积为的面积，进而求解. 【详解】在直四棱柱中，平面，平面， 则，在菱形中，，而平面， 则平面，又菱形边长为1，，则， 点在线段上，在线段上，则， 因此三棱锥的体积最小，当且仅当的面积最小，而是定值， 则当且仅点到直线的距离最小，又的延长线与延长线相交于点， 于是点与点重合时，点到直线的距离取最小值，如图， 显然四边形为正方形，连接，令，由， 得，， 点到直线的距离，又， 则面积为，三棱锥的体积为， 所以三棱锥的体积最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题 15. 某机构对100名菜农去年种植销售的蔬菜重量（单位：吨）进行了统计调查，将得到的数据按，，，分为4组，画出的频率分布直方图如图所示. （1）求； （2）估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的第70百分位数； （3）估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的平均数与方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）. 【答案】（1）. （2）42.5吨. （3）平均数为37吨，方差为81. 【解析】 【分析】(1)由频率直方图以及频率和为1列出方程即可求得 (2)结合频率分布直方图和百分位数定义先确定百分位数所在区间，再列式求出百分位数. (3)应用均值和方差公式可求解. 【小问1详解】 由图可得，得. 【小问2详解】 设这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的第70百分位数的估计值为， 因为第一组和第二组数据的频率之和为（0.01+0.03）×10=0.4<0.5， 第一组、第二组和第三组数据的频率之和为（0.01+0.03+0.04）×10=0.8>0.7. 所以，由，得. 故这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的第70百分位数约为42.5吨. 【小问3详解】 估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的平均数吨， 方差. 16. 如图，在直四棱柱中，四边形ABCD是一个菱形，，点P为上的动点． （1）证明：平面； （2）试确定点P的位置，使得． 【答案】（1）证明见解析 （2）点P为中点 【解析】 【分析】（1）由得到平面，同理得到面，得到面面平行，进而得到线面平行； （2）作出辅助线，得到，结合，得到线面垂直，故，结合，平面，所以，证明出结论. 【小问1详解】 由题知，由，则四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面，同理可证面， 由面，面，， 所以平面平面， 又面，所以面； 【小问2详解】 取BC中点E，连接DE，PE．在△BDC中，， 则△BDC正三角形， 所以，又，，平面EDP， 所以面EDP，因为平面，所以． 在面中，，平面，所以， 在中，E为BC中点，所以EP为中位线，则点P为中点． 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角B； （2）若的角平分线交AC于点D，，，求BD； （3）若的外接圆的半径为，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理可得，利用余弦定理可得，即可得结果； （2）根据面积关系，结合面积公式运算求解即可； （3）利用正弦定理结合三角恒等变换可得，再结合正弦函数的有界性分析求解. 【小问1详解】 因为， 可得， 由正弦定理得，则， 且，所以． 【小问2详解】 由题意可知：， 因为， 则， 即，可得． 【小问3详解】 由正弦定理可得， 则， 可得， 又因为，则， 可得，即， 所以的取值范围为. 18. 如图所示的四棱锥中，，，，且，. （1）求证：平面； （2）若为的中点，求点到直线的距离； （3）若为棱上的一点，且满足直线与平面所成角的正弦值，求二面角的平面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在平面中，过作，垂足，连接，可证平面平面及重合，故可证平面； （2）在平面中，过作直线，以为轴正向，为轴正向，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求点线距； （3）利用向量法可求二面角的平面角的余弦值. 【小问1详解】 因为，故为等边三角形，故， 而，故，故， 而，平面，故平面， 而平面，故平面平面， 在平面中，过作，垂足为，连接， 因为平面平面，平面， 故平面，而平面，故. 设，则， 而，故，故， 故重合，故平面. 【小问2详解】 在平面中，过作直线，以为轴正向，为轴正向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 由（1）可得，则，， 故，而，故，而， 故到的距离为. 【小问3详解】 ，故， 设，其中， 故，故 而平面的法向量为，设直线与平面所成角为， 则，故， 故，故， 设平面的法向量为，而，则： 即，取， 故，而二面角的平面角为锐角， 故二面角的平面角的余弦值. 19. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球O的半径为R.A、B、C为球面上三点，劣弧BC的弧长记为a，设表示以O为圆心，且过B、C的圆，同理，圆的劣弧AC、AB的弧长分别记为b，c，曲面ABC（阴影部分）叫做球面三角形.若设二面角分别为，则球面三角形的面积为. （1）若平面OAB、平面OAC、平面OBC两两垂直，求球面三角形ABC的面积； （2）若平面三角形ABC为直角三角形，，设. ①求证：； ②延长AO与球O交于点D，若直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为，S为AC中点，T为BC中点，设平面OBC与平面EST的夹角为，求的最小值，及此时平面AEC截球O的面积. 【答案】（1） （2）①证明见解析；②， 【解析】 【分析】（1）易得，再由球面三角形ABC面积公式求解； （2）①利用余弦定理和求解；②根据AD是球的直径，论证，则以C为坐标原点，以CB，CA所在直线为x，y轴，过点C作BD的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，设，分别求得平面OBC法向量和平面EST法向量，由，确定t的取值，设平面AEC中的法向量，确定球心O到平面AEC距离为，设平面AEC截球O圆半径为r，由求解. 【小问1详解】 若平面OAB，OAC，OBC两两垂直，有， 所以球面三角形ABC面积为， 【小问2详解】 ①证明：由余弦定理有： ，且， 消掉，可得. ②由AD是球的直径，则，， 且平面BCD， 所以平面BCD，且平面BCD， 则，且平面ABC， 可得平面ABC， 由直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为，所以，， 不妨先令，则， 由， 以C为坐标原点，以CB，CA所在直线为x，y轴，过点C作BD的平行线为z轴，建立如图空间直角坐标系， 设，则，，， 可得，， 则， 设平面OBC法向量， 则 取，则， 可得，， 设平面EST法向量， 则 取，则， 可得， 要使取最小值时，则取最大值， 因为， ， ， 令， 则， 可得， 当且仅当时取等号. 则取最大值，为最小值， 此时点后，可得， 设平面AEC中的法向量， 则 取，则， 可得， 可得球心O到平面AEC距离为， 设平面AEC截球O圆半径为r，则， 所以截面圆面积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市第七中学校2024-2025学年下学期 高2027届五月考试数学测试题 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某校高一年级有四个班共有学生200人，其中1班60人，2班50人，3班50人，4班40人．该校要了解高一学生对食堂菜品看法，准备从高一年级学生中随机抽取40人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按班级来分层，则高一2班应抽取的人数是（ ） A 12 B. 10 C. 8 D. 20 2. 如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（ ） A. 6 B 9 C. 12 D. 15 3. 已知复数（i为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，为的中点，为的中点，若，则等于（ ） A. B. C. D. 5 设、表示两条直线，、表示两个平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 6. 在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为 A. B. C. D. 7. 如图，在海面上有两个观测点，，点在的正北方向，距离为，在某天10：00观察到某商船在处，此时测得，5分钟后该船行驶至处，此时测得，，，则该船行驶的距离（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知正方形的边长为4，若动点P在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组样本数据：2，2，0，2，4，1，3，则下列关于该组样本数据说法正确的是（ ） A. 极差是4 B. 众数不等于平均数 C. 方差是 D. 分位数是3 10. 已知向量，，则（ ） A. 向量方向上的单位向量为 B. 当时，向量在向量上投影向量为 C. 当与的夹角为锐角时， D. 当时， 11. 如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 存在点，使得平面 B. 过三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形 C. 三棱锥的体积为定值 D. 三棱锥的外接球表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为虚数单位，设，若为纯虚数，则的值为__________. 13. 若圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为________． 14. 如图，已知直四棱柱的所有棱长等于1，，和分别是上下底面对角线的交点，在线段上，，点在线段上移动，则三棱锥的体积最小值为_____． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题 15. 某机构对100名菜农去年种植销售的蔬菜重量（单位：吨）进行了统计调查，将得到的数据按，，，分为4组，画出的频率分布直方图如图所示. （1）求； （2）估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的第70百分位数； （3）估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的平均数与方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）. 16. 如图，在直四棱柱中，四边形ABCD是一个菱形，，点P为上的动点． （1）证明：平面； （2）试确定点P的位置，使得． 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角B； （2）若的角平分线交AC于点D，，，求BD； （3）若的外接圆的半径为，求的取值范围． 18. 如图所示的四棱锥中，，，，且，. （1）求证：平面； （2）若为的中点，求点到直线的距离； （3）若为棱上的一点，且满足直线与平面所成角的正弦值，求二面角的平面角的余弦值. 19. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球O的半径为R.A、B、C为球面上三点，劣弧BC的弧长记为a，设表示以O为圆心，且过B、C的圆，同理，圆的劣弧AC、AB的弧长分别记为b，c，曲面ABC（阴影部分）叫做球面三角形.若设二面角分别为，则球面三角形的面积为. （1）若平面OAB、平面OAC、平面OBC两两垂直，求球面三角形ABC的面积； （2）若平面三角形ABC为直角三角形，，设. ①求证：； ②延长AO与球O交于点D，若直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为，S为AC中点，T为BC中点，设平面OBC与平面EST的夹角为，求的最小值，及此时平面AEC截球O的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $