3.1.1函数的概念课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

章导语 天宫二号离发射点的距离与时间的关系； 蓄水池使用时水面高度与使用时间的关系； 高铁票价与路程的关系； 炮弹的射高与时间的关系； 受台风影响的面积与半径的关系； …… 变量间的对应关系 函数模型 把握研究对象的运动变化规律 已学的函数模型： 1 必修第一册第三章 《函数的概念与性质》 3.1.1函数的概念(1) 一、回顾与思考 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，就说y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。 1.初中学习的函数概念是什么？ 如：正方形的周长l与边长x的关系式是l=4x， 对于每一个确定的x，都有唯一的l与之对应，∴l是x的函数. 变量间的依赖关系 集合与对应关系 显然，仅用初中函数的概念很难回答这些问题。因此，需要用更严谨、准确、有概括性的语言来描述函数。 二、剖析实例 抽象函数概念 问题1.某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时.这段时间内,列车行进的路程S(单位:km)与运行时间t(单位:h)的关系可以表示为S=350t. 思考1.1:有人说“根据对应关系S=350t,这趟列车加速到350km/h后,每运行1h就前进了350km.”你认为这个说法正确吗? t和S是两个变量，且对于t的每一个确定的值，S都有唯一确定的值与之对应，故S是t的函数． 此说法错误。理由：没有注意t的变化范围。根据问题1的条件, 不能判断列车以350km/h运行半小时后的情况. 思考1.2:如何用更精确的语言来描述列车行进路程S与运行时间t的关系？ 二、剖析实例 类比归纳 问题1.某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时.这段时间内,列车行进的路程S(单位:km)与运行时间t(单位:h)的关系可以表示为S=350t. t和S是两个变量，且对于t的每一个确定的值，S都有唯一确定的值与之对应，故S是t的函数． 思考1.2:如何用更精确的语言来描述列车行进路程S与运行时间t的关系？ 对于数集A1中的任一时刻t，按照对应关系①，在数集B1中都有唯一确定的路程S和它对应． S与t的关系是：S=350t ① 其中，t的变化范围是数集A1={t|0≤t≤0.5}， S的变化范围是数集B1={S|0≤S≤175}. 二、剖析实例 类比归纳 问题2.某电气维修公司要求工人每周工作至少1天,至多不超过6天.如果公司确定的工资标准是每人每天350元,而且每周付一次工资,那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资?一个工人的工资w(单位:元)是他工作天数d的函数吗? 则工资w是一周工作天数d的函数,其对应关系是________ ② 其中，d的变化范围是数集A2=___________________， w的变化范围是数集B2=___________________________. 且对于数集A2中的任一个工作天数d ，按照对应关系②，在数集B2中都有唯一确定的工资w和它对应． w=350d {1,2,3,4,5,6} {350,700,1050,1400,1750,2100} 二、剖析实例 类比归纳 S与t的关系是：S=350t ① t的变化范围是数集A1={t|0≤t≤0.5}, S的变化范围是数集B1={S|0≤S≤175}. w与d的关系是：w=350d ② d的变化范围是数集A2={1,2,3,4,5,6}, w的变化范围是数集B2={350,700,1050,1400,1750,2100}. 思考2：问题1、2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗?为什么? S=350t和w=350d不是同一个函数，因为t与d的取值集合不同. 二、剖析实例 类比归纳 问题3.下图是北京市某日的空气质量指数(简称AQI)变化图. 思考3.1：如何根据该图确定这一天内任一时刻t h的空气质量指数的值I? 思考3.2：你能根据该图找到中午8时的 AQI的值吗? 思考3.3：你认为这里的I是t的函数吗？ t=8时,I=50 对于数集A3=____________的任一时刻t，按照图中曲线给定的对应关系，在数集B3=____________中都有唯一确定的工资w和它对应． 故I是t的函数. {I|0<I<150} {t|0≤t≤24} 二、剖析实例 类比归纳 问题4.国际上常用恩格尔系数r(r=食物支出金额/总支出金额)反映一个地区人民生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高.下表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况,从中可看出该省城镇居民生活质量越来越高. 对于数集A4=____________________的任一年份y，按照表格给定的对应关系，在数集B4=__________中都有唯一确定的工资w和它对应． 故r是y的函数. 年份y 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 恩格尔系数r(%) 36.69 36.81 38.17 35.69 35.15 33.53 33.87 28.89 29.35 28.57 思考5：你认为按上表给出的对应关系,恩格尔系数r是年份y的函数吗?如果是,你会用怎样的语言来刻画这个函数? {y∈Z|2006≤y≤2015} {r|0<r≤1} 三、对比归纳 形成概念 思考6：上述问题1～问题4中的函数有哪些共同特征?你能由此概括出函数概念的本质特征吗? 定义域 值域 解析式 图 表 一个对应关系、两个非空数集 C3⊆B3 C4⊆B4 f 四、概念学习——函数的概念 设A、B为非空实数集，若对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，则称 f :A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作： y=f (x), x∈A. function 概念 自变量 函数值 定义域 值域 含义 x f(x) 性质 存在性 唯一性 表示 描述法,列举法,区间 一对一/多对一 值域是集合B的子集 使函数有意义的自变量的取值集合 函数值的取值集合 任意性 x,t,v,u等 f(x),g(x),h(x), F(x),G(x)等 非空数集A 非空数集{f(x)|x∈A} y=|x|和x=|y| 四、概念学习——函数的概念 (4)“ y=f (x), x∈A”的理解： function f (x)=x2+3x+1, x∈[0,4] 符号 x∈A y=f(x) f f(x) f(a) 含义 函数的定义域为A 函数符号,表示x在对应关系f的作用下可得对应的函数值y 对应法则，表示对x实施“对应”操作的方式 函数值y，或函数y=f (x)的简记 当x=a时函数f(x)的取值 备注 见函数先看定义域 不能理解为 “y等于f 乘x” 可为解析式、图象、表格、Venn图等 ƒ(x)=2x+1 g(x)=x3 f(a)是f(x)的一个特殊值,是一个相对确定的数. 的定义域、对应 关系和值域各是什么?请用函数定义描述这个函数． 一次函数f(x)＝2x+3的定义域是R,值域也是R, 对应关系f 把R中的任意一个数x,对应到R中唯一确定的数2x+3． 二次函数h(x)＝3x2+1的定义域是R,值域是[1,+∞), 对应关系h把R中的任意一个数x,对应到[1,+∞)中唯一确定的数3x2+1． 反比例函数 五、概念巩固——函数的概念 定义域为[0,26] 值域为[0,845] 对于定义域[0,26]中的任意一个数t，按照对应关系h(t)=130t－5t2，在值域[0,845]中都有唯一确定的数h和它对应. 的定义域是{x|x≠0}, 值域是{y|y≠0}, 【例1】判断下列对应是否为集合A到集合B的函数. （1）A=R，B={y|y>0}， f：x → y=|x| （2）A=Z，B=Z， f：x → y=x2 （3）A=Z，B=Z， f：x → （4）A=Z，B=Z， f：x → （5）A=R，B={0}， f：x → y=0 y=|x| B={x|x>0} 值域为N x=0 x=2 六、概念辨析——函数的概念(定义法) 【例2】判断下列式子能否表示y是x的函数. ①y=|x| ②|y|=x ③y=x2 ④y2=x ⑤x2+y2=1 x=1,y=±1 x=0,y=±1 x=1,y=±1 14 六、概念辨析——函数的概念(平移法) 0 x y 2 2 1 0 x y 2 1 2 1 0 x y 2 1 2 0 x y 2 1 2 1 【例3】设A={x|0≤x≤2}, B={y|1≤y≤2}.下图表示从A到B的函数是( ) A D C B D 【例4】下列图象具有函数关系的是_____和_____. A E o x y A C B E x y o D 1 -1 o x y 1 x o 1 o x y 散点图、断层图 15 六、概念辨析——函数的概念P64 定义域为{1,2,3,4,5} 值域为{2,3,4,5} 对应关系f如Venn图所示 七、函数的统一性和多样性 y=kx s=vt m=ρV l=2πr 实际问题 函数模型 抽象 还原 函数的发展历程 Eluer(欧拉) 1748 一个变量的函数是由这个变量和一些数以任何方式组成的解析式。 在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。 Cauchy(柯西) 解析式定义 变量间的依赖关系 只须有一个法则存在，以使得这个函数取值范围中的每一个值，都只有一个确定的值和它对应。 Dirichlet (狄利克雷) 集合和对应的观点 函数：清代数学家李善兰、翻译《代数学》时把“function”译为“函数”. “凡式中含天,为天之函数” 天、地、人、物表示4个不同的未知数或变量。 即:凡式中含有变量x,则该式叫做x的函数” 18 小结 1.函数概念：设A、B为非空实数集，若对于A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在B中都有唯一确定的数y和它对应，则称 f :A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作： y=f (x), x∈A. ①“f (x)”可以表示函数值，也可以表示函数. f (3)=1 f (x)=x+1 ② 函数的三要素：定义域、对应关系、值域. 若两个函数的_______________________相同，则它们为同一个函数. 定义域、对应关系、值域 [引例]已知f(x)=x2+1, x∈[2,+∞)，则值域必为________ 已知g(t)=t2+1, x∈[2,+∞)，则值域必为________ [5,+∞) [5,+∞) ③值域由定义域、对应关系唯一确定. 应用： 判断函数相等 求函数值 求函数的定义域 求函数的值域 3.1.1函数的概念(2) 一、求函数值 21 (一)求函数值 “由里往外”逐层求值. 22 (一)求函数值 23 (二)函数相等 若两个函数的定义域和对应关系相同，则它们为同一个函数. (两个函数相等) (与字母无关) 对应关系相同,定义域不同 思考：定义域和值域都相同的两个函数是否一定相等？ 如：“y=x+1”与“y=2x”的定义域、值域均为R，但对应关系不同. 对应关系相同,定义域不同 [2,+∞) (-∞,-2]∪[2,+∞) R {x|x≠0} 24 (二)函数相等 f (x)=x {x|x≥0} f(x)=x {y|y≥0} R f(u)=u R R g(x)=|x| {y|y≥0} {n|n≠0} f(n)=n {m|m≠0} 不是 是 不是 不是 25 (三)求函数的定义域(具体函数) R (-∞,-2]∪[2,+∞) {x|x≠2} {x|x≠±2} {x|x≠0且x≠-2} 多个区间用“∪”连接 若已给出函数解析式但无指明其定义域， 则定义域默认为使解析式有意义的自变量的取值集合。 不能先约分 若a≠0，则a0=1 {x|x≤-2或x≥2} (-∞,-2)∪(-2,0)∪(0,+∞) 26 (三)求函数的定义域(具体函数) 注：①若f(x)由几部分的式子构成，则其定义域为使各部分同时有意义的数的集合。(即求交集) ②若f(x)为实际问题中的函数，则定义域要符合实际意义。 (如：大于0，取整数…) 函数f(x)所含结构 求定义域时注意事项 举例 整式或奇次根式 分式 偶次根式 零次幂[g(x)]0 (2x+1)0 见函数先求定义域！！！ 定义域通常为R 分母不为0 不可先约分后求定义域 根号内大于等于0 g(x)≠0 【例】(单位:cm)设一个矩形周长为80，其中一边长为x，求它的面积S关于x的函数解析式，并写出定义域. (三)求函数的定义域(具体函数) (三)求函数的定义域(抽象函数) a∈[0,4] t+1∈[0,4] t∈[-1,3] ①同一题目中,同一对应关系f作用的整个对象的取值范围相同. a-2∈[0,4] ②任何函数的定义域均指自变量的取值范围. 引例中, f(x)的定义域是指x的范围； f(x+1)的定义域是指x的范围. f(a-2)的定义域是指a的范围. 只是用同一字母来表示两个函数的自变量，范围可能不同. 两个“x”不同 x∈[-1,3] a∈[2,6] x+1∈[0,4] f作用对象的范围： 函数的定义域： (三)求函数的定义域(抽象函数) f(x) f(x+1) 定义域 (自变量的范围) 同一f作用对象的范围 0≤x≤1 0≤x≤1 0≤x+1≤1 ﹣1≤x≤0 [-1,0] [例]解:∵f(x)的定义域为[0,1], 即0≤x≤1； ∴对于f(x+1)有0≤x+1≤1, 解得－1≤x≤0. ∴f(x+1)的定义域为[－1,0] [变式4]已知f(x)的定义域为[-2,4]，则g(x)=f(x)+f(-x)的定义域是___. 2 [2,3] [-2,-1] + [-2,-1) [-2,2] Key：同一f作用对象的范围 (四)求函数值域的方法 1.观察法 (四)求函数值域的方法 2.配方法(二次函数型) (四)求函数值域的方法 3.分离常数法 1.适用于分子分母均含变量的分式 2.分离目的：化为熟悉结构，便于利用反比例函数或基本不等式求 分式的范围、最值等 把分子中的变量分离掉，使分子化为常数 3.分离方法：分子配凑出与分母一样的结构→约分 (四)求函数值域的方法 3.分离常数法 把分子中的变量分离掉，使分子化为常数 (四)求函数值域的方法 3.分离常数法 把分子中的变量分离掉，使分子化为常数 换元法 分解约分 (四)求函数值域的方法 4.换元法 注意新元的范围 换元法 观察法 课内作业 (写为区间的形式) (写为集合或区间的形式) $$