7.1 基本立体图形及其体积与表面积 讲义-2026届高三体育单招数学一轮复习

7.1基本立体图形及其特征（讲义） 目录 知识点01棱柱的结构特征 2 知识点02棱锥的结构特征 4 知识点03棱台的结构特征 5 知识点04：旋转体的结构特征 6 知识点05：组合体 的结构特征 8 知识点06几何体的表面积与体积公式 9 题型一、棱柱的结构特征 10 题型二、棱锥的结构特征 15 题型三、棱台的结构特征 20 题型四、旋转体的结构特征 27 题型五、组合体的结构特征 33 【2026年高中数学一轮复习】 【适用于体育单招生】 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 知识点01棱柱的结构特征 1. 定义：上底面和下底面互相平行且全等，侧面均为平行四边形的多面体叫做棱柱． (1) 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱 ①两个底面仍然平行且全等 ②所有的侧棱都平行且相等 ③所有侧面都是平行四边形（包括矩形、菱形、正方形等特例） ④所有的侧棱仍然互相平行且长度相等 (2) 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱 ①所有侧棱均垂直于上、下底面，即相邻的侧棱和底边形成的角是直角 ②所有侧面都是矩形（特殊情况下可以是正方形） ③两个底面平行且全等（形状大小完全相同） ④所有侧棱平行且长度相等 ⑤直棱柱的对角面通常是平行四边形或矩形 (3) 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱 ①底面为正多边形 ②侧棱垂直于底面 ③侧面皆为正方形 (4) 平行六面体：由六个平行四边形所围成的多面体。平行六面体分为斜平行六面体和直平行六面体两种；侧棱不垂直于底面的平行六面体为斜平行六面体，侧棱垂直于底面的平行六面体为直平行六面体. ①相对面平行且全等 ②平行棱长度相等 ③六个面均为平行四边形 (5) 长方体：底面是矩形的直平行六面体 ①6个面：相对面平行且全等，且均为矩形（包括正方形）。 ②12条棱：分为3组（长、宽、高），每组4条棱平行且相等 ③8个顶点：每个顶点连接3条棱（两两垂直）。 ④8个直角：所有面角（共24个）和空间角均为90°。 (6) 正方体：棱长都相等的长方体 ①所有棱等长（设棱长 aa） ②所有面为全等的正方形 知识点02棱锥的结构特征 1. 定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥． (1) 正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心 ①底面：正多边形（如正三角形、正方形、正五边形等）。 ②侧面：全等的等腰三角形（侧棱相等，底边为底面边长）。 ③顶点投影：锥顶向底面的垂线落于底面正多边形的中心 (2) 正四面体：所有棱长都相等，且顶点在底面的射影是底面的中心的三棱锥（四个面均为等边三角形） ①4个面：全等的正三角形 ②6条棱：长度均相等 ③4个顶点：每个顶点连接3条棱 ④6个二面角：所有面与面之间的夹角均相等 知识点03棱台的结构特征 1. 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台． ①两个底面：平行且相似的多边形（上底面较小，下底面较大） ②侧面：均为梯形（若为正棱台，则侧面为全等的等腰梯形） ③侧棱：所有侧棱延长后交于一点（原棱锥顶点） 知识点04：旋转体的结构特征 1. 圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱． ①两个底面：平行且全等的圆形平面（半径 r）。 ②侧面：光滑曲面（展开为矩形）。 ③高（h）：两底面间的垂直距离。 ④母线：平行于轴且连接两底圆周的线段（长度 =h=h）。 ⑤轴：两底面圆心的连线（对称轴）。 2. 圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥． ①一个底面：圆形平面（半径r）。 ②侧面：光滑曲面（展开为扇形）。 ③顶点：锥尖（旋转直角顶点）。 ④高（h）：顶点到底面的垂直距离。 ⑤母线：底面圆周上任意一点到顶点的线段（长度相等）。 ⑥轴：顶点与底面圆心的连线（对称轴）。 3. 圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台． ①两个底面：平行且相似的圆形平面（下底面半径R，上底面半径r，R>r）。 ②侧面：光滑曲面（展开为扇环）。 ③高（h）：两底面间的垂直距离。 ④母线（l）：两底面圆周对应点的连线（所有母线延长交于一点）。 4. 球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）． ①球心：空间中的固定点 OO（所有对称操作的不动点）。 ②半径（rr）：球心到球面上任意点的距离。 ③直径：通过球心的线段（长度 2r2r），是球的最长弦。 知识点05：组合体 的结构特征 1. 定义：由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体． 知识点06几何体的表面积与体积公式 表面积 柱体 为直截面周长 锥体 台体 球 体积 柱体 锥体 台体 球 题型一、棱柱的结构特征 1．下列命题中正确的是（　　） A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面 C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 2．下列说法正确的是（    ） A．棱柱中相邻两个面的公共边叫做侧棱 B．棱柱中至少有两个面的形状完全相同 C．棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面 D．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱 3．下列说法正确的是（    ） A．棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面 B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥 D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体 4．下列命题正确的是（   ） A．正四棱柱是正方体 B．圆锥的截面是圆 C．一个棱柱至少有5个面 D．正三棱锥的所有面都是全等的等边三角形 5．在三棱柱中，截去三棱锥后，剩余的部分是（    ） A．五棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱台 6．正三棱柱的所有棱长都为，分别是的中点，则的长是（   ） A． B． C． D． 7．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为，体对角线长为，则这个棱柱的侧面积是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 8．已知长方体全部棱长的和为36，表面积为52，则其体对角线的长为（　　） A．4 B． C． D． 题型二、棱锥的结构特征 1．一个几何体恰有10个顶点，则这个几何体可能是（    ） A．四棱柱 B．四棱台 C．五棱锥 D．五棱台 2．下列说法中正确的是（    ） ①棱锥的各个侧面都是三角形； ②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面； ③棱锥的侧棱平行． A．① B．①② C．② D．③ 3．下列说法正确的是（ ） A．圆柱的母线长与圆柱的底面圆半径不可能相等 B．直四棱柱是长方体 C．将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个圆锥 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 4．下列结论正确的是（    ） A．底面是正方形的棱锥是正四棱锥 B．绕直角三角形的一条边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥 C．有两个面是四边形且相互平行，其余四个面都是等腰梯形的几何体是四棱台 D．棱台的所有侧棱所在直线必交于一点 5．已知正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 6．已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为，则该四棱锥的高为（    ） A． B． C． D． 7．已知正四棱锥的底面积为64，侧棱长，则该四棱锥的高为（    ） A． B． C．8 D． 8．底面边长为，且侧棱长为的正四棱锥的体积和侧面积分别为（    ） A． B． C．32，24 D．32，6 题型三、棱台的结构特征 1．下列结论正确的是（   ） A．用一个平面去截一个圆台，得到的截面可能是平行四边形 B．有两个面平行且相似，其余各个面都是梯形的多面体是棱台 C．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 D．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 2．给出下列命题： ①有两个面互相平行且是全等的三角形，其余各面都是四边形，且相邻两四边形的公共边互相平行，由这些面所围成的封闭几何体是三棱柱； ②有一个面是五边形，其余各面都是有公共顶点的三角形，由这些面所围成的封闭几何体一定是五棱锥； ③有两个面是互相平行且相似的矩形（不全等），其余各面都是梯形，由这些面所围成的封闭几何体一定是四棱台. 其中正确的命题是（    ） A．②③ B．①② C．①③ D．①②③ 3．如图，是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直线的是（   ）．    A．和； B．和； C．和； D．和． 4．如图，在正四棱台中，分别为棱的中点，则（    ） A．直线与直线是异面直线 B．直线与直线是异面直线 C．直线与直线共面 D．直线与直线共面 5．如果棱台的两底面积分别是，中截面的面积是，则（    ） A． B． C． D． 6．光岳楼位于山东聊城古城中央，主体结构建于明洪武七年（1374年），它是迄今为止全国现存古代建筑中最古老、最雄伟的木构楼阁之一，享有“虽黄鹤、岳阳亦当望拜”之誉.光岳楼的墩台为砖石砌成的正四棱台，如图所示，该墩台上底面边长约为32m，下底面边长约为34.5m，高约为9m，则该墩台的斜高约为（参考数据：）（    ） A．9.1m B．10.9m C．11.2m D．12.1m 7．已知正四棱台的体积为，且，则正四棱台的高为（    ） A． B． C．2 D． 8．已知一个正四棱台的上、下底面边长分别是4和6，高是，则它的侧面积为（    ） A．10 B． C．40 D．44 9．中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台，上下底面的中心分别为和，若，，则正四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 题型四、旋转体的结构特征 1．一条排水管的截面如图．已知排水管的截面圆半径是10，水面宽是16，则截面水深是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，一倒立的圆锥和一个底面圆直径为2R的圆柱内装等高H的液体，圆锥的轴截面为等腰直角三角形，圆柱的轴截面为一矩形，H＝R，圆锥内液体体积为V1，圆柱内液体体积为V2，则（　　） A．V1＝2V2 B．V1＝V2 C．V2＝2V1 D．V1＝V2 3．已知圆锥PO的底面半径为，轴截面的面积为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 4．已知圆锥的母线长为6，其外接球表面积为，则该圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 5．给出下列四个命题：①正三棱锥所有的棱长相等；②底面是正多边形的棱柱是正棱柱；③有两个面平行且相似，其它各个面都是梯形的多面体是棱台；④以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台，其中真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．下列命题中为真命题的是（   ） A．圆台的侧面展开图是一个扇形 B．用任意一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台 C．有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体是棱柱 D．五棱锥共有6个顶点，11条棱 7．已知，，是球的球面上的三个点，且，球心到平面的距离为1，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器厚度，则球的表面积为（    ）. A． B． C． D． 9．如图所示的组合体，则由下列所示的哪个三角形绕直线l旋转一周可以得到（    ） A． B． C． D． 10．旋转后形成的几何体如图所示的平面图形是（    ） A． B． C． D． 题型五、组合体的结构特征 1．某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列结论不正确的是（    ）    A．该几何体的面是等边三角形或正方形 B．该几何体恰有12个面 C．该几何体恰有24条棱 D．该几何体恰有12个顶点 2．如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（    ） A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成 B．一个球、一个长方体、一个棱台构成 C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成 D．一个球、一个五棱柱、一个棱台构成 3．下列说法正确的是（    ） A．直四棱柱是长方体 B．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 C．正方体被一个平面截去一个角之后可以得到一个简单组合体 D．台体是由一个平面截锥体所得的截面与底面之间的部分 4．由于正六边形兼具美感与稳定性，许多建筑中都有出现正六边形.图中塔的底面是边长为的正六边形，则该塔底面的面积为（    ） A． B． C． D． 5．已知正三棱锥中，，，该三棱锥的外接球球心到侧面距离为，到底面距离为，则（    ） A． B． C． D． 6．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括（    ） A．一个圆台、两个圆锥 B．两个圆柱、一个圆锥 C．两个圆台、一个圆柱 D．一个圆柱、两个圆锥 7．如图所示，几何体为一个球挖去一个内接正方体得到的组合体，现用一个平面截它，所得截面图形不可能是（    ） A． B． C． D． 8．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（    ） A．（2）（5） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（1）（5） 9．如图所示，该几何体是从一个水平放置的正方体中挖去一个内切球（正方体各个面均与球面有且只有一个公共点）以后而得到的．现用一竖直的平面去截这个几何体，则截面图形不可能是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上，下底面及母线均相切.若，则圆柱的表面积为（   ） A． B． C． D． $$7.1基本立体图形及其特征（讲义） 目录 知识点01棱柱的结构特征 2 知识点02棱锥的结构特征 4 知识点03棱台的结构特征 5 知识点04：旋转体的结构特征 6 知识点05：组合体 的结构特征 8 知识点06几何体的表面积与体积公式 9 题型一、棱柱的结构特征 10 题型二、棱锥的结构特征 15 题型三、棱台的结构特征 20 题型四、旋转体的结构特征 27 题型五、组合体的结构特征 33 【2026年高中数学一轮复习】 【适用于体育单招生】 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 知识点01棱柱的结构特征 1. 定义：上底面和下底面互相平行且全等，侧面均为平行四边形的多面体叫做棱柱． (1) 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱 ①两个底面仍然平行且全等 ②所有的侧棱都平行且相等 ③所有侧面都是平行四边形（包括矩形、菱形、正方形等特例） ④所有的侧棱仍然互相平行且长度相等 (2) 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱 ①所有侧棱均垂直于上、下底面，即相邻的侧棱和底边形成的角是直角 ②所有侧面都是矩形（特殊情况下可以是正方形） ③两个底面平行且全等（形状大小完全相同） ④所有侧棱平行且长度相等 ⑤直棱柱的对角面通常是平行四边形或矩形 (3) 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱 ①底面为正多边形 ②侧棱垂直于底面 ③侧面皆为正方形 (4) 平行六面体：由六个平行四边形所围成的多面体。平行六面体分为斜平行六面体和直平行六面体两种；侧棱不垂直于底面的平行六面体为斜平行六面体，侧棱垂直于底面的平行六面体为直平行六面体. ①相对面平行且全等 ②平行棱长度相等 ③六个面均为平行四边形 (5) 长方体：底面是矩形的直平行六面体 ①6个面：相对面平行且全等，且均为矩形（包括正方形）。 ②12条棱：分为3组（长、宽、高），每组4条棱平行且相等 ③8个顶点：每个顶点连接3条棱（两两垂直）。 ④8个直角：所有面角（共24个）和空间角均为90°。 (6) 正方体：棱长都相等的长方体 ①所有棱等长（设棱长 aa） ②所有面为全等的正方形 知识点02棱锥的结构特征 1. 定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥． (1) 正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心 ①底面：正多边形（如正三角形、正方形、正五边形等）。 ②侧面：全等的等腰三角形（侧棱相等，底边为底面边长）。 ③顶点投影：锥顶向底面的垂线落于底面正多边形的中心 (2) 正四面体：所有棱长都相等，且顶点在底面的射影是底面的中心的三棱锥（四个面均为等边三角形） ①4个面：全等的正三角形 ②6条棱：长度均相等 ③4个顶点：每个顶点连接3条棱 ④6个二面角：所有面与面之间的夹角均相等 知识点03棱台的结构特征 1. 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台． ①两个底面：平行且相似的多边形（上底面较小，下底面较大） ②侧面：均为梯形（若为正棱台，则侧面为全等的等腰梯形） ③侧棱：所有侧棱延长后交于一点（原棱锥顶点） 知识点04：旋转体的结构特征 1. 圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱． ①两个底面：平行且全等的圆形平面（半径 r）。 ②侧面：光滑曲面（展开为矩形）。 ③高（h）：两底面间的垂直距离。 ④母线：平行于轴且连接两底圆周的线段（长度 =h=h）。 ⑤轴：两底面圆心的连线（对称轴）。 2. 圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥． ①一个底面：圆形平面（半径r）。 ②侧面：光滑曲面（展开为扇形）。 ③顶点：锥尖（旋转直角顶点）。 ④高（h）：顶点到底面的垂直距离。 ⑤母线：底面圆周上任意一点到顶点的线段（长度相等）。 ⑥轴：顶点与底面圆心的连线（对称轴）。 3. 圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台． ①两个底面：平行且相似的圆形平面（下底面半径R，上底面半径r，R>r）。 ②侧面：光滑曲面（展开为扇环）。 ③高（h）：两底面间的垂直距离。 ④母线（l）：两底面圆周对应点的连线（所有母线延长交于一点）。 4. 球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）． ①球心：空间中的固定点 OO（所有对称操作的不动点）。 ②半径（rr）：球心到球面上任意点的距离。 ③直径：通过球心的线段（长度 2r2r），是球的最长弦。 知识点05：组合体 的结构特征 1. 定义：由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体． 知识点06几何体的表面积与体积公式 表面积 柱体 为直截面周长 锥体 台体 球 体积 柱体 锥体 台体 球 题型一、棱柱的结构特征 1．下列命题中正确的是（　　） A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面 C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 【答案】D 【分析】根据题意，结合棱柱的几何结构特征，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，如图所示满足有两个面互相平行，其余各面都是四边形，但该几何体不是棱柱，故A不正确； 对于B中，正六棱柱中有四对互相平行的面，但只有一对面为底面，所以B不正确； 对于C中，长方体、正方体的底面都是平行四边形，故C不正确； 对于D中，根据棱柱的几何结构特征，可得棱柱的侧棱都相等，且侧面都是平行四边形，所以D正确. 故选：D. 2．下列说法正确的是（    ） A．棱柱中相邻两个面的公共边叫做侧棱 B．棱柱中至少有两个面的形状完全相同 C．棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面 D．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱 【答案】B 【分析】根据棱柱的结构特征，判断选项中的结论是否正确. 【详解】A错误，底面和侧面的公共边不是侧棱； B正确，根据棱柱的特征知，棱柱的两个底面一定是全等的，故棱柱中至少有两个面的形状完全相同； C错误，正六棱柱的两个相对侧面互相平行； D错误，“其余各面都是平行四边形”并不能保证“相邻两个四边形的公共边都互相平行”，如图所示的几何体就不是棱柱． 故选：B. 3．下列说法正确的是（    ） A．棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面 B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥 D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体 【答案】D 【分析】由棱柱、棱锥、棱台的结构特征，判断各选项是否正确. 【详解】选项A，例如六棱柱的相对侧面也互相平行，故A错误； 选项B，其余各面的边延长后不一定交于一点，故B错误； 选项C，当棱锥的各个侧面共顶点的角的角度之和是时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C错误； 选项D，若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，故D正确． 故选：D 4．下列命题正确的是（   ） A．正四棱柱是正方体 B．圆锥的截面是圆 C．一个棱柱至少有5个面 D．正三棱锥的所有面都是全等的等边三角形 【答案】C 【分析】根据柱体和锥体的定义，即可判断选项. 【详解】正四棱柱是底面为正方形，且侧棱垂直于底面的棱柱，不一定是正方体，也可能是长方体，故A错误. 圆锥的轴截面是三角形，只有平行于底面的截面才是圆，故B错误. 一个棱柱至少有5个面，比如三棱柱，故C正确. 正三棱锥的所有侧面都是全等的等腰三角形，底面是等边三角形，故D错误. 故选：C 5．在三棱柱中，截去三棱锥后，剩余的部分是（    ） A．五棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱台 【答案】B 【分析】结合题意画出相应图形，即可得答案. 【详解】如图可得三棱柱中，截去三棱锥后，剩余的部分是四棱锥. 故选：B 6．正三棱柱的所有棱长都为，分别是的中点，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点为，连接，结合勾股定理即可求解； 【详解】 取的中点为，连接， 由正三棱柱的性质易知：平面, 又面， 所以，又， 所以， 故选：A 7．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为，体对角线长为，则这个棱柱的侧面积是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据棱柱的底面对角线长为，求得底面边长，在由体对角线长为，求得侧棱长，代入直棱柱的侧面积公式求解. 【详解】因为底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为， 所以底面边长为1， 又因为体对角线长为， 所以侧棱长为＝2. ∴S侧＝1×2×4＝8. 故选：D 【点睛】本题主要考查正棱柱的结构特征和有关运算，属于基础题. 8．已知长方体全部棱长的和为36，表面积为52，则其体对角线的长为（　　） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用可得对角线的长. 【详解】设长方体的三条棱的长分别为：， 则， 可得对角线的长为． 故选B． 【点睛】设长方体的棱长和为，表面积为，对角线的长为，则，解题中注意各代数式之间的关系. 题型二、棱锥的结构特征 1．一个几何体恰有10个顶点，则这个几何体可能是（    ） A．四棱柱 B．四棱台 C．五棱锥 D．五棱台 【答案】D 【分析】根据棱柱，棱台和棱锥的顶点个数，结合选项得出答案即可. 【详解】对于A，四棱柱是上下两个四边形，有8个顶点，不满足题意； 对于B，四棱台是上下两个四边形，有8个顶点，不满足题意； 对于C，五棱锥有6个顶点，不满足题意； 对于D，五棱台是上下底面均为五边形，有10个顶点，满足题意. 故选：D. 2．下列说法中正确的是（    ） ①棱锥的各个侧面都是三角形； ②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面； ③棱锥的侧棱平行． A．① B．①② C．② D．③ 【答案】B 【分析】根据棱锥的结构特征进行判断即可. 【详解】由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确； 四面体就是由四个三角形所围成的几何体， 因此以四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故②正确； 棱锥的侧棱交于一点，故③错误． 故选：B. 3．下列说法正确的是（ ） A．圆柱的母线长与圆柱的底面圆半径不可能相等 B．直四棱柱是长方体 C．将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个圆锥 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 【答案】D 【分析】根据几何体的定义和性质，即可判断选项. 【详解】A. 圆柱的母线长与圆柱的底面圆半径可能相等，故A错误； B.直四棱柱是底面是四边形，侧棱和底面垂直的棱柱，不一定是长方体，故B错误； C. 将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个组合体，上下是圆锥，中间是圆柱，故C错误； D. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故D正确. 故选：D 4．下列结论正确的是（    ） A．底面是正方形的棱锥是正四棱锥 B．绕直角三角形的一条边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥 C．有两个面是四边形且相互平行，其余四个面都是等腰梯形的几何体是四棱台 D．棱台的所有侧棱所在直线必交于一点 【答案】D 【分析】根据正四棱锥的定义即可判断A，举反例即可判断BC，根据棱台特点即可判断D. 【详解】对于A，底面是正方形的棱锥且顶点在底面的射影为底面中心才是正四棱锥，故A错误； 对于B，以直角三角形斜边所在的直线为旋转轴时，所形成的几何体是两个同底的圆锥，故B错误； 对于C，如图的几何体满足条件，但侧棱延长线不能相交于一点，不是棱台， C错误；    对于D，由棱台结构特征知侧棱延长后必交于一点，D正确. 故选：D. 5．已知正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到斜高，从而得到四棱锥体高，由体积计算公式即可求解. 【详解】如图，在正四棱锥中，为四棱锥的高，为侧面的高， 因为正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍， 所以，解得， ， 所以， 故选：A. 6．已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为，则该四棱锥的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分析可知平面平面，可知平面，再结合等体积法，即可求解． 【详解】底面为正方形，边长为4，当相邻的棱长相等时， 不妨设，， 分别取，的中点，，连接，，， 如图所示：    则，，且，，平面， 故平面，且平面， 所以平面平面， 过作的垂线，垂足为，即， 由平面平面，平面， 所以平面， 由题意可得：，，， 则，即， 则， 故， 所以四棱锥的高为，当相对的棱长相等时，不妨设，， 因为，此时不能形成三角形，与题意不符，这样情况不存在． 故选：D． 7．已知正四棱锥的底面积为64，侧棱长，则该四棱锥的高为（    ） A． B． C．8 D． 【答案】A 【分析】根据题意画出图象，结合图象利用勾股定理求解. 【详解】如图：正四棱锥的底面积为64，则， 又顶点在在底面上的射影是四边形的中心， 过点作于，连接， 则，又侧棱长为， 所以该四棱锥的高为. 故选：A. 8．底面边长为，且侧棱长为的正四棱锥的体积和侧面积分别为（    ） A． B． C．32，24 D．32，6 【答案】A 【分析】由正四棱锥的结构特征求高、斜高，根据体积、侧面积公式求结果. 【详解】由正四棱锥底面为正方形，且底面中心为顶点在底面上射影， 结合题设，底面对角线长为，则棱锥的高，斜高为， 所以正四棱锥的体积为， 侧面积为. 故选：A. 题型三、棱台的结构特征 1．下列结论正确的是（   ） A．用一个平面去截一个圆台，得到的截面可能是平行四边形 B．有两个面平行且相似，其余各个面都是梯形的多面体是棱台 C．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 D．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 【答案】C 【分析】根据截面性质可判断A，根据棱台、棱柱、圆台的定义可判断BCD. 【详解】对于A：用一个平面去截一个圆台，截面一定与圆台侧面相交，当交线是母线时显然 对边不平行，当交线不是母线时，一定不是直线，更不会平行，说明两组对边分别平 行的截面不可能，故A错误； 对于B：根据棱台定义知两个面不仅要平行、相似，各条侧棱所在直线要交于一点，故B错误； 对于C：根据棱柱的定义可知：C正确； 对于D：用一个平行于底面的平面截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台，故D错误； 故选：C. 2．给出下列命题： ①有两个面互相平行且是全等的三角形，其余各面都是四边形，且相邻两四边形的公共边互相平行，由这些面所围成的封闭几何体是三棱柱； ②有一个面是五边形，其余各面都是有公共顶点的三角形，由这些面所围成的封闭几何体一定是五棱锥； ③有两个面是互相平行且相似的矩形（不全等），其余各面都是梯形，由这些面所围成的封闭几何体一定是四棱台. 其中正确的命题是（    ） A．②③ B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】①根据棱柱的定义进行判断；②根据棱锥的定义进行判断；③根据棱台的定义进行判断． 【详解】①由棱柱的定义知①正确； ②由棱锥的定义知②正确； ③棱台是由平行于底面的棱锥所截得的，有两个面是互相平行且相似的矩形（不全等），其余各面都是梯形，四条侧棱不一定交于一点，则③不一定是四棱台，故③错误； 故正确的是①②； 故选：． 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，结合棱柱，棱锥，棱台的定义是解决本题的关键，比较基础． 3．如图，是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直线的是（   ）．    A．和； B．和； C．和； D．和． 【答案】D 【分析】根据棱台的性质及直线与直线的位置关系即可判断. 【详解】因为是正四棱台，所以，故A错误， 侧棱延长交于一点，所以与相交，故B错误， 同理与也相交，所以四点共面，所以与相交，故C错误， 与是异面直线，故D正确. 故选：D 4．如图，在正四棱台中，分别为棱的中点，则（    ） A．直线与直线是异面直线 B．直线与直线是异面直线 C．直线与直线共面 D．直线与直线共面 【答案】C 【分析】由正四棱台的结构特征，侧棱的延长线交于同一点，的延长线必过此点，可判断选项中的线线位置关系. 【详解】延长， 由正四棱台的性质可得侧棱的延长线交于同一点，设该交点为. 分别为棱的中点， 延长，则的延长线必过点， 则直线与直线相交于点；与直线相交于点；与直线相交于点 ；与直线是异面直线. 故选：C. 5．如果棱台的两底面积分别是，中截面的面积是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设棱台的高为，棱台上底面截去的棱锥的高为，根据比例关系得到，，进而可得结果. 【详解】棱台可以看成是由与棱锥底面平行的平面截棱锥之后所得几何体， 设棱台的高为，棱台上底面截去的棱锥的高为， 因为棱台的两底面积分别是，不放令为上底面积，为下底面积， 则，， 所以，因此； 故选：D 6．光岳楼位于山东聊城古城中央，主体结构建于明洪武七年（1374年），它是迄今为止全国现存古代建筑中最古老、最雄伟的木构楼阁之一，享有“虽黄鹤、岳阳亦当望拜”之誉.光岳楼的墩台为砖石砌成的正四棱台，如图所示，该墩台上底面边长约为32m，下底面边长约为34.5m，高约为9m，则该墩台的斜高约为（参考数据：）（    ） A．9.1m B．10.9m C．11.2m D．12.1m 【答案】A 【分析】根据题意画出正四棱台，结合正四棱台相关性质直接计算即可. 【详解】如图所示，设该正四棱台为，上下底面中心分别为， 分别取的中点，连接， 在平面内，作交于， 则，，， 显然四边形是矩形，则，， 所以， 在直角中，， 即该墩台的斜高约为9.1m. 故选：A 7．已知正四棱台的体积为，且，则正四棱台的高为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据正四棱台的体积公式，结合已知条件求出正四棱台的高.涉及的公式为正四棱台体积公式（其中为体积，为高，为下底面积，为上底面积）. 【详解】已知，，因为正四棱台的底面为正方形，可得下底面积，上底面积. 已知正四棱台体积，将，代入正四棱台体积公式，可得. 解得. 即正四棱台的高为. 故选：A. 8．已知一个正四棱台的上、下底面边长分别是4和6，高是，则它的侧面积为（    ） A．10 B． C．40 D．44 【答案】C 【分析】先根据正四棱台的结构特点，求出斜高，在根据侧面积的计算方法求其侧面积. 【详解】正四棱台的侧面为等腰梯形，又正四棱台的上、下底面的边长为4，6，高为， 所以侧面梯形的斜高为， 所以棱台的侧面积为. 故选：C 9．中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台，上下底面的中心分别为和，若，，则正四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正四棱台性质求出侧棱长，继而求得高，根据棱台的体积公式，即可求得答案. 【详解】因为是正四棱台，，， 侧面以及对角面为等腰梯形，故，， ，所以， 所以该四棱台的体积为， 故选：B. 题型四、旋转体的结构特征 1．一条排水管的截面如图．已知排水管的截面圆半径是10，水面宽是16，则截面水深是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由题意知，交于点，在中，求出，即可得答案； 【详解】由题意知，交于点， ∵，∴， 在中，∵，， ∴，∴． 故选：B． 2．如图，一倒立的圆锥和一个底面圆直径为2R的圆柱内装等高H的液体，圆锥的轴截面为等腰直角三角形，圆柱的轴截面为一矩形，H＝R，圆锥内液体体积为V1，圆柱内液体体积为V2，则（　　） A．V1＝2V2 B．V1＝V2 C．V2＝2V1 D．V1＝V2 【答案】B 【分析】由题意可得H＝R，得到圆锥的水面圆的直径，进一步得到半径，再由圆锥与圆柱体积公式求解 【详解】解：如图，圆锥的轴截面为等腰直角三角形，且H＝R， 则圆锥的水面圆的直径为， 由, 所以, 故选：B 【点睛】此题考查圆柱与圆锥体积的求法，考查计算能力，属于基础题 3．已知圆锥PO的底面半径为，轴截面的面积为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴截面面积和底面半径得到圆锥的高，进而得到圆锥的体积. 【详解】轴截面为等腰三角形，底边长为，设圆锥的高为， 则，解得， 故圆锥的体积为. 故选：B 4．已知圆锥的母线长为6，其外接球表面积为，则该圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆锥及其外接球的轴截面可得关系，再结合和即可计算. 【详解】圆锥及其外接球的轴截面如图， 该其外接球的半径为，则外接球表面积为，则， 即， 设圆锥的高为，圆锥的底面圆半径为，则， 由，解得， 则此圆锥的表面积为. 故选：B 5．给出下列四个命题：①正三棱锥所有的棱长相等；②底面是正多边形的棱柱是正棱柱；③有两个面平行且相似，其它各个面都是梯形的多面体是棱台；④以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台，其中真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据正三棱锥的性质判断①，根据正棱柱的概念判断②，根据棱台的概念判断③，根据圆台的概念判断④. 【详解】根据正三棱锥的性质，底面为等边三角形，侧棱长相等， 且顶点在底面的投影为底面正三角形的中心，侧棱长和底面棱长不一定相等，故①错误； 底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，故②错误； 对③如图的几何体满足条件，但侧棱延长线不能相交于一点，不是棱台，错误； 对于④，根据旋转体的定义可知，以直角梯形中垂直两底的腰为轴旋转所得的旋转体为圆台， 另一个腰为轴旋转所得旋转体不是圆台，错误. 故选：A 6．下列命题中为真命题的是（   ） A．圆台的侧面展开图是一个扇形 B．用任意一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台 C．有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体是棱柱 D．五棱锥共有6个顶点，11条棱 【答案】C 【分析】利用圆台、棱台、棱柱、棱锥的结构特征逐项判断即得. 【详解】对于A，圆台的侧面展开图是一个扇环的一部分，A错误； 对于B，用平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台，B错误； 对于C，由棱柱的定义知，C正确； 对于D，五棱锥共有6个顶点，10条棱，D错误. 故选：C 7．已知，，是球的球面上的三个点，且，球心到平面的距离为1，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理求解外接圆的半径，即可根据球的性质求解球半径，由表面积公式求解即可. 【详解】设球O的半径为R，外接圆的半径为r，则. 因为球心O到平面ABC的距离为1，所以，从而球O的表面积为. 故选：B 8．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器厚度，则球的表面积为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出正方体的上底面截球面所得小圆半径，再利用截面性质列式求出球半径，进而求出球的表面积. 【详解】正方体的上底面所在平面截球面所得小圆为正方形的内切圆，半径， 设球半径为，依题意，球心到截面小圆距离， 由截面小圆性质得，即，解得， 所以球的表面积为. 故选：A 9．如图所示的组合体，则由下列所示的哪个三角形绕直线l旋转一周可以得到（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】旋转后的几何体是由两个共底的圆锥组合而成的立体图形，再根据四个选项中三角形的特征及旋转轴即可作出判断． 【详解】A旋转一周是圆锥，不满足题意； B旋转一周是两个圆锥，满足题意； C旋转一周是圆锥，不满足题意； D旋转一周是圆柱挖去一个圆锥的几何体，不满足题意. 故选：B. 10．旋转后形成的几何体如图所示的平面图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直接根据旋转体的定义得到答案. 【详解】观察图形知：选项旋转形成图中几何体 故选： 【点睛】本题考查了旋转体对应的平面图像，属于简单题. 题型五、组合体的结构特征 1．某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列结论不正确的是（    ）    A．该几何体的面是等边三角形或正方形 B．该几何体恰有12个面 C．该几何体恰有24条棱 D．该几何体恰有12个顶点 【答案】B 【分析】根据几何体的形状逐个选项判断即可. 【详解】据图可得该几何体的面是等边三角形或正方形，A正确；该几何体恰有14个面，B不正确；该几何体恰有24条棱，C正确；该几何体恰有12个顶点，D正确． 故选：B 2．如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（    ） A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成 B．一个球、一个长方体、一个棱台构成 C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成 D．一个球、一个五棱柱、一个棱台构成 【答案】B 【分析】根据组合体基本构成即可得答案. 【详解】由图可知，该几何体是由一个球、一个长方体、一个棱台构成. 故选：B. 3．下列说法正确的是（    ） A．直四棱柱是长方体 B．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 C．正方体被一个平面截去一个角之后可以得到一个简单组合体 D．台体是由一个平面截锥体所得的截面与底面之间的部分 【答案】C 【分析】根据几何体的结构特征可以一一判断各选项. 【详解】对于A，当直四棱柱的底面不是矩形时，直四棱柱不是长方体，A错误； 对于B，不符合棱柱的结构特征，如下面是一个正三棱柱，上面是一个以正三棱柱上底面为底面的斜三棱柱，B错误； 对于C，正方体被一个平面截去一个角之后可以得到一个简单组合体，C正确； 对于D，不符合台体的结构特征, 截面应该跟底面平行，D错误. 故选：C 4．由于正六边形兼具美感与稳定性，许多建筑中都有出现正六边形.图中塔的底面是边长为的正六边形，则该塔底面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分成六个等边三角形，计算面积和. 【详解】因为正六边形的边长为，所以正六边形可以分成六个等边三角形， 所以面积. 故选：D. 5．已知正三棱锥中，，，该三棱锥的外接球球心到侧面距离为，到底面距离为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到，，两两垂直，把该三棱锥补成一个正方体，结合正方体的性质，即可求解. 【详解】由题意，正三棱锥中，， 则，所以，同理可得， 即，，两两垂直，可把该三棱锥补成一个正方体， 则该三棱锥的外接球就是正方体的外接球，即正方体的体对角线就是球的直径， 所以球心位于正方体对角线的中点, 所以三棱锥的外接球球心到侧面距离为，到底面距离为， 所以. 6．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括（    ） A．一个圆台、两个圆锥 B．两个圆柱、一个圆锥 C．两个圆台、一个圆柱 D．一个圆柱、两个圆锥 【答案】D 【分析】根据旋转体的概念，作出直观图，可得答案. 【详解】图①是一个等腰梯形，为较长的底边， 以边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体， 如图②，包括一个圆柱、两个圆锥， 故选：D 7．如图所示，几何体为一个球挖去一个内接正方体得到的组合体，现用一个平面截它，所得截面图形不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用过球心的截面去截球，分截面与正方体侧面的不同关系，即可判断选项. 【详解】当截面过球心，且截面不平行于任何侧面，且不过体对角线时，截面图形是A； 当截面过正方体的两条相交的体对角线时，截面图形是B； 当截面过球心，且平行于正方体的一个侧面时，截面图形是C； 过球心的截面不能为D. 故选：D 8．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（    ） A．（2）（5） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（1）（5） 【答案】D 【分析】应用空间想象，讨论截面与轴截面的位置关系判断截面图形的形状即可. 【详解】当截面如下图为轴截面时，截面图形如（1）所示； 当截面如下图不为轴截面时，截面图形如（5）所示，下侧为抛物线的形状； 故选：D 9．如图所示，该几何体是从一个水平放置的正方体中挖去一个内切球（正方体各个面均与球面有且只有一个公共点）以后而得到的．现用一竖直的平面去截这个几何体，则截面图形不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正方体内切球的性质，及球的截面圆即可求解. 【详解】对于A，用竖直的平面截正方体，该平面过球心，且过正方体四个面的中心，即可得到截面图形A，如图； 对于B，用竖直的平面截正方体，该平面为正方体的对角面,过球心，及正方体两个侧面的对角线的中心，即可得到截面图形B； 对于CD，用竖直的平面截正方体，该平面过正方体一个侧面的中心，如图，切点在截面的边CD的中点处，且CD为长方形中较短的线段，即可得到D. 故选：C 10．如图，在圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上，下底面及母线均相切.若，则圆柱的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆柱的内切球，求出圆柱的底面半径和母线长，根据圆柱的表面积公式求解即可. 【详解】由题意知，圆柱底面半径，母线长， 所以圆柱的表面积. 故选：C $$