专题09 计数原理与概率统计（天津专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）高考1年模拟数学真题分类汇编

专题09计数原理与概率统计 考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势 考点1二项式定理 （5年5考） 2025天津卷：求指定项的系数； 2024天津卷：求指定项的系数； 2023天津卷：求指定项的系数； 2022天津卷：求指定项的系数； 2021天津卷：求指定项的系数； 1.二项式定理在高考的考查主要包含了，求指定项的系数，常数项等。 2. 条件概率与乘法公式在高考的考查主要包含了，组合数的计算，全概率公式，条件概率与乘法公式等。 3. 线性相关在高考的考查主要包含了，散点图判断是否线性相关，正、负相关 ，相关系数的意义 4. 古典概型中的概率问题在高考的考查主要包含了，古典概型问题的概率，独立事件的乘法公式。 5. 频率分布直方图在高考的考查 主要包含了，频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量等。 考点2 条件概率与乘法公式 （5年4考） 2025天津卷：条件概率及数学期望 2024天津卷：实际问题中的组合计数问题!计算古典概型问题的概率 计算条件概率； 2022天津卷：计算条件概率 乘法公式； 2021天津卷：独立重复试验的概率问题； 考点3 线性相关 （5年2考） 2024天津卷：根据散点图判断是否线性相关； 2023天津卷：判断正、负相关 相关系数的意义及辨析； 考点4 古典概型中的概率问题 （5年1考） 2023天津卷：计算古典概型问题的概率 独立事件的乘法公式； 考点5 频率分布直方图 （5年2考） 2022天津卷：由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量； 2021天津卷：由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量； 考点6 正态分布 （5年1考） 2025天津卷：正态分布的概率计算 考点01 二项式定理 1.（2025·天津·高考真题）在的展开式中，项的系数为 ． 【答案】 【解析】展开式的通项公式为， 当时，， 即展开式中的系数为. 2．（2024·天津·高考真题）在的展开式中，常数项为 ． 【答案】20 【解析】因为的展开式的通项为， 令，可得， 所以常数项为. 3．（2023·天津·高考真题）在的展开式中，项的系数为 ． 【答案】 【解析】展开式的通项公式， 令可得，， 则项的系数为. 4．（2022·天津·高考真题）在的展开式中，常数项是 . 【答案】 【解析】由题意的展开式的通项为， 令即，则， 所以的展开式中的常数项为. 5．（2021·天津·高考真题）在的展开式中，的系数是 ． 【答案】160 【解析】的展开式的通项为， 令，解得， 所以的系数是. 考点02 条件概率与乘法公式 6.（2025·天津·高考真题）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，4圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为 ；若一周至少跑11圈为动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望 【答案】 【解析】设小桐一周跑11圈为事件A，设第一次跑5圈为事件，设第二次跑5圈为事件， 则； 若至少跑11圈为运动量达标为事件，， 所以，； 7．（2024·天津·高考真题）五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到的概率为 ；已知乙选了活动，他再选择活动的概率为 ． 【答案】 【解析】解法一：列举法 从五个活动中选三个的情况有： ,共10种情况， 其中甲选到有6种可能性：， 则甲选到得概率为：； 乙选活动有6种可能性：， 其中再选则有3种可能性：， 故乙选了活动，他再选择活动的概率为. 解法二： 设甲、乙选到为事件，乙选到为事件， 则甲选到的概率为； 乙选了活动，他再选择活动的概率为 8．（2022·天津·高考真题）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为 ；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为 【答案】 【解析】由题意，设第一次抽到A的事件为B,第二次抽到A的事件为C, 则. 9．（2021·天津·高考真题）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为 ，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为 ． 【答案】 【解析】由题可得一次活动中，甲获胜的概率为； 则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为. 考点03 线性相关 10．（2024·天津·高考真题）下列图中，线性相关性系数最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】观察4幅图可知，A图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，值相比于其他3图更接近1. 故选：A 11．（2023·天津·高考真题）鸢是鹰科的一种鸟，《诗经·大雅·旱麓》曰：“鸢飞戾天，鱼跃余渊”. 鸢尾花因花瓣形如鸢尾而得名，寓意鹏程万里、前途无量.通过随机抽样，收集了若干朵某品种鸢尾花的花萼长度和花瓣长度（单位：cm），绘制散点图如图所示，计算得样本相关系数为，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为，根据以上信息，如下判断正确的为（    ） A．花瓣长度和花萼长度不存在相关关系 B．花瓣长度和花萼长度负相关 C．花萼长度为7cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值为 D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是 【答案】C 【解析】根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，A选项错误 散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性，B选项错误， 把代入可得，C选项正确； 由于是全部数据的相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变弱，即取出的数据的相关系数不一定是，D选项错误 故选：C 考点04 古典概型中的概率问题 12．（2023·天津·高考真题）把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为．且其中的黑球比例依次为．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为 ；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为 ． 【答案】 / 【解析】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为，所以总数为， 所以甲盒中黑球个数为，白球个数为； 乙盒中黑球个数为，白球个数为； 丙盒中黑球个数为，白球个数为； 记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件，所以， ； 记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件， 黑球总共有个，白球共有个， 所以，． 考点05 频率分布直方图 13．（2022·天津·高考真题）将1916到2015年的全球年平均气温（单位：），共100个数据，分成6组： ，并整理得到如下的频率分布直方图，则全球年平均气温在区间内的有（    ） A．22年 B．23年 C．25年 D．35年 【答案】B 【解析】全球年平均气温在区间内的频率为， 则全球年平均气温在区间内的有年. 故选：B. 14．（2021·天津·高考真题）从某网络平台推荐的影视作品中抽取部，统计其评分数据，将所得个评分数据分为组：、、、，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间内的影视作品数量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由频率分布直方图可知，评分在区间内的影视作品数量为. 故选：D. 考点06 正态分布 15.（2025·天津·高考真题）下列说法中错误的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．越接近1，相关性越强 D．越接近0，相关性越弱 【答案】B 【解析】对于A，根据正态分布对称性可知，，A说法正确； 对于B，根据正态分布对称性可知，，B说法错误； 对于C和D，相关系数越接近0，相关性越弱，越接近1，相关性越强，故C和D说法正确. 故选：B 1．（2025·天津·二模）为研究某奶茶店每日的热奶茶销售量和气温之间是否具有线性相关关系，统计该店（2025年2月6日至3月24日）每天的热奶茶销售量及当天气温得到如图所示的散点图（轴表示气温，轴表示热奶茶销售量），由散点图可知与的相关关系为（   ） A．正相关，相关系数的值为0.8 B．负相关，相关系数的值为0.8 C．正相关，相关系数的值为 D．负相关，相关系数的值为 【答案】D 【解析】由散点图知随着的增大而减小，因此是负相关．相关系数为负． 故选：D． 2．（2025·天津·二模）如图是两个正态分布的密度函数图象，则下列表述正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】令对应的正态密度函数分别为， 则函数图象的对称轴分别为，且， 观察图象，得，，所以，. 故选：C 3．（2025·天津南开·二模）某中学三个不同选课组合的学生在一次高三质量监测的数学平均分分别为，若按不同选课组合采用分层抽样的方法抽取了一个120人的样本，抽到三个不同选课组合的学生人数分别为20，40，60，则估计这三个不同选课组合学生的数学平均分为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为三个不同选课组合的学生人数分别为20，40，60， 所以三个不同选课组合的学生的人数的比列分别为：， 所以估计这三个不同选课组合学生的数学平均分为. 故选：C. 4．（2025·天津·二模）小明研究温差（单位：）与本单位当天新增感冒人数（单位：人）的关系，他记录了5天的数据： 3 4 5 6 7 16 20 25 28 36 由表中数据求得温差与新增感冒人数满足经验回归方程，则下列结论不正确的是（   ） A．与正相关 B．经验回归直线经过点 C．当时，残差为1.8 D． 【答案】C 【解析】选项A：观察数据，增大时也增大，说明正相关,故A正确； 选项B： 易得，,样本中心点为,回归直线方程经过样本中心点，故B正确； 将样本中心点坐标代入回归直线方程得 ,故D正确. 计算预测值，实际值， 残差. 题目中残差为1.8（未考虑符号），故C错误， 故选：C 5．（2025·天津·二模）某地组织全体中学生参加了主题为“强国之路”的知识竞赛，随机抽取了2000名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开区间），画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（    ） A．在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有750人 B．直方图中的值为0.020 C．估计全校学生成绩的中位数为87 D．估计全校学生成绩的样本数据的分位数约为90 【答案】C 【解析】A.由图可知，成绩在区间内的频率为，人，故A错误； B.由图可知，，得，故B错误； C.前3组的频率和为，前4组的频率和为，所以中位数在第4组， 所以，得，故C正确； D. 样本数据的分位数在第5组，，得，故D错误. 故选：C 6．（2025·天津北辰·三模）下列命题中 ①根据经验回归方程所得到的预报值就是响应变量的精确值 ②若随机变量满足，则 ③两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1 ④设且，则 其中错误命题的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】经验回归方程所得到的预报值是响应变量的估计值，而不是精确值，所以命题①错误. 若随机变量满足，根据方差的性质（其中、为常数）， 可得，而不是，所以命题②错误. 根据相关系数的意义，两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于， 所以命题③正确. 已知，则正态曲线关于对称. 因为，所以. 那么，所以， 所以命题④错误. 综上，错误的命题有①②④，共个. 故选：B. 7．（2025·天津滨海新·三模）下列说法中正确的是（   ） A．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 B．某新能源汽车企业基于领先技术的支持，从某年起改进并生产新车型，设改进后该企业第年的生产利润为（单位：亿元），现统计前7年的数据为，根据该组数据可得关于的回归直线方程为，且，预测改进后该企业第8年的生产利润为6.3亿元 C．若随机变量服从正态分布，且，则 D．若随机变量，满足，则， 【答案】B 【解析】对于A，因为，所以这组数据的第60百分位数为， 故A错误； 对于B，，， 所以，即，则， 当时，亿元，故B正确； 对于C，由于随机变量服从正态分布，则， 因为，所以， 则，故C错误； 对于D，由，则，，故D错误. 故选：B. 二、填空题 8．（2025·天津滨海新·三模）在二项式的展开式中常数项为 ． 【答案】112 【解析】的展开式中常数项为. 9．（2025·天津和平·一模）在的展开式中，的系数为 .（用数字作答） 【答案】 【解析】因为的通项为， 令，得， 所以的系数为． 10．（2025·天津·一模）在的展开式中，的系数为 ． 【答案】 【解析】由二项式的展开式的通项为，其中， 令，可得，所以的系数. 11．（2025·天津河西·二模）在的展开式中，偶数项的二项式系数和为128，则常数项为 . 【答案】 【解析】由条件可知，，则， 二项展开式的通项公式， 令，得， 所以常数项为. 12．（2025·天津·一模）已知随机变量，若，则 . 【答案】 【解析】由，则， 所以. 13．（2025·天津河西·模拟预测）一纸箱中装有4瓶未过期的饮料和2瓶过期饮料．若每次从中随机取出1瓶，取出的饮料不再放回，则在第一次取到过期饮料的条件下，第二次取到未过期饮料的概率为 ；对这6瓶饮料依次进行检验，每次检验后不再放回，直到区分出6瓶饮料的保质期时终止检验，记检验的次数为，则随机变量的期望为 ． 【答案】 【解析】记事件A为“第一次取到过期饮料”，事件B为“第二次取到未过期饮料”， 则，， 所以在第一次取到过期饮料的条件下，第二次取到未过期的概率为. 随机变量的取值为2,3,4,5，记为“第“i”次取到过期饮料”， ， , . 14．（2025·天津滨海新·三模）某校高三1班一学习小组有男生4人，女生2人，为提高学生对AI人工智能的认识，现需从中抽取2人参加学校开展的AI人工智能学习，恰有一名男生参加的概率为 ；在有女生参加AI人工智能学习的条件下，恰有一名女生参加AI人工智能学习的概率 ． 【答案】 【解析】从个人中任取人，全部情况有种， 恰有一名两名男生的情况有， 故恰有一名男生参加AI人工智能学习的概率为； 有女生参加AI人工智能学习的情况有种， 恰有一名女生参加AI人工智能学习的情况有种， 故在至少有一名女生参加AI人工智能学习的条件下，恰有一名女生参加AI人工智能学习的概率为. 15．（2025·天津·一模）某大学开设了“九章算术”，“数学原理”，“算术研究”三门选修课程．甲、乙、丙、丁四位同学进行选课，每人只能等可能地选择一门课程，每门课程至少一个人选择，甲和乙选择的课程不同，则四人选课的不同方案共有 种；若定义事件为甲和乙选择的课程不同，事件为丙和丁恰好有一人选择的是“九章算术”，则 ． 【答案】 30 【解析】四个人参加三门选修课程共有种方案，其中甲和乙选择的课程相同共有种方案， 所以甲和乙选择的课程不同共有种方案； 事件共有种方案，以下考虑事件，即“甲和乙选择的课程不同，丙和丁恰好有一人选择的是九章算术” 先从丙、丁两个人中选一个人选择“九章算术”，则有种方案， 若四个人中只有一个人选择“九章算术”，则甲、乙分别选择另外两门课程，有种方案， 丙、丁中没选择“九章算术”的也从另外两门中选择一门，有种方案， 根据分步乘法计数原理，共有种方案； 若四个人中有两人选择“九章算术”，则除了包含丙、丁中的一个人外，还包含甲、乙中的一个人，有种方案， 其余两人分别选择另外两门课程，有种方案， 根据分步乘法计数原理，共有种方案； 根据分步乘法计数原理和分类加法计数原理，事件中共有种方案， 根据条件概率公式，； 16．（2025·天津南开·一模）有编号分别为的3个盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球．现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，则从第1个盒子中取到白球的概率是 ；从第3个盒子中取到白球的概率是 ． 【答案】 【解析】由第1个盒子中有2个白球1个黑球，则从第1个盒子中取到白球的概率是， 当从第1个盒子中取到白球且概率为，则第2个盒子中有2个白球1个黑球， 从第2个盒子抽到白球概率为，则第3个盒子中有2个白球1个黑球，故抽到白球概率为， 从第2个盒子抽到黑球概率为，则第3个盒子中有1个白球2个黑球，故抽到白球概率为， 所以，对应概率为； 当从第1个盒子中取到黑球且概率为，则第2个盒子中有1个白球2个黑球， 从第2个盒子抽到白球概率为，则第3个盒子中有2个白球1个黑球，故抽到白球概率为， 从第2个盒子抽到黑球概率为，则第3个盒子中有1个白球2个黑球，故抽到白球概率为， 所以，对应概率为； 综上，从第3个盒子中取到白球的概率是. 17．（2025·天津河西·一模）某体育器材商店经营三种型号的组合器械，三种型号组合器械的优质率分别为0.9，0.8，0.7，市场占有比例为，某健身中心从该商店任意购买一种型号的组合器械，则买到的组合器械是优质产品的概率为 ；若该健身中心从三种型号的组合器械各买一件，则恰好买到两件优质产品的概率为 ． 【答案】 0.82 0.398 【解析】第一空：由全概率公式可得：； 第二空：恰好买到两件优质产品是“AB优C不优，AC优B不优，BC优A不优”这三个互斥事件的和，故所求概率为：， 18．（2025·天津·一模）某中学组建了，，，，五个不同的社团，旨在培养学生的兴趣爱好，要求每个学生必须且只能参加一个社团．假定某班级的甲、乙、丙三名学生对这五个社团的选择是等可能的，且结果互不影响．记事件为“甲、乙、丙三名学生中恰有两人参加社团”，则 ；若甲、乙、丙三名学生中有两人参加社团，则恰巧甲参加社团的概率为 ． 【答案】 【解析】依题意甲、乙、丙三名学生选择社团的可能结果有个， 若甲、乙、丙三名学生中恰有两人参加社团，则有种选择，所以； 甲、乙、丙三名学生中有两人参加社团，则恰巧甲参加社团，则有种选择， 所以甲、乙、丙三名学生中有两人参加社团，则恰巧甲参加社团的概率. 19．（2025·天津·二模）已知一批零件是由甲、乙、丙三名工人生产的，三人生产的产品分别占总产量的、、.已知三人生产产品的次品率分别为、、，现从这批零件中任取一个零件，则它是次品的概率为 . 【答案】 【解析】分别记事件、、表示抽取的一个零件为甲、乙、丙生产的， 记事件抽取的一个零件为次品， 由题意可得，，，， ， 由全概率公式可得 . 20．（2025·天津·一模）已知甲、乙两名乒乓球运动员进行比赛，根据二人以往比赛资料统计，在一局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛互不影响.现在甲、乙二人准备进行三局比赛.则在三局比赛中甲胜前两局、乙胜第三局的概率是 ，用表示三局比赛中甲获胜的局数，则的数学期望是 . 【答案】 . 【解析】（1）设事件表示“在三局比赛中甲胜前两局、乙胜第三局”，则. （2）由题意知，的可能值为 ， 则的分布列为： 0 1 2 3 所以. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09计数原理与概率统计 考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势 考点1二项式定理 （5年5考） 2025天津卷：求指定项的系数； 2024天津卷：求指定项的系数； 2023天津卷：求指定项的系数； 2022天津卷：求指定项的系数； 2021天津卷：求指定项的系数； 1.二项式定理在高考的考查主要包含了，求指定项的系数，常数项等。 2. 条件概率与乘法公式在高考的考查主要包含了，组合数的计算，全概率公式，条件概率与乘法公式等。 3. 线性相关在高考的考查主要包含了，散点图判断是否线性相关，正、负相关 ，相关系数的意义 4. 古典概型中的概率问题在高考的考查主要包含了，古典概型问题的概率，独立事件的乘法公式。 5. 频率分布直方图在高考的考查 主要包含了，频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量等。 考点2 条件概率与乘法公式 （5年4考） 2025天津卷：条件概率及数学期望 2024天津卷：实际问题中的组合计数问题!计算古典概型问题的概率 计算条件概率； 2022天津卷：计算条件概率 乘法公式； 2021天津卷：独立重复试验的概率问题； 考点3 线性相关 （5年2考） 2024天津卷：根据散点图判断是否线性相关； 2023天津卷：判断正、负相关 相关系数的意义及辨析； 考点4 古典概型中的概率问题 （5年1考） 2023天津卷：计算古典概型问题的概率 独立事件的乘法公式； 考点5 频率分布直方图 （5年2考） 2022天津卷：由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量； 2021天津卷：由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量； 考点6 正态分布 （5年1考） 2025天津卷：正态分布的概率计算 考点01 二项式定理 1.（2025·天津·高考真题）在的展开式中，项的系数为 ． 2．（2024·天津·高考真题）在的展开式中，常数项为 ． 3．（2023·天津·高考真题）在的展开式中，项的系数为 ． 4．（2022·天津·高考真题）在的展开式中，常数项是 . 5．（2021·天津·高考真题）在的展开式中，的系数是 ． 考点02 条件概率与乘法公式 6.（2025·天津·高考真题）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，4圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为 ；若一周至少跑11圈为动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望 7．（2024·天津·高考真题）五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到的概率为 ；已知乙选了活动，他再选择活动的概率为 ． 8．（2022·天津·高考真题）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为 ；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为 9．（2021·天津·高考真题）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为 ，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为 ． 考点03 线性相关 10．（2024·天津·高考真题）下列图中，线性相关性系数最大的是（    ） A． B． C． D． 11．（2023·天津·高考真题）鸢是鹰科的一种鸟，《诗经·大雅·旱麓》曰：“鸢飞戾天，鱼跃余渊”. 鸢尾花因花瓣形如鸢尾而得名，寓意鹏程万里、前途无量.通过随机抽样，收集了若干朵某品种鸢尾花的花萼长度和花瓣长度（单位：cm），绘制散点图如图所示，计算得样本相关系数为，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为，根据以上信息，如下判断正确的为（    ） A．花瓣长度和花萼长度不存在相关关系 B．花瓣长度和花萼长度负相关 C．花萼长度为7cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值为 D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是 考点04 古典概型中的概率问题 12．（2023·天津·高考真题）把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为．且其中的黑球比例依次为．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为 ；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为 ． 考点05 频率分布直方图 13．（2022·天津·高考真题）将1916到2015年的全球年平均气温（单位：），共100个数据，分成6组： ，并整理得到如下的频率分布直方图，则全球年平均气温在区间内的有（    ） A．22年 B．23年 C．25年 D．35年 14．（2021·天津·高考真题）从某网络平台推荐的影视作品中抽取部，统计其评分数据，将所得个评分数据分为组：、、、，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间内的影视作品数量是（    ） A． B． C． D． 考点06 正态分布 15.（2025·天津·高考真题）下列说法中错误的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．越接近1，相关性越强 D．越接近0，相关性越弱 1．（2025·天津·二模）为研究某奶茶店每日的热奶茶销售量和气温之间是否具有线性相关关系，统计该店（2025年2月6日至3月24日）每天的热奶茶销售量及当天气温得到如图所示的散点图（轴表示气温，轴表示热奶茶销售量），由散点图可知与的相关关系为（   ） A．正相关，相关系数的值为0.8 B．负相关，相关系数的值为0.8 C．正相关，相关系数的值为 D．负相关，相关系数的值为 2．（2025·天津·二模）如图是两个正态分布的密度函数图象，则下列表述正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（2025·天津南开·二模）某中学三个不同选课组合的学生在一次高三质量监测的数学平均分分别为，若按不同选课组合采用分层抽样的方法抽取了一个120人的样本，抽到三个不同选课组合的学生人数分别为20，40，60，则估计这三个不同选课组合学生的数学平均分为（   ）． A． B． C． D． 4．（2025·天津·二模）小明研究温差（单位：）与本单位当天新增感冒人数（单位：人）的关系，他记录了5天的数据： 3 4 5 6 7 16 20 25 28 36 由表中数据求得温差与新增感冒人数满足经验回归方程，则下列结论不正确的是（   ） A．与正相关 B．经验回归直线经过点 C．当时，残差为1.8 D． 5．（2025·天津·二模）某地组织全体中学生参加了主题为“强国之路”的知识竞赛，随机抽取了2000名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开区间），画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（    ） A．在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有750人 B．直方图中的值为0.020 C．估计全校学生成绩的中位数为87 D．估计全校学生成绩的样本数据的分位数约为90 6．（2025·天津北辰·三模）下列命题中 ①根据经验回归方程所得到的预报值就是响应变量的精确值 ②若随机变量满足，则 ③两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1 ④设且，则 其中错误命题的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 7．（2025·天津滨海新·三模）下列说法中正确的是（   ） A．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 B．某新能源汽车企业基于领先技术的支持，从某年起改进并生产新车型，设改进后该企业第年的生产利润为（单位：亿元），现统计前7年的数据为，根据该组数据可得关于的回归直线方程为，且，预测改进后该企业第8年的生产利润为6.3亿元 C．若随机变量服从正态分布，且，则 D．若随机变量，满足，则， 二、填空题 8．（2025·天津滨海新·三模）在二项式的展开式中常数项为 ． 9．（2025·天津和平·一模）在的展开式中，的系数为 .（用数字作答） 10．（2025·天津·一模）在的展开式中，的系数为 ． 11．（2025·天津河西·二模）在的展开式中，偶数项的二项式系数和为128，则常数项为 . 12．（2025·天津·一模）已知随机变量，若，则 . 13．（2025·天津河西·模拟预测）一纸箱中装有4瓶未过期的饮料和2瓶过期饮料．若每次从中随机取出1瓶，取出的饮料不再放回，则在第一次取到过期饮料的条件下，第二次取到未过期饮料的概率为 ；对这6瓶饮料依次进行检验，每次检验后不再放回，直到区分出6瓶饮料的保质期时终止检验，记检验的次数为，则随机变量的期望为 ． 14．（2025·天津滨海新·三模）某校高三1班一学习小组有男生4人，女生2人，为提高学生对AI人工智能的认识，现需从中抽取2人参加学校开展的AI人工智能学习，恰有一名男生参加的概率为 ；在有女生参加AI人工智能学习的条件下，恰有一名女生参加AI人工智能学习的概率 ． 15．（2025·天津·一模）某大学开设了“九章算术”，“数学原理”，“算术研究”三门选修课程．甲、乙、丙、丁四位同学进行选课，每人只能等可能地选择一门课程，每门课程至少一个人选择，甲和乙选择的课程不同，则四人选课的不同方案共有 种；若定义事件为甲和乙选择的课程不同，事件为丙和丁恰好有一人选择的是“九章算术”，则 ． 16．（2025·天津南开·一模）有编号分别为的3个盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球．现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，则从第1个盒子中取到白球的概率是 ；从第3个盒子中取到白球的概率是 ． 17．（2025·天津河西·一模）某体育器材商店经营三种型号的组合器械，三种型号组合器械的优质率分别为0.9，0.8，0.7，市场占有比例为，某健身中心从该商店任意购买一种型号的组合器械，则买到的组合器械是优质产品的概率为 ；若该健身中心从三种型号的组合器械各买一件，则恰好买到两件优质产品的概率为 ． 18．（2025·天津·一模）某中学组建了，，，，五个不同的社团，旨在培养学生的兴趣爱好，要求每个学生必须且只能参加一个社团．假定某班级的甲、乙、丙三名学生对这五个社团的选择是等可能的，且结果互不影响．记事件为“甲、乙、丙三名学生中恰有两人参加社团”，则 ；若甲、乙、丙三名学生中有两人参加社团，则恰巧甲参加社团的概率为 ． 19．（2025·天津·二模）已知一批零件是由甲、乙、丙三名工人生产的，三人生产的产品分别占总产量的、、.已知三人生产产品的次品率分别为、、，现从这批零件中任取一个零件，则它是次品的概率为 . 20．（2025·天津·一模）已知甲、乙两名乒乓球运动员进行比赛，根据二人以往比赛资料统计，在一局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛互不影响.现在甲、乙二人准备进行三局比赛.则在三局比赛中甲胜前两局、乙胜第三局的概率是 ，用表示三局比赛中甲获胜的局数，则的数学期望是 . 1 / 2 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