专题09计数原理与概率统计（5大考点）-【好题汇编】5年（2020-2024）高考1年模拟数学真题分类汇编（天津专用）

专题09 计数原理与概率统计 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1二项式定理 （5年5考） 2024天津卷：求指定项的系数； 2023天津卷：求指定项的系数； 2022天津卷：求指定项的系数； 2021天津卷：求指定项的系数； 2020天津卷：求指定项的系数； 1.二项式定理在高考的考查主要包含了，求指定项的系数，常数项等。 2. 条件概率与乘法公式在高考的考查主要包含了，组合数的计算，全概率公式，条件概率与乘法公式等。 3. 线性相关在高考的考查主要包含了，散点图判断是否线性相关，正、负相关 ，相关系数的意义 4. 古典概型中的概率问题在高考的考查主要包含了，古典概型问题的概率，独立事件的乘法公式。 5. 频率分布直方图在高考的考查 主要包含了，频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量等。 考点2 条件概率与乘法公式 （5年4考） 2024天津卷：实际问题中的组合计数问题!计算古典概型问题的概率 计算条件概率； 2022天津卷：计算条件概率 乘法公式； 2021天津卷：独立重复试验的概率问题； 2020天津卷：利用对立事件的概率公式求概率 独立事件的乘法公式； 考点3 线性相关 （5年2考） 2024天津卷：根据散点图判断是否线性相关； 2023天津卷：判断正、负相关 相关系数的意义及辨析； 考点4 古典概型中的概率问题 （5年1考） 2023天津卷：计算古典概型问题的概率 独立事件的乘法公式； 考点5 频率分布直方图 （5年3考） 2022天津卷：由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量； 2021天津卷：由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量； 2020天津卷：由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量； 考点01 二项式定理 1．（2024·天津·高考真题）在的展开式中，常数项为 ． 【答案】20 【分析】根据题意结合二项展开式的通项分析求解即可. 【详解】因为的展开式的通项为， 令，可得， 所以常数项为. 故答案为：20. 2．（2023·天津·高考真题）在的展开式中，项的系数为 ． 【答案】 【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式，令确定的值，然后计算项的系数即可. 【详解】展开式的通项公式， 令可得，， 则项的系数为. 故答案为：60. 3．（2022·天津·高考真题）在的展开式中，常数项是 . 【答案】 【分析】由题意结合二项式定理可得的展开式的通项为，令，代入即可得解. 【详解】由题意的展开式的通项为， 令即，则， 所以的展开式中的常数项为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 4．（2021·天津·高考真题）在的展开式中，的系数是 ． 【答案】160 【分析】求出二项式的展开式通项，令的指数为6即可求出. 【详解】的展开式的通项为， 令，解得， 所以的系数是. 故答案为：160. 5．（2020·天津·高考真题）在的展开式中，的系数是 ． 【答案】10 【分析】写出二项展开式的通项公式，整理后令的指数为2，即可求出． 【详解】因为的展开式的通项公式为，令，解得． 所以的系数为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题． 考点02 条件概率与乘法公式 6．（2024·天津·高考真题）五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到的概率为 ；已知乙选了活动，他再选择活动的概率为 ． 【答案】 【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求甲选到的概率；采用列举法或者条件概率公式可求乙选了活动，他再选择活动的概率. 【详解】解法一：列举法 从五个活动中选三个的情况有： ,共10种情况， 其中甲选到有6种可能性：， 则甲选到得概率为：； 乙选活动有6种可能性：， 其中再选则有3种可能性：， 故乙选了活动，他再选择活动的概率为. 解法二： 设甲、乙选到为事件，乙选到为事件， 则甲选到的概率为； 乙选了活动，他再选择活动的概率为 故答案为：； 7．（2022·天津·高考真题）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为 ；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为 【答案】 【分析】由题意结合概率的乘法公式可得两次都抽到A的概率，再由条件概率的公式即可求得在第一次抽到A的条件下，第二次抽到A的概率. 【详解】由题意，设第一次抽到A的事件为B,第二次抽到A的事件为C, 则. 故答案为：；. 8．（2021·天津·高考真题）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为 ，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为 ． 【答案】 【分析】根据甲猜对乙没有猜对可求出一次活动中，甲获胜的概率；在3次活动中，甲至少获胜2次分为甲获胜2次和3次都获胜求解. 【详解】由题可得一次活动中，甲获胜的概率为； 则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为. 故答案为：；. 9．（2020·天津·高考真题）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为 ；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 ． 【答案】 【分析】根据相互独立事件同时发生的概率关系，即可求出两球都落入盒子的概率；同理可求两球都不落入盒子的概率，进而求出至少一球落入盒子的概率. 【详解】甲、乙两球落入盒子的概率分别为， 且两球是否落入盒子互不影响， 所以甲、乙都落入盒子的概率为， 甲、乙两球都不落入盒子的概率为， 所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为. 故答案为：；. 【点睛】本题主要考查独立事件同时发生的概率，以及利用对立事件求概率，属于基础题. 考点03 线性相关 10．（2024·天津·高考真题）下列图中，线性相关性系数最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点的分布特征可直接判断 【详解】观察4幅图可知，A图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，值相比于其他3图更接近1. 故选：A 11．（2023·天津·高考真题）鸢是鹰科的一种鸟，《诗经·大雅·旱麓》曰：“鸢飞戾天，鱼跃余渊”. 鸢尾花因花瓣形如鸢尾而得名，寓意鹏程万里、前途无量.通过随机抽样，收集了若干朵某品种鸢尾花的花萼长度和花瓣长度（单位：cm），绘制散点图如图所示，计算得样本相关系数为，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为，根据以上信息，如下判断正确的为（    ） A．花瓣长度和花萼长度不存在相关关系 B．花瓣长度和花萼长度负相关 C．花萼长度为7cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值为 D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是 【答案】C 【分析】根据散点图的特点及经验回归方程可判断ABC选项，根据相关系数的定义可以判断D选项. 【详解】根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，A选项错误 散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性，B选项错误， 把代入可得，C选项正确； 由于是全部数据的相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变弱，即取出的数据的相关系数不一定是，D选项错误 故选：C 考点04 古典概型中的概率问题 12．（2023·天津·高考真题）把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为．且其中的黑球比例依次为．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为 ；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为 ． 【答案】 / 【分析】先根据题意求出各盒中白球，黑球的数量，再根据概率的乘法公式可求出第一空； 根据古典概型的概率公式可求出第二个空． 【详解】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为，所以总数为， 所以甲盒中黑球个数为，白球个数为； 乙盒中黑球个数为，白球个数为； 丙盒中黑球个数为，白球个数为； 记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件，所以， ； 记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件， 黑球总共有个，白球共有个， 所以，． 故答案为：；． 考点05 频率分布直方图 13．（2022·天津·高考真题）将1916到2015年的全球年平均气温（单位：），共100个数据，分成6组： ，并整理得到如下的频率分布直方图，则全球年平均气温在区间内的有（    ） A．22年 B．23年 C．25年 D．35年 【答案】B 【分析】由频率分布直方图可得所求区间的频率，进而可以求得结果. 【详解】全球年平均气温在区间内的频率为， 则全球年平均气温在区间内的有年. 故选：B. 14．（2021·天津·高考真题）从某网络平台推荐的影视作品中抽取部，统计其评分数据，将所得个评分数据分为组：、、、，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间内的影视作品数量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用频率分布直方图可计算出评分在区间内的影视作品数量. 【详解】由频率分布直方图可知，评分在区间内的影视作品数量为. 故选：D. 15．（2020·天津·高考真题）从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：），将所得数据分为9组：，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间内的个数为（    ） A．10 B．18 C．20 D．36 【答案】B 【分析】根据直方图确定直径落在区间之间的零件频率，然后结合样本总数计算其个数即可. 【详解】根据直方图，直径落在区间之间的零件频率为：， 则区间内零件的个数为：. 故选：B. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的计算与实际应用，属于中等题. 16．（2024·天津河西·二模）某校高三年级举行数学知识竞赛，并将100名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则估计这组数据的第85百分位数为（    ） A．85 B．86 C．86.5 D．87 【答案】B 【分析】由频率分布直方图性质求，根据百分位数定义，结合数据求解即可. 【详解】由，解得：，所以前4组频率和为，前5组频率和为， 设这组数据的第85百分位数为，则，解得：， 故选：B 17．（2024·天津和平·二模）为响应党的二十大报告提出的“深化全民阅读”的号召，某学校开展读书活动，组织同学从推荐的课外读物中进行选读．活动要求甲、乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（    ） A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 【答案】B 【分析】根据题意，首先选取种相同课外读物，再选取另外两种课外读物，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分2步进行分析： 首先选取种相同课外读物的选法有种， 再选取另外两种课外读物需不同，则共有种， 所以这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有种． 故选：B． 18．（2024·天津·二模）为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”的党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，估计这组数据的第85百分位数为（    ）分 A．84 B．85 C．86 D．87 【答案】C 【分析】根据百分位数定义，结合数据求解即可. 【详解】由，解得：， 所以前4组频率之和为，前5组频率之和为， 设这组数据的第85百分位数为，则，解得：， 故选：C 19．（2024·天津武清·模拟预测）某校高三共有200人参加体育测试，将体测得分情况进行了统计，把得分数据按照分成6组，绘制了如图所示的频率分布直方图.根据规则，82分以上的考生成绩等级为A，则获得的考生人数约为（    ） A．25 B．50 C．75 D．100 【答案】B 【分析】根据频率分布直方图求获得的频率，进而可得相应的人数. 【详解】由题意可知：估计获得的频率为， 所以获得的考生人数约为. 故选：B. 20．（2024·天津·二模）为深入贯彻落实习近平总书记对天津工作“三个着力”重要要求，天津持续深化改革，创建全国文明城区，城市文明程度显著提升，人民群众的梦想不断实现.在创建文明城区的过程中，中央文明办对某小区居民进行了创建文明城区相关知识网络问卷调查，从本次问卷中随机抽取了50名居民的问卷结果，统计其得分数据，将所得50份数据的得分结果分为6组：，并整理得到如下的频率分布直方图，则该小区居民得分的第70百分位数为（    ）    A．89.09 B．86.52 C．84.55 D．81.32 【答案】C 【分析】利用百分位数的概念以及频率分布直方图求解． 【详解】由题意得， 解得， 因为前4组数据的频率之和为， 前5组数据的频率之和为， 则分位数在内，设分位数为x， 则，解得， 所以分位数约为． 故选：C． 21．（2024·天津·二模）某校举办了数学知识竞赛，把1000名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）按，，，分成四组，并整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的为（    ） A．的值为0.015 B．估计这组数据的众数为80 C．估计这组数据的第60百分位数为87 D．估计成绩低于80分的有350人 【答案】C 【分析】利用频率分布直方图的性质可判定A，利用众数、百分位数的求法可判定B、C，根据频率分布直方图计算可估计总体判定D. 【详解】易知，解得，所以A错误； 由频率分布直方图可知众数落在区间，用区间中点表示众数即85，所以B错误； 由频率分布直方图可知前两组频率之和为， 前三组频率之和为， 故第60百分位数落在区间，设第60百分位数为， 则，解得，所以C正确； 成绩低于80分的频率为，所以估计总体有，故D错误. 故选：C. 22．（2024·天津和平·二模）为铭记历史、缅怀先烈，增强爱国主义情怀，某学校开展共青团知识竞赛活动．在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答正确与否互不影响．已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是．若规定三名同学都回答这个问题，则甲、乙、丙三名同学中至少有1人回答正确的概率为 ；若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为，，，则这个问题回答正确的概率为 ． 【答案】 / 【分析】根据题意，设甲回答正确为事件，乙回答正确为事件，丙回答正确为事件，先由相互独立事件的概率公式求出、的值，结合对立事件的性质求出第一空答案，利用全概率公式计算第二空的答案． 【详解】根据题意，设甲回答正确为事件，乙回答正确为事件，丙回答正确为事件， 则，，， 所以，， 若规定三名同学都回答这个问题， 则甲、乙、丙三名同学中至少有1人回答正确的概率， 若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为，，， 则这个问题回答正确的概率． 故答案为：；． 23．（2024·天津北辰·模拟预测）甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球，从甲箱中随机抽出2个球，在已知至少抽到一个红球的条件下，则2个球都是红球的概率为 ；掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子中随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球，若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率是 . 【答案】 【分析】利用条件概率公式计算摸出的2个球是红球的概率；利用全概率公式求红球的概率. 【详解】记事件表示“至少抽到一个红球”，事件表示“2个球都是红球”， ,, 所以. 设事件表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”， 事件表示“抽到红球”，则 , 所以, 所以. 故答案为：①，②. 24．（2024·天津北辰·三模）某单位为了提高员工身体素质，开展双人投篮比寒，现甲､乙两人为一组参加比赛，每次由其中一人投篮，规则如下：若投中，则此人继续投篮，若未投中，则换为对方投篮，无论之前投篮的情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲､乙的概率各为.第2次投篮的人是甲的概率为 ；已知在第2次投篮的人是乙的情况下，第1次投篮的人是甲的概率为 . 【答案】 【分析】设相应事件，结合题意分析相应事件的概率，结合全概率公式求；结合条件概率求. 【详解】设“第次是甲投篮”为事件，“投篮命中”为事件B， 由题意可知：，， 则， 所以第2次投篮的人是甲的概率为 ； 且在第2次投篮的人是乙的情况下，第1次投篮的人是甲的概率为 . 故答案为：；. 25．（2024·天津南开·二模）连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，且两种结果等可能，则3次结果中有正面向上，也有反面向上的概率为 ；3次结果中最多一次正面向上的概率为 . 【答案】 / / 【分析】借助概率的乘法公式计算即可得. 【详解】设为所抛掷三枚硬币正面向上的枚数， 事件为3次结果中有正面向上，也有反面向上， 事件为3次结果中最多一次正面向上， 则； . 故答案为：；. 26．（2024·天津南开·二模）在的展开式中，的系数为 . 【答案】/ 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【详解】对有， 则有， 即，的系数为. 故答案为：. 27．（2024·天津北辰·三模）若展开式的二项式系数和为128，则展开式中的系数为 . 【答案】280 【分析】根据二项式系数和可得，再结合二项展开式的通项分析求解即可. 【详解】由题意可知：二项式系数和为，解得， 则展开式的通项为， 令，解得， 所以展开式中的系数为. 故答案为：280. 28．（2023·天津和平·三模）在的展开式中，常数项为 （请用数字作答）． 【答案】 【分析】求出展开式的通项公式，再分析计算得解. 【详解】二项式展开式的通项公式为：， 由或，得或， 所以展开式的常数项为. 故答案为： 29．（2023·天津和平·三模）拋掷两颗质地均匀的骰子，其中白色骰子与黑色骰子各一颗，记事件为“白色骰子的点数为或”，事件为“两颗骰子点数之和大于”，则 ； ． 【答案】 / 【分析】分别求出事件，事件和事件同时发生的概率，再由条件概率的公式计算即可. 【详解】抛掷白、黑两颗骰子，事件总数为，事件的基本事件数为， 易知， 用中的表示抛掷白、黑两颗骰子的点数，则事件包含：，， 所以，， 所以，， 故答案为：，. 30．（2024·天津·模拟预测）某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中，任选3人参加学校的义务劳动.男生甲或女生乙被选中的概率为 ；设“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件，则 . 【答案】 / / 【分析】根据古典概型结合对立事件的概率即可求出第一空，利用条件概率公式即可求出第二空. 【详解】男生甲和女生乙都没有选中的概率为， 所以男生甲或女生乙被选中的概率为， ， 所以. 故答案为：；. 31．（2024·天津·二模）为缓解高三学习压力，某高中校举办一对一石头、剪刀、布猜拳比赛，比赛约定赛制如下：累计赢2局者胜，分出胜负即停止比赛；若猜拳4局仍未分出胜负，则比赛结束. 在一局猜拳比赛中，已知每位同学赢､输､平局的概率均为，每局比赛的结果相互独立. 现甲、乙两位同学对战，则甲同学比赛三局获胜的概率为 ；已知比赛进行了四局的前提下，两位选手未分出胜负的概率为 . 【答案】 【分析】直接用古典概型方法即可求解第一空；使用条件概率定义，结合古典概型方法即可求解第二空. 【详解】若甲同学比赛三局获胜，则有两种可能： 甲同学第一局和第三局获胜，第二局未获胜；或甲同学第二局和第三局获胜，第一局未获胜. 故所求概率； 设分别表示“比赛进行了四局”和“两位选手未分出胜负”，则. 同理，乙同学比赛三局获胜的概率是，而甲、乙同学各自在第二局结束后就获胜的概率都是. 故比赛进行两局就结束的概率，比赛进行三局就结束的概率， 所以. 而若比赛四局且未分出胜负，则甲、乙两人各自都最多获胜一局， 从而两人的获胜数量总共有四种可能： 都是零次，甲一次乙零次，甲零次乙一次，甲一次乙一次. 它们对应的具体局数又分别有1，4，4，12种选取方式，据此可得 . 故所求概率. 故答案为：，. 32．（2024·浙江绍兴·二模）的展开式的第四项为 . 【答案】 【分析】写出二项式的通项公式，代值计算即得. 【详解】的展开式的通项为， 令，得 故答案为：. 33．（2024·天津·二模）两个三口之家进行游戏活动，从6人中随机选出2人，则这2人来自同一个家庭的概率为 ；若选出的2人来自同一个家庭，游戏成功的概率为0.6，若来自不同的家庭，游戏成功的概率为0.3，则游戏成功的概率为 ． 【答案】 / 0.42/ 【分析】先计算从6人中选2人的所有种数，再计算同一家庭的种数，求概率即可；由全概率公式计算即可得第二空. 【详解】由题意可知从6人中随机选出2人，则这2人来自同一个家庭的概率为； 而来自不同家庭的概率为， 则游戏成功的概率为. 故答案为：； 34．（2024·天津·一模）假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率为85%，乙厂产品的合格率为80%，在该市场中购买甲厂的两个灯泡，则恰有一个是合格品的概率为 ；若在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为 . 【答案】 / / 【分析】借助独立重复事件的概率公式与全概率公式计算即可得. 【详解】在该市场中购买甲厂的两个灯泡，则恰有一个是合格品的概率为： ， 在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为： . 故答案为：；. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 计数原理与概率统计 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1二项式定理 （5年5考） 2024天津卷：求指定项的系数； 2023天津卷：求指定项的系数； 2022天津卷：求指定项的系数； 2021天津卷：求指定项的系数； 2020天津卷：求指定项的系数； 1.二项式定理在高考的考查主要包含了，求指定项的系数，常数项等。 2. 条件概率与乘法公式在高考的考查主要包含了，组合数的计算，全概率公式，条件概率与乘法公式等。 3. 线性相关在高考的考查主要包含了，散点图判断是否线性相关，正、负相关 ，相关系数的意义 4. 古典概型中的概率问题在高考的考查主要包含了，古典概型问题的概率，独立事件的乘法公式。 5. 频率分布直方图在高考的考查 主要包含了，频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量等。 考点2 条件概率与乘法公式 （5年4考） 2024天津卷：实际问题中的组合计数问题!计算古典概型问题的概率 计算条件概率； 2022天津卷：计算条件概率 乘法公式； 2021天津卷：独立重复试验的概率问题； 2020天津卷：利用对立事件的概率公式求概率 独立事件的乘法公式； 考点3 线性相关 （5年2考） 2024天津卷：根据散点图判断是否线性相关； 2023天津卷：判断正、负相关 相关系数的意义及辨析； 考点4 古典概型中的概率问题 （5年1考） 2023天津卷：计算古典概型问题的概率 独立事件的乘法公式； 考点5 频率分布直方图 （5年3考） 2022天津卷：由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量； 2021天津卷：由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量； 2020天津卷：由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量； 考点01 二项式定理 1．（2024·天津·高考真题）在的展开式中，常数项为 ． 2．（2023·天津·高考真题）在的展开式中，项的系数为 ． 3．（2022·天津·高考真题）在的展开式中，常数项是 . 4．（2021·天津·高考真题）在的展开式中，的系数是 ． 5．（2020·天津·高考真题）在的展开式中，的系数是 ． 考点02 条件概率与乘法公式 6．（2024·天津·高考真题）五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到的概率为 ；已知乙选了活动，他再选择活动的概率为 ． 7．（2022·天津·高考真题）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为 ；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为 8．（2021·天津·高考真题）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为 ，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为 ． 9．（2020·天津·高考真题）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为 ；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 ． 考点03 线性相关 10．（2024·天津·高考真题）下列图中，线性相关性系数最大的是（    ） A． B． C． D． 11．（2023·天津·高考真题）鸢是鹰科的一种鸟，《诗经·大雅·旱麓》曰：“鸢飞戾天，鱼跃余渊”. 鸢尾花因花瓣形如鸢尾而得名，寓意鹏程万里、前途无量.通过随机抽样，收集了若干朵某品种鸢尾花的花萼长度和花瓣长度（单位：cm），绘制散点图如图所示，计算得样本相关系数为，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为，根据以上信息，如下判断正确的为（    ） A．花瓣长度和花萼长度不存在相关关系 B．花瓣长度和花萼长度负相关 C．花萼长度为7cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值为 D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是 考点04 古典概型中的概率问题 12．（2023·天津·高考真题）把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为．且其中的黑球比例依次为．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为 ；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为 ． 考点05 频率分布直方图 13．（2022·天津·高考真题）将1916到2015年的全球年平均气温（单位：），共100个数据，分成6组： ，并整理得到如下的频率分布直方图，则全球年平均气温在区间内的有（    ） A．22年 B．23年 C．25年 D．35年 14．（2021·天津·高考真题）从某网络平台推荐的影视作品中抽取部，统计其评分数据，将所得个评分数据分为组：、、、，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间内的影视作品数量是（    ） A． B． C． D． 15．（2020·天津·高考真题）从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：），将所得数据分为9组：，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间内的个数为（    ） A．10 B．18 C．20 D．36 16．（2024·天津河西·二模）某校高三年级举行数学知识竞赛，并将100名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则估计这组数据的第85百分位数为（    ） A．85 B．86 C．86.5 D．87 17．（2024·天津和平·二模）为响应党的二十大报告提出的“深化全民阅读”的号召，某学校开展读书活动，组织同学从推荐的课外读物中进行选读．活动要求甲、乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（    ） A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 18．（2024·天津·二模）为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”的党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，估计这组数据的第85百分位数为（    ）分 A．84 B．85 C．86 D．87 19．（2024·天津武清·模拟预测）某校高三共有200人参加体育测试，将体测得分情况进行了统计，把得分数据按照分成6组，绘制了如图所示的频率分布直方图.根据规则，82分以上的考生成绩等级为A，则获得的考生人数约为（    ） A．25 B．50 C．75 D．100 20．（2024·天津·二模）为深入贯彻落实习近平总书记对天津工作“三个着力”重要要求，天津持续深化改革，创建全国文明城区，城市文明程度显著提升，人民群众的梦想不断实现.在创建文明城区的过程中，中央文明办对某小区居民进行了创建文明城区相关知识网络问卷调查，从本次问卷中随机抽取了50名居民的问卷结果，统计其得分数据，将所得50份数据的得分结果分为6组：，并整理得到如下的频率分布直方图，则该小区居民得分的第70百分位数为（    ）    A．89.09 B．86.52 C．84.55 D．81.32 21．（2024·天津·二模）某校举办了数学知识竞赛，把1000名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）按，，，分成四组，并整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的为（    ） A．的值为0.015 B．估计这组数据的众数为80 C．估计这组数据的第60百分位数为87 D．估计成绩低于80分的有350人 22．（2024·天津和平·二模）为铭记历史、缅怀先烈，增强爱国主义情怀，某学校开展共青团知识竞赛活动．在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答正确与否互不影响．已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是．若规定三名同学都回答这个问题，则甲、乙、丙三名同学中至少有1人回答正确的概率为 ；若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为，，，则这个问题回答正确的概率为 ． 23．（2024·天津北辰·模拟预测）甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球，从甲箱中随机抽出2个球，在已知至少抽到一个红球的条件下，则2个球都是红球的概率为 ；掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子中随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球，若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率是 . 24．（2024·天津北辰·三模）某单位为了提高员工身体素质，开展双人投篮比寒，现甲､乙两人为一组参加比赛，每次由其中一人投篮，规则如下：若投中，则此人继续投篮，若未投中，则换为对方投篮，无论之前投篮的情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲､乙的概率各为.第2次投篮的人是甲的概率为 ；已知在第2次投篮的人是乙的情况下，第1次投篮的人是甲的概率为 . 25．（2024·天津南开·二模）连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，且两种结果等可能，则3次结果中有正面向上，也有反面向上的概率为 ；3次结果中最多一次正面向上的概率为 . 26．（2024·天津南开·二模）在的展开式中，的系数为 . 27．（2024·天津北辰·三模）若展开式的二项式系数和为128，则展开式中的系数为 . 28．（2023·天津和平·三模）在的展开式中，常数项为 （请用数字作答）． 29．（2023·天津和平·三模）拋掷两颗质地均匀的骰子，其中白色骰子与黑色骰子各一颗，记事件为“白色骰子的点数为或”，事件为“两颗骰子点数之和大于”，则 ； ． 30．（2024·天津·模拟预测）某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中，任选3人参加学校的义务劳动.男生甲或女生乙被选中的概率为 ；设“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件，则 . 31．（2024·天津·二模）为缓解高三学习压力，某高中校举办一对一石头、剪刀、布猜拳比赛，比赛约定赛制如下：累计赢2局者胜，分出胜负即停止比赛；若猜拳4局仍未分出胜负，则比赛结束. 在一局猜拳比赛中，已知每位同学赢､输､平局的概率均为，每局比赛的结果相互独立. 现甲、乙两位同学对战，则甲同学比赛三局获胜的概率为 ；已知比赛进行了四局的前提下，两位选手未分出胜负的概率为 . 32．（2024·浙江绍兴·二模）的展开式的第四项为 . 33．（2024·天津·二模）两个三口之家进行游戏活动，从6人中随机选出2人，则这2人来自同一个家庭的概率为 ；若选出的2人来自同一个家庭，游戏成功的概率为0.6，若来自不同的家庭，游戏成功的概率为0.3，则游戏成功的概率为 ． 34．（2024·天津·一模）假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率为85%，乙厂产品的合格率为80%，在该市场中购买甲厂的两个灯泡，则恰有一个是合格品的概率为 ；若在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$