专题05 平面向量与复数（天津专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）高考1年模拟数学真题分类汇编

专题05平面向量与复数 考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势 考点1平面向量数量积 （5年5考） 2025天津卷：求数量积 2024天津卷：平面向量基本定理的应用 平面向量线性运算的坐标表示 数量积的运算律 数量积的坐标表示； 2022天津卷：用基底表示向量 向量夹角的计算； 2023天津卷：余弦定理解三角形 用基底表示向量 用定义求向量的数量积 基本不等式求积的最大值； 2021天津卷：数量积的运算律； 1.向量在高考的考查主要包含了，向量的加减与数量积运算，通常运用基底法与建系法数形结合。 2.平面向量的线性表示，通常会与共线结合，同时结合基本不等式求解最值与取值范围问题. 3.向量的夹角与模长问题是高考中中的重点内容，通常会结合最值与取值范围进行考察 考点2 平面向量的线性表示 （5年4考） 2025天津卷：平面向量的线性运算 2024天津卷：平面向量基本定理的应用 平面向量线性运算的坐标表示 数量积的运算律 数量积的坐标表示； 2023天津卷：余弦定理解三角形 用基底表示向量 用定义求向量的数量积 基本不等式求积的最大值； 2022天津卷：用基底表示向量 向量夹角的计算； 考点3 向量夹角 （5年1考） 2022天津卷：用基底表示向量 向量夹角的计算； 考点4 向量模长 （5年1考） 2021天津卷：数量积的运算律； 考点4 复数 （5年5考） 2025天津卷：复数的模 2024天津卷：复数代数形式的乘法运算； 2023天津卷：复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算； 2022天津卷：复数的除法运算； 2021天津卷：复数的除法运算； 复数在高考中主要考察了复数的基本运算，包含了加减乘除运算. 考点01 平面向量数量积 1．（2024·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则 （用，表示），若，，则 【答案】 ； 【解析】如图， 因为，所以，所以． 因为D为线段的中点，所以； 又因为，所以， ，所以 所以， 所以 ． 2. （2024·天津·高考真题）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则 ；为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】解法一：因为，即，则， 可得，所以； 由题意可知：， 因为为线段上的动点，设， 则， 又因为为中点，则， 可得 ， 又因为，可知：当时，取到最小值； 解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 可得， 因为，则，所以； 因为点在线段上，设， 且为中点，则， 可得， 则， 且，所以当时，取到最小值为； 故答案为：；. 考点02 平面向量的线性表示 3．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】空1：因为为的中点，则，可得， 两式相加，可得到， 即，则； 空2：因为，则，可得， 得到， 即，即. 于是. 记， 则， 在中，根据余弦定理：， 于是， 由和基本不等式，， 故，当且仅当取得等号， 则时，有最大值. 故答案为：；.    考点03 向量夹角 4．（2022·天津·高考真题）在中，，D是AC中点，，试用表示为 ，若，则的最大值为 【答案】 【解析】方法一： ，， ，当且仅当时取等号，而，所以． 故答案为：；． 方法二：如图所示，建立坐标系： ，， ，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，当且仅当与相切时，最大，此时． 考点04 向量模长 5．（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为 ；的最小值为 ． 【答案】 1 【解析】设，，为边长为1的等边三角形，， ， ，为边长为的等边三角形，， ， ， ， 所以当时，的最小值为. 考点05 复数的加减乘除运算 6．（2025·天津·高考真题）已知i是虚数单位，则 ． 【答案】 【解析】先由题得，所以. 7．（2024·天津·高考真题）已知是虚数单位，复数 ． 【答案】 【解析】. 8．（2023·天津·高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为 【答案】/ 【解析】由题意可得. 9．（2022·天津·高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为 ． 【答案】/ 【解析】． 10．（2021·天津·高考真题）是虚数单位，复数 ． 【答案】 【解析】. 一、单选题 1．（2025·天津和平·二模）已知为虚数单位，复数，则z的共轭复数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】复数， 所以的共轭复数．故选：C． 2．（2025·天津·一模）若（是虚数单位，a，b是实数），则复数在复平面内对应的点是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】由，则， 所以复数在复平面上的对应点为，故选：D. 二、填空题 3．（2025·天津河西·模拟预测）若复数z满足，则 . 【答案】 【解析】由，得，则 4．（2025·天津北辰·三模）是虚数单位，若复数满足，则 . 【答案】 【解析】由，可得. 5．（2025·天津河西·二模）是虚数单位，复数满足，则 . 【答案】 【解析】由条件可知，. 6．（2025·天津南开·二模）是虚数单位，若复数满足，则 ． 【答案】/ 【解析】∵， ∴， 7．（2025·天津·二模）在边长为1的菱形ABCD中，，记，，点M是线段BD上一点，点N是线段DC上一点，且A，M，N三点共线．若，则用，表示 ；若，则的值为 ． 【答案】 【解析】设，，则， 若，则， 因为B，M，D三点共线，则，得， 所以； 设，，则， 又B，M，D三点共线，则，得， 因为菱形ABCD的边长为1，，，， 所以，． 又， 所以， 整理，得， 解得，或（舍去）．故． 8．（2025·天津·二模）在中，点D在边BC上，且，E为线段AD的中点.已知，，则 （用，表示）；若，，且，则 . 【答案】 / 【解析】由条件可知， , 所以； 由，得， 得， 所以， 得，且，， 所以， 得,,所以. 9．（2025·天津和平·三模）若正方形的边长为1，中心为，过作直线与边，分别交于，两点，点满足．（ⅰ）当时， ；（ⅱ）的最小值为 ． 【答案】 【解析】由于，则， ， （ⅰ）当，则，故， （ⅱ）, 由于为相反向量，故， 所以， 由，故当时，取最小值， 而的最大值为， 因此当取最大值，取最小值时，取最小值，故最小值为， 10．（2025·天津河西·二模）在平行四边形中，，，，四边形的面积为6，则的最小值为 ；当在上的投影向量为时， . 【答案】 【解析】由条件可知，,， 所以，所以， ，， ， ， 当时等号成立， 所以的最小值为； 在上的投影向量为，则，即, 因为，所以，得，， 则. 11．（2025·天津南开·二模）在梯形中，，，，记，，用和表示 ；若点为上一动点，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】 因为，所以， ； 因为，， 又，即 可得， 设，则 ， ，     当时有最大值， 12．（2025·天津·二模）在中，. （1）若，则向量在向量上的投影向量的模为 ； （2）边和的中点分别为，点为和的交点，为线段上靠近的三等分点，则的最小值为 . 【答案】 4； 【解析】（1）因为，所以， 解得，则，结合，解得， 由投影向量公式得在向量上的投影向量为， 故向量在向量上的投影向量的模为， （2）如图，根据题意可知为的重心，故，    又为线段上靠近的三等分点，故, 因此， ， ， 由（1）知，故， 所以 ， 当且仅当，即时取等号，则的最小值为. 13．（2025·天津·二模）在中，已知，且，则 ；若为线段的中点，点满足，且为线段上的动点，则的最小值为 . 【答案】 3 【解析】由，可得，所以， 又由，且， 因为，所以， 即，所以； 因为，所以为直角三角形， 以为坐标原点，以所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则, 因为为线段的中点，可得， 又因为点满足，即为（靠近的三等分点），可得， 由为线段上的动点，可得设，其中， 则， 所以， 根据二次函数的性质得，当时，取得最小值，最小值为. 14．（2025·天津和平·二模）在中，E为AC中点，G为线段BE上一点，且满足（），则 ，若，则当最大时，的值为 . 【答案】 / 【解析】由题意有，所以，由， 所以，所以， ，由有， 即， 即，所以， 即，当时，等号成立， 当最大时，，，由有， 所以， 所以， 15．（2025·天津河北·二模）如图，已知矩形的边，，点，分别在边，上.若，，则用和表示 ；若，则的最小值为 . 【答案】 【解析】由，，则，， 由， 若且，，则， 所以，， 所以 ，而，， 所以的最小值为. 16．（2025·天津和平·一模）已知平面四边形满足，且，为的中点，则 ，若、分别为线段、上的动点，且满足，则的最小值为 . 【答案】 【解析】因为，可得， 因为，则， 因为，则，且，如下图所示： 以点为坐标原点，直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立如上图所示的平面直角坐标系， 则、、、、， ； 设点、，其中，， ，， 所以，，可得， 因为，则，则，， 所以，， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 17．（2025·天津·一模）在边长为的菱形中，，且，，则 ；若为线段上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 / 【解析】因为，所以， 所以， 又且、不共线，所以，所以； 如图建立平面直角坐标系，则，，， 所以，由，所以， 所以，因为为线段上的动点， 设，所以，所以， 所以， 所以 ，所以当时取得最小值，且最小值为. 18．（2025·天津河西·一模）如图所示，四边形内接于圆，，，则 ；设，且，则四边形的面积为 ． 【答案】 【解析】（1）过作垂足为，则， 所以； （2）在延长线上取点，使，取中点， 又因为，所以， 由，可得，所以直线MN过圆心， 在中，，，所以，， 因为，所以,所以， 所以等腰梯形高为， ， 所以等腰梯形面积为．   19．（2025·天津南开·一模）在中，，若点为的中点，点满足，点为与的交点，用和表示 ；则的余弦值为 ． 【答案】 ； . 【解析】由，则， 由与的夹角相等，则， 又，，则， 所以， ， ， 所以. 20．（2025·天津武清·一模）已知正方形的边长为，，若， 其中，为实数，则 ；设是线段上的动点，为线段的中点，则 的最小值为 . 【答案】 / 【解析】因为，所以， 因为，， 所以，，所以， 因为为线段的中点，所以，又， 所以， 又， 所以， 因为设是线段上的动点，又为钝角， 所以， 因为正方形的边长为，， 所以， 所以， 所以当点与点重合时，取最小值，最小值为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05平面向量与复数 考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势 考点1平面向量数量积 （5年5考） 2025天津卷：求数量积 2024天津卷：平面向量基本定理的应用 平面向量线性运算的坐标表示 数量积的运算律 数量积的坐标表示； 2022天津卷：用基底表示向量 向量夹角的计算； 2023天津卷：余弦定理解三角形 用基底表示向量 用定义求向量的数量积 基本不等式求积的最大值； 2021天津卷：数量积的运算律； 1.向量在高考的考查主要包含了，向量的加减与数量积运算，通常运用基底法与建系法数形结合。 2.平面向量的线性表示，通常会与共线结合，同时结合基本不等式求解最值与取值范围问题. 3.向量的夹角与模长问题是高考中中的重点内容，通常会结合最值与取值范围进行考察 考点2 平面向量的线性表示 （5年4考） 2025天津卷：平面向量的线性运算 2024天津卷：平面向量基本定理的应用 平面向量线性运算的坐标表示 数量积的运算律 数量积的坐标表示； 2023天津卷：余弦定理解三角形 用基底表示向量 用定义求向量的数量积 基本不等式求积的最大值； 2022天津卷：用基底表示向量 向量夹角的计算； 考点3 向量夹角 （5年1考） 2022天津卷：用基底表示向量 向量夹角的计算； 考点4 向量模长 （5年1考） 2021天津卷：数量积的运算律； 考点4 复数 （5年5考） 2025天津卷：复数的模 2024天津卷：复数代数形式的乘法运算； 2023天津卷：复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算； 2022天津卷：复数的除法运算； 2021天津卷：复数的除法运算； 复数在高考中主要考察了复数的基本运算，包含了加减乘除运算. 考点01 平面向量数量积 1．（2024·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则 （用，表示），若，，则 2. （2024·天津·高考真题）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则 ；为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ． 考点02 平面向量的线性表示 3．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ． 考点03 向量夹角 4．（2022·天津·高考真题）在中，，D是AC中点，，试用表示为 ，若，则的最大值为 考点04 向量模长 5．（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为 ；的最小值为 ． 考点05 复数的加减乘除运算 6.（2025·天津·高考真题）已知i是虚数单位，则 ． 7．（2024·天津·高考真题）已知是虚数单位，复数 ． 8．（2023·天津·高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为 9．（2022·天津·高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为 ． 10．（2021·天津·高考真题）是虚数单位，复数 ． 一、单选题 1．（2025·天津和平·二模）已知为虚数单位，复数，则z的共轭复数（    ） A． B． C． D． 2．（2025·天津·一模）若（是虚数单位，a，b是实数），则复数在复平面内对应的点是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二、填空题 3．（2025·天津河西·模拟预测）若复数z满足，则 . 4．（2025·天津北辰·三模）是虚数单位，若复数满足，则 . 5．（2025·天津河西·二模）是虚数单位，复数满足，则 . 6．（2025·天津南开·二模）是虚数单位，若复数满足，则 ． 7．（2025·天津·二模）在边长为1的菱形ABCD中，，记，，点M是线段BD上一点，点N是线段DC上一点，且A，M，N三点共线．若，则用，表示 ；若，则的值为 ． 8．（2025·天津·二模）在中，点D在边BC上，且，E为线段AD的中点.已知，，则 （用，表示）；若，，且，则 . 9．（2025·天津和平·三模）若正方形的边长为1，中心为，过作直线与边，分别交于，两点，点满足．（ⅰ）当时， ；（ⅱ）的最小值为 ． 10．（2025·天津河西·二模）在平行四边形中，，，，四边形的面积为6，则的最小值为 ；当在上的投影向量为时， . 11．（2025·天津南开·二模）在梯形中，，，，记，，用和表示 ；若点为上一动点，则的最大值为 ． 12．（2025·天津·二模）在中，. （1）若，则向量在向量上的投影向量的模为 ； （2）边和的中点分别为，点为和的交点，为线段上靠近的三等分点，则的最小值为 . 13．（2025·天津·二模）在中，已知，且，则 ；若为线段的中点，点满足，且为线段上的动点，则的最小值为 . 14．（2025·天津和平·二模）在中，E为AC中点，G为线段BE上一点，且满足（），则 ，若，则当最大时，的值为 . 15．（2025·天津河北·二模）如图，已知矩形的边，，点，分别在边，上.若，，则用和表示 ；若，则的最小值为 . 16．（2025·天津和平·一模）已知平面四边形满足，且，为的中点，则 ，若、分别为线段、上的动点，且满足，则的最小值为 . 17．（2025·天津·一模）在边长为的菱形中，，且，，则 ；若为线段上的动点，则的最小值为 ． 18．（2025·天津河西·一模）如图所示，四边形内接于圆，，，则 ；设，且，则四边形的面积为 ． 19．（2025·天津南开·一模）在中，，若点为的中点，点满足，点为与的交点，用和表示 ；则的余弦值为 ． 20．（2025·天津武清·一模）已知正方形的边长为，，若， 其中，为实数，则 ；设是线段上的动点，为线段的中点，则 的最小值为 . 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$