课时冲关64 离散型随机变量的分布列及均值与方差-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习课时作业（北师大版）

课时冲关64离散型随机变量的分布列及均值与方差 [基础训练组] 5.(2025·陕西西北农林科技大学附中模拟)某 1.(2025·石家庄期末)设离散型随机变量X的 次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局 分布列如表所示，则q= 得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局 2 胜的概率为a,平局的概率为b,负的概率为c 1 (a,b,c∈[0,1))，已知他比赛一局得分的数学 P 1-2g +号 期望为1，则ab的最大值为 B1-号 1 A.2 A. B吉 c1+号 n.1号 c D.6 6.(多选)(2025·全国模拟)设离散型随机变量 2.已知随机变量X满足E(2X十3)=7，D(2X+3) X的概率分布列为 =16,则下列选项正确的是 ( AEX)=名，D(X)= B.E(X)=2,D(X)=4 C.E(X)=2,D(X)=8 则下列各式正确的是 D.E(X)-7.D(X)-8 A.P(X=1.5)=0 B.P(X>-1)=1 3.(2025·辽宁东北育才学校模拟)某实验测试 CP2<X<)-号 DP(X<0)- 的规则如下：每位学生最多可做3次实验，一 7.(多选)某市有A,B,C,D四个景点，一位游客 旦实验成功，则停止实验，否则做完3次为止 来该市游览，已知该游客游览A的概率为 2 设某学生每次实验成功的概率为p(0<p<1), 实验次数为随机变量X,若X的数学期望 游览B,C和D的概率都是号，且该游客是否 EX>1.39,则p的取值范围是 ( 游览这四个景点相互独立.用随机变量X表 A.(0,0.6) B.(0,0.7) 示该游客游览的景点的个数，下列正确的 C.(0.6,1) D.(0.7,1) 4.设随机变量：的分布列为P(店=)=千 A.游客至多游览一个景点的概率号 (k=1,2,5),a∈R,E,D,分别为随机变量的 B P(X-2)- 数学期望与方差，则下列结论正确的是( AP0<<3.5)=号 C.P(X=4)=2 B.E(3+2)=7 C.D=2 D.D(3+1)=6 D.EX=13 401 8.随机变量的分布列如下表，则D(5X十EX)= (ì)中E(X)估计值的大小.（结论不要求 证明) X 0 2 0.4 0.2 9.(2025·全国模拟)离散型随机变量X的分 布为： X 0 2 4 5 p 0.3 0.2 0.2 0.1 若离散型随机变量Y满足Y=2X十1，则下列 结果正确的为 ①EX=2:②EY=4:③DX=2.8:④DY=14. 10.(2024·北京卷)某保险公司为了了解该公司 某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届 满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这 些保单的索赔情况，获得数据如下表： 赔偿次数 0 1 2 3 单数 800 100 60 30 10 假设：一份保单的保费为0.4万元：前3次索 赔时，保险公司每次赔偿0.8万元：第四次索 赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单 的索赔次数相互独立.用频率估计概率， (1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率； (2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保 费与赔偿总金额之差. (1)记X为一份保单的毛利润，估计X的数 学期望E(X): (ⅱ)如果无索赔的保单的保费减少4%，有 索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情 况下一份保单毛利润的数学期望估计值与 402 [能力提升组] 13.(2025·北京模拟)近年来，我国新能源汽车 1L.已知随机变量的分布列是： 蓬勃发展，极大地促进了节能减排.遥遥计划 -2 0 2 在A1,A2,A3,A4,A5,A。这6个国产新能源 1 2-p 品牌或在B1,B2,B3,B,这4个国产燃油汽车 2 4 品牌中选择购车.预计购买新能源汽车比燃 随机变量)的分布列是： 油车多花费40000元.据测算，每行驶5公 3 5 里，燃油汽车约花费3元，新能源汽车约消耗 2-2 2 4 4 电1千瓦时.如果购买新能源汽车，遥遥使用 国家电网所属电动汽车公共充电设施充电· 下列选项中正确的是 A.E()=E(n） 充电价格分为峰时、平时、谷时三类，具体收 B.D(e)>D() 费标准（精确到0.1元/千瓦时）如表： C.当p增大时，E()递增 充电服 D.当p增大时，D()递减 充电价 务费（元 12.(多选)(2025·全国模拟)为了弘扬奥林匹克 充电时间段 格（元 /千 瓦 精神，某市多所中小学开展了冬奥会项目科 千瓦时) 时) 普活动.为了调查学生对冰壶这个项目的了 解情况，在该市中小学中随机抽取了10所学 峰 10:00-15:00和18： 1.0 校，10所学校中了解这个项目的人数如图 时 00-21:00 所示： 7:00-10:00,15:00 平 人数 一18：00和21：00 0.7 0.8 40 时 304 32 23:00 26 当日23：00-次日 0.4 10 时 7:00 CM 学校 (1)若遥遥在6个新能源汽车品牌中选出2 若从这10所学校中随机选取2所学校进行 个品牌作比较，求品牌A被选中的概率； 这个项目的科普活动，记X为被选中的学校 (2)若遥遥选购新能源汽车，他在18：00， 中了解冰壶的人数在30以上的学校所数，则 18:30,19:00,19:30,…,23:30这12个时间 点中随机选择一个时间点给车充电，每次充 A.X的可能取值为0,1,2,3 电30千瓦时（用时不超过半小时）.设X为遥 BPX=0)=3 遥每次充电的费用，求X的分布列和数学 C.EX=3 期望； (3)求新能源汽车在某个时间段充电1千瓦 D.DX-若 时的平均费用： 403 (4)假设遥遥一年驾车约行驶30000公里，按 14.(2025·浙江温州市第八高级中学模拟)某运 新车使用8年计算，如果只考虑购车成本与 动队拟派出甲、乙两人去参加自由式滑雪比 能源消耗支出，计算说明选择新能源汽车和 赛.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮， 燃油汽车哪个的总花费更少， 只有两轮都获胜才能进人决赛，已知甲在每 轮比赛中获胜的概率均为？；乙在第一轮和 第二轮获胜的概率分别是p和1一p,其中 0<p< (1)甲、乙两人中，谁进入决赛的可能性最大； (2)若甲、乙两人中恰有1人进入决赛的概率 为号设进人决赛的人数为：试比较：的方 差与2大小 4044.A[由题意可得任取一件产品是次品的概来为0.06X25%十 12.AD[因为事件A1Ag和Aa任意两个都不能同时发生，所以 0.05×30%十0.05×45%=0.0525.故选A.] A1A2A是两两互斥的事件，故D正确： 5,B[设事件B为“速出的运动员能晋级”， A1为“选出的运动员是一级运动员”， 因为PA,)=品=，PA)=品=，PA)=品，P(B A,为“选出的运动员是二级运动员”， A为“选出的运动员是三级运动员”， 5 A1)= =立，故A正确： 则P(B1A1)=0.9,P(BA)=0.6,P(BAa)=0.2, P(A) 又根据题意可得PA)一高-号P(A)-品-品PA) 2 4 P(BA) 品- P(B|A2)= sP(BA)1西立=，P(BA)=B P(A2) 2 P(A) ,由全概率公式可得： 3 4 P(B)-P(A)P(BA)+P(A2)P(BA2)+P(A)P(B A) 4 =0×0.9+8×0.6+0×0.2=0.46 3 P(B)-P(A B)+P(A:B)+P(A B)-P(A 10 .任选一名运动员能够晋颜的概奉为0.46.故选B.目 6.ABCD[记A=(抽到的人有自主创业打算，B=《抽到的人是女 PBA)+PA)PBA)+PA)PBA)-×音+号 16+15 15+60 ,则P(A6T5+61+60=P(B)=6+15干6 ×音+音×-是周为PA,B)=是PAP(B)=0× PAB=g- 151 -是所以PAB≠PAP(B.所以B与A不是相五 9 P(A)一P(AB),所以“轴到的人是女生”与“抽到的人有自主创 独在事件，故B,C不正确，门 业打算”相互独立.] 13.解析：记2本语交书为a,b,3本数学书为1,2,3，则甲至少取走 AD[由题态释：PA)-是-号一是-舌PMA 了1本数学书色含以下基本事件：(a,1).(a,2),(a,3),(b,1), (b,2),(b,3),(1,2),(2,3),(1,3)共9个基本事件， 设“甲至少取走了】本数学书的精况下甲取走1本数学书”为事 P(MA,)可XC 件A,,“乙取走语文书”为事件B,则事件八包含(a,1),(a,2) -3 A正确： (a.3),(b,1),(b.2),(b.3)共6个基本事件. P(A) 故PA)=音=号月理可得PBA)=号PA)=子 4 CC P(NIA2) PNA2)可XC PCBA)=号， P(A2) =最B错溪 1 9 则PB)=PA)P(BA)+PA:)PBA:)=号×号+号 P(A2M)=P(A:)·P(M)= 1 司×=2C错说：P(V) ×2 391 PA…PNA+PA)·PNA)=号×号+号×是 答案： 号D正确] 14.解析：设事件A表示从剩下的8个球中任取2个球都是红球， 事件B:,B2,B3分别表示先取的1个球是红球，白球，黑球， 8,解析：记“在100个零件中任取一件是甲机床加工的零件”为事件 A,记“从100个零件中任取一件取得合格品”为事件B.则 由企瓶率公式得PCA)=P(B)·P(AB)一专×号+号 P(BIA)=(AB)35 =0.875. n(A)40 1 答案：0.875 .P(B.A)P(B)P(A B)9 C +×是 P(A) P(A) 9.解析：设A1,A。,A分别为从乙盒中任取两球是两红、两白、一 2 红一白的两两互斥事件， 事件B是最终取到的球是白球 由全概率公式得P(B)=之PA)P(BA)日XG+d×司 答案行号 7 C×C×C=z 课时冲关64离散型随机变量的分布列及均值与方差 20 1.B[由分布列的性质可得1一2+矿+是=1，即2矿-0+1 答案：0 =0, 10,解：设A■{第一次抽出的是黑球)，B■（第二次抽出的是黑 解得g4生6=8-1士夏 球}，则B=AB十AB, 2 PN-eP- 由题意知，P(A)=B (0≤1-2g≤1. P(B不)-a干干 0≤+日<1，郎得0分将以g-1-竖长选B] 2.B[图为E(2X+3)=7,D(2X+3)=16, 由全概率公式得P(B)=P(A)P(B|A)十P(A)P(B|A)= 所以2E(X)十3=7,22D(X)=16, a+结+o+a+b地++o+ b(b-+e) ab 解得E(X)=2,D(X)=4.故进B.] 3.B[由题意得，X的所有可能取值为1,2,3， 1山.A[设事件A为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一 P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,P(X=3)=1-p-(1-p)p 个出场”：事件B为“学生丙第一个出场” =(1-p)2, 明PC4)=A十CA=.PAB=A-18 所以EX=1×p+2×(1-p)p十3×(1-p)2=p一3p+3. A AA厚 令EX=p2-3p+3>1.39. 剥PA=0-袋-] 解得p<0.7或p>2.3,又圆为0<p<1,所以0<p<0.7,即p 的取值范围是(0,0.7).门 615 4.C[周为随机变量：的分布列为P(=)=(k=1,2.5),由 10.解：(1)设A为“随机抽取一单，略偿不少于2次”， 由题设中的统计数据可得P(A)=800+190-60十30+10 60+30+10 分布列的性质可知，P(-D+P(G-2)+P(=5)-号+号十 号=1.解得a=1 (2)(「)设为暗付全额，则可取0,0.8,1.6,2.4,3， 对于A,P0<g<a.5)-Pg-1)+P(g-2)-号+言-名，t 由题设中的镜计数据可得P(=0)=1000=了 8004 A不正确：对千B.B=1×号+2×号+5×合=2， 1001 603 ∴，E(3+2)=3E十2=3×2十2=8，故B不正确：对于C,D发 P(=0.8)=100-10P(g1.6)=1000-0, 号×1-22+号×(2-2)+日×(6-2)2-2：故C正确：对 Pg-20-0-品Pg--品- 30 3 于D.D=2,.D(3十1)=9×D=18,故D不正确.] 所以E()=0×号+0,8×0+1.6×高+2.4×+3× 3 5.B[由题意，比赛一局得分的数学期望为3×a十1×b十0×c 1.故3a+b=1, 1 10=0.278. 又a,bc∈[0，D,故3a+b>2V3a,解得ah≤立，当且仅当2a 故E(X)=0.4一0.278=0.122（万元）. =6,即a=言6=之时等号成主.】 ()由道设保费的安化为0.4×言×96%+0.X行×12= 1 6,AC[由概率分布列可得P(X=1.5)=0,故A正确：P(X>一1) 0.4032, =1-=品，故B错误：P2<X<)=P(X=3)=号，故C正 19 故E(Y)=0.122十0.4032-0.4=0.1252（万元）. 确：P(X<0)=P(X-)=故D错误.】 从而E(X)<E(Y). 7.ABD[记该游客游览i个景点为事件A,i-0,1, 1.C[对于A,由题意知：B)=(-2)×号+0×2+2×号 则PA)=(1-号)(1-)(1-)(1-支)=· =-1 pA)=(1-号)(1-号）广+(1-号)C·2·(1-) E(g)=3X号+5×2+7×号=专+，所以A错误： 5 对于B周为D()=号×（号+）+2×（告-）+ 所以游客至多游览一个景点的概率为P(A,)十P(A)一江十 卡×（号-3）=-？+2p+1 员-此A正 D()=×(贵+1)+2P×(号-)+× 随机变量X的可能取值为0,1,2,3，A: P)(A) (2-3)=-+2p+1 P(X=1)=P(A)= 5 即D()=D(7),故B错误： 对于C,E()=台-1，所以当D增大时，E()也增大，故C Px-2)-号×C×号×(1-2)+(1-号)×Gg× 正确： (合)×(-)-音故B正骑： 对于D,由D()=-#+2p+1=-(-40十 PX=3)=子×c号×号×(1-）+(1-)×C得× 5(0≤p≤1)， (受)= 因为0≤p≤1，所以当力增大时，D(男)增大，可知D错误，故 选C.] PX=)=号×（侵）广=品故C错： 12.BD[根据题意，X的可能取值为0,1,2，其中了解冰壶的人数 在30以上的学校有4所，了解冰壶的人数在30以下的学校有 6所， 故D正璃，] 所以P(X=0)= CC=24=8 8.解析：由0.4十0.2十a=1,得a=0.4,所以EX=1×0.2十2×0.4 -PX=ID C。 C。4515 =1,E(X2)=1×0.2+4×0.4=1.8,DX=E(X)-(EX)2= P(X=2)= CC_6=2 0.8.D(5X+1)=25DX=25×0.8=20. C。45-15 答案：20 所以X的概率分布列为： 9.解析：由离散型随机变量X的分布列的性质，可得g=1一0.3一 X 2 0.2-0.2-0.1=0.2, 则EX=0×0.2+1×0.3+2×0.2+4×0.2+5×0.1=2, DX=(0-2)2×0.2+(1-2)2×0.3+(2-2)2×0.2+(4-2)2 15 ×0.2+(5-2)2×0.1=2.8, 所以①③正确： 所以Ex-8吉-是-吉Dx-(0-专)广×+(-专) 又由离散型随机变量Y满足Y=2X+1,所以EY-2EX+1=4 十1=5，DY=22DX=4×2.8=11.2,所以②④错误. ×+(-号)×品-器 答案：① 所以，B,D选项正确，A、C途项错误，] 616 13.解：I)记事件A:品牌A,藏选中，则P(A)-CC- C3. 课时冲关65二项分布、超几何分布与正态分布 (2)由题知，在18：00一21：00有6个时间点，充电价格为1.0元 /千瓦时，每次充电30千瓦时需要花费(1+0.8)×30=54， 1.C[由题高可知：P(-2)-g×(号)'×(-号)'-器 在21：00一23：00有4个时间点，充电价格为0.7元/千瓦时，每 故选C.] 次充电30千瓦时需要花费(0.7十0.8)×30=45， 2.D[由题意可知：X=2表示答对2题，即随机抽出3道题有2 题答对，1题打错， 在23：00,23：30有2个时间点，充电价格为0.4元/千瓦时，每 次充电30千瓦时需要花费(0.4十0.8)×30=36， 片以P(X-2)-9-子故选D] C 所以X可能的取值有5,45,36，且P(X-5)=号P(X-45) 3.D[全部都是二等品的概率为 C ,故至少有1个是一等品的概 -PX-36)-言 1 分布列如下： X 54 45 36 4.D[取12次琼，每次取出红球的概率为。，取出白琅的概率 P 1 为g 2 3 6 因为第12次停止，故第12次取的球必为红球，前11次恰好取出 所以E(X)=64X2 +45 3 +36× 6 =48元. 9次红球， (3》充电1千瓦时的费用为1.8元的概率为4一了· 81 所以P(X=12)=C(是)”()广，故选D.] 15003 充电1千元时的货用为1,5元的损率为了， 81 5.B[法-：快题意，得P(X<80)=8000G, 故P(95≤X≤110)=P(80≤X≤95)=P(X<95)-P(X< 充电1千元时的费用为1,2元的概率为司=了· 81 80)=-- 所以克电1千元时的手均费用为1.8×号十1.5X号+1,2× 法二：数学成黄在80分至95分的有4000一1500一2500人， 由对称性，数学成黄在95分至110分的也有2500人， 吉-1.5元 故P(95≤X<10)-8-0技选R] (4)若选择新能源汽车，则需要的能源消耗支出为30000X8× 6.ACD[依题意a2=1我a2=-1,且P(6=1)=P(=-1)= 5 26=a1的可能取值为a2十1=2，ag-1=0,a2十1=0，a2-1 1.5=72000元. 若选择槛油汽车，则需要的能源消托支出为30000X8×3 =-2P=2=×=,P(=0)=2x× 111 5 144000元 P6-2-×-，-2x}+0×号+(-2 站合购车成本有144000>72000十40000，所以新能源汽车花 费更少， ×=0.] 14,解：(1)记甲、乙两人进入决春的概率分别为P1,P2, 7.AC[因为正态分有密度函数为g)=1e,所以 10√2π P=×==1-p)<() =100,6=10,即均值为100，标准差为10，方差为100，故A正 确，B错误：根据正态曲线的特征可知函数(x)关于x=100轴 (<) 对称，所以该地杂交水稻林高在120cm以上的数量和棘高在 80cm以下的数量一样多，故C正确：随机测量读地的一林杂交 所以甲进决赛的可能性最大。 水韬，其株高在(80,90)和在(110,120)的概率一样大，故D (2②)由题知，×1-p1-p)+号p1-p)=器，解得 错误.门 8.解析：根据正态曲线的对称性知：要使误差em在（一0.5,0.5）的 1 概率不小于0.9545， 所以R=1-p=吉×号-号 彩g一2a,+2a)9(-0505)里=00√月，所以5≥ 所以P(=0)=×936 3×7-21 层-2 答案：32 P(=1)= 号+是×号-P=2》= ×号=36' 2 9解析：设甲射击3次，击中日标次数为X,依题意，X~ 得分布列： B(3,号），则EX0=3×号=2 0 1 2 再设甲、乙两射手各射击2次，击中目标次数分别为Y和Z,则 2别 Y~B(2.号)2B(2,2) 36 是 品 因“至少有】人击中目标”的对立事件为“两人都没有击中目 标批共桃*为1一(1-号》广×(1-）广-1病-需 -)-(B-器-(）广-40< 答案2需 617