课时冲关62 古典概型与事件的独立性-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习课时作业（北师大版）

课时冲关62古典概型与事件的独立性 [基础训练组] 6.(多选)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、 1.(2023·全国甲卷)某校文艺部有4名学生，其 丁，戊中录用三人，这五人被录用的机会均 中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随 等，则 () 机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自 A.“从甲、乙、丙、丁、戊五人中录用三人”的样 不同年级的概率为 ( ) 本空间中共10个样本点 A. B司 c.2 n号 民“甲，乙，丙至少有两人被录用“的概率为石 2.男女生共8人，从中任选3人，出现2名男生， 1名女生的概率为员则其中女生人数是 C“丁、戊至多有一人被录用”的概率为品 D.甲或乙被录用”的概率为品 A.2人 B.3人 C.2人或3人 D.4人 7.(多选)(2025·江苏扬中市模拟)某商场推出 3.(2025·福建厦门期末)甲、乙两人参加某项活 抽奖活动，在甲抽奖箱中有四张有奖奖票.六 动，甲获奖的概率为0.5，乙获奖的概率为 张无奖奖票：乙抽奖箱中有三张有奖奖票，七 0.4,甲、乙两人同时获奖的概率为0.2，则甲、 张无奖奖票.每人能在甲乙两箱中各抽一次， 乙两人恰有一人获奖的概率为 ( 以A表示在甲抽奖箱中中奖的事件，B表示在 A.0.3 B.0.5 C.0.7 D.0.9 乙抽奖箱中中奖的事件，C表示两次抽奖均未 4.(2025·江西模拟)某大学选拔新生补充进“篮 中奖的事件.下列结论中正确的是() 球”，“电子竞技”，“国学”三个社团，据资料统 计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与 A.P(C)=21 0 否相互独立，2025年某新生入学，假设他通过 B.事件A与事件B相互独立 考核选拔进入该校的“篮球”，“电子竞技”，“国 C.P(AB)与P(C)和为54% 学”三个社团的概率依次为m,3,,已知三个 D.事件A与事件B互斥 社团他都能进入的概率为2，至少进入一个社 8.(2025·山东东营模拟)甲、乙、丙3位大学生 同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中 团的概率为子，且m>:则m十n= 的概率分别为号，是，了，且各自能否被选中互 A B号 c 5 0.12 不影响，则3人中至少有一人被选中的概率为 5.(2025·四川内江月考)柜子里有3双不同的 鞋，分别用a1,a2,b1,b2,c1,c2表示6只鞋，如 9.(2024·天津卷)A,B,C,D,E五种活动，甲、 果从中随机地取出2只，则取出的鞋一只左脚 乙都要选择三个活动参加，甲选到A的概率 一只右脚的概率为 ( 为 ;已知乙选了A活动，他再选择B A.6 c 活动的概率为 397 10.在某大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机 A,三个小组都受到奖励的概率是】 地分到A,B,C,D四个不同的岗位服务，每 个岗位至少有一名志愿者。 且只有A小组受到奖励的概率是号 (1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率： (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率： C.只有C小组受到奖励的概率是 (3)求五名志愿者中仅有一人参加A岗位服务 的概率. D受到奖励的小组数的期望值是号 13.(2025·全国模拟)对于正方体6个面的中 心，甲，乙两人分别从这6个点中任意选两个 点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的 概率为 14.(2024·新课标Ⅱ卷)某投篮比赛分为两个阶 段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规 则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮 3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛 成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第 二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮 3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该 队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参 赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的 概率为p,乙每次投中的概率为q,各次投中 与否相互独立. [能力提升组] (1)若p=0.4,g=0.5,甲参加第一阶段比 11.(多选)(2025·山东模拟)抛掷一枚质地均匀 赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的 的骰子，观察向上的面出现的点数，在下列事 概率； 件中与事件“出现的点数为偶数”相互独立的 (2)假设0<p<q, (i)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分 事件为 () A.“出现的点数为奇数” 的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ (ⅱ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学 B.“出现的点数大于2” 期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ C.“出现的点数小于4” D.“出现的点数小于3” 12.(多选)(2025·山西长治高三阶段练习)以石 墨烯电池、量子计算、AI等颠覆性技术为引 领的前沿趋势，正在或将重塑世界工业的发 展模式，对人类生产力的创新提升意义重大， 我国某公司为了抢抓机遇，成立了A、B、C三 个科研小组针对某技术难题同时进行科研攻 关，攻克技术难题的小组会受到奖励.已知 A、B、C三个小组攻克该技术难题的概率分 别为7·？·号且三个小组各自骏立进行科 研攻关.下列说法正确的是 39812.ABC[中文书籍的阅读时长平均值为7×0.5十6×0.3十5×： 5.C[设a1,b1c1分别表示三双鞋的左只，a2,b2分别表示三双 0.1十4×0.1=6.2（天），英文书籍的阅读时长平均值为7×0.4 粒的右只， 十6×0.3十5×0.2十4×0.1=6（天），所以中文书精比英文书 则从中随机取出2只的所有可能为(a1ag),(ah),(a1b), 籍更受欢迎，选项A正确；因为中文书籍阅读时长小于等于5 (a11),(d1cg）.(a2b1）,(d2,b2）,(a2c1),(d2cg）,(1） 的频率为0.2，小于等于6的频率为0.5，所以第40百分位数为 (h11),(h12),(6G1).(bg2）,(2), 6天，英文书精阅读时长小于等于5的顿率为0.3，小于等于6 共15种， 的频率为0.6，所以第40百分位数为6天，故中、英文书精间读 其中满足取出的鞋一只左脚一只右脚的有(a1,a2),(a1b2). 时长的第40百分位数均为6天，选项B正确：闻读时长少于10 （a1g）.(a2b1）.(ag1）.(h1b2),(b1c2）.(c1）.(c12）. 天，测中，英文书籍的时间可以为(4,4)，(4,5)和(5,4)三种情 共9种， 况.阅读总时长少于10天的概率P一0.1×0.1十0.1×0.2十 0.1×0.1=0,04,选项C正确：对于D.“阅读时长低于5天”指 济以概年为是=号故选C] 间读时长为天，“阅读时长为高于6天”指阅读时长为7天，所 6,ABD[由题意，从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可 以“阅读时长少于5天”与“阅读时长为高于6天”是互斥而不对 能结果有（甲，乙，丙），（甲，乙，丁），（甲，乙，戊），（甲，两，丁） 立事件，选项D错误.] (甲，丙，成)，（甲，丁，成），（乙，丙，丁），（乙，丙，戊），（乙，丁，成）， 13.解析：依题意甲同学两分球授篮命中的概率为：P (两，丁，戊)，共10种，选项A正确：其中“甲、乙、两至少有两人 0+6+i0十o+-0.6， 5 6 7 被录用”的所有不同的可能结采有（甲，乙·丙），（甲，乙，丁）， 5 (甲，乙戊)，（甲，丙，丁），（甲，丙，戊），（乙，两，丁），（乙，丙，戊）， 4 2 2 3 甲间辛三分魏找组命中的斑率为：刀0心干方十方品 共7种，故“甲，乙、丙至少有两人被录用”的概率为0选项B正 确：其中“丁、戊至多有一人被录用”的对立事件“丁、戊两人都被 =0.3, 录用”的所有不同的可能结果有（甲，丁，戊），（乙，丁，成），（丙， 设甲同学累计得分为X, 3 T,成)，共3种，故“丁、成至多有一人赦录用”的概率为1一0 则P(X≥4)=P(X=4)+P(X=5)十P(X=7)=(1-0.3)× 0.6×0.6+C0.3×0.6×(1-0.6)+0.3×0.6×0.6=0.504, 7 ,选项C错误：其中“甲或乙被录用”的对立事件“甲与乙都未 .甲同学道过测试的概率为0.504. 答案：0.504 被录用”的所有不同的可能结果只有（丙，丁，戊）这】种，故“甲或 14,解：(1)“梦之队”在第一轮活动中猜对1个谜语的事件是甲猜 9 乙被录用”的概率为1一0=0选项D正确.] 对的事件与乙精对的事件的和，它们互斥，于是得青(1一p)十 3 .ABC[PA)=高=号，P(B=品 p=立，解得p=3,所以p=3 在甲抽奖箱抽奖和在乙抽奖箱抽奖互不影响，故事件A和事件 (2)由(1)知，“梦之队”每一轮活动中猜对1个这语的事件概率 B相至独立，B项正确，P(C0)=(（1-号)(1-)=动故A 5 为12 正确： 精对两个越语的事件概率为子×号-立 1 PAB)=PAPB)=是，PAB)+PC)=器=5A%,故CE “梦之队”在两轮活动中猜对3个涟语的事件是第一轮猜对两 确：事件A与事件B相互独立而非互斥，故D错误，门 个第二轮精对一个事件A与第一轮猜对一个第二轮猜对两个 8.解析：记甲、乙、丙能被选中的事件分别为A、B,C,则P(A)= 的事件B的和，它们互斥， 5 号PB)=PO= P(A)=立×2=P(B)=立×立=： 所以“梦之队”在两轮活动中猜对3个谜语的辄平为P(A十B) 可得P闭)-号，P)-,PO-号 =P(A)十P(B)=72 3人都没被选中的概率P=P(ABC)=P(A)·P(B)·P(C)= ××号- 课时冲关62古典概型与事件的独立性 所以3人中至少有1人被选中的概率P=1一P,=1一10=0 1 9 1.D「设高一年级的2名学生为甲，乙，高二年级的2名学生为 丙，丁，则从这4名学生中随机选2名的方法如下：（甲、乙）， (甲、丙)，（甲、丁），（乙、丙），（乙、丁），（丙、丁），共6种方法，其中 答案：品 二人泉自不同年级的方法有4种：故所求城率为P=言=号] 9.解析：法一（列举法）： 从五个活动中选三个的情况有： 2.C[设女生人数是x人，剩男生有(8一r)人· ABC.ABD.ABE.ACD.ACE.ADE.BCD.BCE.BDE.CDE. 又：从中任选3人，出现2个男生，】个女生的概幸为员 10种情况， 其中甲选到A有6种可能生：ABC,ABD,ABE,ACD. .-最=2我3] ACE.ADE. 3.B[设甲被奖为事件A,乙获笑为事件B, 尉甲选到A得概率为：P-品-是 所以P(A)-0.5,P(B)=0.4,P(AB)-0.2, 乙选A活动有6种可能性：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE, 因为P(A)P(B)=0.2=P(AB).所以事件A与事件B相互 其中再选别B有3种可能性：ABC.ABD,ABE, 独立， 报据题意，甲，乙两人恰有一人获奖的概率为P=P(A)P(B)十 故乙选了A活功，他再选择B活动的概单为音-子 P(A)P(B)=0.5×0.6+0.5×0.4=0.3+0.2=0.5.枚选B.] 法二：设甲、乙选到A为事件M,乙选到B为事件N, .C[由道知三个社国都能进入的概单为即mX号×m= 1 则甲选到A的概率为P(M0)-号-， m×=8 乙选了A活动，他再选择B活动的概率为P(NM)= C 又调为至少进入一个社团的概率为子， P(MN)C 即一个社国斯设能进入的概率为1一是=，即1一m)×号 P(M) C -=→1一m一+m×=，理得m+n=是.】 答案：号 613 10,解：(1)记“甲、乙两人同时参加A岗位服务”为事件E,那么 由正方体性质可得AC⊥平面BFDE,BD⊥平面AFCE,EF P(EA)- 、一行中甲，乙两人同时东加A商位度务的能来 A 平面ABCD, 四边形BFDE,四边形AFCE,四边彩ABCD均为正方形， 是 故当甲选A,C时，乙选E,B或B,F或F,D或D,E或E,F或 B,D时，甲，乙所选的，点的连线垂直， (2)记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件E,那么P(E) 甲选A,B时，乙选B,C成A,D成E,F时，甲、乙所选的，点的连 一CA=0,所以甲，乙两人不在同一岗位服务的能单是 A 1 线垂直， 所以甲、乙两人分别从这6个点中任意途两个，点连成直线共有 P(E)=1-P(E)=O 9 C臂C号=225（种）选法， 所以甲选相对两个面的中心时，甲、乙所选的点的连线垂直的 选法有3×6种， 3有两人同时参加A离但限务的概率P,-A=所以 若甲选相邻两个侧面的中心时，满足甲，乙所选的点的连线垂 仅有一人参加A岗位服务的概率P,=1一P:=子 3 直的选法有12×3种， 故甲、乙所选的点的连线垂直的选法共有54种， 11.BD[分别记“出现的点教为偶数”，“出现的点数为奇数”，“出 现的点数大于2”，“出现的点数小于4”，“出现的点数小于3”为 所以事件甲，乙所选的点的连线金直的概率P-嘉一云 事件E,E,M,N,H则P(E)=P(F)=之，P(M0=兰，P(N) 答案号 -PH-合，PEM0=号PEN)=-P(EH)=专 14.解：(1)甲、乙所在队的比赛成绮不少于5分，别甲第一阶段至少 投中1次，乙第二阶段也至少授中1次， 国为E,F为对立事件，所以E,F不相互独立： ,,比赛成墙不少于5分的概率P=(1一0.63)(1一0.51)= 图为P(EM-号-P(E)P(M,所以E,M相互独立： 0.686. (2)(「)若甲先参加第一阶段比霉，则甲，乙所在队的比赛成绩 因为P(EN)≠P(E)P(N),所以E,N不相互独立： 为15分的概率为Pg=[1一(1一p)门 周为P(EH)=日=P(E)P(H,所以E,H相互独立， 若乙先参加第一阶饺比赛，则甲、乙所在队的比赛成黄为15分 的概率为P2=[1一(1一q)1]·p2. 所以与事件“出现的，点数为偶数”相互独立的事件有“出现的点 0<p<g, 数大于2”和“出现的点数小于3”，门 .P-P:=g-(q-pq)3-p+(P-pq)3 12.AD[设A、B,C三个小组攻克该技术难题分别为事件A,B、 =(g-p)(g+pg+2)+(p-q)·[(p-pg)2+(g-pg)2+ CPA=立PB)=，P(C=号AB,C湘互立， (p一pg)(q-pg)] PABC)=PASP(BP(O=××号=名AE： =(p-q)(3p2q-3p2q-3pq2) =3pg(p-g)(pg-p-g)=3g(p-q)[(1-p)(1-q)-1]>0, PABC)=PAPB)P(C)=号×号×(1-子)=立B错 ∴P甲>P,应孩由甲参加第一阶段比寒. (Ⅱ)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩X的所有可能取值为 送：只有丙小组受到美励的概率是P(ABC)=(1-)X 0,5,10,15, P(X=0)=(1-)+[1-(1-)]·(1-g)3, (1-立)×号-言，C错误：设金到奖肠的小组载为X,则X P(X-5)=[1-(1-p)3]Cq·(1-g)2, P(X=10)=[1-(1-p)3]·Cr(1-g) 的值为0,1,2,3， P(X=15)=[1-(1-p)3]·2, PX=O)=PABO)=PDPB)PC)-号×X号- ∴E(X)=15[1-(1-p)3]g=15(p2-3p2+3p)·. 记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩Y的所有可能取值为0.5 P(X=1)=P(A)P(B)P(C)-P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C) 10.15, 1 同理E(Y)=15(d-3+3g)·p, P(X=2)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C) .E(X)-E(Y)=15[pg(p+)(p-g)-3pg(p-g] =××号+×号×号+××号=最： =15(p一g)pg(p十q-3), :0<p<g,则p-<0,p+q-3<1+1一3<0， 则(p-g)pg(p+g-3)>0, P(X=3)=P(ABC)=↓. 6 ,应孩由甲参加第一阶段比赛。 所以EX=1×号+2x音+3×言=号.D正角.] 5 课时冲关63条件概率与全概率公式 13.解析：因为从正方体6个面的中心中任取两点连成直线，可得 3 C话条直线， 1.C[P(BA)= P(AB)1115 如图所示： P(A) -22 故选C.] 2,A[记灯泡寿命超过500小时为事件A,灯泡寿命超迹800小 时为事件B 则PA)=0.9.P(AB)=0.8,所以P(B1A)=PCAB=0.8 P(A)0.9 多故选A] 3.D[设“任选2名同学，都是男同学”为事件A, 设“任选2名同学，都是同性别同学”的事件为B, 所以P(AB)= g=0,P(B)=CtG=15, C5 C 45 所以在选到的都是问性别问学的条件下，都是男同学的概率为 设正方体的边长为2，则AC=BD=EF=2, 10 AB=BC=CD=DA=√2，EA=EB=EC=ED=√2 FA=FB=FC=FD=√2， 45 614