课时冲关59 计数原理、排列与组合-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习课时作业（北师大版）

课时冲关59 计数原理、排列与组合 [基础训练组 5.2025年4月15日,是第十个全民国家安全教 1.(2025·江苏宿迁期中)某女生有3件不同颜 育日,教育厅组织宜讲团到某市的六个不同高 色的衬衣,4件不同花样的裙子,另有3套不 校进行国家安全知识的宣讲,时间顺序要求 同样式的连衣裙,“五一”节选择一套服装参加 是:高校甲必须排在第二或第三个,且高校甲 歌舞演出,则不同的选择方式有 ( ) 宣讲结束后需立即到高校丁宣讲,高校乙、高 A. 24种 B. 10种 C.9种 D.15种 校丙的宣讲顺序不能相邻,则不同的宣讲顺序 2.(2025·安徽安庆三模)A、B、C、D、E5所学校 共有 ( ) A.28种 B.32种 C.36种 将分别组织部分学生开展研学活动,现有甲、 D.44种 乙、丙三个研学基地供选择,每个学校只选择 6.(多选)(2025·沈阳模拟)在新高考方案中,选 一个基地,且每个基地至少有1所学校去,则 择性考试科自有:物理、化学、生物、政治、历 A校不去甲地,乙地仅有2所学校去的不同的 史、地理6门.学生根据高校的要求,结合自身 选择种数共有 ) 特长兴趣,首先在物理、历史2门科自中选择 A.36种 B.42种 C.48种 D.60种 门,再从政治、地理、化学、生物4门科目中选 3.如题图所示是某展区的一个菊花布局图,现有 择2门,考试成绩计入考生总分,作为统一高 5个不同品种的菊花可供选择,要求相邻的两 考招生录取的依据,某学生想在物理、化学、生 个展区不使用同一种菊花,则不同的布置方 物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为 法有 ( 选考科目,下列说法正确的是 ) ( A.若任意选科,选法总数为C B.若化学必选,选法总数为CC L C.若政治和地理至少选一门,选法总数 为CCCl D.若物理必选,化学、生物至少选一门,选法 A.240种 B.300种 C.360种 D.420种 总数为CC+1 梦天实舱 4.(2025·合肥模拟)中国 7.(多选)现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专 空间站的主体结构包括 家到A,B,C,D,E五家医院进行核酸检测指 →天和心舱 天和核心舱、问天实验舱 导,每名专家只能选择一家医院,且允许多人 可天实 和梦天实验舱,假设中国 选择同一家医院,则 ( ) 空间站要安排甲,乙,丙,丁,成5名航天员开 A.所有可能的安排方法有125种 展实验,其中天和核心舱安排3人,问天实验 B.若A医院必须有专家去,则不同的安排方 舱与梦天实验舱各安排1人,若甲、乙两人不 法有61种 能同时在一个舱内做实验,则不同的安排方案 C.若专家甲必须去A医院,则不同的安排方 共有 ) ( 法有16种 A.8种 B.14种 D.若三名专家所选医院各不相同,则不同的 C.20种 D.116种 安排方法有10种 391 8.(2025·福建董田测试)从甲、乙、丙三位同学 [能力提升组] 中挑选若干人担任四门不同学科的课代表,要 11.(2025·湖南永州开学考试)在2024年巴黎 求每门学科有且只有一位课代表,每位同学至 奥运会中,甲、乙、丙、丁、戍5人参与接待、引 多担任两门学科的课代表,则不同的安排方案 导和协助三类志愿者服务工作,每类工作必 共有 种. 须有志愿者参加,每个志愿者只能参加一类 9. 泉州洛阳桥,原名万安 工作,若甲只能参加接待工作,那么不同的志 桥,桥长834米,宽7米, ( 愿者分配方案的种数是 ) 46个桥墩,47个桥孔, A.38 B.42 C.50 D.56 全都是由花岗岩筑成 素有“海内第一桥”之 12.(多选)(2025·福建三明模拟)某单位从6男 誉,是古代著名跨海梁式石构桥,北宋泉州太 4女共10名员工中,选出3男2女共5名员 守蔡襄(今黄田市仙游县人,北宋名臣,书法 工,安排在周一到周五的5个夜晚值班,每名 家、文学家、茶学家)与卢锡共同主持历经七年 员工值一个夜班且不重复值班,其中女员工 建成,至今已有九百多年历史,现有一场划船 甲不能安排在星期一、星期二值班,男员工乙 比赛,选取相邻的12个桥孔作为比赛道口,有 不能安排在星期二值班,其中男员工丙必须 4艘参赛船只将从一字排开的12个桥孔划 被选且必须安排在星期五值班,则 ) 过,若为安全起见相邻两艘船都必须至少留有 A.甲乙都不选的方案共有432种 1个空桥孔间隔划过,12个桥孔头尾两侧桥孔 B.选甲不选乙的方案共有216种 也不过船,所有的船都必须从不同的桥孔戈 C.甲乙都选的方案共有96种 过,每个桥孔都只允许1艘船划过,则4艘船 D. 这个单位安排夜晚值班的方案共有 通过桥孔的不同方法共有 种(用数字 1440种 作答). 13.(2025·黑龙江齐齐哈 10.有4个不同的球,四个不同的盒子,把球全部 尔模拟)学习涂色能锻 放入盒内. 炼手眼协调能力,更能 (1)共有多少种放法? 提高审美能力,现有四 (2)恰有一个盒子不放球,有多少种放法? (3)恰有一个盒内放2个球,有多少种放法 种不同的颜色:湖蓝色、 (4)恰有两个盒子不放球,有多少种放法? 米白色、橄榄绿、薄荷绿,欲给小房子中的四 个区域涂色,要求相邻区域不涂同一颜色,且 敏榄绿与薄荷绿也不涂在相邻的区域内,则 共有 种不同的涂色方法。 14.(2024·新课标II卷)在如图的4×4的方格 表中选4个方格,要求每行和每列均恰有一 个方格被选中,则共有 种选法,在所 有符合上述要求的选法中,选中方格中的4 个数之和的最大值是 二罚} 11 31 40 12 33 42 13 22 33 43 15 34 44 39214.解:(1)由已知得: 7.AB [对于A,每名专家有5种选择方法,则所有可能的安排方 -.y=1(r-)-10.(-y)?-64,(- (y 法有5{③}一125(种),A正确;对于B.由选项A知,所有可能的方 法有5{}种,A医院没有专家去的方法有4种,所以A医院必须 -)-20. -10 有专家去的不同的安排方法有5一4一61(种),B正确;对于C. 20 ~0.791,因为|r~0.791 r一_ 10×642104 专家甲必须去A医院,则专家乙、丙的安排方法有5{}一25(种). [0.75,1]. C错误;对于D,三名专家所选医院各不相同的安排方法有A一 60(种),D错误.] 说明Y与X的线性相关关系很强.,可用线性回归模型拟合Y 8.解析:①第一种情况,甲、乙、丙三位同学都有安排时,先从3个人 与X的关系. 中选1个人,让他担任两门学科的课代表,有C一3种结果,然后 10 从4门学科中选2门学科给同一个人,有C{}一6种结果,余下的 方程为:Y-2X+3. 两个学科给剩下的两个人,有A}一2种结果,所以不同的安排方 (2)2×2列联表如下所示: 案共有3×6×2-36种. ②第二种情况,甲、乙、丙三位同学中只有两人被安排时,先选两 在欢 不喜欢总计 人出来, 70 30 100 一3种结果. 40 100 安 60 将学科分给学生, 总计 110 90 200 有A{}一2种结果,所以不同的安排方案共有3×3x2-18种. 综合得不同的安排方案共有36十18-54种. 根据列联表中数据,②一 答案:54 200X(70×60-40×30)2 9.解析:依题意相当于将8个相同的小球,放入5个盒子中,且每个 100×100X110×90~18.18210.828. 盒子不空,则在8个小球中的7个空档插入4个板,分为5堆,则 所以能够在犯错误的概率不超过0.001的情况下认为“游客是 有C一35(种)分法,即通过的桥孔组合有35种,再对4艘参赛 否真欢该网红景点与性别有关联” 船全排列有A-24(种)排法,故共有CA-35X24-840(种) 课时冲关59 计数原理、排列与组合 方法。 答案:840 1.D[依题意可知,有两类衣服可选, 10.解:(1)一个球一个球的放到盒子里去,每只球都有4种独立的 第一类:选择衬衣和裙子,共有3×4一12种选择 放法,由分步乘法计数原理知,放法共有4一256(种). 第二类:选择连衣裙,共有3中选择; (2)为保证“恰有一个盒子不放球”,先从四个盒子中任意拿出 所以共有12+3-15种选择,故选D.] 去1个,即将4个球分成2,1,1的三组,有C种分法;然后再从 2.B [①A校去乙地有CCA-24种; 三个盒子中选一个放两个球,其余两个球,两个盒子,全排列即 ②A校与另一所学校去丙地有CC一12种 可,由分步乘法计数原理知,共有放法C!CCA一144(种). ③A校单独去丙地有C一6种, (3)“恰有一个盒子内放2个球”,即另外的三个盒子放2个球 所以共有24+12+6-42种,故选B] 每个盒子至多放1个球,即另外三个盒子中恰有一个空盒,因 3.D [先布置中心区域A共有5种方法,从B开始沿逆时针方向 此,“恰有一个盒子放2球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事, 进行布置四周的区域, 故也有144种放法. 则B有4种布置方法,C有3种布置方法。 (4)先从四个盒子中任取两个有C{}种,问题转化为“4个球,两 如果D与B选用同一种葡花,则E有3种布置方法; 个盒子,每盒必放球,有几种放法?”从放球数目看,可分为 如果D与B选用不同种类菊花,则D有2种布置方法,E有2种 (3.1),(2,2)两类,第一类:可从4个球中先选3个,然后效入指 布置方法, 定的一个盒子中即可,有C·C种放法;第二类:有C种放 按照分步乘法与分类加法计数原理, 法,因此共有CC十C一14(种).由分步乘法计数原理得“恰 则全部的布置方法有5×4×3×(1×3十2×2)=420(种).故 有两个盒子不放球”的放法有C·14一84(种). 选D] 11.解析:C [①如果参加接待工作只有一人,则只能为甲, 4.B [按照甲是否在天和核心舱划分 再把其余4人分组有两类情况:1!3和2:2. ①若甲在天和核心舱,天和核心舱需要从除了甲乙之外的三人 种 中选取两人,剩下两人去剩下两个舱位,则有C^{}·A{}一3×2-6$ 种可能;②若甲不在天和核心舱,需要从问天实验舱和梦天实验 分组方法, 舱中挑选一个,剩下四人中选取三人进入天和核心舱即可,则有 Cl·Cl一2×4一8种可能;根据分类加法计数原理,共有6十8- A 14种可能] 再把两组人安排到其余两类志愿者服务工作,有A}种方法, 5.B [根据题意:分成以下两种情况进行分类讨论: 高校甲排在第二个时,高校丁必排在第三个,当乙或丙排在第一 个时共有CA{}一12种排法,当乙或丙不排在第一个时,乙和丙 ②如果参加接待工作有2人,则除了甲之外,还需要再安排一 只能排在第四个和第六个,此时共有A{}A{}一4种排法,所以高校 人有C种情况. 甲排在第二个时共有16种排法; 再把其余3人分组成1:2,有C^{}种分组方法, 高校甲排在第三个时,高校丁必排在第四个,乙或丙只能一个扎 再把两组人安排到其余两类志愿者服务工作,有A}种方法, 在第一二个,一个排在第五六个,则共有CCCA一16种 所以不同分配方法种数是CC^{A-4X3×2-24. 排法: ③如果参加接待工作有3人,则除了甲之外,还需要再安排两 综上:共有32种排法满足题意。] 人有C}种情况 6. BD[若任意选科.选法总数为CC{},A错误;若化学必选,选法 再把其余2人安排到其余两类志愿者服务工作,有A种方法 总数为CC,B正确;若政治和地理至少选一门,选法总数为 所以不同分配方法种数是CA-6X2-12. C(CC十1).C错误;若物理必选,化学、生物至少选一门,选法 综上,不同的志愿者分配方案的种数是14+24十12一50.故 总数为CC+1,D正确。] 选C.] 610 12.ABC [男员工丙必须被选且必须安排在星期五值班,则原题 5.D[当n=7时,(a十b)的展开式有8项,(a十b)的展开式中 可理解为从5男4女共9名员工中,选出2男2女共4名员工 二项式系数C,C最大, 安排在周一到周四的4个夜晚值班,每名员工值一个夜班且不 即第四项和第五项的二项式系数最大; 重复值班,其中女员工甲不能安排在星期一、星期二值班,男员 当n一8时,(a十b){}的展开式有9项,(a十b)的展开式中二项 工乙不能安排在星期二值班, 式系数C最大. 甲乙都不选的方案共有C{CA一432种,A正确;选甲不选乙 即第五项的二项式系数最大; 的方案共有CCCA}一216(种),B正确:甲、乙都选,则分两 当n一9时,(a十b)*}的展开式有l0项,(a+b)*的展开式中二项 种情况:乙排星期一或乙不排星期一, 式系数C,C最大: 乙排星期一的方案共有CCCA一48(种),乙不排星期一的 即第五项和第六项的二项式系数最大. 方案共有ACC!A一48(种). 当n-10时,(a十b)lo的展开式有1l项,(a十b)10的展开式中二 &.甲、乙都选的方案共有48十48一96(种),C正确;这个单位安 项式系数C。最大, 排夜晚值班分为四种情况;甲、乙都不选、选甲不选乙、选乙不 即第六项的二项式系数最大。] 选甲和甲乙都选,选乙不选甲的方案共有CCC{}A}一432 6.BD [因为n+1一13,所以n-12,所有奇数项的二项式系数和 (种),.,这个单位安排夜晚值班的方案共有432十216十432+ 为2,A不符合题意;令x-1,得所有项的系数和为31{},B符合 96-1176(种).D错误.] 13.解析:当选择两种颜色时,因为橄榄绿与薄荷绿不涂在相邻的 题意;由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第7项. C不符合题意:因为(2x+) 区域内,所以共有C}一1一5(种)选法,因此不同的涂色方法有 展开式通项为T一C。. 5×2-10(种). 当选择三种颜色且揪模绿与薄荷绿都被选中,则有2种选法, 因此不同的涂色方法有2X2×2-8(种), 当选择三种颜色且橄榄绿与薄荷绿只有一个被选中,则有2种 一0,3,6,9,12,共有5项,D符合题意,1 7.A[在(r十2+m)”-a。+a(x十1)+a(r十1)?+.+a(r十 选法. 因此不同的涂色方法有2×3×2×(2+1)一36(种). 1{中. 当选择四种颜色时,不同的涂色方法有2×2×2十2×2-12 令x--2可得a-a:+a-a+..+a-a-n”,即(a+a (种), +...+a)-(a+a+...十a)-m. 所以共有10+8+36十12一66(种)不同的涂色方法. 令r-o,可得a。+a+...+a+a+a十.+a-(2+m)”. 答案:66 “(a+a+.+a)?-(a+a十..十a。)?-3”. 14.解析;由题意知,选4个方格,每行和每列均恰有一个方格视 '.(a+a十.+a+a.+a+...+a)[(a。+a十...+as)- 选中, (a:+a+..+a。)]-3”. 则第一列有4个方格可选,第二列有3个方格可选,第三列有2 '.(2+m).n-(2n+n)-3. 个方格可选,第四列有1个方格可选, 所以共有4×3×2×1-24种选法. 整理得2m十n{}-3,解得n-1,或m--3 每种选法可标记为(a,b,c,d),a,b,c,d分别表示第一、二、三、 8.解析:二项展开式的通项是T-C(x)·(一y)一 四列的数字, (-1)C,令4-号=2+-3,解得r-2,故展开 则所有的可能结果为: (11.22,33,44).(11,22,34,43).(11,22,33,44).(11,22,34,42) 式中y的系数为(-1)C-6. (11.24,33,43).(11,24,33,42).(12.21,33,44).(12,21,34,43) 答案:6 (12.22,31,44).(12,22,34,40).(12,24,31,43).(12,24,33,40). 9.解析:取z一y-1,则(r十y)(2x一y十a)的展开式中各项系数 (13.21,33,44),(13,21,34,42).(13.22,31,44).(13,22,34,40). 的和为:2×(a+1)-256. (13.24,31,42).(13,24,33,40).(15,21,33,43).(15,21,33,42). 故-1,则 (15.22,31.43),(15,22,33,40).(15,22,31.42).(15.22,33,40). (r+y)(2x-y+a)*-(x十y)(2x一y十1),(x十y)的展开 所以选中的方格中,(15,21,33,43)的4个数之和最大,为15 式:Tm:-(”y";(2x-y+1)的展开式:T.1 +21+33+43-112. -C(2)5*(-y+1)*. 答案:24 112 取m-2.n-5得到;C}x·C(-y+1). 课时冲关60 二项式定理 取y-1得到系数为0; 取m=3,n=4得到:C .C·2x(-v+1),取v-1得到系 1.A [(x-)的二项展开式为T:=Cx(-)= 数为0; c(-1)-4-f(--0.1.2.3,4). 综上所述:该展开式中含字母x且工的次数为1的项的系数 令4--3,解得r-2, 为0. 答案:0 故所求即为C(-1)-6.故选A.] 10.解析:由题知x=1时,a。+a:+a+a+.+ao2a-62a23 2.A[易得()丁_一#()一()一C. (5十1):023,故 T=C5202+Cn25202t+.+C85t+1. 5r,故正整数n的最小值是5,此时,-3.] 3.D [由题意可得al?-2Clall+2Cal0-..+22-(a-2) -(2-2-2)1-32.故选D.] 得的余数是1. 4.B (+士)-[(+)+] 答案:1 的通项公式T一 11.解析:由题意可知:r-C,y-C1. C(+) 2rt! C_ t.n! 若_6 n16 (2n)! 令r-2,则TscC(2+) 2n解得n n!.(n十1)! c($4++2)y2,所以的数为C一6.。 -5. 答案:5 611