课时冲关30 等比数列及其前n项和-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习课时作业（北师大版）

课时冲关30 等比数列及其前项和 [基础训练组 8.(2025·浙江杭州模拟)我国古代著作《庄子天 1.(2025·广西阶段练习)设等比数列a。的前 下篇》引用过一句话:“一尺之,日取其半,万 ,则S一 世不竭”其含义是:一尺长的木棍,每天截去它 ( 的一半,永远也截不完,那么,第6天截取之 ) A.0 C3 后,剩余木棍的长度是 尺;要使剩余 B.63 D.31 2.(2023·天津卷)已知a.)为等比数列,S。为 数列a.)的前n项和,a,-2S.十2,则a.的 次截取. 值为 ) 9.在正项等比数列(a.)中,a-3,a2at-9,记 A.3 B.18 C.54 D. 152 3.(2023·全国甲卷)已知等比数列a。)中,a 数列a。)的前n项积为T.,T.>9,则n的最 1.S.为a)前n项和,S-5S-4,则S= 小值为 ) 10.(2022·新高考II卷)已知a。)是等差数列 A.7 B.9 C.15 D.30 (b.)是公比为2的等比数列,且a2-b2=a 4.(2025·广东茂名模拟)已知等比数列a。的 -b-b-a. 前n项和为S。,公比为q,则下列选项正确 (1)证明;a-b; 的是 ( ) (2)求集合l=.+a,1 500 中元 A.若S=4.S-12,则S。-29 素的个数. B.若a-1,q= 3.,则S-4-3a。 C.若a+a7=2,aa=-8,则a+ao--6 D.若a-1,a-4a,则a=2”-1 5.已知正项等比数列a。的前”项和为S。,若 一5.S.S。成等差数列,则So一S。的最小 值为 ) A.25 B.20 C.15 D.10 6.(多选)已知等比数列a.满足a>0,公比 q1,且 aja2.-a2 o231,aa2..^a2 o2t→1,则 ( ) A.a2o24>1 B.当n-2o22时,aja2.-a。最小 C.当n-1012时,aa。..a。最小 D.存在n<1012,使得aa+1=a+2 7.(多选)已知等比数列a。中,满足a一1,q 2.S.是a。的前n项和,则下列说法正确 的是 ( ) A.数列a是等比数列 是递增数列 C.数列log。a。是等差数列 D.数列a.中,S。,So,So仍成等比数列 325 [能力提升组 2 14.已知数列a。)的前n项和为S。,a= 11.(2025·安微合肥一六八中学模拟)已知等差 数列a.)的公差为d,且d子o,且aì、a、a13 成等比数列,若a一1,S。为数列a。的前 37 满足:=一 项和.则25+14 ( 的最小值为 3 _~ 且n2). A.4 B.3 (1)求数列a。的通项公式; D.1 C.4/2-2 (2)求证;数列一a。为等比数列; (3)求数列。的前项和的最小值 12.(多选)已知qt·a。.a,a:成等比数列,满足 a+a+a+a=(a+a+a)2,且a>1, 下列选项正确的是 ( ) A.a>a3 B.a>a4 C.a>a2 D.a<a4 13.十九世纪下半叶,集合论的创立奠定了现代 数学的基础,著名的“康托三分集”是数学理 性思维的构造产物,具有典型的分形特征,仿 照“康托三分集”我们可以构造一个“四分 集”,其操作过程如下:将闭区间[0,1门均分为 操作;再将剩下的三个区间[o,].(,3]. (3,1]分别均分为四段,并各自去掉第二个 区间段,记为第二次操作......如此这样,每 次在上一次操作的基础上,将剩下的各个区 间分别均分为四段,同样各自去掉第二个区 间段,操作过程不断地进行下去,以至无穷 剩下的区间集合即是“四分集”,第三次操作 去掉的区间长度和为 ;若使去掉的 数的最小值为 .(参考数据:lg2~ 0.30,1g3~0.48) 326(2)令n-1,得a=十1.令n-2,得a。=(+1) 6.AC[对A..a0,q1.'0,又aaol,a。” 要使数列(a.)是等差数列,必须有2a一a.十a,解得a-0. a1. 当-0时,S-(S+l)+.且a-a-1. 1,故A正确; 当n2时.S(S一S-)= (S.十1)(S-S). 对B.C,由等比数列的性质,aa2a?3-a2“2o2t-..-ato1“11? 整理,得S+S-S1S+S1. -a (行_ 故a.az ozs =ao<l,at ou1,'a o2t-a? o2s-.- ao3t1s-a{n1. s.+1s+1 .S+1Ss 化简,得S+1-S,所以a:-1. .<1,1. 综上所述,a.-1(nN). 所以x一0时,数列(a.)是等差数列. 'a1,故当n-10l2时,aa。'a。最小,B错误,C正确; 对D,当n1o12时,a.<a<1,故aan+,<<a?,故 课时冲关30 等比数列及其前项和 D错误:] 1.C [设等比数列(a。)的公比为?. 7.AC [等比数列a)中,满足a-l,q-2,所以a.-2-1,所以 as-2-1,所以数列a是等比数列,故A正确; “:a+a--△+26--. 2。 正确: 因为logoa.-log。2-l-n-1,所以(loga)是等差数列,故C a+a-aì(q+)-,解得a=8, 正确: 8x[1-()} 则S二- 1# 31.故选C._] S。,S。,S。不成等比数列,故D不正确。] 8.解析:记第”天后剩余木晃的长度为{a.],则{a。}是首项为。 2.C [由题意可得:当n-1时,a-2a+2,即aq-2a+2,① 当=2时,a=2(a+a)+2,即a^”-2(a:+aq)+2,② 公比为一的等比数列: 联立①②可得a-2,-3,则a--2x3-54.] 3.C [等比数列a.中,设公比为?. 所以a二 -~2018,得n10. a=1,S.为a.)前n项和,S.-5S-4,显然q士1, (如果q-1,可得5-15-4矛盾,如果q--1,可得-1--5-4 所以n的最小值为11. 矛盾), 所以第6天截取之后,剩余木提的长度是尺,要使剩余木桃的 1一 长度小于2o18尺, 以时11- 1-11-10 需要经过11次截取. 答案:11 4.B[A选项中,由S(S-S)-(S-S),即4(S -12)-12 9.解析:设正项等比数列{a.)公比为q,由a{}-aa-9,得a-3, 于是得”-“-9,而q→0,解得-3. 4).解得S.-28; 1- T.-a..-.-3-1+o+1(-)-3-. C选项中,由a:a-a:a,得aa--8a:+a-2. 由T9,得39. 1或一2. 解得a-4,a--2或a--2,a-4,所以-- 从而得”(n-3)→2,而n0.解得n4. 2 =-时at+an-+a-4+4x(-)2}-7. 又nN.,则n的最小值为5. 答案:5 10.解:(1)证明;设等差数列(a。)公差为d. 当=-2时,a+aìo-+a-二2+(-2)x(-2){* 由a-b=a -b,知a +d-2b,=a+2d-4,故d-2 b.$ 0r 由-b=b-a,知a:+d-2b -8b-(a+3d), -7; 故a+d-2b-4d-(a +3d),故a+-2b =d-a,整理$ D选中,,a-4a,',=4^},'-0(舍去)或=-2或$ 得a:一b,得证。 -2. ($)由(1)知d-2b-2a,由b-+a,知;h·2-1-+ 故a-(-2)1或a.-2-1.] (m-1)·计a. 5.B [因为a.)是正项等比数列, 即b·2^-1-b+(n-1)·2h+b. 所以S,S.一S,S。一S.仍然构成等比数列, 即2-1-2n. 所以(S-S)-$(S-S). 因为1<m<500,故2<2-1<1000. 又一5,S,S。成等差数列. 解得2<<10. 所以$-5-2S.S-S-S+5. 故集合(k=a+a,1<m 500)中元素的个数为9个。 所以$-S-(5-)(5+5) 11.D [由已知可得a}=aìaa,即(1+2){}-1+12d,可得d- $ 2d-0.:d-0,解得d-2. -S+ '-a+(n-1d-1+2(n-1)-2n-1. 所以s。_”(fa)_”。 2 2$.+142r+142+7 +10-20,当且仅当S。-5时取等号,] □十3 2n+2“1 562 十,一_. -1-4_,_--1(-1)- +1Gn+1)n+2 当=l时,b+-b.<o,即b>b, ##.--△4(72), 当2时,+-b0,即b b ... #-(6--)(>2). 12.AD [a,a,。.。成等比数列,设公比为q. ,b-=-100. 'a+a+a+a=(a+a+a)?. &数列(b.-a。)是以-10为首项,为公比的等比数列。 (3)由(2)得-a.--10x()”. -a-10×()”--10×() ”. :.>1. () ##-+-10×()”-(-1)-+10 #(4) +20×()→o(→2), )是递增数列。 即+2++1<0. 令f(z)=x+2+x+1,则f(x)=3r+4r+1=(3+) (十D. 由/(t)→0,得x>一线r<-1; 由/(2)<0,得-1<<-# 2.数列(b.)从第3项起各项均大于0,故数列(.)的前2项之和 '.f(x)在(-oo,-1)上单调递增,在(-1.-)上单调递减, 最小: 在(一,+)上单调增。 记数列()的前n项和为T。,则T。-(3-10)+ (#-)-3 ../(c)的极大值为/(-1)-1,极小值为/(-)-23→0. 又f(-2)=-1<0.',f(x)在区间(-2,-1)上有一个零 点.3. 即+2”++1<0时,<r。<-1. 课时冲关31 数列中的构造问题 .1. “al,.,等比数列a,a,a,a:中,a,a均为负数,a?,a 1.D [因为a+1=S.+2l,则$-S=S.+2+1,于是得 均为正数。 '-aq?<a.a-aq?>a.] 13.解析:由题意得,每次操作,去掉的区间长度和为上一次去掉的 区间长度之和的。 (n-1)x1,所以S-n·2.] 设去掉的区间长度之和为a.,则{a.)为等比数列,其中al ##一。 2.B [因为a -a+1+2a“n+1,a2=,所以令n-1,则aì=a2 +2aa。,解得aj-1. 所以a。-×()”. &-#()#-# ) (##(#)#,-##) 其中s.一 1-3 . 所以需要操作的次数n的最小值为11. #所以{为以一1为首:,公差为的等差数列。# 答案:011 14.解:(1)由s.-$:+a-1+,得s.-S1-a-1+,即 -吾(n2nN), 4.A [由题意得当n2时,a.-2a.-2x3”,设a,+·3-l a-□-=- -2(a+·3),得a+ -2·3+1-2(a-2·3”),-2·3} 则数列(a。)是以为公差的等差数列, -2(a-2·3)也满足上式,故a.-2·3-(-4)×2-,a= 2(3“-2”).5-×1-1-]-32^1. ###4(1)-# 故S 023-32024-22025+1.] (2)证明:'3b.-b.=n十1(n>2). ..-3_+(n+1)(n2) 5.解析:由an+1-5a.+12,可得a +3=5(a.+3),又a+3- “ ##.--△+1(n+1)-- 所以《a.十3)是以a十3-5为首项,5为公比的等比数列, #-~-+1-(6-)(n→), 所以a。+3-5·5*-1-5”,所以a.-5”-3. 答案:5-3 563