课时冲关29 等差数列及其前n项和-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习课时作业（北师大版）

课时冲关29等差数列及其前n项和 [基础训练组] 7.(2024·新课标Ⅱ卷)记Sm为等差数列{am}的 1.(2025·湖北武汉模拟)设等差数列{am}的前 前n项和，若a3十a4=7,3a2十a5=5,则S1o= n项和为Sn,若S10-S3=35,a3十a10=7,则 {an}的公差为 ( 8.(2025·福建福州模拟)已知等差数列{am}的 A.1 B.2 C.3 D.4 前n项和为Sm,a6=一600，当且仅当n=30时 2.(2025·黑龙江大庆一模)记Sm为等差数列 Sn取得最小值，则{an}的公差的取值范围为 {an}的前n项和，若a3=4,S3=6,则S12= () 9.等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S1o=0, A.112 B.122 C.132 D.142 S15=25,则n十Sm的最小值为 3.(2025·全国模拟)若数列{am}满足a1=15,且 10.(2022·全国甲卷)记S,m为数列{am}的前n 3au+1=3am一2，则使ak·ak+1<0的k值为 项和.已知2S十n=2a,十1. () (1)证明：{am}是等差数列： A.22 B.21 C.24 D.23 4.(2025·云南师大附中模拟)《九章算术》是我 (2)若a4,a7,ag成等比数列，求Sm的最 小值. 国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章 “衰分”有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上 造、公士，凡五人，共出百钱.欲令高爵出少，以 次渐多，问各几何？”意思是：“有大夫、不更、簪 裹、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100 钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等 差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题 中，若不更出17钱，则公士出的钱数为() A.10 B.14 C.23 D.26 5.(多选)已知数列{am}的前n项和为Sna1=1, a2=2,且对于任意n>1,n∈N+,满足Sm+1十 Sm-1=2(Sn十1)，则 () A.a9=17 B.a1o=18 C.Sg=81 D.S1o=91 6.(2023·新课标I卷)记S,n为数列{am的前n 项和，设甲：a,)为等差数列：乙：骨为等差 数列，则 ( A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要 条件 323 [能力提升组] (2)求入的值，使数列{am}是等差数列. 11.(2025·湖南常德质检)已知公差为一2的等 差数列{am},Sn是其前n项和，且S3=30.若 对任意n∈N*都有Sn≤Sm,则m的值为 A.6 B.7 C.6或7 D.8 12.(多选)(2025·浙江温州期末)某“最强大脑” 大赛吸引了全球10000人参加，赞助商提供 了2009枚智慧币作为比赛奖金.比赛结束 后根据名次（没有并列名次的选手）进行奖 励，要求第k名比第k十1名多2枚智慧币， 每人得到的智慧币必须是正整数，且所有智 慧币必须都分给参赛者，按此规则主办方可 能给第一名分配多少智慧币 () A.300 B.293 C.93 D.89 13.(2025·全国模拟)在数列{am}中，am+2一am =2(n∈N+),a1=-23,a2=-19,Sm为 {an}的前n项和，则Sn的最小值为 14.设各项均为正数的数列{an}的前n项和为 Sw,若a1=1,且(Sn+1+入)an=(Sm+1)am+1 对一切n∈N+都成立. (1)若λ=1，求数列{am}的通项公式： 3247.BCD[a,+1=S,·S+1=S。+1一Sn,两边同徐以S+1·S,得 写司-1“（安}是以-1为首项，-1为公差的等装数 1 12.C[由4-2，得4-4，-2m, 所以4.一4u-1=2(n-1),a-1一4-g=2(n-2),a。2一4。-3= 到，脚发=一1+(n-1DX(-D=-8=一分当≥2时， 2(n-3),…ag-ag=2×2,a2-a1=2×1, 4=线一线=+D又4=1不连合上式 1 累加上递式子得：4。-a1=2[(n-1)+(m-2)+(n-3)十…+2十 11=(n一1)， -1,m=1, 所以an=m2-n+10,(n≥2)， .a 1)0≥2.] 检验已知n=1时，心，=严一1十10满足 8解析：周为画数心=-2+的定义城为N,且心=-2+号在 故a=-叶10兽=叶 -1, N上单调递减，-2<-2+上<0，所以满足3个条件的数列的 由于画数fx)=r+0-1在区间(0，√而)上单调递减，在 通项公式可以是a,=一2+上 (√而，十∞)上单调递增， 答案=-2+士（答案不唯-） 又周为N当m-3时号-3+9-1-兰当m=4时号 11 9,解析：由题意可知，满足a1=2,an+1一aw一21+2， =4+9-1=号 当n≥2时4，一4-1=2(n-1)十2=2， ag4=44一4：=6,4-4妇=8，a,一aa-1=2n,以上各式 所以兰的最小值为5] 累加得a,=a1+(ae-a1)+(a3-ag）十(a:一ag)+…+(a, 4,-1)=2+4+6+8+…+2m=2+,2m0=nm+1D. 13,解析：由题意知下一个困形的边长是上一个图形边长的子，边教 2 是上一个图形的4倍， 当=1时=2电满足上式4，=nn十1)，则。 m十T 11 则周长之间的关系为(=写·4·6-1=36-1 nn+l 数到信}的有n项和为8=女十女十…+女-(-专)计 所以么是公北为日=号的等比接到，西首项4=3，所以么 ()++（日）1 3(》。 2024 .51024-202西1 当川=5时，“雪花”我多边彩的月长为6=曾 答案号删 答案曾 10.解：(1)当n=1时，a1=S=2-3=-1, 14,解：(1)8n=1+ 1 当n≥2时a,=5。-S。-1=2m2-3n-[2(n-1)2-3(n-1)刀 a+2n-Dn∈Na∈R,且a≠0)， 1 4一5， 又a=-7…a.=1+2n-gneN4 当n=1时，a1=一1，符合上式， 所以{an)的通项公式是a,=4n-5,n∈N, 1 2图为a=1m心2). 结合画数f)=1十2g的草调性， 可知1>a1>a2>a3>a4· as>ag>ag>…>aw>1(n∈N+）. 所以当≥2时a二一n中了 .数列an}中的最大项为a5=2,最小项为a=0 所以=”二“-=”一2 1 aw-1n十'aw-2n 1 2 以上用一1个式子左右两边分别相乘， (2a,=1+a+2n-D=1+2@ 2 1 ,即 4w-1aw-2 4 已知对任意的n∈N4,都有a,≤成立 结合画教f(x)=1十 一的单调性， 2- 所以a,-nn十D（n≥2). 2 当=1时@1=之，特合上式 可知5<2号<6，即-10<a<-8 1 所以数列{a,}的通项公式是a,一n(m十1∈N· 即a的取值范国是（一10，-8）. 11.ABD[e(5)=4,g(8)=4,∴g(5)=g(8),A正确： 课时冲关29等差数列及其前n项和 :2为循数，∴在不超过2”的正整数中，所有偶数的个数 为2-1， 1.C[由So-S=35→Sm-S=a十a+a+a+as+4+a0 ∴(2")=2一2”-1=2w一1为等比数列，B正确： =35, ,与3”互质的数为1,2,4,5,7,8,10.11，…，3"-2,3一1 得7a=35,则a=5, 共有(3-1)·31=2×31个，g(3”)=2×3"-1, 由ag+aw=7,得a6十a=7,所以a5=2,故公差为a-a6=3.故 又g(6")=g(2")g(3")=2·6-1,g(6")一定是单调增数列， 选C] C错误：9(6)=2·60，{}的前n项和为8 2.C[设等差数列的公差为d, -(门-（信）门号 、则/a一十2d二4·解得{“2。 S=3a1+3d=6," 1一8 所以5e=12a1+12X()2-Dd=132.故选C.] 2 560 2 3.D[因为3a,+1=3a,-2所以a+1一4，=-子，所以数列{a,是 (2)由(1)可知d=1,由题意a=a1a,即(a1+6)2=(a1+3)(a 十8)，化简得：a1=一12. 首项为15公美有一号的等送载列：所以，=一子十号。 2 故8-m,+"24-12+"2-合-空。 2 由a=-号+号>0，解得n<2a5中4>4>…>4>0 2 a2>…,所以ag·a21<0.即使4·4g+1<0的k值为23.] 图为n∈N+,所以-12或n-13时.(S）m一-78. 4,D[设大夫、不更，簪裹，上造、公士所出的钱数依次排成一列，构 11.C[令等差数列{am}的公差d,则d=一2， 成数列{an, 所以5，=341+3X(3-卫×(-2)=30.解得41=12. 22 由题意可知，等差数列{anJ中a2=17,前5项和为100， 设公差为d(d>0),前n项和为S。 所以3=na1+"×(-2)=-心+13m=-(a-号)月 2 则S5-5a3-100,解得ag-20, 所以d=a9一a3=3. + 所以公士出的钱教为5=a2十2d=20十2×3=26.] 又n∈N”,所以当n=6或n=7时，(S,)mx=S=S, 5.BD[对于任意n>1,∈N+,满足S+1+S。-1=2(S。+1), 即Sn≤S或，Sn≤S,故对任意n∈N”都有S,≤Sm的值为6 …Sn+1-S=S-5-1+2…au+1-a=2. 或7.故选C.] ∴数列{an}在n≥2时是等差数列，公差为2.又a1=12=2, 12.BD[设第一名分配m个智慧币，且总共有x名参赛选手额奖， 则4=2+7×2-160m-2+8×2=18.S=1+8X2+82×2 则智慧币分配如下： m+(m-2×1)+(m-2×2)+…+[m-2(x-1)门=2009， =78.5。=1+9×2+9×2=91.] 即rm-2[1+2+…+(x-1)]=2009, 又1+2+…+(x-1)=1+-1D]x-D-2- 6.C[因为{au}为等差数列，设其首项为a1,公差为山，则S=1十 2 2， n(nd. ÷m-2+r=209,即m=209+-1, 2 :x,m都为正整数，且2009=7×7×41， d ÷x=7,m=2009+7-1=293. 7 故{倍}为等差载到，则甲是乙的无分条件： r-1,m-209+41-1-89. 41 反之，（倍}为等差数列 x=49.m=209+49-1=89. 49 即-3一十-+1二 n(n十1) n(n十1) 为常数，设为1， -287m-289+287-1-293。 即+1-8 .第一名分配89或253个智慧币.] (i十1) =1,故S。=+1一1·n(n十1)， 13,解析：因为a。+2一a,=2,所以a1a3a…是以4为首项，2为 故S。-1=(n-1)a-t·n(n-1),n≥2， 公差的等差数列，2，a4,a6…是以2为首项，2为公差的等差 两式相减有：aw=aw+1-(n-1)an-2m→a。+1-a,=24,且为常 数列. 数，对=1也成主，故(}为等差数列，则甲是乙的必要条件，故 当n为奇教时a,=-23+2×”=一24，当n为偶教时，4， 2 甲是乙的充要条件.] 7,解析：因为数列.为等差数列，则由题意得 -19+2×”2=m-21. 2 a+2+a+3d=.解得4： l3(a1+d)+a1+4d=5, 所以a,=”一21，n为奇数 1d=3, 1m-21,为偶数' 期S=10a+1091=10×(-40+45×3=96. 当为偶数时， S.=(a1+a)+(a3+a)+…+(a,-1十a)=(2×1-4)+(2× 答案：95 3-44)+…+[2×(n-1)-44]=2[1+3+…+(n-1)]-44× 8.解析：由题意可得，am<0,41>0, 受-号-2m=宁m一2)-242，故喜n=2时，8的最小值 中仁侧8年释< 为-242： 故d的取值范国为(24,25)， 当m为奇数时.5=S-1十a-0少-22-1+m-24=号 2 答案：(24.25) 解折：由S=m+"2.Sw=0,S=25,得 41=-3, 故多-21我-28时8取流小值号-g-28 110a1+45d=0, 解得 综上，S的最小值为一243 l15a1+105d=25, 答案：一243 则8=-3n+"2.是-r-1om. 14.解：(1)若1=1，则(S+1+1)an=(S,十1)a1a1=S=1,令n= 2 1,得d2=2. 故+s=专-=专[(w子)-9] 又周为4，>0.5>0，所以1十1_“1 S十1an 由于n∈N,故当n=3或4时，(n十S)mm=-4. 答案：一4 所受…装-尝尝… S.+1 a a2 10.解：(1)证明：由已和得2S。十r=2。十n,①当n=1时，原式恒 化商得S.+1十1=2a.+1.① 所以当n≥2时，Sn+1=2am.② 成立：当n≥2时，25，-1十(n-1)2=2(n-1)a-1十(n-1),② ①-②得：2a.十21-1=2u.一2(n-1)aw-1+1 ①-②，得a+1=24,所以中=2(n≥2.当n=1时上式电 整理得：(2n-2)an=(2m-2)an-1十(2n-2)x 成立. 因为n≥2，故2n-2>0,所以a.一d。-1=1(n≥2) 所以数列{m}是首项为1，公比为2的等比数列，即an=2一1(n∈ 所以数列{a》是公差为1的等差数列， N+). 561 (2)令n=1,得au=1十1.令n=2,得a=(a十1)2 6.AC[对A,a1>0,q>1.a.>0,又a1a2…ago脑<1，a1a2… 要使数列{dn}是等差数列，必须有2ag=山1十a1,解得入=0 ag0g4>1. 当A=0时，S,+1a=(S.+1)a+1:且ae=a1=1. >1,故A正确： 当n≥2时.Sw+1(S。一5。-1) ∴dg24>a,2 (S十1)(S.+1-5), 对B.C,由等比教列的性质，a1a23=a242o4=…=a101ga1o1 签理，得S+5。=5+1S-1+S+1· -af012 s+1-. 故41ag…a2023=a8體<1，a1012<1,a2a2o24=4sa22s=…= S-1+5 dIoi34101s=ajo S+1S2+1 S,+1 SS 从而写干3节…·8干币3写 5w+1 S. 44,aa-a所器>ra4<1a≥0，>l 化筒，得Sn十1=S+1,所以a+1=1. 综上所述，aw-1(n∈N,. a<1…a 所以入=0时，数列(an)是等差数列. ∴a11a>1,故当n-1012时，a1aeaw最小.B错误，C正确： 对D,当n<1012时a,<da12<1,故aag+1<aw+1<aw+2,故 课时冲关30等比数列及其前n项和 D错误，] 1.C[设等比数列{a,)的公比为q 7.AC[等比数列{an}中，满足a1=1,g=2,所以4。=2"-1，所以 9 9 am=2-1,所以数列{an}是等比致列，故A正确： a+a,=立a十as=4 正确： a十a=a(q十g)=号解得=8， 因为log4=log2-1=n-1,所以(log2an)是等差数列，故C 正确： 8×-()门 则S, 31.数选C] 餐对a中。=上尝-2m-1-2物-1,5=- 12 S10,S2S不成等比数列，故D不正确，] 2.C[由题意可得：当n-1时，a2=21十2.即a1g=241十2，① 8解析：记第n天后制余木桃的长度为a,,则口，是首项为号 当n=2时，a4=2(a1+a2)+2,即a1g=2(a4+a1q)十2，② 公比为一的等比数列， 联立①②可得a1=2,0=3,则a1=a1d=2×34=54.] 3.C[等比数列{an}中，设公比为 所以4=，所以4=京-司由4=<得>10， 11 1 a1=1,S,为a前n项和，S=5S一4，显然g≠士1， (如果9=1，可得5=15-4矛盾，如果9=一1，可得-1=一5-4 所以n的最小值为11， 矛盾)， 所以第6天裁取之后，刺余木提的长度是尺，要使剩余木桃的 可得号-5·号-解得=中=2我-2 1一4 1-4=1-19=15. 长度小于208尺， 所以当9=2时，S,=1-9=1一2 需要经过11次戴取 当-2时8=昌哥品9-5强有选项】 答案： 11 4.B[A选项中，由S(一S)=(5-S3)2.即4(S-12)=(12- 9,解析：设正项等比数列{an公比为q,由a=4ga,=9,得a=3, 4)2,解得S=28; 于是得-=9，而g>0,解得g=3 3 B选项中，S= 1-1a =4-3an 因光6=专×=3”2 3 14 T,=d1a2a3…an=31+0+1++w-2》=3-. C选项中，由aa6=aa,得aa7=一8.a十a7=2. 由T>9.得3>9 解得4-4，--2或4--2-4，所以--号或-2 从而得m,3》>2.而n>0,解得m>4, 2 又n∈N,,则n的最小值为5. 答案：5 2 10.解：(1)证明：设等差数列(a.}公差为d. 当=-2时，a1十a1n= 2+a,0=号+(-2)×(-2y2 由a2-=a1一bg,知a1十d-2b=a1+2d-4h,故d=2h: 由a2-=b-a,知a1十d-2h=86-(a+3d), -7 故a1+d-26=4d-(a1+3d),故1+d-2b=d-a1,整理 D选项中，a5=4ag,g=42,g=0(含去)或9=一2或 得a1=b1,得证. 9=2, (2)由(1)知d=26-2a1,由-aw十a1,知：b1·20-1=41十 故am=(-2)-1或aw=2n-1.] (m-1)·d+a1, 5.B[图为(au)是正项等比数列， 即6·2-1-b1十(m-1)·2b+, 所以S,S6一S,S一S6仍然构成等比数列， 即2-1=2m, 所以(S6-S)2=S(S-56). 因为1≤m≤500，故2≤2-1≤1000， 又一5，S3,S6成等差数列， 解得2≤k≤10， 所以S.一5=251，S4一S1=S,十5， 故集合(kD=am十a1,1m500)中元素的个数为9个， 所以S-5=S二S2(S+5 1l.D[由已知可得a=a1a3,即(1+2d)2=1+12d,可得d一 2d=0,,d≠0，解得d=2, -++10， a,=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1, 所以5=a十a=, 又a,是正项等比载到，所以5>0S+要+10≥√5·哥 2 25.+142m2+14m2+7 +10=20,当且仅当S=5时取等号.] a。+32n+2n+1 562