课时冲关27 解三角形的综合问题-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习课时作业（北师大版）

12. ACD ['tan A+tanB+tanC= 2.解析:因为(sinA十sinB)(a-b)一sinC(③a一C),由正弦定理 tan Atan Btan Co. 得a”十c2-2-3ac. 'A.B.C均为锐角..选项A正确; 由acosA-beosB及正弦定理,可得sin2A-sin2B. 2a- $A-B或A+B-. '.八ABC是等腰三角形或直角三角形.'选项B错误 由bcosC十ccosB一b及正弦定理, 可知 sin Bcos C+sin Ccos B-sin B. 所以a+2-4sinA+4sin?C-2(1-cos2A)+2(1-cos2C) '.sinA-sinB. =4-2cos 2A+cos 2(5#-A)]-4+23sin(2A-). 'A一B.'.选项C正确; 由己知和正弦定理,易知tanA一tanB一tanC. 因为在锐角△ABC中,有0<A<,0<5--A<,得<A *选项D正确.] 13.解析;令BD一1,以D为坐标原点,DC为工轴建立直角坐标系, #< 则C(2t,0),A(13),B(-1,0). 3-=4-23. 所以吾<2-<2-,此时3<sin(2A-)<1,则7<a} AB(+1)+3 十1+ +<4+2/③. 当且仅当1十1-3,即BD-3-1时取等号。 答案:(7,4十2/3] 答案:3-1 53 3.解:(1)因为A+B-3C,所以A+B=3(π-A-B),所以A+B 14.解:(1)由余弦定理可得cos A-AB*+AC*-BC②} 3所以C一. 2AB.AC 6916' 则A为锐角, 另外,由题意得:2sin(A一C)一sin(A+C); 所以 sin A-1-cosA-6907' /4107 即2sin Acos C-2cos Asin C-sin Acos C+cos Asin C. 所以sinA=3cos A,变形得sinA-9(1-sin}A),故sinA 所以S=AB·ACsinA=20 76x20 1$ 310. 10 /4107 107-74003~12817(平方米). (2)由sinA-3eosA. (2)△ABC中,AC最长, 所以 sinB-snA)-0#+-2由 2AB·BC 故△ABC为锐角三角形, ACAB 由(1)可知S△=S△PAB+S△pac+SPn-(PA·PB+ sn.解得AC-2VT0. PA·PC+PB·PC)sin 120*=7 400/③,所以.PA·PB+PA .PC+PB.PC-29600. 根据余弦定理可得AB②-PA+PA②-2PA·PBcos 120* 设AB边上的高为h,则-AB·h-15,解得h-6.故AB边上的 PB+PB+PA.PB. 高为6. 同理可得AC-PA+PC+PA·PC,BC-PB+PC②+PB 4.解:(1)由sinA十2sinB-2sinC和正弦定理可得a+/2b-2c. .PC. 以上三个等式相加可得AB{+AC+BC*-2(PA*+PB{+ 又2c-a-4/3,则b-2/6. PC)+PA·PB+PA·PC+PB·PC. 又因为6-46cos B.,BE(0.)所以cosB-. 所以PA?+PB+PC{一 AB+AC+BC*-(PA·PB+PA·PC+PB·PC) 由余弦定理得,coB-+- a+(+2/)-(2) 2 2ac 2a(+2/3) -30800. 因此,(PA+PB+PC)*}=PA+PB+PC*+2(PA·PB+PA .PC+PB·PC)-90 000. # 则PA+PB十PC-300(来). 整理得3。-12-0,解得a-4. 因此,三角形花园的最佳会合点P到三个出入口的最小距离和 为300米. (2)由a-4及2c-a-43,得c-2+2③. 课时冲关27 解三角形的综合问题 因为cos B-.Be(0.-),所以sinB-3 1.解析:因为2a}+2-5^2,所以-2(a}+). 所以Sc-acsinB=×4x(2+23)36+23. 5.解:(1)由题意得2sinBcosB-bcos B,因为 A为钝角, 所以由余孩定得cos C-△2+ a十-(a十) 2a 2ab #3({}+) 3x2ab 2a= 得sinA-## 答案:} 因为A为钝角,则A-2x 558 (2)选择①b-7.,则sinB-×7,因为--,则B (2)由题意知AB=2AC=2,设BC=x,由余弦定理得cosB= 22+-17 -,解得BC-2或BC-.因为2AC<BC,所以 为锐角,则B一吾, BC-2.因为AM为 BAC的平分线,BAM=CAM所以 1AB·AMsin BAM 此时A十B一π,不合题意,含弃; SM-2 1BMXi x 选择②cos B= (h为底边BC的高) -AC·AMsin/CAM _CMX ##()#-## 则代入2in)一,2,解得一3 -#15.S-AC·cM·sinc-x1号×1# sin C-sin第A) sin(-B) si2 os +co2sin B _15 ##1(()## 8.解:(1)'m-(cosB.cosC).n-(2a+c.b). 且mIn.'.(2a+c)oos B+bcos C=o. -4absinc-×7×ax3153. '.cos B(2sin A+sin C)+sin BcosC-0. 则SAnc二 '.2cos Bsin A+oos Bsin C+ sin Bcos C=o. 即2cos Bsin A--sin(B+C)--sin A. 1. “Ae(0.x)..'sinAo.cosB-- :<BB-2. 14 因为C为三角形内角,则 cosC一、1-(5){#-11 则snB-sin(A+C)-sin(2-+C)-sin-cos C+cos=-sinC '(a十c)?<4,故a十2. ##1}+()### 又a+cb-③a+c(③,2.即a十c的取值范围是(③,2] 课时冲关28 数列的概念及其函数特性 1.C [法一:-S-S-2024 6.解:(1)证明:由题设,absinC-(a*-6)sin C.又sinC学 2023+2X2024-2×2023-4049. 法二:'S-r+2n.,当n-1时,a-S-3. 0.所以ab-△}一,# 当n2时,a-S-S-1=r}+2n-(n-1)-2(n-1)-2n+1. 当n-1时,也适合上式,,a-2n+1,则a2o2t-2x2024+1- 由正弦定理可得sinAsinB-sinA-2sin*B. 4049. 所以 sin B( sin A+sin B)-sin}A-sinB-(sin A+sin B)(sin A 2.D [当n-1时,a+2S -2+1,因为S -a-1,所以a-1. -sinB),又sinA+sinBo, 当n2时,由a1+2S.-2n+1得.+2S-1 所以sin B-sin A-sin B,即 sin A-2sin B. -2n-1,两式相减可得a1-a.+2a.-2,即a++-2.因为 a=1,所以a=la.=1,.,a=1,可得S.=a+a+..+.= n,所以S。-2024.] 0. ③十。,所以。一 以 c#({)~<-t n). 3.D[因为a-0,a- 1-③d. +③ --3.-_ #cos C-2sinA+nBsin< 1-3×③ 1-/③X(一③) 一一0,所以数列(a.是以3 2 2sinAsin B 为周期的周期数列,所以a:o2s-a。--3.] T_n “4s{B 若sB-,{B二{<AB~#,故 所以aaa..>1,而a-1. 不合题设: 故a:为最小项,a。为最大项,故选A.] 以coB-. 5.C [当n-1时,S-a-2a-2+1,解得a-1. 当n2时,S-1=2a-1-2n十3, 所以cosA-cos [-(B+C)]--cos(B+C)=sin BsinC- # Bo一0-# 所以a-S-$-2a-2n+1-(2a1-2n+3),即-21 +2. 所以a。+2=2(a-+2),即+2 12=2, 所以数列(a.十2)是首项为3,公比为2的等比数列,则a.十2-3× 2. 从而S-3x2-2n-3,故S-3x2l-23.] 3n+1.n为青数.所以a-4.a--2,a:-10.a。 -2sin B,因为AM-BM,所以 AMC-2 B,sin AMC=sin2B 6.BC[因为a.= 2-2r,n为偶数, sinC 2sinB --6,a-16,a--10,a}-22,所以A错误,B正确;S-+ a+a+a+a-4+(-2)+10+(-6)+16-22,故C正确;因 为a=-10,所以S.-S-a0,所以S<S,故D错误。] 559课时冲关27 解三角形的综合问题 [基础训练组] 4.(2025·安徽联考)记△ABC的内角A,B,C 1.(2025·济宁月考)已知a,b,c分别为△ABC 的对边分别为a,b,c,已知2c-a=43,sinA 内角A,B,C的对边,若2a{2}+2^{}=5c^},则 +/2sinB-2sinC. cosC的最小值为 (1)若-46cosB,求a的值 2.锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a (2)在(1)的条件下,求入ABC的面积 b,c,且.满足(sinA十sinB)(a-b)=sinC(/③a 一c),若=1,则a^{2}十c2}的取值范围是 3.(2023·新课标I卷)已知在/\ABC中,A十B -3C,2sin(A-C)-sinB. (1)求sinA; (2)设AB一5,求AB边上的高 318 5.(2024·北京卷)在△ABC中,内角A,B,C的 6.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c 对边分别为a,b,c,A为钝角,a=7,sin2B 已知△ABC的面积为(2}-62)sinC. (1)证明:sinA-2sinB; (1)求A; (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选 择一个作为已知,使得△ABC存在,求△ABC 的面积. 条件①:b=7;条件②:cosB-13. 1;条件③:csin A-53 注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0 分;如果选择多个符合要求的条件分别解答 按第一个解答计分 319 [能力提升组 8.已知△ABC的三内角A,B,C所对的边分别 7.(2025·山东济南模拟)如 是a,b,c,向量m=(cosB,cosC),n=(2a+c 图,已知在△ABC中,M为 b).且nn. BC上一点,AB=2AC< (1)求角B的大小; (2)若b一/③,求a十c的范围 (2)若AM为BAC的平分线,且AC一1,求 △ACM的面积. 320