课时冲关17 利用导数研究函数的极值、最值-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习课时作业（北师大版）

课时冲关17利用导数研究函数的极值、最值 [基础训练组] 7.(多选)(2024·新课标I卷)设函数∫(x)= 1.(2025·沈阳市模拟)设函数f(x)=xe+1,则 (x一1)2(x一4)，则 A.x=3是f(x)的极小值点 A.x=1为f(x)的极大值点 B.当0<x<1时，f(.x)<f(x2) B.x=1为f(x)的极小值点 C.当1<x<2时，-4<f(2x-1)<0 C.x=一1为f(x)的极大值点 D.当-1<x<0时，f(2-x)>f(x) D.x=一1为f(x)的极小值点 8.已知a>0,函数gx)=x+1+0-2在[2，十∞) 2.已知函数f)=-x+2sin,x∈[0，受]则 上的最小值为1，则a= 函数f(.x)的最大值为 ( g.设函数)=ln一ar-,若x=1是f A.0 B2-8 的极大值点，则实数a的取值范围为 C3-晋 D3-吾 10.(2024·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)=e ax-a3. 3.已知x=气是函数f(x)=zln(2x)-axr的极 (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点 (1,f(1))处的切线方程： 值点，则实数a的值为 (2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a A.1 B号 的取值范围. C.2 D.e 4.(2023·新课标卷)已知函数f(.x)=ae一lnx 在区间(1,2)上单调递增，则a的最小值为 ( A.e2 B.e C.e-l D.e-2 5.已知y=f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时， fx)=1nx-a(。>2）当x∈(-2.0)时， f(x)的最小值为1，则a的值等于 A B号 c司 D.1 6.(多选)函数y=f(.x)的 导函数y=f(x)的图象 如图所示，下列命题中正 确的是 () A.一3是函数y=f(x) 的极值点 B.y=f(x)在区间（一3,1）上单调递增 C.一1是函数y=f(x)的最小值点 D.y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零 -300 [能力提升组] (2)f)有两个极值点12，比较/专） 1山.（多选）对于函数∫(x)=中工，下列说法正确 与/)十f)的大小： 的有 () 2 A.f(x)在x=e处取得极大值 B.f(x)有两个不同的零点 C.f(2)<f(π)<f(3) D.若fx)<k-在(0，十∞)上恒成立， 则k>1 12.函数f)=2r2-sinx,若fx)在(0，)上 有最小值，则实数a的取值范围是() A.(0,+∞) B.(0,1) C.(-0∞，0) D.(-1,0) 13.在半径为R的圆内，作内接等腰△ABC,当 底边上高h∈(0，t]时，△ABC的面积取得最 大值3R,则1的取值范围是 4 (3)若f(x)在[-1,1]上的最大值为4e,求a 14.(2025·北京人大附中模拟)已知函数f(x) 的值. =e(x-a)2. (1)若f(x)在x=一1处的切线与x轴平行， 求a的值： 30112.ABC[报据题意，若定义战为(0，十o)的函数f(x)的导吾数 课时冲关17利用导数研究函数的极值、最值 f)满足xx)+1>0,则有f()+>0,则有(fx)+ 1,D[由于f(r)=xC+1,可得 nx>0,设g)=+n,剥g=寸)+>0：则 f(x)=(r+1)g, 令f(x)=(x+1)e=0,可得x=-1, g(x)在(0，十∞)上为增函数，依次分析选项：对于A,e>1,则 令(x)=(x+1)e>0,可得x>-1,即函数在（一1，十0）上 g(e)>g(1),即f(e)+lne>1,则有f(e)>0,A成立：对于B, 是增函数，令广(x)=(上十1)e<0可得x<一1，即函数在 是<1，则x(日)8).期（日）+n是=（日）-14， (一∞，一1)上是减函数，所以x=一1为f()的极小值点.] 即有f(日）<2，故B成主：对于Cg)在1：e)上为增画数， 2.C[f(r)=-1+2co当r∈[0，)时，f(x)>0, f(x)单调递增， 且g(1)=1.则有f(x)+lnx>1.则f(x)>1-lnr,又当1<x <e时，0<lnr<1.剩f(x)>0,符合题意：对于D.当x∈(1c) 当r(管，受]时f)<0,)单洞琵减. 时，有x>上>。>0，此时有gx)>g(）,即/x)+ln之 t e frm=f(号）=-吾] /()+1n(生入，支形可得x)-(债)+21n>0,又当 .C[由题意可得：f)=ln(2r)+× -a=ln(2r)+1-a, 1<x<e时，0<lnr<1,则f(x)- ()+2>0恒成立，不特 国为x-受是画数fr)-n(2r)-ar的极值点， 合题意.] 故f(号）=lne+1-a=2-a=0,得a=2, 13.解析：由已知得cos0-7cos30>sin0-7sin30,令f(x)=x 7.z1,则广(x）=5x-21.x2=r2(5.r2-21)<0对任意x∈ 经验证：a=2时，f(x)=ln(2x)-1, [一1,1]恒成立，于是f(x)在[-1,1门上单调递减 当0<x<号时f(x)<0,fr)递减，当r>号时，f(x)>0. cos0-7cos0>sin0-7sin0, f(x)递增， 即f(cos)>f(sin), 则r=号是函数fx)=zn(2r)-ar的板小值点，故a=2.] 由x)在[-1,1门上单调递减，得cos0<sin0,解得牙<0 < 4.C[由题客可知了)=a心-子>0在区间1,2)上恒成立，即 所以0的取值范围是（气，平） ≥(）设)=心，则在r12上有G) 答案：（只，乎） 红+1e>0.所以g=g1=e,则(Ra）合即 a≥et.] 14.解：1)/x)的定义城为zr≠a,广(x=r-2e 5.D[,f(.x)是奇函数，'.f(x)在(0,2)上的最大值为一1.当x∈ (x-a)）2 ①当a=0时，f(x)=x(x≠0)，F(r)=1, 0,2时)=士-a,◆f)=0得=合又a>号 则x∈（一∞，0），(0，十∞)时，f(x)为增函数： 0<日<2.当0<日，fu)>0,/u)在(0，)上单洞 ②当a>0时，由f(x)>0,得x>2a或x<0. 由于此时0<a2a,所以x>2a时，f(x)为增函数，x<0时， 递增：当>。时)<0)在（日2）上单调递减 f(x)为增函数： 由f(r)<0,得0<x<2a,考虑定义城，当0<r<a时，f(r)为 )=(）=n君-a…合=-1，部得a=1.门 d 减函数，a<x<2a时，f(x)为减函数： 6.AB[根据导函数图象可知：当r∈（一∞，一3）时，(x)<0,在 当a<0时，由f(r)>0,得r>0或x<2a,由于此时2a<d x∈(-3,1)时，f(x)≥0，.函数y=f(x)在(-oo,-3)上单调 <0,所以当x<2a时，f(x)为增函数，x>0时，f(r)为增函数. 递减，在（一3,1）上单调通增，故B正确：则一3是函数y=(x) 由f(x)<0,得2a<r<0,考虑定义域，当2a<x<Q,f(x)为减 的极小值点，故A正确：在（一3,1）上单调递增，.一1不是函 函教，a<r<0时，f(x)为减函数. 数y=f(x)的最小值，点，故C不正确：，函数y=f(x)在T=0处 综上，当a=0时，蓝数(x)的单调增区间为（一∞，0），(0，十∞). 的导数大于0，切线的斜率大于零，故D不正府.] 当a>0时，画数f(x)的单调增区间为（一oo,0),(2a,十oo),单 7,ACD[因为函数f(x)的定义域为R,而F(x)=2(T-1)· 调减区间为(0，a),(a,2a). (x-4)+(x-1)2=3(,x-1)(x-3), 当a<0时，函数f(x)的单调增区间为（一o,2),(0,十co),单 易知当x∈(1,3)时，(，x)<0,当x∈（一o∞，1）或x∈ 调减区间为(2a,a),(a,0). (3,+o)时，(x)>0, (2)①当a≤0时，由(1)可得，f(x)在(1,2)上单朗递增，且x∈ 所以函数f(x)在（一0,1）上单调递增，在(1,3)上单调递减， (1,2)时，x≠a. 在(3，十o∞)上单调递增，故x=3是函数f(r)的极小值点，A 正确： ②当0<2u≤1时，即0<u≤2时，由1)可得，/八r)在(2u,+o∞) 当0<x<1时，x-x2=x(1一x)>0,所以1>x>2>0, 上单调递增，即在(1,2)上单调递增，且r∈(1,2)时，x≠a. 而由上可知，函数f(x)在(0,1)上单调递增，所以f(r)> ③当1<2a<2时，脚号<a<1时，由0)可得，x)在1,2)上 f(2),B错误： 当1<x<2时，1<2x-1<3,而由上可知，函数f(x)在 不具有单调社，不合题意， (1.3)上单调递减 ④当2a≥2，即a≥1时，由(1)可得，f(r)在(0，a),(a,2a)为减 所以f(1)>f(2x-1)>f(3),即-4<f(2x-1)<0.C 函数，同时需注意延(1,2)，满足这样的条件时f(x)在(1,2) 正确； 上单羽遁减，所以此时a=1或a≥2. 当-1<x<0时，f(2-x)-f(r)=(1-x)2(-2-x) 综上所述，实数a的取值花周是(-0，号]U1U[2,十∞. (x-1)2(x-4)=(x-1)2(2-2x)>0, 所以f(2一x)>f(x),D正确.故选ACD.] 543 8.解析：由题意得gr)=1-1+a-产-(1十a) 当T+0,f(r)→一∞，r+十oo,f(x)+0, 则f(x)的图象如图所示， 当1+a≤2，即0<a≤3时，g'(x)>0,g(xr)在[2，十o∞)上单调 由f(x)=0, 递增， 得lnx=0,得x=1, 故g0。=g2)=1士=1.解样a=1: 即函数f(r)只有一个零点，故B 错误： 3-2-10 72345天 当√1+a>2,即a>3时，当2≤x<+a时，g(x)<0,g(r)单 调递减， 周为f4)=血4-2=f(2 42 当x>√/1+a时，g(x)>0,g(x)单调递增， f(3)>f(x)>f(4),故f(2)<f(x)<f(3)成立，故C正确： 故g。=g以vV个F@)=2V云-2=1，解得a=号，不特合 若f)<-子在0，+)上证成立，剩>+ a>3,舍去， 综上，a=1. 设6)=+子>0，对)=- x2· 答案：1 当0<x<1时.h'(x)>0, 9解折：)的定义线为0，十of)=士-ar一6：由fD 当r>1时，h'(x)<0.即当x=1时，函数h(x)取得极大值，同 =0,得b=1一a. 时也是最大值h(1》=1, ()-1ut-1--atlta-z_-(utDG-D k>1成主，故D正确.门 ①若a≥0，当0<x<1时，f(x)>0,f(x)单调遂增：当x>1时， 12.A[由题意，面数f)=号2-sin,可得fr)=ar f(r)<0,f(r)单调递减， cos 所以x=1是f(x)的极大值点， ②若a<0,由f(m)=0,得x=1成r=-1 若a≤0时，当x∈(0，)时，可得了(x)<0,fu)在 周为x=1是r)的极大值点，所以-上>1，解得-1<a<0. (0,受)上单调递减， 综合①②得实数4的取值范国是4>一1. 此时函数f八)在(0，受)上没有最小值，不特合题盘： 答案：a>-1 当a>0时，令了(x)=0,即ar一cosx=0,即y=ar与y=cosr 10.解：(1)当a=1时，则f(x)=e一x一1，了(x)=c一1， 的变点， 可得f(1)=e-2,(1)=e-1, 即切点坐标为(1，e一2)，切线斜率=e一1， 画出函数y=ax与y=cosr的图 所以切线方程为y-(e-2)=(e-1)(x-1),即(e-1)x 象，如图所示，结合图象，可得存在 y-1=0. ∈(0，受)：使得f)=0. (2)法一：因为f(x)的定义拔为R,且了(r)=e一a 若a≤0，即f(x)0对任意xER恒成主， 当x∈(0，)时，f(x)<0,f(x)单 可知f(r)在R上单调递增，无极值，不合题意： 调造减： 若a>0,令了(r)>0,解得r>lna:令(x)<0,解得x<lna, 可知f(x》在（一o,ln4)内单调递诚，在(lna,十oo)内单调 当xe(,受)时f)>0,f(r) 递增， 单调递增， 则f八x)有极小值f(lna)=a-alna-a3,无极大值， 由题意可得：f(lna)=4-alna-a3<0,即a2十lna-1>0, 此时函数f八)在(0，受)上有最小值，符合题意， 为建ga)=d2+lna-1o>0,则g(a)=2a+>0, 综上可得，实数a的取值范国是(0，十oo).] 13.解析：设圈内接等腰三角形的底边长为2x,高为h,则2=(2R 可知g(a)在(0，+∞)内单调递增，且g(1)=0, 一h),,S△=xh, 不等式a2+lna-1>0等价于g(a)>g(1),解得a>1, 所以a的取值范国为(1，十o∞). .S2=x2h2=3(2R-h)=-h+2Rh3(0<h<2R), 法二：f(x)的定义城为R,且厂(x)=e一a, 令f(h)=-h+2R3,(0<h<2R), 若f(x)有权小值，别f(r)=e一a有零点， ∴.(h)=-4h3+6Rh2=2h2(3R-2h), 令f(x)=c-a=0,可球e=a, 可知y=e与y=a有交点，则a>0. 令了=0，解得h=要。 若a>0,令(x)>0,解得x>lnu:令广(r)<0,解得x<lna, 可知f(x)在（一o∞，lna)内单钢递减，在(lna,十o∞）内单调 当0<k<警时，)>0，画数了0)单裤递增，当警<h<2R 递增， 时，子(h)<0,函数fh)单调递减。 则f(x)有极小值∫(lna)=a-alna一a,无板大值，符合 题意， a-(5） 16S-3R =27 4 由题意可得：f(lna)=a一alna一a3<0,卿a2+lna一1>0， 构建g(a)=a2+lna-1,a>0, 6=e0小， 因为则y=a2,y=lna-1在(0，十o∞)内单调递增， 可知g(a)在(0，十∞)内单调递增，且g(1)=0, 的取维花国为[警2R) 不等式a十lna一1>0等价于g(a)>g(1),解得a>1, 所以a的取值范因为(1，十oo), 答案[2R) 1.ACD[画数的导数f(x)=1-hI,r>0,令/(x)=0,得x 14.解：(1)f(r)=e(.x-a)2+e·2(x-a)=[x2+(2-2a)x =c. +a2-2a], 则当0<r<e时，f(x)>0,品数f(r)为增画数， 由(-1)-e-1[1-(2-2a)+a2-2a]=0.解得a-±1， 当r>e时，f(r)<0,函数f(r)为减弱数， 当a=1时，f(r)=e(x一1)，f(一1)=4e,符合题意： 则当-e时，画教取得权大值，板大值为f(@)一。，故入 当a=-1时，f(x)=e(x+1)2,f(-1)=0,此时切线与x轴 重合，不符合题意： 正确： 所以a=1, 544 (2)由(1)知：f(x)=e(x2+(2-2a)x+a2-2a)=e(x-a) 5.D[构造画数x)=2n,其中x>0,则了r)=21-n2. ·[x-(a一2)].令f(x)=0,可得r=a成a-2. 则f(x)在(-o∞，a-2),(a,十oo)上单调递增，在(a一2，a)上单 当0<x<e时，f(x)>0,所以函数f(x)在(0，e)上单调递增， 调递减，则a-2,a是f(x)的两个极值点，不妨设x1=a-2,2 =d, 国为0<2<<e,期fV2)<j八3)，即2n221n3. √2 则/(5)=f(）=a-D= 即√3ln2<21n3, f)+fx)_fa-2+fa_4e-+0=2e, 所以b<C, 2 2 2 又ce-1=c·心-2>2e-2, 周为3学=243<256=2，故5h3<8m2,即h3<号n2<3n2 中r(佰)小生 即a<h, 2 因此，>b>a.] (3)由(2)知：f(x)在（一o,4一2），(a,十0)上单调递增，在 (a一2.a)上单调递减. 当a≥3时a-2>1,则f(x)在[-1.1]上单调递增，则f(r)a 6A[由题设a->0在[字]上粒成立， (a>0, =f(1)=e(1一u)=4e,解得a=3或一1，故a=3: 当1<a<3时，一1<a-2<1,则f(x)在[-1a-2)上单调递 1号-1>0.中a>2 增，在(a-2,1门上单调递减，则f(x)m=f(a-2)=4e-2= 4e,解得a=3,不满足1<a<3,不合题意： 原不等式可化为-[a(e-)门十=e-na 当a-1时，a-2一-1，则f(r)在[-1.1门上单调递减，则 )=-1=。(-1-a)=≠4e,不合题意： 当一1<a<1时，a一2<-1，则f(x)在[-1.a)上单调递减，在 e-ln≥ln(e-）- (a,1门上单调递增，则fx)mx一{f(-1),f(1)1mx 若f(-1)≥f(1),别f(x)mx=f(-1)=e1(-1一a)2=4e 解得a=2e-1或-2e-1,不满足-1<a<1,不合题意， pe+r-lna≥r-君+la(e-合) 若f1)>f-1).则fx)mx=f1)=e(1-a)=4e.解得a= 令)=e+,则了x)=e+1>0,牌)在re[是1]上 3或一1，不满足一1<<1，不合题意： 当a≤-1时，则f(x)在[一1,1门上单调说增，则f(,x)m= 单调递增， f(1)=e(1-a)2=4e,解得a=3或-1，故a=一1： 由上知：f(x-na)≥f(n(x-)）小则x-na≥ 综上，a=3或一1. 课时冲关18函数中的构造问题 a(r-）牌ina<r-h(e-)在[受]上旗成主， 1,B[令函数g(x)=f(x)-2r3-2r,则g(x)=f(x)-6.x2-2 ◆g)=r-ln(x-) >0,所以g(x)在R上单调递增」 周为g(2)=f(2)一2×23-2X2=0,所以原不等式等价于g(x) >0=g(2). “又e[1]>2 所以所求不等式的解集为{x|x>2}.] 2.B[令g(x)=,期g（r)=1-nr, 1 -1<0x-1>0,pg(x)<0, a g(r)在(e,十oo)上单调递减， >>>>2 故g)在[71]上单润递减， e e 2 设f(x)=x2-2lnx-1(r>1),则广(x)=2x- lna≤grmn-l-ln(（1-d):故lna+ln(1-d）-ln(a 2(2-1D>0, -1)≤1，可得a≤e+1, 综上，2<a≤e十1，故a的最大值为e十1.] 即f(x)在(1，十。)上单调递增， 7.A[西数fx)的定义域为(0，十o),则f(x)+(xnx)f(x)>0 文f(b)>f(c)>f(a),∴b>e>a.故选B.] 3.B[构造函数F(x)=xf(x), 台fr)+flh>0,令gr)-fx)lnr>0,则gr)- 因为f(x)为奇蓝数，所以F(一x)=一xf(一x)=xf(xr)= F(x),所以F(x)为偶函数， /)+fn>0,即g)在(0，十o)上单满道增. 因为当r<0时，rf(x)+f(x)<0, 对于A,g(3)>g(2),即f(3)1n3>f(2)ln2=f(3)og3>f(2), 即F(x)<0, 所以r<0时，函数F(x》单调说减，x>0时，西数F(x)单调 A正确：对于B,g(号）>g1),即f(3)n号>f1)ln1-0,B 递增， 周为（一1）=0，所以F(一1)=（一1）f(一1)=0.F(1)=0.因为 不正确：对于C,g(3)<g(9),即f(3)n3<f(9)ln9=2f(9)ln3 fx)>0,所以F卫0. 问3)<29).C不正确：对于D.(合)<A,即（合）h 所以f0所以>1或-1长<a] <f1)1n1=0,有-2/()<0=/（日）>0，D不正确.1 4.A[令g(x)=(x>0,则gr)=亡f)-2f 8.解析：根据题意，显然a,b是正数。由a=e221-“,两边取对教得， 2 x 1na=lne2024-a=2024-a,即a-(3-lna)=2021,又2021+ =f()-2f(r) lnb=d-nb,即e2-nb-lnb=2021,利用a=em“,于是 xf(x)>2f（.x),g(x)>0. 1c2--h》-(3-lha)=2021记h(x)=e广5-x,()= g(x)在(0，十oo)上单调道增， e2-mi-nb=2021. 六g(2024)<g(2025,即2024<2025) -e--1<0.故h(r)在R上递减， 2024￥ 20252, 由h(3-lna)=h(lnb)-p3-lna=lnb,于是lnab=3,ab=e. .20242f(2025)>20252f(2024).] 答案：e3 545