课时冲关14 函数模型及应用-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习课时作业（北师大版）

13.解析:由已知,令x一,则/()/()-1,因/(x)>0. 5.D [因为在线购买人数y(单位;人)与某产品销售单价x(单 所以f()-1,又f(c)/(1-x)=1→f(-x)/(1+)=1. 因(a)为偶数,所以/(x)f(1十x)-1,故f(2)-)(1) 可得2025-25-20-25+40,解得:m=10050,所以A正确; f(x+2),所以/(t)是以2为周期的周期函数,故f()一 n 由题意可得所得利润为: /(-)-/()-1; 由题意知,mn=-1.m<o.n→70,且n-n=n+→2①,当n= --(r-30)2+10100. 1时,等号成立,①式说明区间长度大于等于2,而g(x)一f(x) 所以当x-30,最大利润为10100元,C正确,D错误。] -1,易知x一h十.^E乙是(n)的零点,而相邻零点的距离 6.ABD[数关系式y-22-22(2-1)-1. 2 为1,故g(x)在m,n]上至少存在2个零点。 心每月的增长率为1,A正确; 答案:12 14.解:(1)'/(x)为偶函数,/(一x)一/(x). 当1-5时,y-2-32>30.B正确; 即log(4-+1)-x=log(4+1)+x. “第二个月比第一个月增加y-y-2-2-2(^{}). 第三个月比第二个月增加y-y-2-22-4(m{})-y-y· 即(2+1)x-0..b-- 1 'C不正确; (2)依题意有log(4+1)-2x=log.(a·2-a). 2-23-2,6-2.f-log21.-log3,l-lo 6. '1+。-log2+log。3-log6-1,D正确.] 即{4+1-(·2-a)·2} 7.ABD [购物总额为78元,则应付款为78-5一73元,A正确;购 a.2-0. 物总额为228元,则应付款为228×0.9-205.2元,B正确;购物 令1-2,则(1-a)r+at+1-0(*). 总额为368元,则应付款为300×0.9+68×0.8-324.4元,C错 只需其有一正根即可满足题意, 误;购物时一次性全部付款442.8元,则包含购物总额300元应 ①当a-1时,1-一1,不合题意. ②(。)式有一正一负根,t2, [△-a?-4(1-a)>0. 0. 物总额为300+216-516元,D正确.] 即 =- 8.解析:由题中散点图的走势,知模型①不合适 得a1,经验证正根满足al-a0.',a1. 曲线过点(4.),则后三个模型的解析式分别为②y-+ ③(*)式有相等两根,即△-0→a=士22-2. logt;③y-;④y+,当(-1时,代入④中,得y- 此时(-2(a-1' 4,与图不符,易知拟合最好的是②. 若a-2(2-1),则有1-2(-1<0,此时方程(1-a)?2+at十 将(-8代入②式,得y-+1o88-10() 1-0无正根,故a=2(/②一1)舍去; 若a--2(v2+1),则有1-2(-1→0. 答案:②0 因此a--2(2+1). 9.解析:由方案一可知,满10人可打9折,则单人票价为270人, 综上所述,a1或a--2-2② 课时冲关14 函数模型及应用 满5000元至少凑齐17人. 1.C[由题,作出散点图如下, ) 满10000元时,1300 10000 ~33.3,则需34人,单人票价为241人, 满15000元时,1500-50,人数不足。 300 “.241{270.^用方案二先购买34张票,剩余13人,不满足方案 二,但满足方案一, 由散点图可知,散点图和对数函数图象接近,可选择y一a十 2.总费用为34×300-2000+13×300×0.9-11710(元). logr反映x.y函数关系.故选C.] 答案:11710 10.解:设四边形EFGH的面积为S. 由题意得SArS△c-。 即2lnN-3lnN.,所以N-N.故选D.] -. 1g2- 0. 3010,所以-10og- $nrr-SpHG-(a-r)·(h-r). 3.A[由2-- l2 lg5-lg 21-21g21-2x0.3010~1. 322.即x的值约为 由此得$-ab-[+(a-x)(6-)] lg2 lg2 0.3010 1.322.] --2r2+(a+b)x 4.C[T-. #({}## 当1-0时,T--1080. 画数的定义域为x0{xh,因为a>b0, 当(-15时,T-15t·-(e*)3·*-x1080-40.故 , -时面积$取得最大值{a) 选C] 539 若句_6,即a→>36时,西数$--2·(-“+)2}(a+6)} (2)根据题意,按照年数的不同取值范围,选出总回报最高的 方案, 在(0,b]上是增函数,因此,当x一b时,面积S取得最大值ab -. 由题意可知方案一对应的解析式为y-6十(r-3)X2-2x. 综上可知,若a<36,当x-a十时,四边形EFGH的面积取得最 列表得出三种方案所有年数的总回报,可以精确得出任意年数 三种方案对应总回报的大小关系,进而可得出如下结论: 大值(a){} ;若a3b,当x-b时,四边形EFGH的面积取得 8 投资 最大值h一b. 年数: 3 5。 6 7 11.C [由题意得,r小时后的电量为 4 8 7 10 (3000一300.r)毫安,此时转为B 总回 模式。 报y 可得10小时后的电量为(3000一 方案一 6 8 10 12 14 16 18 20 16 25 4 64 3。 12 方案二 3 27 3 3 3 ③ ____ a 3{ 1 。 3 化简得(10-)·>0.5. 方案三 27 2 / { 即10-r2. 当投资年数为3~5年时,选择方案一最佳; 令m-10-x,则m>2*-1. 当投资年数为6年时,选择方案一或方案二最佳; 由题意得0<r 10,则0 m 10. 当投资年数为7年或8年时,选择方案二最佳; 令》分别为1,2时,这个不等式左右两边大小相等。 当投资年数为9年时,选择方案二或方案三最佳 由函数y一x和y一2的图象可知, 当投资年数为10年时,选择方案三最佳. 该不等式的解集为1 m2, 所以110-1<2,得8<r<9.] 课时冲关15 导数的概念及其几何意义、导数的运算 1.C ['(c)-r'(n)----1,m-1.解得” n 一士1.故选C.] 正确: 2.C [设曲线y=f(x)在x-1处的切线方程为y=x十b,则 对于B,当0<r<4时, 64 -44.解得:→0,故0<<4. [-2. -2+-0. 当4 r10时,20-2x4,解得x8,故4 r 8. -2. 综上所述,0<x8. 方程为y=x+2,所以/(1)=1,f(1)=1+2-3,因此,/(1) 若一次投放4个单位的洗衣液,则有效去污时间可达8分钟,故 f(1)-1-3--2.] B正确, 3.D[·/(x)=/(-2)e-2x. (616-14--6、 对于C,当6r10时. 当x-8时y-6+326-15故C错误: 4.B [由f(x)=-3r-2→f(x)=3r-3 当点(2,0)是切点时,此时切线的斜率为/(2)-3×22-3-9,此 对于D,:414-r8. 时有一条切线: 当点(2,0)是不切点时,设切点为(xo,),则切线的斜率为 ·.-14-+14- /(x。)-3r-3. 32 当且仅当14---32,即--14-4v2时取等号, 切线方程为:y-(-3xr。-2)-(3*-3)(x-x。),该切线过 点(2,0). y有最小值8v2一6~5.34..,接下来的4分钟能够持续有 于是 0-(-3rπ-2)-3r-3)(2-xr)→r-3r+4-$ 效去污,故D正确。] →+1-3+3-0 13.解析;根据条件;ar^+24-124,ar+24-64. a-100r-.M()-100()+24. →(xr+1)(x-xo+1)-3(x+1)(x-1)-0→(xa+1) (x。-2)-0→r。--1或xro-2(含去). .M(4)=100()+24-26.56. 综上所述;过点(2,0)可作曲线f(x)一r一3x-2的切线条数为 2.故选B.] 由100(号)+24<24.001.得()<(0.1), 5.B [''f(c)=xlnr../(r)=1+lnr. .lt()<lg(0.).:a8()<-5. '.(1)=1+ln1-1.',-1.,曲线y=f(x)在A(1,0)处的切 1y-x-1. 线方程为y-文-1,由 y-?-r. 得ar-2r+1-0,由△-4 '.lg2-(1-lg2)]<-5. '.(2lg2-1)<-5.代入lg2~0.301,得-0.398t<-5,解得1 -4a-0,解得a-1.] 一12.5.',最小的整数!的值是13. 答案:26.5613 14.解:(1)设顾客一次购买x斤土豆,每斤土豆的单价为/(x)元, 由题意知:(2)1(1<<5.xN). 由函数的定义域知n。一0. 7 减函数. 说明一次购买的斤数越多,单价越低。 号成立,b的最小值为2/③.] 540课时冲关14 函数模型及应用 [基础训练组] 是1080h,在10℃时的有效保存时间是120h, 1.(2025·江苏常州期末)在一次数学实验中，某 则该疫苗在15℃时的有效保存时间为( 同学运用图形计算器采集到如下一组数据： A.15h B.30h 0.24 0.51 2.02 3.98 8.02 C.40h D.60h 5.(2025·云南昆明一中期末)在线直播带货已 y -2.0 -1.0 0 1.00 2.0 3.0 经成为一种重要销售方式，假设直播在线购买 在四个函数模型(a,b为待定系数)中，最能反 人数y(单位：人)与某产品销售单价x(单位： 映x,y函数关系的是 ( A.y=a十b.x B.y=a十b 元)满足关系式：y”20x十40，其中20< D.y=a+ x<100,m为常数，当该产品销售单价为25 C.y=a+logix x 时，在线购买人数为2025人：假设该产品成 2.(2024·北京高考)生物丰富度指数d- 本单价为20元，且每人限购1件；下列说法错 是河流水质的一个评价指标，其中S,N分别 误的是 ( A.实数m的值为10050 表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生 物丰富度指数d越大，水质越好.如果某河流 B.销售单价越低，直播在线购买人数越多 治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体 C.当x的值为30时利润最大 总数由N1变为N2,生物丰富度指数由2.1提 D.利润最大值为10000 高到3.15，则 6.(多选)(2025·湖北月考)某一池塘里浮萍面 ( A.3N2=2V1 B.2N2=3N1 积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系为 C.N号=N D.N=N y=2,下列说法中正确的是 A.浮萍每月增长率为1 3.(2025·香坊区模拟)1614年纳皮尔在研究天 B.第5个月时，浮萍面积就会超过30m2 文学的过程中为了简化计算而发明对数：1637 C.浮萍每月增加的面积都相等 年笛卡尔开始使用指数运算：1770年，欧拉发 D.若浮萍蔓延到2m,3m,6m2所经过时间 现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于 指数，对数的发明先于指数，称为历史上的珍 分别为t1,t2,t3,则t1+t2=t3 7.(多选)“双11”购物节中，某电商对顾客实行 闻，若2-号lg2=0.3010,则x的值约为 购物优惠活动，规定一次购物付款总额满一定 额度，可以给与优惠：(1)如果购物总额不超过 A.1.322 B.1.410 50元，则不给予优惠；(2)如果购物总额超过 C.1.507 D.1.669 50元但不超过100元，可以使用一张5元优惠 4.(2025·江苏南通模拟)某灭活疫苗的有效保 券；(3)如果购物总额超过100元但不超过300 存时间T(单位：小时h)与储藏的温度t(单 元，则按标价给予9折优惠：(4)如果购物总额 位：℃)满足的函数关系为T=e:+b(k,b为常 超过300元，其中300元内的按第(3)条给予 数，其中e=2.71828…),超过有效保存时间， 优惠，超过300元的部分给予8折优惠.某人 疫苗将不能使用.若在0℃时的有效保存时间 购买了部分商品，则下列说法正确的是() 293 A.如果购物总额为78元，则应付款为73元 10.如图所示，在矩形ABCD中，已知AB=a,BC B.如果购物总额为228元，则应付款为 =b(a>b).在AB、AD、CD、CB上分别截取 205.2元 AE、AH、CG、CF都等于x,当x为何值时， C.如果购物总额为368元，则应付款为 四边形EFGH的面积最大？求出这个最大 面积. 294.4元 D.如果购物时一次性全部付款442.8元，则购 物总额为516元 8.(2025·武汉调研)为研究西南高寒山区一种 常见树的生长周期中前10年的生长规律，统 计显示，生长4年的树高为号米，如图所示的 散点图，记录了样本树的生长时间1（年）与树 高y(米)之间的关系.请你据此判断，在下列 函数模型：①y=2一a;②y=a十log2t:③y= 之十a:@y=f+a中（其中a为正的常数）. 生长年数与树高的关系拟合最好的是 (填写序号)，估计该树生长8年后的树高为 米. 3 2 012345671 [能力提升组] 11.(2025·山东师范大学附中模拟)已知某电子 9.(2025·河南月考)某景区套票原价300元/ 产品电池充满时的电量为3000毫安时，且 人，如果多名游客组团购买套票，则有如下两 在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选 种优惠方案供选择： 择.模式A:电量呈线性衰减，每小时耗电300 方案一：若人数不低于10，则票价打9折：若人 毫安时：模式B:电量呈指数衰减，即：从当前 数不低于50，则票价打8折；若人数不低于 100,则票价打7折.不重复打折： 时刻算起，小时后的电量为当前电量的易 方案二：按原价计算，总金额每满5000元减 倍.现使该电子产品处于满电量待机状态时 1000元. 开启A模式，并在x小时后，切换为B模式， 若使其在待机10小时后有超过5%的电量， 已知一个旅游团有47名游客，若可以两种方 则x的取值范围是 () 案搭配使用，则这个旅游团购票总费用的最小 A.1<x<2 B.1<x2 值为 元 C.8<x<9 D.8≤x<9 294 12.(多选)市场上有一种新型的强力洗衣液，特 (1)在菜市上，听到小王叫卖：“洋芋便宜卖 点是去污速度快.已知每投放a(1≤a≤4，且 了，两元一斤，三元两斤，四元三斤，五元四 a∈R)个单位的洗衣液在一定水量的洗衣机 斤，六元五斤，快来买啊！”结果一群人都在买 中，它在水中释放的浓度y(克/升)随着时间 六元五斤的.由此得到如下结论：一次购买的 x(分钟)变化的函数关系式近似为y=a·m, 斤数越多，单价越低，请建立一个函数模型， 其中当0≤4时mg5一-1.当41≤ 来说明以上结论； (2)小王卖洋芋赚到了钱，想进行某个项目的 10时，m=5一x,若多次投放，则某一时刻 投资，约定如下：①投资金额固定：②投资年 水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相 数可自由选择，但最短3年，最长不超过10 应时刻所释放的浓度之和.根据经验，当水中 年：③投资年数x(x∈N+)与总回报y的关 洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起 系，可选择下述三种方案中的一种： 到有效去污的作用.则下列结论正确的是 方案一：当x=3时，y=6,以后x每增加1 ( 时，y增加2： A.一次投放4个单位的洗衣液，在2分钟时， 方案二y=号， 洗衣液在水中释放的浓度为克/升 方案三：y=(3)r. B.一次投放4个单位的洗衣液，有效去污时 请你根据以上材料，结合你的分析，为小王提 间可达8分钟 供一个最佳投资方案 C.若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟 后再投放2个单位的洗衣液，第8分钟洗 衣液在水中释放的浓度为5克/升 D.若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟 后再投放2个单位的洗衣液，接下来的4 分钟能够持续有效去污 13.(2025·东城区模拟)某种物质在时刻t (min)的浓度M(mg/L)与t的函数关系为 M(t)=a/十24(a,r为常数).在1=0min和 t=1min测得该物质的浓度分别为 124mg/L和64mg/L,那么在t=4min时， 该物质的浓度为 mg/L:若该物质的 浓度小于24.001mg/L,则最小的整数t的值 为 (参考数据：1g2≈0.3010). 14.(2025·云南芗城区校级期末)土豆学名马铃 薯，与稻、麦、玉米、高粱一起被称为全球五大 农作物.云南人爱吃土豆，在云南土豆也称洋 芋，昆明人常说“吃洋芋，长子弟”.2018年3 月，在全国两会的代表通道里，云南农业大学 名誉校长朱有勇院士，举着一个两公斤的土 豆，向全国的媒体展示，为来自家乡的“山货” 代言，他自豪地说：“北京人吃的醋溜土豆丝， 5盘里有4盘是我们澜沧种的！” 295