热点强化课10 概率统计与其他知识的交汇问题-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

(2)①，Z服从正态分布N(95,36), 变式训练 P(Z>107)=P(Z>+2a)≈0.5-0.514=0.028. 1.解：(1)依题意，篮球传到4号有以下三种途径：1号传2号传3 2 则XB(10.0.0228), 号传4号共概单为号×号×号-分 .DX=10×0.0228×(1-0.0228)=0.2228016, 1号修2号传4号其机率为号×写-号1号传3号传4号 .D(2X+1)=4DX≈0.89121. ②：Z服从正态分布N(95,36), 共板为×号-， .P(77<Z≤113)=P(4-3a<Z≤u+3)≈0.9974， .5个零件的内径中恰有一个不在(4一3a,牡十3a]内的概率为 国光卫品+号+号-器 C×0,9974'×(1-0.9974)=0.01257. (2)证明：依题意篮球传到第n一2号，再传给n号其概率为 76(77,113], .试生产的5个零件的内径就出现了1个不在(：一36m+3g] p- 内，出现的频率是0.01257的15倍多，∴.根拇3g原则，需要 篮球传到第用-1号，再传给n号其概率为号卫，-1，国北有P, 进一步调试. 热点强化课10概率统计与其他知识的交汇问题 =p+P-… 题型1 可得卫-几1--号(，1-P-,且B-B- [例1门[解](1)经过2秒机器人可能位于的区战为P, (得+号×号）)-号- Q,Q1: 经过3秒机器人可能位于的区减A,B1,B2,C1,C2,C3 所以(D1一卫，)是首项为号，公比为一子的等比鼓列 (2)由已知若经过2秒机器人住于区域Q,那么经过1秒机器 人必位于区域B2,记M=“经过1秒机器人位于区战B2”,N =“从区域B出发，经过I秒机器人到达区战Q”,所以MN “经过2秒机器人位于区藏Q” 期P0=子PN)= 1 所以P(MN)=P(MDP()-号X专-言 1 由累如法，可得卫，-A+[日+古（一号）广+日（号） 即经过2秒机器人位于区城Q的概牵为6 (3)机器人的运动路线为：P一AUB UB.一PUQUQ1一AU +()门-号+号× 1-(-) B:UB2 UC UC:UCs -PUQUQ-AUB,UB2 UCUC: UC一…， ÷×(-号). 设经过n秒机器人位于区域Q的概率为a。, 则当n为奇数时，4=0， 所以P=是+×(-号)”， 1 则当n为锅数时，“？=石，经过n秒机器人位于区城Q1的概 =P[+片×()] 率也为an,经过n秒机器人位于区拔P的概率为1一2a 当经过n秒积器人位于区城Q的条件下， 所以2阳号授篮命中的率为[+片×（一）门]×号 经进0十2秒机器人位于区线Q的概单为：日×号十号×1十 30号维命中的为[+×（号）门××号 [+×()”门x 当经过n秒机器人位于区战Q1的条件下， 经这+2行机器人位于区城Q的概率为：宁×号=名 因为×(-)”0>×(-吉) 所以29号投篮命中概率大于30号投篮命中概率， 当经过n秒机器人位于区域P的条件下， 题型2 [例2][解](1)当n=2时，X的所有可能取值为0,1,2，则 经这十2书机器人位于区Q的概幸为：了×号=行 P(X=0)= 2 e-品Prx=1ve- 由全机率公式得a+2=号，十行4十名（1-24，)=日十 C C95’ P(X=2)= G=90' 1 2 dw. 所以X的分布列为： 设n=2k.k∈N”,则42+2=22十6· X 0 1 11 11 P 153 190 95 19d 所以载列{a一号}是等比裁到，共首项为0一号 1 公比为 X=0×15色3+11°+2×1905 (2X=1的率为P(X=1)=CC2=20业，1≤n≤ C 190 所以-吉=-名（合）》即4=吉号(）产 20,且n∈N+· 综上，当n为奇数时，经过n秒机器人位于区城Q的概率为0： 因为n(20-)≤「4+(20-)72 =100,当且仅当n=20一1， 2 当m为侣数时，经过m秒机器人位于区线Q的概率为司 即n=10时等号成立， 所以当n=10时，X=1的概率P(X=1)取最大值，最大值 (安) 是品 523 变式训练 变式训练 2.解：(1)由题意得：(0.004+0.022+0.030+0.028+m+ 3.解：(1)由频率分布直方因知(0.005+0.010十4十0.030中 0.004)×10=1, 0.035)×10=1,解得4=0.02，所以演社区参加2022年国庆 解得m=0.012, 活动的居民的平均年龄为(0.005×35+0.035×45+0.030× 国为(0.004+0.022)×10=0.26<0.5，(0.004+0.022+ 55+0.020×65+0.010×75)×10=54.5. 0.030)×10=0.56>0.5, (2)年龄在[50,60)的人数为0.030×10×100=30，年龄在 所以中位数在[60,70)内，设中位数为x, [70,80]的人数为0.010×10×100=10. 则(0.004十0.022)×10十(x-60)×0.03=0,5,解得x=68, 根据分层抽样，可知年龄在[50,60)的抽取6人，年龄在 所以这50名学生成绩的中位数为68. [70,80们的抽取2人 (2)[70,80),[80,90),[90,100]三组数据频率比为0.28： 0.12￥0.04=73￥1， 所以X的可能取值为0,12，且P(X=0)C9-音，P心 所以从[70,80)，[80,90)，[90,100]三组中分别釉取7人，3 =1)= 人，1人， P(X=2)-9c 15 1=3 28 则e可取0,1,2,3， 所以X的分布列为： P(g=0)=C=56 ，,P(专=1》—之55+P(左=2)一8C X 0 1 2 C Ch 务P=》-是 8 =1 5 165 14 28 28 则三的分布列为： 15 3 3 所以EX=0×品+1×28+2×8=号. 1 3 (3)由题可知年龄在[30,50)内的频率为(0.005+0.035)×10 56 28 8 =0.4. 165 5 55165 设年龄在[30,50)的人数为Y,所以Y~B(20,0.4). P=P(Y=k)=(C·0.4·(1-0.400-*(k=0,1,2,…,20. 期望联=0×需+1×器+2需+3X 56 P C0·0.4·(1-0.4)20-t (3)B等级的概率为(0.028十0.012)×10=0.4，则B等级有 设=pC1·0.41·(1-0.4)=362(k号 3k 40人， 1,2,…,20), 所以P(习=)=Cm0.40.6100-*.k=0,l,2.…,40. 由>1得表<8.4，此时P-1<P:由1<1得k>8.4,此时 所以 1C1m0.40.61o0t≥C0.4+10.699-. P-1>P. C1o0.40.61o0-4≥C4m0.4-10.611-, 所以当k=8时，P最大 题型4 1001 100 1(100-×0.6>k+1（99-X0.4 [例4][解](1)20袋细矿中恰有2件不达标的概率为f(p) 100! 1001 =C3p2(1-p)18. 1100-TX0.4≥(k-1101-元X0.6, 周此f广(p)=C[2p(1-p)8-18p2(1一p)门=2C0p(1 解得39.4k≤40.5， p)7(1-10p), 所以当飞=40时，P(刀=)有最大值 令广(p)=0:得p=0.1,当p∈(0,0.1)时，f(p)>0,f(p)单 题型3 调递增，p∈(0.1,1)时，f(p)<0,fp)单调递减， [例3][解](1)记他们莰得“优秀小组”的事件为事件A,别 所以f(p)的最大值点%=0.1. 事件A包含三种情况： (2)由(1)知，=0.1. 甲答对两题，乙答对一题的事件B:甲答对一题，乙答对两题 ①令？表示余下的180袋相矿中不达标的袋数，依据题意可 的事件C,甲、乙都答对两题的事件D. 知B(180.0.1).故E7=18, 事件B,C,D互斥，又因为甲乙两人答题相互独主， 又=20×10+1107，即=200+1007， 所以Ee=E(200+1107)=200+110Ey=200+110×18= PA)=P(RUCUD)=P(B)+P(C)+PD)-(号）'×2X 2180. ×+x号××（）广+（）广x()》广- ②若对余下的细矿进行检验，则所有检验成本为2000元.由 于E:一2180>2000.应该对余下的钿矿都进行检验， 变式训练 所以接组被“优秀小组”的概率青 4.解：口)记怡好经过3次检验就能把阳性样本全部检险出来为 (2)由(1)知甲、乙小组每轮比赛获“优秀小组”的概率为： A事件， P=P·2P2(1-P2)+2P(1-P1)P+PP9=PP2[2P (1-P2)+2(1-P)P2+PP2]=P1P2[2(P1+P) 期代A-A店+gAC-高 A 3PP:] (2)①根据题意，可知E=表，6的可能值为1，k十1， 又B+B=音则BB,≤（凸P)'=音，当且仅喜B 则P(点=1)=(1-p),P(经=k+1)=1-(1-p), 2 所以E总=(1一p)+(k+1)(1一(1-p)*)=十1一k(1一p), =P,=号时，等号成立， 由E药=E点，得b=k+1-k(1-p), 而0<P≤1,0≤P≤1，于是有3≤P≤1·国此PP= 所以p=1-(传)产∈N里≥2 ②由于p-1一c十，则E总-k+1-ke千， P(-P)[3] 所以+1-e千<k,即n长-冬>0， ◆=RB∈[吉] f=inf)=}->0, 则P=-3+号1= 当x∈(0,4)时，了(x)>0,f(x)在(0.4)上单调递增， 当x∈(4，十o∞)时，(x)<0,f(x)在(4，十o)上单调递减， -3-合)+品<号当且仅当1=号时等号成立， f(8)=1n8-2=3ln2-2>0, 所以该组在每轮竞赛中获得“优秀小组”的概率的最大值 fK9)=n9-号=2a3-号<0， 所以k的最大值为8. 524主题四第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布列 [尝试解答] (1)求4与a: (2)假设这批零件的内径Z(单位：cm)服从正 态分布N(,o2). ①从这批零件中随机抽取10个，设这10个零 件中内径大于107cm的个数为X,求D(2X十 1):(结果保留5位有效数字) ②若该车间又新购一台设备，安装调试后，试 方法指导 生产了5个零件，测量其内径分别为76,85， (1)利用3。原则求概率问题时，要注意把给 93,99,108(单位：cm),以原设备生产性能为 出的区间或范围与正态变量的以，σ进行 标准，试问这台设备是否需要进一步调试，说 对比联系，确定它们属于(4一o,4十σ)， 明你的理由 (μ-2a,4+2a),(4-3a,4+3a)中的哪 参考数据：若X~N(,o2),则P(4一2a<X< 一个 u+2a)≈0.9544，P(4-3o<X≤4+3a)≈ (2)利用正态分布密度曲线的对称性研究相 0.9974,取0.99744=0.99. 关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线 关于直线x=以对称，及曲线与x轴之间 的面积为1.注意下面两个结论的活用： ①P(X<a)=1-P(X>a);②P(X<-c) =P(X≥μ十o) 跟踪训练 (2025·全国模拟)某车间生产一批零件，现从 中随机抽取10个零件，测量其内径的数据如 下（单位：cm): 8787889295979899103104 设这10个数据的平均值为以，标准差为σ. 请完成课时冲关65 [热点化课10)]博率统计与其他知识的交汇问题 1.概率与统计是高考中相对独立的一块内容，处理问题的方式、方法体现了较高的思维含量。 该类问题以应用题为载体，注重考查学生的应用意识及阅读理解能力、分类讨论与化归转化能力. 2.概率问题的核心是概率计算，其中事件的互斥、对立、独立是概率计算的核心.统计问题的核 心是样本数据的获得及分析方法，重点是概率统计与数列、不等式、函数、导数等内容相互渗透，背 景新颖。 题型1( 概率统计与数列的交汇 (2)求经过2秒机器人位于区域Q的概率； (3)求经过n秒机器人位于区域Q的概率. [例1](2025·山东聊城 [尝试解答] 一摸)如图，一个正三角 形被分成9个全等的三 角形区域，分别记作A, B1,P,B2,C1,Q1,C2,Q, C3.一个机器人从区域P 出发，每经过1秒都从一个区域走到与之相邻 的另一个区域（有公共边的区域），且到不同相 邻区域的概率相等。 (1)分别写出经过2秒和3秒机器人所有可能 位于的区域； 265 金榜题名创新高考总复习数学北师大版 ◆[通技法] [尝试解答] 高考中常将概率统计与数列综合命题，解題时注 意将概率的参数表达式与数列递推式相结合，可 得数列的通项公式，使问题得解， 0变式训练 1.(2025·山东潍坊高三阶模拟)学校篮球队30 名同学按照1,2，…，30号站成一列做传球投 篮练习，篮球首先由1号传出，训练规则要求： 第m(1≤m≤28，m∈N)号同学得到球后传给 m十1号同学的概率为号，传给m十2号同学的 概率为号，直到传到第29号（投篮练习）或第 30号（投篮练习）时，认定一轮训练结束，已知 29号同学投篮命中的概率为3,30号同学投 ◆[通技法] 篮命中的概率为9，设传球传到第(2≤m< 高考中常将概率统计与不等式综合命题，解题时 30,n∈N)号的概率为Pn. 注意将概率的参数表达式与不等式相结合，可得 (1)求P4的值： 变量范围和最值，使问题得解. (2)证明：{Pw+1-Pm}(2≤n≤28)是等比 0变式训练 数列： 2.(2025·潍坊模拟)第30届全国中学生生物学 (3)比较29号和30号投篮命中的概率大小. 竞赛在浙江省萧山中学隆重举行.为做好本次 考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制， 现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计， 这批学生的成绩全部介于40至100之间，将 数据按照[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)， [80,90),[90,100]分成6组，制成了如图所示 的频率分布直方图. 獭率 组距 88燃 0.022 0.004-- 405060708090100成绩（分） (1)求频率分布直方图中m的值，并估计这50 题型2〔 概率统计与不等式的综合 名学生成绩的中位数： [例2](2025·全国模拟)北京某高校有20名 (2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成 志愿者报名参加冬奥会服务工作，其中有2名 绩在[70,80)，[80,90)，[90,100]的三组中抽 老师，18名学生.若从中随机抽取n(n∈N+, 取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记： n≤20)名志愿者，用X表示所抽取的n名志 的分布列和数学期望； 愿者中老师的人数。 (3)转化为百分制后，规定成绩在[90,100]的 (1)若n=2,求X的分布列与数学期望； 为A等级，成绩在[70,90)的为B等级，其它 (2)当n为何值时，X=1的概率取得最大值？ 为C等级.以样本估计总体，用频率代替概率， 最大值是多少？ 从所有参加生物竞赛的同学中随机抽取100 266 主题四第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布列 人，其中获得B等级的人数设为？，记B等级 ◆[通技法] 的人数为k的概率为P(刀=k),写出P(7=k) 在概率与统计的问题中，决策的工具是样本的数 的表达式，并求出当k为何值时，P(?=k) 字特征或有关概率，决策方案的最佳选择是将概 最大？ 率最大（最小）或均值最大（最小）的方案作为最 佳方案，这往往借助于函数、不等式的有关性质 去实现 变式训练 3.(2025·河南省天一大联考)某社区100名居 民参加2022年国庆活动，他们的年龄在30岁 至80岁之间，将年龄按[30,40)、[40,50)、 [50,60)、[60,70)、[70,80]分组，得到的频率 分布直方图如图所示. 题型3 概率统计与函数综合 频率 组距與 [例3]《中华人民共和国未成年人保护法》是 0.035 为保护未成年人身心健康，保障未成年人合法 0.030 权益，根据宪法制定的法律.某中学为宣传未 成年人保护法，特举行一次未成年人保护法知 0.010 识竞赛.竞赛规则是：两人一组，每一轮竞赛 0.005 中，小组两人分别选答两题，两人答题互不影 0304050607080年龄岁 响.若答对题数合计不少于3题，则称这个小 (1)求a的值，并求该社区参加2022年国庆活 组为“优秀小组”.已知甲、乙两位同学组成一 动的居民的平均年龄（每个分组取中间值作 组，且甲、乙同学答对每道题的概率分别为 代表)： P1,P2 (2)现从年龄在[50,60)、[70,80]的人员中按 1)若P,-号，P=2,则在第一轮竞赛中，求 分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机 抽取3人进行座谈，用X表示参与座谈的居民 该组获“优秀小组”的概率； 的年龄在[70,80]的人数，求X的分布列和数 (2)当P,十P?=号时，求该组在每轮竞赛中获 学期望： 得“优秀小组”的概率的最大值 (3)若用样本的频率代替概率，用随机抽样的 [尝试解答] 方法从该地30岁至80岁之间的市民中抽取 20名进行调查，其中有k名市民的年龄在 [30,50)的概率为P。(k=0,1,2,…,20),当 Pg最大时，求k的值 267 金榜题名创新高考总复习数学北师大版 题型4 概率统计与导数综合 变式训练 [例4]葫芦岛市矿产资源丰富，拥有煤、钼、 4.(2025·全国模拟)某医院为筛查某种疾病，需 锌、铅等51种矿种，采矿业历史悠久，是葫芦 要检验血液是否为阳性，现有n(n∈N+)份血 岛市重要产业之一，某选矿场要对即将交付客 液样本，有以下两种检验方式：①逐份检验，需 户的一批200袋钼矿进行品位（即纯度）检验， 要检验n次；②混合检验，将其k(k∈N+)且 如检验出品位不达标，则更换为达标产品，检 k≥2)份血液样本分别取样混合在一起检验. 验时：先从这批产品中抽20袋做检验，再根据 若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性， 检验结果决定是否对余下的所有钼矿做检验， 因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如 设每袋钼矿品位不达标的概率都为p(0<p< 果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竞 1),且每袋钼矿品位是否达标相互独立. 哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此 (1)若20袋钼矿中恰有2袋不达标的概率为 时这k份血液的检验次数总共为k十1次.假 f(p),求f(p)的最大值点o: 设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验 (2)已知每袋钼矿的检验成本为10元，若品位 结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本 不达标钼矿不慎出场，对于每袋不达标钼矿要 是阳性结果的概率为p(0<p<1). (1)假设有5份血液样本，其中只有2份样本 赔付客户110元.现对这批钼矿检验了20袋， 结果恰有两袋品位不达标。 为阳性，若采用逐份检验的方式，求恰好经过 3次检验就能把阳性样本全部检验出来的 ①若剩余钼矿不再做检验，以(1)中确定的p0 概率； 作为p的值.这批钼矿的检验成本与赔偿费用 (2)现取其中k(k∈N+且k≥2)份血液样本， 的和记作，求Ee: 记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数 ②以①中检验成本与赔偿费用和的期望值为 为$，采用混合检验方式，样本需要检验的总 决策依据，是否该对余下的所有钼矿进行 次数为2 检验？ ①记E:为随机变量的数学期望.若E= [尝试解答] E2运用概率统计的知识，求出p关于k的函 数关系式p=f(k),并写出定义域： ②若p=1一e一+，且采用混合检验方式可以使 得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检 验的总次数期望值更少，求k的最大值 参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln5 ≈1.6094. ◆[通技法] 概率与统计的问题中，决策的工具是样本的数字 特征或有关概率，决策方案的最佳选择是将概率 最大（最小）的方案作为最佳方案，需要求概率表 达式的最值，这往往借助于导数去实现， 请完成课时冲关66 268