第7节 二项分布、超几何分布与正态分布-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

命题点2 3.A[法一：X的可能取值为0,1,2，P(X=0)= C 7 [典例3][解](1)由题意，得 EX1=0.3×0.2+0.18×0.5+0.1×0.3=0.18. DX1=(0.3-0.18)2×0.2+(0.18-0.18)2×0.5+(0.1 =1)= 89-=6P0X=2) C。 =言所以EX=1×名+2 0.18)2×0.3=0.0048, EX2=0.25×0.2+0.15×0.8=0.17, DX2=(0.25-0.17)2×0.2+(0.15-0.17)2×0.8= 0.0016, 法二：从10产品中任取一件为次品的奉是力=高，由于X E(aX+b)=aEX+b.D(aX+b)=a2DX. 展从想九行分布：故EX=p=2X是=号] 又Y1=100X1,Y2=100X2,得EY1=100×0.18=18,DY1= 4.B[由题意知，第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球 1002×0.0048=48, 是黑球，第四次取的球是白球的情况，此事件发生的概率为 EY2=100×0.17=17,DY,=1002×0.0016=16, 因此投资甲的平均利润18万元大于投资乙的平均利润17万 ()×÷ 元，但投资甲的方差48也运大于投资乙的方差16.所以授资 5.解析：随机变量服从正态分布~V(,2), 甲的平均利润大，方差也大，相对不稳定，而投贵乙的平均利 .P(-2≤μ+2)=2P(u-2≤≤r)=0.482, 润小，方差也小，相对稳定，若长期授资可选择授资甲，若投期 投资可选投资乙. P(>g+2)=专[1-Pg-2<≤+2]=之×1 (2)设x万元投资甲，别(100一x)万元投资了乙， 0.482)=0.259 则投资甲的利润Z=xX,,投资乙的利润Z。=(100一r)Xg, 答案：0.259 设(x)为投董甲所获利润的方差与投资乙所旋利润的方 跃升·关键能力题型1命题点1 差和， [典例1门[解](1)设打分站束后，方案一拾好领先方案二1 则f(x)=DZ1+DZ2=x2DX1+(100-x)DX2=0.0048x 分为事件A,由题可得方案一5项功能获胜3项，所以P(A) 十0.0016(100-x)=0.0016(4x2-200x+10000), =心（号）》'（号）=器即所求的批奉为器 当x= -三0-5时)的值最小 故此时甲项目投资25万元，乙项日授资75万元，可使所获利 (2)由题意可知X~B(5,号）PX=0)=(号)广=2布： 润的方差和最小， PX==C×号×（号）广-0PX=2)=e×(号) 跟踪训练 2.解：(1)由题意得，X的可能取值为0,4,10， ×(台)广=0Px=)=cg×(号)广'×（信）广-0： 所以P(X=0)=1一0.8=0.2，P(X=4)=0.8× (1-0.7)=0.24,P(X=10)=0.8×0.7=0.56, PX=4)=×(号）广×（号）°=器PX=)=(号) 所以X的分布列为： 32 X 0 10 =是·则随机变量X的分布列为： P 0 9 4 5 0.2 0.240.56 (2)由(1)可得E(X)=0×0.2+4×0.24+10×0.56=6.56. 11040808032 若甲同学先进行“机器人操作”，记Y为甲同学的累计得分， 243243243243243243 的可能取值为0,6,10， 跟踪训练 所以P(Y=0)=1一0.7=0.3，P(Y=6)=0.7× (1-0.8)=0.14,P(Y=10)=0.7×0.8=0.56. 1,解：1)由题言可知，1次制作底功的概率为子×青×号 所以E(Y)=0×0.3+6×0.14+10×5.6=6.44, 因为E(X)>E(Y),所以甲同学应该选择先进行“无人机表 所以被工艺师进行3次制作，恰有1次制作成功的凝单P 演”比赛。 第7节二项分布、超几何分布与正态分布 ×号×()-品 夯实·必备知识必备知识掌握 (2)由题意知X的可能取值为0,1,2.3,4，X~B(4,号) 一、1.两个n重伯努利试验 (k=0,1,2. 2.(1)n(2)相互独立 它的分布列为Pr=)=G(号)广（自-号） 二，1.Cp(1-p)m-kX~B(m,p) 3,4),即 2.np np(1-p) X 0 1 2 3 三1. CMCM 0 81 216 216 96 16 C 625 625 625 625 625 2兴 命题点2 L典例21 [解] (1)设选手甲在A区发2次球得分的次数为 四，1.连续 1 e正态曲线 X,则X~B(2.号) 2.P(a<X≤b)曲边梯形面积X~N(,):a 3.(1)上不相交(2)单峰x=:(3)#(4)上升下降 所以EX=2x号-子 渐近线①位置平移②形状矮胖分散集中 4.不可能发生的3a 所以甲在A区发球得分的期望为E(2X)=2EX=2×号 自主诊断查验思考辨析 (1)√(2)×(3)/(4)×(5)√(6)/ 小题查脸 设选手甲在B区发3次球得分的次：为Y,则Y一B(3,号)： 1,A[设5只接种投苗的鸡中没有感染病毒的只数为X,则X B(5,0,9),所以P(X=4)=C×0.94×0.1≈0.33.] 所以EY=3×号=1， 2.C[由题意可知X~N(1,d),则P(X≤0)=P(X≥2)=p, 所以甲在B区发球得分的期望为E(3Y)=3EY=3X1=3. 故周中阴影部分的面积为号一A] 由于3>，所以选手甲应该选排在B区发球。 521 (为Dx=2x号×号=：D=3x×号-号 2 题型3命题点1 1.BC[依题可知，x=2.1,s2=0.01,所以Y~N(2.1,0.1), 所以D20=4DX=4X号=.D3)=9DY=9X号 =6 故P(Y>2)=P(Y>2.1-0.1)=P(Y<2.1+0.1) 0.8413>0.5,C正确，D错误： 由于旧<6，所以选手甲意该选择在A区发球。 因为X-N(1.8.0.1), 所以P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1). 跟踪训练 因为P(X<1.8+0.1)≈0.8413，所以P(X>1.8+0.1)≈1 2.解析：因为X~B(12,0.25),所以EX=12×0.25=3,DX -0.8413=0.1587<0.2, 12×0.25×1-0.25)=号，又EaX-3)=a5x-3=3,车 而P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1)<P(X>1.8+0.1) 0.2,B正确·A错误.故选BC.] 3a-3=3,解得a=2, 所以DaX-3)=D(2X-3)=2DX=4X号=9. 2.CD[对于A,若8：00出门，赵先生乘坐公交的时间Z1不大 于13min才不会迟到，周为乘坐公交所需时间（单位：min)服 答案：9 从正态分布N(33,4),所以P(Z1≤43)<P(Z1≤45)，且 3.解：(1)由题意得X的可能取值为0,1,2,3，且X P(33-12<Z≤33+12)≈0.9974， B(3,0,8), 所以P(Z1≤43)<P(Z1≤45)≈0.5+0.5×0.9974= P(X=0)=C9×0.80×(1-0.8)3=0.008. 0.9987, P(X=1)=C×0.8×(1-0.8)2=0.096, 所以赵先生上班迟到还是有可能发生的，A不正确： P(X=2)=C×0.82×(1-0.8)1=0.384 对于B,若8：02出门，若乘坐地铁，则乘坐时问Z2不大于 48min才不会迟到，因为乘坐地铁所需时间（单位：min)服从 P(X=3)=C×0.83×(1-0.8)9=0.512. 正态分布N(44,22), 所以X的分布列如下： 所以P(44-4<Z2≤44十4)≈0.9544， 0 所以P(Z2≤48)≈0,5+0.9544×0.5=0.9772， 所以赵先生乘坐地铁上班不迟到的可能性为0.9772， 0.008 0.096 0.384 0.512 若8：02出门，若乘坐公交，则乘坐时间Z不大于41min才不 (2)因为X一B(3,0,8),所以E(X)=3X0.8=2.4,D(X) 会迟到，因为乘坐公交所需时问（单位：min)服从正态分布N =3×0.8×(1-0.8)=0.48. (33.42), (3)要使得计算机同络不会断掉，也就是要求能正常工作的设 所以P(33-8<Z1≤33十8)≈0.9544， 备至少有一台，即X≥1， 所以P(Z≤41)≈0.5+0.5×0.9544=0.9772.故二者的可 因此所求概率为P(X≥1)=1-P(X<1)=1一P(X=0)=1 能性一样，B不正确： -0.008=0.992. 对于C,若8：06出门，若来坐公交，则乘坐时间Z,不大于 题型2 37min才不会迟到，因为乘坐公交所需时间（单位：min)服从 [典例门[解](1)依题意，X的可能值有0,1,2. 正态分布N(33,42), 7 则P(X=0)= C 所以P(33-4<Z1≤33+4)≈0.6826， Cio Cia 15,P(X=2)= 所以P(Z1≤37)≈0.5十0.5×0.6826=0.8413， 是品 若8：06出门，若乘坐地铁，则乘坐时间Z,不大于44mim才不 会迟到，因为乘坐地铁所需时间（单位：min)服从正态分布N 则X的分布列为： (44.28), X 所以P(Z214)=0,5<0.8413,C正确： 0 1 2 对于D,若8：12出门，赵先生乘坐地铁的时间Z。不大于38 1 min才不会迟到，因为乘坐地铁所需时间（单位：min)股从正 15 15 15 态分布N(44,22), 所以P(44-6<Z≤44+6)≈0.9974， (2)由(1)中的分布到，可得E(X)=1×5+2×方=号， 所以P(Z≤38)≈(1-0.9974)×0.5=0.0013， Dx=(0-)广×+(1-)×+(2-号）'× 所以乘坐地铁上班不迟到的可能性非常小，D正确.门 命题点2 1_28 [典例们[解](1)100名居民本次竞赛成绩平均分：=45× 1575 跟踪训练 品+5×+5×+75×品+85×器+95× 解：(1)设“对食堂饭莱魔量满意”为事件A 在200人中对饭菜质量满意的有130人， 75,100名居民本次光素成债方差2=(45-75)P×品十(55 PM=品 -75r×高+(65-75)P×器+(75-5×品+(85- （2)分层抽取比例A=品0一可 51 75)2×器+(95-752×高=10. 男生物取人30×。=3：女生袖取20×0-2人 (2)①由于以近似为样本成绩平均分T,近似为样本成绩方 差2，所以=75，g2=100,可知，0=√100=10，由于竞赛成 抽取的2人中女生人数X的所有可能为0,1,2. 绩X近似地服从正态分布N(:),因此竞靠居民可获得“参 C 赛纪金证书”的概率P(u-X≤+2g)=zP(u一<X≤ P(X=1)= CC 6 3 C 10 5· +o+号Pg-2o<X≤r+2)号X0.6826+号×0.9514 =0.8185,3000×0.8185=2455.52456,估计获得“参赛 P(X=2)= C 10 纪念证书"的居民人数为2456：②当X>#十2G时，即X>95 时，参赛居民可莪得“反诈先锋证书”，所以竞靠成绩为96分 0 的居民能获得“反诈先锋证书” 跟踪训练 3 3 10 10 解：(1)=10 ×(87+87+88+92+95+97+98+99+103+ 随机变量X的数学期望E(X)=0× 品+1× +2×品 104)=95 =0×61+64+49+9+0+4+9+16+6+81)=36,期 5 6=6. 522 (2)①，Z服从正态分布N(95,36), 变式训练 P(Z>107)=P(Z>+2a)≈0.5-0.514=0.028. 1.解：(1)依题意，篮球传到4号有以下三种途径：1号传2号传3 2 则XB(10.0.0228), 号传4号共概单为号×号×号-分 .DX=10×0.0228×(1-0.0228)=0.2228016, 1号修2号传4号其机率为号×写-号1号传3号传4号 .D(2X+1)=4DX≈0.89121. ②：Z服从正态分布N(95,36), 共板为×号-， .P(77<Z≤113)=P(4-3a<Z≤u+3)≈0.9974， .5个零件的内径中恰有一个不在(4一3a,牡十3a]内的概率为 国光卫品+号+号-器 C×0,9974'×(1-0.9974)=0.01257. (2)证明：依题意篮球传到第n一2号，再传给n号其概率为 76(77,113], .试生产的5个零件的内径就出现了1个不在(：一36m+3g] p- 内，出现的频率是0.01257的15倍多，∴.根拇3g原则，需要 篮球传到第用-1号，再传给n号其概率为号卫，-1，国北有P, 进一步调试. 热点强化课10概率统计与其他知识的交汇问题 =p+P-… 题型1 可得卫-几1--号(，1-P-,且B-B- [例1门[解](1)经过2秒机器人可能位于的区战为P, (得+号×号）)-号- Q,Q1: 经过3秒机器人可能位于的区减A,B1,B2,C1,C2,C3 所以(D1一卫，)是首项为号，公比为一子的等比鼓列 (2)由已知若经过2秒机器人住于区域Q,那么经过1秒机器 人必位于区域B2,记M=“经过1秒机器人位于区战B2”,N =“从区域B出发，经过I秒机器人到达区战Q”,所以MN “经过2秒机器人位于区藏Q” 期P0=子PN)= 1 所以P(MN)=P(MDP()-号X专-言 1 由累如法，可得卫，-A+[日+古（一号）广+日（号） 即经过2秒机器人位于区城Q的概牵为6 (3)机器人的运动路线为：P一AUB UB.一PUQUQ1一AU +()门-号+号× 1-(-) B:UB2 UC UC:UCs -PUQUQ-AUB,UB2 UCUC: UC一…， ÷×(-号). 设经过n秒机器人位于区域Q的概率为a。, 则当n为奇数时，4=0， 所以P=是+×(-号)”， 1 则当n为锅数时，“？=石，经过n秒机器人位于区城Q1的概 =P[+片×()] 率也为an,经过n秒机器人位于区拔P的概率为1一2a 当经过n秒积器人位于区城Q的条件下， 所以2阳号授篮命中的率为[+片×（一）门]×号 经进0十2秒机器人位于区线Q的概单为：日×号十号×1十 30号维命中的为[+×（号）门××号 [+×()”门x 当经过n秒机器人位于区战Q1的条件下， 经这+2行机器人位于区城Q的概率为：宁×号=名 因为×(-)”0>×(-吉) 所以29号投篮命中概率大于30号投篮命中概率， 当经过n秒机器人位于区域P的条件下， 题型2 [例2][解](1)当n=2时，X的所有可能取值为0,1,2，则 经这十2书机器人位于区Q的概幸为：了×号=行 P(X=0)= 2 e-品Prx=1ve- 由全机率公式得a+2=号，十行4十名（1-24，)=日十 C C95’ P(X=2)= G=90' 1 2 dw. 所以X的分布列为： 设n=2k.k∈N”,则42+2=22十6· X 0 1 11 11 P 153 190 95 19d 所以载列{a一号}是等比裁到，共首项为0一号 1 公比为 X=0×15色3+11°+2×1905 (2X=1的率为P(X=1)=CC2=20业，1≤n≤ C 190 所以-吉=-名（合）》即4=吉号(）产 20,且n∈N+· 综上，当n为奇数时，经过n秒机器人位于区城Q的概率为0： 因为n(20-)≤「4+(20-)72 =100,当且仅当n=20一1， 2 当m为侣数时，经过m秒机器人位于区线Q的概率为司 即n=10时等号成立， 所以当n=10时，X=1的概率P(X=1)取最大值，最大值 (安) 是品 523金榜题名 创新高考总复习数学北师大版 第7节二项分布、超几何分布与正态分布 ★[课程标准] 1.理解n次独立重复试验的模型及二项分布.能解决一些简单的实际问题. 2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用. 3.理解正常分布的特点，并能解决一些简单的实际问题. 夯实，必备知识 教材夯实强基固本 必备知识学握 四、正态分布 一、n重伯努利试验 1.定义：由误差引起的 型随机变量其分 1.伯努利试验：把只包含 可能结果的试 布密度函数图象如图，对应的分布密度函数解 验叫作伯努利试验.我们将一个伯努利试验独 析式为9o(x)= ,x∈(-o∞， 十∞)，其中实数，o(o>0)为参数，这一类随 立地重复进行n次，且每次实验的结果都不受 机变量X的分布密度（函数）称为正态分布密 其他试验结果的影响，称这样的n次独立重复 度（函数），简称正态分布，对应的图象为正态 试验为 分布密度曲线，简称为 2.n重伯努利试验的特征 f(x)1 (1)同一个伯努利试验重复做 次： (2)各次试验的结果 二、二项分布 1.定义：一般地，在重伯努利试验中，设每次成 0 功的概率为p(0<p<1),用X表示这n次试 2.正态分布的特点 验中成功的次数，则X的分布列为P(X=k) 如果一个随机变量X服从正态分布，那么对 ,k=0,1,2,…,n. 于任何实数a,b(a<b),随机变量X在区间 如果随机变量X的分布列具有上式的形式， (a,b们的概率可以用 来表示.它的 则称随机变量X服从参数为，p的二项分 几何意义就是随机变量X的分布密度曲线在 布，记作 区间(a,b]对应的 的值（如图 2.二项分布的均值与方差：如果X~B(n,p),那 所示). 么EX= .DX= f(x) 三、超几何分布 1.定义：一般地，设有N件产品，其中有M(M≤ N)件次品.从中任取n(n≤N)件产品，用X表 示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X= fr k)= ,max{0,n-(N-M)}≤k≤ 如果随机变量X服从正态分布，那么这个正 min{n,M}.其中n≤N,M≤N,n,M,N∈N+. 态分布完全由参数以，o(c>0)确定，记为 公式中的k可以取的最小值为max{0,n一(N ,其中EX= .DX= 一M)},而不一定是 3.正态曲线的性质 若一个随机变量X的分布列由上式确定，则 (1)曲线在x轴的 方，与x轴 称随机变量X服从参数为N,M,n的超几何 (2)曲线是 的，关于直线 对称 分布. (3)曲线的最高点位于x= 处 2.服从超几何分布的均值 (4)当x<μ时，曲线 ;当x>4时，曲线 一般地，当随机变量X服从参数为N,M,n的 ;并且当曲线向左、右两边无限延伸 超几何分布时，其均值为EX= 时，以x轴为 (如图所示). 260 主题四第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布列 f(x (3)二项分布是一个概率分布列，是一个用公 式P(X=k)=Cp(1-p)"-k,k=0,1,2,… n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复 试验中事件A发生次数的概率分布.() (④)小王通过英语听力测试的概率是？，他连 因为正态分布完全由：和。确定，所以正态 续测试3次，那么其中恰好第3次测试获得通 曲线还具有下列特点： 过的概率是P=心·（传}八·1-》-善 ①当。一定时，曲线的 由4确定，曲 线随着牡的变化而沿x轴 (5)当4一定时，曲线的形状由。确定，σ越小， ②当4一定时，曲线的 由。确定，a 曲线越“瘦高”，σ越大，曲线越“矮胖”.() 越大，曲线越“ ”,表示总体的分布越 (6)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其 :σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体 中女演员的人数X服从超几何分布.() 的分布越 ◆[小题查验] 4.3g原则 1,(BSD选择性必修第一册P2o7例1改编)鸡接 如图，正态分布随机变量X在区间（一ō，十 种一种疫苗后，有90%不会感染某种病毒，如 a](σ>0)上取值的概率为阴影部分的面积. 果有5只鸡接种了疫苗，则恰好有4只鸡没有 感染病毒的概率约为 (） A.0.33B.0.66 C.0.5 D.0.45 2.随机变量X的概率分布密度函数∫(x)= Le(x∈R),其图象如图所示，设P(X o√2x ≥2)=p,则图中阴影部分的面积为( H-o p ufu 特别地，P(4一o<X≤4十o)≈0.6826， P(4-2a<X≤4+2a)≈0.9544， P(μ-3o<X≤4+3a)≈0.9974. 因此，随机变量X在区间(4一σ，“十o A.p B.2p (4-2o,+2o],(一3o,+3o]上取值的概率 分别约为68.3%，95.4%，99.7%.而随机变量 C.P D.1-2p 3.有10件产品，其中3件是次品，从中任取2 X在区间(4一3o,十3σ]外取值的概率只有0. 件，用X表示取到次品的个数，则EX等于 3%,通常认为这种情况在一次试验中几乎是 ( ,认为是小概率事件.因此，在 实际应用中，通常认为服从正态分布N(以，σ) R是 c墙 D.1 的随机变量X只取区间(4一3o,以+3a]之间的 4.(混淆二项分布与超几何分布致误)箱子里有 值，并称之为 原则. 5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若 自主诊断查验 取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白 ◆[思考辨析] 球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括 的概率为 号里打“√/”，错误的打“×” A.C C (倍×号 (1)某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮 中命中的次数X是一个随机变量，且X n.c×(g)'x B(10,0.6). () 5.(对正态分布的性质及意义不熟悉致错)随机 (2)正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积 变量：服从正态分布~N(4,a2),若P(4一2 是随参数4，σ的变化而变化的， ≤≤)=0.241，则P(>4十2)= 261 金榜题名创新高考总复习数学北师大版 跃升>关键能力 层级突破素养提升 题型1 二项分布及其应用 跟踪训练 [命题点1]独立重复试验与二项分布 1.(2025·福州模拟)福州纸伞是历史悠久的中 [典例1](2025·河南模拟)中国教育国际交 国传统手工艺品，属于福州三宝之一.纸伞的 流协会主办的联合国国际教育日一中国活动 制作工序大致分为三步：第一步削伞架，第二 在京举办，活动主题为“她改变：女童和妇女教 步裱伞面，第三步绘花刷油.已知某工艺师在 育与可持续发展”，教育部副部长、中国联合国 每个步骤制作合格的概率分别为子，专，号，只 教科文组织全国委员会主任田学军以视频方 式出席活动，来自20多个国家的驻华使节、国 有当每个步骤制作都合格才认为制作成功 际组织代表和专家学者在线参加活动.会前有 1次. 两种会议模式可供选择，为此，组委会对两种 (1)求该工艺师进行3次制作，恰有1次制作 方案进行选拔：组委会对两种方案的5项功能 成功的概率： 进行打分，每项打分获胜的一方得1分，失败 (2)若该工艺师制作4次，其中制作成功的次 的一方不得分.已知每项功能评比中，方案一 数为X,求X的分布列 获胜的概率为号（每项得分不考虑平局的 情况). (1)求打分结束后，方案一恰好领先方案二1 分的概率： (2)设打分结束后方案一的得分为随机变量 X,求X的分布列. [尝试解答] 卜[命题点2]二项分布的期望与方差 [典例2]为了响应全民健身和运动的号召，某 单位举行了羽毛球趣味发球比赛，规则如下： 每位选手可以选择在A区发球2次或者B区 发球3次，球落到指定区域内才能得分.在A 区发球时，每得分一次计2分，不得分记0分， 在B区发球时，每得分一次计3分，不得分记 0分，得分高者胜出.已知选手甲在A区和B …方法指导 区每次发球得分的概率分别为号，号 判断某随机变量是否服从二项分布的关 (1)如果选手甲从在A区和B区发球得分的 键点： 期望值角度考虑，问选手甲应该选择在哪个区 (1)在每一次试验中，事件发生的概率相同. 发球？ (2)各次试验中的事件是相互独立的， (2)如果选手甲从在A区和B区发球得分的 (3)在每一次试验中，试验的结果只有两个， 方差角度考虑，问选手甲应该选择在哪个区 即发生与不发生 发球？ 262 主题四第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布列 [尝试解答] 题型2 超几何分布 [典例] (2025·山东枣庄测试)一批笔记本电 脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台， 如果从中随机挑选2台，设挑选的2台电脑中 A品牌的台数为X: (1)求X的分布列： (2)求X的均值和方差. [尝试解答] 方法指导 二项分布的期望与方差 (1)如果~B(n,p),则用公式E=np:D= np(1一p)求解，可大大减少计算量. (2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之 具有线性关系的另一随机变量服从二项 分布，这时，可以综合应用E(aE十b)=aEE 十b以及E:=np求出E(a十b),同样还 可求出D(a+b). 1跟踪训练 2.(2025·上海复旦附中模拟)已知随机变量X 服从二项分布B(12,0.25),且E(aX-3)=3 (a∈R),则D(aX-3)= 3.(2025·北京延庆模拟)已知某计算机网络的 服务器有三台设备，只要有一台能正常工作， 方法指导 计算机网络就不会断掉.如果三台设备各自能 1.超几何分布的两个特点 正常工作的概率都为0.8，它们之间互相不影 (1)超几何分布是不放回抽样问题， 响.设能正常工作的设备数为X. (2)随机变量为抽到的某类个体的个数， (1)求X的分布列： 2.超几何分布的特征：(1)考查对象分两类； (2)求E(X)和D(X): (2)已知各类对象的个数：(3)从中抽取若 (3)求计算机网络不会断掉的概率. 干个个体，考查某类个体个数X的概率分布， 3.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类 别的小球等概率模型，其实质是古典概型， 0跟踪训练 (2025·济宁月考)某学校对食堂饭菜质量进 行满意度调查，随机抽取了200名学生进行调 查，获取数据如下： 满意度 满意 不满意 弃权 性别 男生 80 30 10 女生 50 20 10 263 金榜题名创新高考总复习数学北师大版 (1)用频率估计概率，该校学生对食堂饭菜质 A.若8：00出门，则乘坐公交上班不会迟到 量满意的概率； B.若8：02出门，则乘坐地铁上班不迟到的可 (2)用分层抽样的方法从上表中不满意的50 能性更大 人中抽取5人征求整改建议，再从这5个人中 C.若8：06出门，则乘坐公交上班不迟到的可 随机抽取2人参与食堂的整改监督，则抽取的 能性更大 2人中女生的人数X,求X的分布列和期望. D.若8：12出门，则乘坐地铁上班几乎不可能 不迟到 题后反思 利用正态分布求概率的两个方法 (1)对称法：由于正态曲线是关于直线x=: 对称的，且概率的和为1，故关于直线x= 对称的区间上概率相等.如： ①P(X<a)=1-P(X≥a): ②P(X<-a)=P(X>u十a). (2)“3o”法：利用X落在区间(4一o,4十σ]， (4一2o,u十2o],(4一3a,以十3o]内的概率 分别是0.6826,0.9544,0.9974求解. 题型3 正态分布 ●[命题点2]正态分布的实际应用 [命题点1]正态分布的概率计算 [典例](2025·全国模拟)为了切实维护居民 1.(多选)(2024·新课标I卷)随着“一带一路” 合法权益，提高居民识骗防骗能力，守好居民 国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动 的“钱袋子”，某社区开展“全民反诈在行动 茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位： 反诈骗知识竞赛”活动，现从参加该活动 万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出 的居民中随机抽取了100名，统计出他们竞赛 口后亩收人的样本均值x=2.1,样本方差2= 成绩分布如下： 0.01,已知该种植区以往的亩收人X服从正 成绩（分）[40,50)[50,60)[60.70)E70,80)[80.90)[90,100] 态分布N(1.8,0.12),假设推动出口后的亩收 人数 2 4 22 40 28 4 入Y服从正态分布V(x,s2),则（若随机变量 (1)求抽取的100名居民竞赛成绩的平均分x Z服从正态分布N(以，a2),P(Z<十a)≈ 0.8413) 和方差2（同一组中数据用该组区间的中点值 ( A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5 为代表)： C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8 (2)以频率估计概率，发现该社区参赛居民竞 2.(多选)(2025·全国模拟)赵先生早上9：00上 赛成绩X近似地服从正态分布N(:,o),其中 班，上班通常乘坐公交加步行或乘坐地铁加步 4近似为样本成绩平均分x,σ2近似为样本成 行.赵先生从家到公交站或地铁站都要步行 绩方差2，若μ一o<X≤μ十2a,参赛居民可获 5min,公交车多且路程近一些，但乘坐公交路 得“参赛纪念证书”；若X>十2a,参赛居民可 上经常拥堵，所需时间（单位：min)服从正态分 获得“反诈先锋证书”. 布N(33,4),下车后从公交站步行到公司要 ①若该社区有3000名居民参加本次竞赛活 l2min:乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所 动，试估计获得“参赛纪念证书”的居民人数 需时间（单位：min)服从正态分布N(44,22), (结果保留整数)； 下地铁后从地铁站步行到公司要5min.从统 ②试判断竞赛成绩为96分的居民能否获得 计的角度，下列说法中正确的是 “反诈先锋证书” 参考数据：若Z~N(以，a),则P(4一o<Z≤ 附：若X一N(4,o2),则P(4一<X≤4十σ)≈ +a)≈0.6826，P(-2a<Z≤4十2a)≈0.954 0.6826,P(4-2a<X≤μ+2a)≈0.9544， 4,P(u-3a<Z≤+3a)≈0.9974. P(4-3a<X≤十3σ)≈0.9974. 264 主题四第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布列 [尝试解答] (1)求4与a: (2)假设这批零件的内径Z(单位：cm)服从正 态分布N(,o2). ①从这批零件中随机抽取10个，设这10个零 件中内径大于107cm的个数为X,求D(2X十 1):(结果保留5位有效数字) ②若该车间又新购一台设备，安装调试后，试 方法指导 生产了5个零件，测量其内径分别为76,85， (1)利用3。原则求概率问题时，要注意把给 93,99,108(单位：cm),以原设备生产性能为 出的区间或范围与正态变量的以，σ进行 标准，试问这台设备是否需要进一步调试，说 对比联系，确定它们属于(4一o,4十σ)， 明你的理由 (μ-2a,4+2a),(4-3a,4+3a)中的哪 参考数据：若X~N(,o2),则P(4一2a<X< 一个 u+2a)≈0.9544，P(4-3o<X≤4+3a)≈ (2)利用正态分布密度曲线的对称性研究相 0.9974,取0.99744=0.99. 关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线 关于直线x=以对称，及曲线与x轴之间 的面积为1.注意下面两个结论的活用： ①P(X<a)=1-P(X>a);②P(X<-c) =P(X≥μ十o) 跟踪训练 (2025·全国模拟)某车间生产一批零件，现从 中随机抽取10个零件，测量其内径的数据如 下（单位：cm): 8787889295979899103104 设这10个数据的平均值为以，标准差为σ. 请完成课时冲关65 [热点化课10)]博率统计与其他知识的交汇问题 1.概率与统计是高考中相对独立的一块内容，处理问题的方式、方法体现了较高的思维含量。 该类问题以应用题为载体，注重考查学生的应用意识及阅读理解能力、分类讨论与化归转化能力. 2.概率问题的核心是概率计算，其中事件的互斥、对立、独立是概率计算的核心.统计问题的核 心是样本数据的获得及分析方法，重点是概率统计与数列、不等式、函数、导数等内容相互渗透，背 景新颖。 题型1( 概率统计与数列的交汇 (2)求经过2秒机器人位于区域Q的概率； (3)求经过n秒机器人位于区域Q的概率. [例1](2025·山东聊城 [尝试解答] 一摸)如图，一个正三角 形被分成9个全等的三 角形区域，分别记作A, B1,P,B2,C1,Q1,C2,Q, C3.一个机器人从区域P 出发，每经过1秒都从一个区域走到与之相邻 的另一个区域（有公共边的区域），且到不同相 邻区域的概率相等。 (1)分别写出经过2秒和3秒机器人所有可能 位于的区域； 265