第6节 离散型随机变量的分布列及均值与方差-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

4.解析：同时抛辉两颗骰子共有6X6=36种结果： 其中“红散子向上的点数大于2”共有4×6=24种结果， (2)由巴知得PA)=PB)=(1-号)×(1-十)=子： PA-酷号： P(A2)=P(B:)=Z “红觳子向上的点数大于2"且“两颗骰子的点数之和等于6” 有83.4,2.6，共3种结果，则P4)-263-五 PA)=P(B,)=(1-号)×=b 7 PA)=PB,)=名 P(BIA)= P(AB)127 P(A) 2 8 设C为“星队在一次比赛中的总得分为5分”， 3 C=(A B )U(A:B)U(A B:)U(As B ) 7 则P(C)-P(A。B)+P(A2B)+P(AB)+P(AB) 答案： =P(A)P(B:)+P(A2 )P(B)+P(A )P(B)+P(A:)P(B) 题型2 1 典例]（)[解折]PA1B)=.P(BA .P(AIB)-PCBIA- 所以“星队“在一次比赛中的总得分为5分的概率是行 跟踪训练 .P(A)=P(B) 1.A[设事件A表示丢失一箱后任取两箱是英语书，事件B, 又P(不)=￥∴PA)=1-P= 表示丢失的一箱为k,k=1,2,3分别表示英语书、数学书、语 C P(B)=:选B 文书.南企概率公式得P)=之P(B)P(AB)=号× [答案]B C￥ 3Cg_8=2 (2)[解析]由题意知，P((AUB)C)=P(AC)十P(B1C) +号×是+品×8号] 1 2.解：(1)记事件A表示“任取的一箱为第1箱零件”，则=1,2,3： .P(BIC)=P(BNC)18 8 记事件B表示“第j次取到的是一等品”，则广=1,2： P(C) 1 3 6 由题意得P(A1)=PA,)=P(A)=3· 则P(AC=P(AUB)C)-P(B1C=8- 5 9 3-9· PAA)-器-a.4 [答案] 5 P1A)号-0.4，PAA)-器-0.6 恩踪训练 L.ACD[A中，P(BIA)+P(BA)=P(AB)+PCAB)= 由全桃率公式得P(B)=P(A1)P(BA)+P(A)P(B1A) P(A) P(A) +PA)P(B1A)=×0.4+0.4+0.6)= PA,故A正确： B中，设A,B独立，则P(BA)+P(BA) 所以，先取由的套件是一等品的能率为品 =2P(B),而P(B)显然不一定为之，故B错误： 阳马A)是-是岳A-是-品 C中，A,B独立，则P(AB)=P(A)P(B), 则PAB==P,故CE: P(B,B.IAa) C=23 一65 D中，A,B互斥，P(AB)=0,则根据条件概率公式P(B引A)= 由全挑率公式得：P(BBg)=P(A)·P(BBIA)十P(A) P(AB)=0,故D正确. 2.解斩：因为PAB)=言，PB)=是PB)=PABP(B ·P(B1A)+P(A)·P(BA=号× =×= (器+器+需)-280.2 所以两次取出的零件均为一等品的概率均为0.22。 ÷PAUB)=PA+P有B)=专+-是 3 第6节离散型随机变量的分布列及均值与方差 3 答案： 夯实·必备知识必备知识掌握 题型3 一、1.试验结果 [典例门(1)[解析]设事件A:表示”乙球员担当前锋”，事件 2.一一列举 A2表示“乙球员担当中锋”，事件A表示“乙球员担当后卫”， 二、1.pp 事件B表示“当乙球员参加比赛时，球队输球”， 2.(1)>(2)1 P(B)=P(A)P(B A)+P(A2 )P(BA2)+P(As)P(B A) 三，1-p =0.2×0.4+0.5×0.2+0.3×0.8=0.42. 所以当乙琼员参加比赛时，孩球队这场比赛不输球的概率为 四、l.1p1十p2十…十p。 2.偏离程度加权平均平均偏离程度 1-0.42=0.58. [答案】C 3.E(aX+b)aEX+6 DX aDX a2DX (2)[解](1)设A,Ag·A·A分别表示在一次比寒中甲得 五、1.中心平均水平 分的事件，B,B2·B,B分别表示在一次比赛中乙得分的 2.越小分散 事件， 自主诊断查验思考辨析 因为在一次比赛中甲得2分的概率为三·乙得5分的概率 (1)√(2)×(3)√(4)√ 小题查验 1C[“放回五个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球， 故=6.门 1 [P(A2)=p(1-9)=2' 所以 1 2.ACD[因为9十0.4十0.1+0.2+0.2=1，所以9=0.1，故A 1 即p-6= 正确：又EX=0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2十4×0,2= P(B)=pg=6· 2,DX=(0-2)2×0.1+(1-2)2×0.4+(2-2)2×0.1+ 2 1 (3-2)2×0.2+(4-2)2×0.2=1,8,故C正骟：图为Y=2X 解得p=34=4 +1,所以EY=2EX十1=5，DY=4DX=7.2,故D正确，] 519 3.D[由题可知，X可能取0,1,2,4，则 (2)由题意知，X的可能取值为0,1,2,3,4. )P(x=1)=X2Px=2)=CX1=1 P(X=0)= 1 9=,Px=i)=Cg=5 A A P(X=4)= 1 1 2 P(X=2)= C-,P(X-3)= 9- 1113 P(X=0)=1-3-42i8' C 1 则EX=0x号+1x号+2x+4×7=1.] P(X=)==夜 所以X的分布列为： 4,解析：一件一件不放回地抽取4件，可以看成一次抽取4件， X 0 1 2 3 4 故共有C。种可能的结果，设事件A为“4件中恰有1件次 10 5 1 品"，则事件A合有C×C种结果，所以P(A)=CXC 42 21 21 21 42 跟踪训练 解：(1)设“三个区市民接种的疫苗批号中给好有两个区相同” 答案：日 为事件A, 5.解析：由题设，DX=42=16,故D(2X一1)=4DX=64, 则P(A)= =品，戡所求的概率为品 所以新数据的标准差为8. (2)随机变量X的所有可能取值为：1,2,3,4， 答案：8 跃升·关键能力题型1 P(X=1D-1+CA-10-5 43 64=32' 1.C[依题意，k十6k十0.3=1，解得k=0.1, 所以P(号<X<2)=PX=1)+PX=2)=0.6+0.3 P(X=2)= CA+CgA+1_22_11 43 -64-32' 0.9.故选C,] P(X-3)-gA号+CgN+1_221且 2.ABC[选项A,由已知可得，a+2a十3a+4d+5a=1,即15a 43 64-32 =1,故该选项正确：选项B,P(0.4<0.8)=P(一0.6) P(X=4)= 1+CA10=5 43 6432' 3a=后=0.2，故孩选项正确：选项CP(0.1<<0.6)=P(g 所以X的分布列为： -0.2)+P-0.4)-P(=吉)+P(=号)-6+品 X 1 2 3 4 11 11 0.2,故该选项正确：选项D.P(g=1D=言×5=令≠0.3，故 P 32 32 该选项错误，门 题型3命题点1 3.解析：由题意知p2=p1十d,pg=p1十2d,1十p:十p1= [典例1[解] (1)由题意，得0.1十0.2十0.3+0.1+1十21= 1..t=0.1. 3p1+3d=1,p1=3-d. X的分布列为： 又01.0-d1d-号< X2022 24262830 同理，南0<1A=d计名号<<号 1 P0.10.20.30.10.10.2 .EX=20×0.1+22×0.2+24×0.3+26×0.1十28×0.1十 30×0.2-25, 中公差山的取值范国关[一方号]】 DX=(-5)2×0.1+(-3)”×0.2+(-1)2×0.3+1°×0.1 +32×0.1+52×0.2=10.6. 答案：「-1.17 (2)设此人一天中出车一次的收入为Y元，则Y=3(X一3)十5 L33 =3X-4(X>3,X∈N), 题型2 .EY=E(3X-4)+5=3EX-4=3X25-4=71,DY=D(3X [典例1门[解](1)设甲在三个项目中获胜的事件依次记为 -4)=32·DX=95.4. A,B,C,所以甲学校获得冠军的概率为P一P(ABC)十 故此人一天中出车一次收入的均值为71元，方差为95.4. P(ABC)十P(ABC)+P(ABC)=0.5X0.4×0.8十0.5X0.4 ×0.8+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2=0.16+0.16+0. [典例2】[解]()依题意，(6一a)+6十a=1,解得=分 24+0.04=0.6. (0≤a≤1. (2)依题可知，X的可能取值为0,10,20,30，所以 P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16, 0<号-1，解得0a<号所以0a<6= P(X=10)=0.5×0.4×0.8+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4× 0.2=0.44, （2)由1)知，EBg=b+2a=7+2a,Dg=Bg)-(E2=号十 P(X=20)=0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6× 0.2=0.34, 4a-(侵+2a)=-4(e-)）广+号，所以当a=时，0 P(X=30)=0.5×0.6×0.2=0.06 即X的分布列为： 取得最大植 X 10 20 30 跟踪训练 0.16 0.44 0.34 0.06 1.解：1)由题意可知了十日十p=1,解得p=名 期望EX=0×0.16十10×0.44十20×0.34+30×0.06=13. 又EX=0号+1×号+×-号得-2 L典例2][解](1)由题意可得共有CC号=100（种）不同的 抽法， Dx=(0-号)x+(1-号)×+(2-号)× 袖取的四个球中，标号为1,2，或1,3的种数有CCC, 标号为2,3的种数有C,抽到1,2,3的种数有C 合计CCC+C+C=34(种)不同的抽法， 所以抽取的四个球中，标号为1,2,3的三个球中至少有两个 (2y-X+4DY-Dx-吾 的能率为酷-品。 (3)Z-=2-3X.dD2=D2-3X0=9DX=9x营=5. 520 命题点2 C 7 [典例3][解](1)由题意，得 3.A[法一：X的可能取值为0,1,2，P(X=0)= EX1=0.3×0.2+0.18×0.5+0.1×0.3=0.18. DX1=(0.3-0.18)2×0.2+(0.18-0.18)2×0.5+(0.1 =1)= -PX=2) C。 =言所以EX=1×名+2 0.18)2×0.3=0.0048, EX2=0.25×0.2+0.15×0.8=0.17, DX2=(0.25-0.17)2×0.2+(0.15-0.17)2×0.8= 0.0016, 法二：从10产品中任取一件为次品的概率是力=高，由于X E(aX+b)=aEX+b.D(aX+b)=a2DX. 展从想几行分有，故EX=p=2×是=号.] 又Y1=100X1,Y2=100X2,得EY1=100×0.18=18,DY1= 4.B[由题意知，第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球 1002×0.0048=48, 是黑球，第四次取的球是白球的情况，此事件发生的概率为 EY2=100×0.17=17,DYg=1002×0.0016=16, 因此投资甲的平均利润18万元大于投资乙的平均利润17万 ()×÷ 元，但投资甲的方差48也远大于投资乙的方差16.所以授资 5.解析：随机变量E服从正态分布E~N(,a2), 甲的平均利润大，方差也大，相对不稳定，而投资乙的平均利 .P(-2≤≤十2)=2P(u-2≤)=0.482， 润小，方差也小，相对稳定，若长期授资可选择校资甲，若：期 授资可选投资乙. P(>+2)=专1-Pg-2<<+21=立×1 (2)设x万元投资甲，别(100一x)万元投资了乙， 0.482)=0.259 则投资甲的利润Z,=xX,,投资乙的利洞Zg=(100一r)Xg· 答案：0.259 设f(x)为投资甲所获利润的方差与投资乙所旋利润的方 跃升·关键能力题型1命题点1 差和， [典例1门[解](1)设打分结来后，方案一恰好顿先方案二1 则f(x)=DZ1+DZ2=x2DX1+(100-x)DX2=0.0048x 分为事件A,由题可得方案一5项功能获胜3项，所以P(A) +0.0016(100-x)2=0.0016(4x2-200x+10000), =心（号）》'（号）=器即所求的耗率为器 当x=一，00=25时，x)的值最小. 故此时甲项目投资25万元，乙项日授资75万元，可使所获利 (2)由题意可知X~B(5,号）PX=0)=(号)广=2布： 润的方差和最小， PX=D=C×号×（号）'-0PX=2)=心×（号） 跟踪训练 2.解：(1)由题意得，X的可能取值为0,4,10， ×(合)广=是X=)=×(号)广'×（号）-0 所以P(X=0)=1一0.8=0.2，P(X=4)=0.8X (1-0.7)=0.24,P(X=10)=0.8×0.7=0.56, PX=4)=g×(号）广×（号）广=器PX=)=(号) 所以X的分布列为： 32 0 4 10 =器·则随机变量X的分布列为： 0 4 5 0.2 0.240.56 (2)由(1)可得E(X)=0×0.2+4×0.24+10×0.56=6.56. 1040808032 若甲同学先进行“机器人操作”，记Y为甲同学的累计得分， 243243243243243243 的可能取值为0,6,10， 跟踪训练 所以P(Y=0)=1-0.7=0.3,P(Y=6)=0.7× (1-0.8)=0.14,P(Y=10)=0,7×0.8=0,56, 1,解：1)由题言可知，1次制作成功的概串为号×青×号 所以E(Y)=0×0.3+6×0.14+10×5.6=6.44, 因为E(X)>E(Y),所以甲同学应该选择先进行“无人机表 所以该工艺师进行3次制作，恰有1次制作成功的凝单P 演”比赛。 第7节二项分布、超几何分布与正态分布 ×号×()-品 夯实·必备知识必备知识掌握 (2)由题意知X的可能取值为0,1,2.34，X一B(4,号） 一、1.两个n重伯努利试验 它的分布列为P=)=(号)广(1-号) (k=0.1,2 2.(1)n(2)相互独立 二，1.Cp(1-p)m-kX一B(m,p) 3,4),即 2.np np(1-p) X 0 1 2 3 三1. CuCM 0 81 216 216 96 16 C 625 625 625 625 625 2兴 命题点2 L典例2] [解] (1)设选手甲在A区发2次球得分的次数为 四，1.连续 e正态曲线 1 X,则X~B(2.号) 2.P(a<X≤b)曲边梯形面积X一N(:,)性a 3.)上不相交(2)单峰x=:(3)#(4)上升下降 所以EX=2x号-子 渐近线①位置平移②形状矮胖分散集中 4.不可能发生的3g 所以甲在A区发球得分的期望为E(2X)=2EX=2×号 自主诊断查验思考辨析 (1)√(2)×(3)/(4)×(5)√(6)/ 小题查脸 设选手甲在B区发3次球得分的次：为Y,则Y~B(3,号)： 1,A[设5只接种投苗的鸡中没有感染病毒的只数为X,则X B(5,0,9),所以P(X=4)=C×0.9×0.1≈0.33.] 所以EY=3×号=1， 2.C[由题意可知X~N(1,a),则P(X≤0)=P(X≥2)=p, 所以甲在B区发球得分的期望为E(3Y)=3EY=3×1=3. 故周中阴影部分的面积为号一A] 由于3>号，所以选手甲应该选择在B区发球。 521主题四第十章计数原理、概率、随机变量及其分布列 方法指导 2.(2025·全国模拟)有3箱同种型号零件，里面 1.利用全概率公式的思路 分别装有50件，30件、40件，而且一等品分别 (1)按照确定的标准，将一个复合事件分解为 有20件、12件和24件，现在任取一箱，从中不 若千个互斥事件A:(i=1,2,…,n); 放回地先后取出2个零件 (2)求P(A:)和所求事件B在各个互斥事件 (1)求先取出的零件是一等品的概率： A,发生条件下的概率P(B|A,); (2)求两次取出的零件均为一等品的概率（结 (3)代入全概率公式计算. 果保留两位小数). 2.全概率公式P(B)=2P(A;)P(B|A,)在 解题中体现了“化整为零、各个击破”的转 化思想，可将较为复杂的概率计算分解为 一些较为容易的情况分别进行考虑· 跟踪训练 1.“送出一本书，共圆读书梦”，某校组织为偏远 乡村小学送书籍的志愿活动，运送的卡车共装 有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3 箱语文书.到目的地时发现丢失一箱，但不知 丢失哪一箱.现从剩下9箱中任意打开2箱都 是英语书的概率为 A号 请完成课时冲关63 第6节 离散型随机变量的分布列及均值与方差 ★[课程标准] 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性. 2.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念 3.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题. 夯实>必备知识 教材夯实强基固本 必备知识学握 一、随机变量的概念与表示 P(X=xi) p P2 1.随机变量概念：取值随着 的变化而变 化的量称为随机变量.随机变量常用字母X, 上式称为离散型随机变量X的分布列，简称X Y,,n等来表示. 的分布列. 2.离散型随机变量：取值能够 出来的随 2.离散型随机变量分布列的性质 机变量称为离散型随机变量. (1)p 0(i=1,2,…,n,…): 二、离散型随机变量的分布列 (2)p1十p2+…十pn+…= 1.离散型随机变量的分布列 三、两点分布 若离散型随机变量X的取值为x1,x2,…, 若在某个试验中，每次试验只有两个相互对立 xn,…,随机变量X取x,的概率为 的结果，可以分别称为“成功”和“失败”，每次 (i=1,2,…,n,…),记作P(X=x:)= “成功”的概率均为p,每次“失败”的概率均为 (i=1,2,…,n,…),该式也可以列成表： ,则称这样的试验为伯努利试验. 255 金榜题名创新高考总复习数学北师大版 如果随机变量X的分布列如表： ·重要结论· 1.随机变量的线性关系 若X是随机变量，Y=aX+b,a,b是常数，则 P Y也是随机变量 其中0<p<1,q=1一p,那么称离散型随机变量 2.分布列性质的两个作用 X服从参数为p的两点分布（又称0一1分布或 (1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参 伯努利分布). 数的值 四、离散型随机变量X的均值与方差 (2)随机变量：所取的值分别对应的事件是两 1.均值：定义：设离散型随机变量X的分布列如 两互斥的，利用这一点可以求相关事件的 下表所示： 概率。 自主诊断查验 p2 ◆[思考辨析] 则称EX ∑x;p:为 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括 随机变量X的均值或数学期望（简称期望） 号里打“/”，错误的打“×” 2.方差：若离散型随机变量X的分布列为： (1)随机试验所有可能的结果是明确的，并且 不止一个 ( (2)离散型随机变量的所有取值有时无法一一 列出 ( 则(x;一EX)2描述了x:(i=1,2,…,n)相对于均 (3)随机变量的均值是常数，样本的平均值是 值EX的 ,而DX=E(X-EX) 随机变量，它不确定。 =∑(x,一EX)2p;为这些偏离程度的 (4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变 刻画了随机变量X与其均值EX的 量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越 我们称DX为随机变量X的方差，其算术平方 小，则偏离均值的平均程度越小. 根√/DX为随机变量X的标准差，记作σx ◆[小题查验] 3.均值与方差的性质：(1) 1.袋中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取 (2)D(X十b)= ,D(ax)= 1个球后，若取得黑球，则另换1个红球放回 D(aX+b)= 袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为， 五、离散型随机变量X的均值与方差的意义 则表示“放回5个红球”事件的是 L.均值的意义：均值EX刻画的是X取值的 A.=4 B.=5 C.=6 D.≤5 位置”，反映了离散型随机变量X 2.(多选)设离散型随机变量X的概率分布为 取值的 ,是随机变量X的一个重要 特征 0 2 3 2.方差的意义：随机变量的方差DX和标准差 0.40.10.20.2 σx都反映了随机变量的取值偏离于均值的平 若离散型随机变量Y满足Y=2X十1，则下列结 均程度.方差（标准差）越小，则随机变量偏离 果正确的有 ) 于均值的平均程度 :反之，方差（标准 A.9=0.1 B.EX=2,DX=1.4 差)越大，则随机变量的取值越 C.EX=2,DX=1.8 D.EY=5,DY=7.2 256 主题四第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布列 3.(变量取值不全致误)一人将编号为1,2,3,4 4.(BSD选择性必修第一册P21o实例分析改编) 的四个小球随机放入编号为1,2,3,4的四个 从10件产品（其中次品3件）中，一件一件不 盒子里，每个盒子里放一个小球，球的编号与 放回地任意取出4件，则4件中恰有1件次品 盒子的编号相同叫做放对了，否则叫做放错 的概率为 了，设放对的个数为X,则X的期望为( 5.若样本数据x1,x2,…,x1o的标准差为4，则数 A.2 B号 据2.1一1,2x2-1,…,2c10一1的标准差为 C.2 D.1 跃升>关键能力 层级突破素养提升 题型1〔离散型随机变量的分布列的性质 题型2( 离散型随机变量的分布列 1.(2025·辽宁沈阳期中)随机变量X的分布列 [典例1](2022·全国甲卷)甲、乙两个学校进 如下(k为常数)： 行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜 方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目 X 0 1 2 比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知 P 6k 0.3 甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5， 则P(传<X<)月 0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立. (1)求甲学校获得冠军的概率： A.0.6 B.0.7 C.0.9 D.1.2 (2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列 2.(多选)(2025·吉林长春市模拟)设随机变量 与期望。 的分布列为P(=)=ak,h=1,2,34,5),则 [尝试解答] A.15a=1 B.P(0.4<<0.8)=0.2 C.P(0.1<0.6)=0.2 D.P(=1)=0.3 3.(2025·曲靖模拟)随机变量X的分布列为 P 若p1,p2,p3成等差数列，则公差d的取值范围 是 解题技法 [典例2](2025·河南联考)在一个密闭不透 离散型随机变量的分布列的性质的应用 明的箱子中有五个浅色球，其中一个球的标号 (1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的 为1，另一个密闭不透明的箱子中有五个深色 取值范围或值； 球，其中两个球的标号为2,3. (2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率 (1)若在两个箱子中各抽取两个球，求抽取的 等于它取这个范围内各个值的概率之和” 四个球中，标号为1,2,3的三个球中至少有两 求某些特定事件的概率； 个的概率： (3)可以根据性质判断所得分布列结果是否 (2)若在两个箱子中共随机抽取四个球，记其 正确。 中浅色球的个数为X,求X的分布列. 257 金榜题名创新高考总复习数学北师大版 [尝试解答] 题型3〔离散型随机变量的期望与方差 ●[命题点1]期望、方差的计算 [典例1](2025·全国模拟)某网约车司机统 计了自己一天中出车一次的总路程X(单位： km)的可能取值是20,22,24,26,28,30，它们 出现的概率依次是0.1,0.2,0.3,0.1，t,2t. (1)求X的分布列，并求X的均值和方差； (2)若网约车计费细则如下：起步价为5元，行 驶路程不超过3km时，收费5元，行驶路程超 过3km时，则按每超出1km(不足1km也按 1km计程)收费3元计费.试计算此人一天中 题后反思 出车一次收入的均值和方差. 求解离散型随机变量X的分布列的步骤： [尝试解答] ①理解X的意义，写出X可能取的全部值； ②求X取每个值的概率；③写出X的分 布列 提醒：求离散型随机变量的分布列的关键是 求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要 注意应用计数原理、古典概型等知识. 跟踪训练 [典例2](2025·广东广州市玉岩中学模拟) (2025·广东深圳市高级中学模拟)某市卫生 已知随机变量：的分布列如下， 防疫部门为了控制某种病毒的传染，提供了批 0 1 2 号分别为1,2,3,4的四批疫苗，供全市所辖的 A,B,C三个区市民注射，每个区均能从中任 b-a b 选一个批号的疫苗接种， (1)求a,b的取值范围； (1)求三个区市民接种的疫苗批号中恰好有两 (2)当a为何值时，DE取最大值？并求出D的 个区相同的概率： 最大值 (2)记A,B,C三个区选择的疫苗批号的中位 [尝试解答] 数为X,求X的分布列. 题后反思 期望、方差的计算应熟练掌握期望、方差的计 算公式并掌握期望、方差的如下性质： 1.(1)E(aX+b)=aEX+b. (2)D(aX+b)=a2DX. 2.-个结论：DX=2(x-EX)p,=2xD, (EX)2 258 主题四第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布列 跟踪训练 方法指导 1.(2025·全国模拟)已知随机变量X的分布列 1.求离散型随机变量的均值与方差的方法 如表所示，且EX=子， (1)理解：的意义，写出：可能的全部取值； (2)求：取每个值的概率； 1 (3)写出ξ的分布列： (4)由均值的定义求E; 2 3 (5)由方差的定义求D. (1)求DX的值： 2.均值反映了离散型随机变量X取值的平均 (2)若Y=X+4,求DY的值： 水平，随机变量的方差DX反映了随机变 (3)若Z=23X,求DZ的值. 量的取值偏离于均值的平均程度，方差越 小，则随机变量偏离于均值的平均程度越 小：反之，方差越大，则随机变量的取值越 分散. ①跟踪训练 2.(2025·内蒙古赤峰模拟)为了丰富学生的课 余生活，赤峰四中决定举办竞技比赛.比赛分 [命题点2]决策问题 为“无人机表演”和“机器人操作”两个项目，选 [典例3](2025·河北张家口模拟)已知投资 手两个比赛项目的顺序自选，若第一个项目不 甲，乙两个项目的利润率分别为随机变量X 过关，则淘汰：若第一个项目过关则进行第二 和X2.经统计分析，X1和X2的分布列分别为 个项目比赛，无论第二个项目是否合格，比赛 表1： 都结束.“无人机表演”比赛合格得4分，否则 X 0.3 0.18 0.1 得0分；“机器人操作”比赛合格得6分，否则 得0分. 0.2 0.5 0.3 已知博文同学参加“无人机表演”比赛合格的 表2： 概率为0.8，参加“机器人操作”比赛合格的概 X2 0.25 0.15 率为0.7. (1)若博文同学先进行“无人机表演”比赛，记 P 0.2 0.8 X为博文同学的累计得分，求X的分布列： (1)若在甲、乙两个项目上各投资100万元，Y (2)为使累计得分的期望最大，博文同学应选 和Y2分别表示投资甲、乙两项目所获得的利 择先进行哪项比赛？并说明理由， 润，求Y1和Y2的数学期望和方差，并由此分析 投资甲、乙两项目的利弊； (2)若在甲、乙两个项目总共投资100万元，求在 甲、乙两个项目上分别投资多少万元时，可使所 获利润的方差和最小？注：利润率= 利涧 投资额 [尝试解答] 请完成课时冲关64 259