第5节 条件概率与全概率公式-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

若PM0=合，PN)=子，PMnN)=名当M.N为相互 第5节条件概率与全概率公式 做立事件时，P(N)=1-P(N)=号，PMn=号×号 夯实·必备知识必备知识掌握 寻故⑩错送 一、2.P(BA)=P(B) 3.(1)1(2)P(B1A)+P(CA)(3)1-P(BA) 若PM)=号P(N)=号，PMnN)=吾，期PMnN) 自主诊断查验思考辨析 (1)×(2)×(3)√(4)/ P(M)P(N)-P(MON)=1-P(MON). 小题查验 由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M,N 为相互独立事件，故⑤正确. 1.Aw-0-音-名 P(A) [答案]4 5 跟踪训练 C[由题意可得：PA)=,P(B)=十， 2.C[因事件A与B独立，且P(A)>0,剥PB1A)=PAB2 P(A) 有放回的随机取两次，每次取」个球，两次取出的球上数字之 P(A)·P(B2=P(B),即P(B)=0.68, P(A) 和是5的情况有(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)共4种，所以P(C) 由对立事件概幸公式得P(B)=1一P(B)=0.32.] 4 1 一子：两次取出的球上数字之和是6的精况有(2，)， 3.C[设A=《第一次拿到白球》，B=(第二次拿到红球)， 4,2》,3.3》共3种，故PD)==是，时于N,P(BD) 3. 附P(AB)= CxC.P(A)- CloC 是，片以P(BA=0 ☆店PPD)=×是=品制PEBD≠PBPD, 1 故B与D不是相互独立事件，故A错误：对于B,P(AD)=0, 4.解析：由题意知，A,B,C题库的比例为：5：4；3， PAPD)=×是-高别PAD)≠PAP(D,故A与 3 543 各占比分别为2221 D不是相互独立事件，故B错误：对于C,P(BC)=4X一6' 1 1 别根器企概率公式知所表正项率p=音大0,92+危×0,86十 P(BPC=×}-6尉P(BO)=P(BPC,黄B与C 立×0.72=0.85. 3 是相五独主事件，故C正确：对于D,P(CD)=0,P(C)P(D)= 答案：0.85 ×是-高，则P(CD)≠CPD,故C与D不是相三费 3 5,解析：由全能率公式可得：现从这三个地区中任选一人，这个 立事件，故D错误.] 人患流感的瓶率为：6%×3干行十5%×3十干十4%× 题型4 [典例]〔解]《1)第一题结来时甲我得1分的概车为号×号 27 1 3+1+-500 +安×(1-吾)-合 答案：品 (2)由(1)知，在每道题的抢答中甲、乙莪得1分的概率分别为 跃升·关键能力题型1 12 1.B[由条件概率公式、古典概型概率公式可知，所求为 33 两人共轮然了3道题，北赛结来且甲花胜的耗伞乃一（宁）厂 PA)0--图-号-号选] 2.A[根据题意，在报名是球或乒乓球俱乐部的70人中，设某 人报足球俱乐部为事件A,报乒乓球俱乐部为事件B,则P(A) 两人共抢答了4道题，比赛结来且甲莪胜的概率P2■ 由于有50人报名足球俱乐部，60人报名乒兵球俱乐部，则同 两人共抢答了5道题，比赛结来且甲获胜的概率P妇= 时报名两个保乐邮的由50十60-70=40（人），则PAB)=8 ()'×(号)广=是 戴甲孩得雅彩的能奉P=P十P+R-品。 =,则P(BA)=PAB)-7 P(A) 5 =0.8.] 跟踪训练 3.解析：设事件A为“解题成功”，即甲乙两个小如至少有一个小 解：1)记他得分不铁于10分“为事件A,则PA)=专× 3 组解题成功， ×(1-号)+专×(-)×号+(-)×是×号十 共概率为PA)=1-(1-号)·(1-号)=日 ××号-+后+品+号-器- 事件B为“乙小组解题失败“，则P(AB)一号 (2)记方案一通过决零“为事件，则P(B)-子×高+号 1 (1-)=3 ××品+×是×品-是+品+--器记 所以在解题成功的条件下，乙小组解题失败的概率为P(B引A) “方案二道址决赛~为事件C则P(0=品×高+品×品× =PAB)32 P(A)5 5 是+品×音×品-品+品+品品-品周为 37、3、39 6 P(C)>P(B),所以推荐方案二给小红. 答案：号 518 4.解析：同时抛辉两颗骰子共有6X6=36种结果： 其中“红觳子向上的点数大于2”共有4×6=24种结果， (2)由巴知得PA)=PB,)=(1-号)×(1-)=子： PA-酷号 P(A2)=P(B:)=Z “红觳子向上的点数大于2”且“两颗敬子的，点数之和等于6” 有83.4,2.6，共3#结果则P4B)-263- PA)=P(B,)=(1-号)×=b PA)=PB)=名 .P(BIA)= P(AB)127 设C为“星队在一次比赛中的总得分为5分”， P(A) 2 8 C=(A B)U(A B)U(A B.)U(AsB ) 7 则P(C)-P(A。B.)+P(A2B)+P(AB2)+P(AB) 答案： =P(A)P(B)+P(A2 )P(B)+P(A )P(B2)+P(A:)P(B) 题型2 1 典例])[解折]P(A1B)=.P(BA P,且P(A1B)=PBA)=言 所以“星队“在一次比赛中的总得分为5分的概率是行 P(A) 跟踪训练 .P(A)=P(B) 1.A[设事件A表示丢失一箱后任取两箱是英语书，事件B, 又P(不)=是∴PA)=1-P(不)= 表示丢失的一箱为k,k=1,2,3分别表示英语书，数学书、语 文书.南金概来公式得PA)=之P(B)PA1B)=号 C P(B)=:选B [答案]B 3C_8=2 (2)[解析]由题意知，P((AUB)C)=P(AC)十P(B1C)= +×8+品× C 1 P(BIC)=PBnC_店 2.解：(1)记事件A表示“任取的一箱为第1箱零件”，则=12,3： 8 P(C) 1 3 记事件B表示“第j次取到的是一等品”，则j=1,2: 6 由题意得P(A1)=P(A2)=P(A)=3 则P(AC=P(AUB)CO)-P(B1C=8- 5 9 3 9· [答案] 5 UA)一器-0 PB1A)号-0.4，PAA)-0-0.6 跟踪训练 L.ACD[A中，P(B1A)+P(BA)=PAB)+PAB) 由全桃率公式得P(B)=P(A)P(BA)+P(A)P(BA) P(A) P(A) +PA)PB1A)-号×0,4+0,4+0.6)- P,故A正确： B中，设A,B独立，则P(B引A)+P(BA) 所以，无取位的军件是一等品的机率为品 =2P(B),而P(B)显然不一定为之，故B错误： 阳马A)一是一器岳A-是-品 C中，A,B独立，则P(AB)=P(A)P(B), 则P(AB)=PCAB=P(A),故C正确： C=23 P(B) PB,BA)器-需 D中，A,B互斥，P(AB)=0,则根据条件概率公式P(BA) 由全挑率公式得：P(B1Bg)=P(A)·P(BBIA)十P(A:) P(AB)=0,故D正确.门 2.解折：因为P不B)=言，PB)=PMB)=PAIBP(B ·P(B1A)+P(A)·P(B品A)=号× =×= (器+器+需)-20.2， 所以两次取出的零件均为一等品的概率均为0.22。 PAUB)=P+PB)=+- 3 第6节离散型随机变量的分布列及均值与方差 3 答案： 夯实·必备知识必备知识掌握 题型3 一、1.试验结果 [典例门(1)汇解析]设事件A表示“乙球员担当前锋”，事件 2.一一列举 A2表示“乙球员担当中锋”，事件A,表示“乙球员担当后卫”， 二、1.pp 事件B表示“当乙球员参加比赛时，球队输球”， 2.(1)>(2)1 P(B)-P(A)P(B A)+P(A )P(BA2)+P(As)P(B A) 三，1-p =0.2×0.4+0.5×0.2+0.3×0.8=0.42. 所以当乙琼员参加比赛时，该球队这场比赛不输球的概率为 四、l.1p1十2p2十…十xp。 2.偏离程度加权平均平均偏离程度 1-0.42=0.58. [答案]C 3.E(aX+b)aEX+6 DX aDX a2DX (2)[解](1)设A,Ag·A1·A分别表示在一次比寒中甲得 五、1.中心平均水平 分的事件，B,B2·B,B分别表示在一次比赛中乙得分的 2.越小分散 事件。 自主诊断查验思考辨析 因为在一次比赛中甲得2分的概率为三·乙得5分的概率 (1)√(2)×(3)√(4)√ 小题查验 1C[“放回五个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球， 故=6.门 1 [P(A)=p(1-g)=立： 所以 1 2.ACD[因为9十0.4十0.1+0.2+0.2=1，所以9=0.1，故A 1 P(B)=p四=6· 2 正确；又EX=0×0.1+1×0.4十2×0.1十3×0.2+4×0.2= 2,DX=(0-2)2×0.1+(1-2)2×0.4+(2-2)2×0.1+ 2 1 (3-2)2×0.2+(4-2)2×0.2=1,8,故C正骟：图为Y=2X +1,所以EY=2EX+1=5,DY=4DX=7.2,故D正骑.] 519金榜题名创新高考总复习数学北师大版 方法指导 现有两种方案 求相互独立事件同时发生的概率的方法 方案一：依次做一道选择题两道填空题； (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接 方案二：做三道填空题， 求解； 请你推荐一种合理的方式给小红. (2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其 对立事件入手计算. 跟踪训练 某市为传播中华文化，举办中华文化知识选拔 大赛.决赛阶段进行线上答题.题型分为选择 题和填空题两种，每次答题相互独立.选择题 答对得5分，否则得0分.填空题答对得4分， 否则得0分.将得分逐题累加. (1)若小明直接做3道选择题，他做对这3道 选择题的概率依次为吉，是，景求他得分不低 于10分的概率： (2)规定每人最多答3题，若得分高于7分，则 通过决赛，立即停止答题，否则继续答题，直到 答完3题为止，已知小红做对每道选择题的概 率均为子，做对每道填空题的概率均为 请完成课时冲关62 第5节 条件概率与全概率公式 ★[课程标准] 1.结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率. 2.掌握条件概率的性质并能解决复杂的条件概率. 3.结合古典概型，会利用全概率公式计算概率. 4.了解贝叶斯公式并会简单应用 夯实，必备知识 教材夯实强基固本 必备知识学握 (3)设B和B互为对立事件，则P(B|A)= 一、条件概率 1.定义：设A,B是两个事件，且P(A)>0,则称 二、全概率公式 P(B1A)=PAB为在事件A发生的条件下 一般地，设B1,B2,…,B为样本空间2的一 P(A) 个划分，若P(B:)>0(i=1,2,…,n),则对 事件B发生的条件概率。 2.一个结论：当P(A)>0时，当且仅当事件A与 任意一个事件A,有P(A)=P(B)P(AB). B相互独立时，有 ·重要结论 3.条件概率的性质：设P(A)>0,则 1.条件概率中P(BA)与P(AB)不是一回事. (1)P(A)= ,0≤P(B|A)≤1： P(BA)是在A发生的条件下B发生的概 (2)如果B和C是两个互斥事件，那么P[(BU 率，P(AB)是在B发生的条件下A发生的 C)|A]= 概率。 252 主题四第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布列 2.利用全概率公式解题 2.已知事件A与B独立，当P(A)>0时，若 通常把B1,B2,…,Bn看成导致A发生的 P(BA)=0.68,则P(B)= ( 组原因.如若A是“次品”，必是n个车间生产 A.0.34 B.0.68 C.0.32 D.1 了次品；若A是“某种疾病”，必是几种病因导 致A发生；若A表示“被击中”，必有几种方 3.已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球， 式或几个人打中. 它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每 (1)何时用全概率公式：多种原因导致事件的 次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白 发生 (2)如何用全概率公式：将一个复杂事件表示为 球的条件下，第二次拿到红球的概率为( 几个彼此互斥事件的和， (3)从本质上讲，全概率公式是加法公式与乘法 A B c n号 公式的结合， 4.(2024·上海卷)某校举办科学竞技比赛，有 自主诊断查验 A、B、C3种题库，A题库有5000道题，B题库 ◆[思考辨析] 有4000道题，C题库有3000道题.小申已完 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括 号里打“√”，错误的打“×” 成所有题，他A题库的正确率是0.92，B题库 (1)若事件A,B互斥，则P(BA)=1.( 的正确率是0.86，C题库的正确率是0.72.现 (2)事件A发生的条件下，事件B发生，相当 他从所有的题中随机选一题，正确率是 于A,B同时发生， ( ) (3)P(BA)≠P(AB). ( (4)全概率公式解决由因索果问题. ( 5.(全概率公式应用致误)在A,B,C三地爆发了 ◆[小题查验] 流感，这三个地区分别为6%，5%，4%的人患 1.已知PAB)=2,P(A)=号，则P(BA)等于 了流感.设这三个地区人口数的比为3：1：1， 现从这三个地区中任选一人，这个人患流感的 5 9 6 .0 C.io D.10 概率是 跃升>关键能力 层级突破素养提升 题型1 求条件概率 3.(2025·黑龙江哈尔滨三中模拟)哈三中理学 1.(2025·天津模拟)中国空间站的主体结构包 会组建甲，乙两个数学解题小组，两个小组独 括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假 立开展解题工作，已知某道竞赛题甲小组解题 设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名 航天员开展实验，设事件A=“有4名航天员 成功的概率为号，乙小组解题成功的概率为 在天和核心舱”，事件B=“甲乙二人在天和核 心舱”，则P(BA)= ( 令：在解题成功的条件下，乙小组解题失败的 A号 B号 c号 n品 概率为 2.(2023·全国甲卷)有50人报名足球俱乐部， 4.同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上 60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒 的点数，记“红骰子向上的点数大于2”为事件 乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其 报乒乓球俱乐部的概率为 ( A,“两颗骰子的点数之和等于6”为事件B,则 A.0.8 B.0.4 C.0.2 D.0.1 P(BA)= 253 金榜题名创新高考总复习数学北师大版 方法指导 2.(2025·重庆南开中学模拟)记A为事件A的 求条件概率的常用方法 对立事件，且P(A)=2,P(AB)=3P(B) (1)利用定义，分别求P(A)和P(AB),得P (B1A)= P(AB) ,则P(AUB)= P(A)· (2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含 题型3 全概率公式的运用 的基本事件数n(A),再在事件A发生的 [典例](1)深受广大球迷喜爱的某支足球队在 条件下求事件B包含的基本事件数，即n 对球员的安排上总是进行数据分析，根据以往 (AB),得P(B1A)=nAB) 的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋和后 n(A) 卫三个位置，且出场率分别为0.2,0.5,0.3， 题型2( 条件概率公式及性质的应用 当乙球员担当前锋、中锋以及后卫时，球队输 [典例](1)(2025·福州质检)已知P(AB)= 球的概率依次为0.4,0.2,0.8.当乙球员参加 比赛时.该球队这场比赛不输球的概率为 P(BA)=2,P)=,则P(B)=( A.2 C.g n店 A.0.32 B.0.68C.0.58D.0.64 (2)(2025·湖南师大附中模拟)甲、乙两人组 (2)(2025·全国模拟)已知事件A和B是互 成“星队”参加趣味知识竞赛.比赛分两轮进 斥事件.P(C)=言，P(BnC)=8P(AUB) 行，每轮比赛答一道趣味题.在第一轮比赛中， 答对题者得2分，答错题者得0分：在第二轮 1C)=8,则P(AC)= 比赛中，答对题者得3分，答错题者得0分.已 [尝试解答] 知甲、乙两人在第一轮比赛中答对题的概率都 为p,在第二轮比赛中答对题的概率都为q.且 在两轮比赛中答对与否互不影响.设定甲、乙 两人先进行第一轮比赛，然后进行第二轮比 赛，甲、乙两人的得分之和为“星队”总得分.已 方法指导 知在一次比赛中甲得2分的概率为2，乙得5 在条件概率的运算中，要注意以下性质的应用 (1)如果B与C互斥，则P(BUCIA)=P(B 分的概率为后 A)+P(CIA). (1)求p,9的值： (2)当P(B)>0时，A与B独立的充要条件 (2)求“星队”在一次比赛中的总得分为5分的 是P(AB)=P(A). 概率。 (3)如果P(A)>0,A与B独立，则P(B|A) [尝试解答] P(AB)_P(A)·P(B)=P(B)成立. P(A) P(A) 心跟踪训练 1.(多选)(2025·湖北调研)已知A,B分别为随 机事件A,B的对立事件，P(A)>0,P(B)> 0,则下列说法正确的是 ( A.P(BA)+P(BA)=1 B.P(BA)+P(BA)=1 C.若A,B独立，则P(AB)=P(A) D.若A,B互斥，则P(BA)=P(A|B) 254 主题四第十章计数原理、概率、随机变量及其分布列 方法指导 2.(2025·全国模拟)有3箱同种型号零件，里面 1.利用全概率公式的思路 分别装有50件，30件、40件，而且一等品分别 (1)按照确定的标准，将一个复合事件分解为 有20件、12件和24件，现在任取一箱，从中不 若千个互斥事件A:(i=1,2,…,n); 放回地先后取出2个零件 (2)求P(A:)和所求事件B在各个互斥事件 (1)求先取出的零件是一等品的概率： A,发生条件下的概率P(B|A,); (2)求两次取出的零件均为一等品的概率（结 (3)代入全概率公式计算. 果保留两位小数). 2.全概率公式P(B)=2P(A;)P(B|A,)在 解题中体现了“化整为零、各个击破”的转 化思想，可将较为复杂的概率计算分解为 一些较为容易的情况分别进行考虑· 跟踪训练 1.“送出一本书，共圆读书梦”，某校组织为偏远 乡村小学送书籍的志愿活动，运送的卡车共装 有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3 箱语文书.到目的地时发现丢失一箱，但不知 丢失哪一箱.现从剩下9箱中任意打开2箱都 是英语书的概率为 A号 请完成课时冲关63 第6节 离散型随机变量的分布列及均值与方差 ★[课程标准] 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性. 2.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念 3.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题. 夯实>必备知识 教材夯实强基固本 必备知识学握 一、随机变量的概念与表示 P(X=xi) p P2 1.随机变量概念：取值随着 的变化而变 化的量称为随机变量.随机变量常用字母X, 上式称为离散型随机变量X的分布列，简称X Y,,n等来表示. 的分布列. 2.离散型随机变量：取值能够 出来的随 2.离散型随机变量分布列的性质 机变量称为离散型随机变量. (1)p 0(i=1,2,…,n,…): 二、离散型随机变量的分布列 (2)p1十p2+…十pn+…= 1.离散型随机变量的分布列 三、两点分布 若离散型随机变量X的取值为x1,x2,…, 若在某个试验中，每次试验只有两个相互对立 xn,…,随机变量X取x,的概率为 的结果，可以分别称为“成功”和“失败”，每次 (i=1,2,…,n,…),记作P(X=x:)= “成功”的概率均为p,每次“失败”的概率均为 (i=1,2,…,n,…),该式也可以列成表： ,则称这样的试验为伯努利试验. 255