第4节 古典概型与事件的独立性-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

跟踪训练 解：(1)购物者的购物全额x与获得优惠券金额y的频率分布 第4节古典概型与事件的独立性 如下表： 夯实·必备知识必备知识掌握 一、1.(1)有限 有限样本空间(2)相等 0.3≤x 0.5 0.6≤x 0.8≤r A包含的样本点个数。m <0.5 r<0.6 <0.8 ≤0.9 2包言的样本点总薮” 二、1.没有影响 50 100 150 200 2.P(A)P(B) 3.相互独立 频率 0.4 0.3 0.28 0.02 自主诊断查验思考辨析 (1)×(2)×(3)×(4)/(5)×(6)× 这1000名购物者获得优急券金额的平均载为1000X(50× 小题查验 1.A[从袋中任取一球，有15种取法，其中取到白球的取法有 100+100×300+150×280+200×20)=96. (2)由获得优惠券金额y与购物金额：的对应关系及(1)知 6种：则所求能率为P=号-号，] P(y=150)=P(0.6≤x<0.8)=0.28,P(y-200)=P(0.8 2.C[对于该试脸，第一枚骰子与第二救般子出现点数互不影 x≤0.9)=0.02，从而，获得犹意东全额不少于150元的概率 响，故A与B相互独立.故选C.] 3.A[甲有6种选择，乙也有6种选择，故总数共有6×6 为P(y≥150)=P(y=150)+P(y=200)=0.28+002 36(种)， =0.3. 若甲，乙抽到的主题不同，则共有30种 题型4 彩共桃本为器一。] [典例们[解]记“无人排队等候”为事件A,“1人排队等侯”为 4.解析：总的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3) 事件B,“2人排队等候"为事件C,“3人排队等候”为事件D, (2,4),(2,5),(3,4),(3.5),(4,5),共10个.两个不同的数之 “4人排队等传”为事件E,“5人及5人以上排队等候”为事件 和为偶数包含的基本事件有(1,3)，(1,5)，(2,4)，(3,5)，共4 F,则事件A,B,C,D,E,F彼此互斥 (1)记“至多2人排队等侯”为事件G,则G=AUBUC, 个，所以所求极率P-高一号 所以P(G)=P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+ 答案：号 0.16十0.3=0.56，故至多2人排队等候的概率为0.56. 5.解析：设甲地降雨为事件A,乙地降雨为事件B,剥两地恰有一 (2)法一：记"至少3人排队等候”为事件H,剥H=DUEUF, 地降雨为AB十AB. 所以PAB+AB)=P(AB)+PAB)=P(A)P(B)+P(A)P(B) 所以P(H)=P(DUEUF)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+ =0.2×0.7+0.8×0.3=0.38. 0.1+0.04=0.44. 答案：0.38 法二：记“至少3人排队等候”为事件H,则其对立事件为事件 跃升·关键能力题型1 G,所以P(H)=1-P(G)=0.44. 1.D[总事件数共Cg=7X6=21. 2 故所求概率为0.44. 取到的2个数互质的为 跟踪训练 第一个数取2时，第二个教可以是3,5,7： 1.C[由题意可知，P(A=品=02. 第一个数取3时，第二个数可以是4,5,7,8 第一个数取4时，第二个数可以是5,7： 因为A与B互斥且P(A十B)=0.5,故P(B)=0.3. 第一个数取5时，第二个数可以是6,7,8： 第一个数取6时，第二个数可以是7： 又周为随机事件C与B对主.所以P(C)=1一0.3=0.7. 第一个数取7时，第二个数可以是8： 2.解：(1)因为一年内需要堆修1次的占15%，需要雏修2次的 占6%，需要维修3次的占4%， 所以P3+4+2告9+1中-并-号] 21 则有P(A1)=0.15,P(A2)=0.06,P(A)=0,04 2.解析：由题意，在个、十、百、千位桂中随机选择一档找上一颗 下珠， 显然事件A,A1,A2,A3中，任意两个不可能可时发生，固此事 再随机选择两个不同档位各战一颗上床，共有CC=24种， 件A。,A,A2·A3两两互斥， ①当在个、十位档中随机选择一档拔上一颗下珠，再随机从 于是得P(A。)=1-(0.15十0.06十0.04)=0.75， 个、十位两个不同档位各拔一颗上珠时，得到的数字不大于 填表如下： 300,有CC=2种： ②②当在百位档中拔上一颗下珠，再随机从个、十位两个不同档 事件 A A A: 位各拔一颗上床时，得到的数宇不大于300，有C=1种： 概率0.750.150.06 0.04 所以所发款字大子0的就率为P=1一费引-名 所以事件Ag,A1A2,A满足两两互斥。 答案： (2)①由(1)知，“在1年内需要雏修”的事件，即事件A1,A, 3.解析：从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有A一 A1至少有一个发生，而它们两两互斥， 120种， 所以P(A)=P(A UA,UA)=P(A)+P(A2)十 设前两个球的号码为，b,第三个球的号码为c,则 P(A)=0.25. atbteatb1 3 ②“在1年内不需要维修“的事件，即事件A发生，所以P(B) 故|2c一(a十b)|≤3，故-3≤2c-(a+b)≤3， =P(A。)=0.75. 枚a十b-3≤2c≤a十b+3. ③“在1年内维修不超过1次”的事件，即事件A,A至少发生 若c=1,则a十≤5，则(a,b)为：(2,3)，(3,2)，故有2种 若c=2,则1≤a十b≤7，则(a,b)为：(1,3)，(1,4)，(1,5)， 一个， (1,6),(3,4),(3,1),(4.1),(5,1),(6,1),(4.3),故有 所以P(C)=P(A。UA1)=P(A)+P(A)=0.9. 10种， 516 当c=3,则3≤a十h≤9，则(a.b）为： 命题点3 (1,2),(1,4),(1,5),(1,6),(2.4),(2,5),(2,6), [典例3][解](1)依题意，(0.005+0.015+0.020+0.030+ (4,5),(2,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,2),(5,2), m+0.005)×10=1,解得m=0.025. (6.2),(5,4), 前三组的频率为(0.005+0.015+0.020)×10=0.4， 故有16种， 当c=4,则5≤4十b11,同理有16种， 所以中位数为70+0.5-0.4×1073.3分. 0.3 当c=5,则7≤a十b≤13，同理有10种， (2)[80,90)的领率为0.25.[90.100]的频率为0.05，两者的 当c=6,则9a十b≤15，同理有2种， 比例是5；1， 共m与刀的差的绝对值不超过？时不同的抽取方法慈数为2 所以袖取的6名学生中，[80,90)中的有5人，记为1,2,3， (2+10+16)=56, 4,5: 567 故所求概率为20一15 在[90,100]中的有1人，记为6： 从中抽取2人，基本事件有12,13,14,15,16,23,24,25,26， 7 答案： 34,35,36,45,46,56,共15种，其中格好“运动爱好者”和“运 动达人"各1人的是：16,26,36,46,56，共5种，故所求概率为 题型2命题点1 5 [典例1门[解析]、基本事件的总数是4×4=16：在OG=OE+ OF中，当OG=OP+(Q,OG=OP+ON,OG=ON+OM,G 跟踪训练 3.解：(1)成簧落在[60,70)的频率为1-(0.30十0.15+0.10+ OM十OQ时，点G分别为该平行四边形的各边的中点，此时点 G在平行四边形的边界上，而其余情况的点G都在平行四边 0.05)=0.40,补全的频率分布直方图如图：这1000名学生的 4 3 平均成量约为55×0.30十65×0.40+75×0.15十85×0.10+ 形外，故所求的概率是1一6=· 95×0.05=67(分). [答案] 3 频率 组面 跟踪训练 0.040 1.解析：因A,A是正八边形A1A2Ag的任意两个頊点，又 OP+OA,+0A,=0.OP=-(OA,+0A,) 0.030 则点P由A,A唯一确定， 从正八边形A1A2…Ag的8个顶点中任取两点A:,A,的试验 0.015 有C号个基本事件，它们等可能， 0.010 ,点P落在第一象限的事件M,是取的两，点分别为A与Ag, 0.005 A与A7A6与A,A与A,,A与A%确定的点P对应的事 0 5 5060708090100成绩/分 5 件，共5个，于是得P(MD=露， (2)抽取的40名学生中，成绩在[80,90)内的有1000×0.1× 所以点P落在第一泉限的桃率是 1000=4(人)，分别记为a102aga4,成绩在[90,100]内的 40 答案28 40 有1000×0.05×00=2（人），分别记为4,0，从这6人中 命题点2 随机抽取2人的样本空间n={(a1a2),(a1as),(a1a) [典例2][解析]记事件A为“盛数f(x)=ax3十bx2十x一3 (a1h）,(a,b）,(aga3）,(ag,a4）.(a2,b）,(ag,）(a3- 在R上为增西数”，因为f(x)=ar+bx2+x-3,所以了(x) a),(a1,b1),(as,b2),(a4,b),(a1,b),(b,b2)i.共有15个 =3a.x2+2hr+1.当函数f(x)在R上为增函数时，f(x)≥0 样本点，记事件A=“至少有1名学生成资不低于90分”，则A 在R上恒成立.又a>0,所以△=(2b)2一4X3阳=4b一12a≤ ={(a1,b1),(a,),(a2,b1),(a2,),(a1,),(a1,), 0在R上恒成立，即a≥3· (a),(a,),(,),共有9个样本点.故所求概率为 当6=1时，有a≥分，故a可取1,23,4，共4个数： Pa=是-号 题型3 当6=2时，有>号，故a可取234，共3个量 [典例](1)[解析]因为A,B是独立事件，A、B分别是A、B 当h-3时，有a23,故a可取3,4，共2个数： 的对立事件，所以P(A∩B)=P(A)P(B),P(A∩B)=PA)P(B), 当b=4时，有a>号故a无可取值。 P(A∩B)=P(A)P(B)=(1-P(A)(1-P(B)),即ABD- 定成立。 综上，事件A包含的基本事件有4十3+2=9种. P(AUB)=P(AB)+P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A) 又4，b∈{1,2,3,4}，所以所有的基本事件共有4×4=16（种）. (1-P(B))+P(B)(1-P(A))=P(A)+P(B)-P(A)P(B). 故所求事件A的概率为P(A)=6: 9 即P(AUB)-P(A)十P(B)不一定成立 [答案]C [答案]A 跟踪训练 (2[解析]若M,N为互斥事件，且P(MD=号，P(N 2.解析：函数f(x)共有4种可能，即(a,b)为(2,1)，(2,3)， (4,1),(4,3). 由题意，(x》=a.r十b,f(一1)≤0，即b≤a时有3种： (2,1),(4,1),(4,3), 彩PMUN)=号+}-易，故①正特 所以画数)在区同（一0，一门上是减画数的概率为是。 若PMn=子，PN=子，PMnN)=G 而从满足条件的所有函数(x)中随机物取两个，共有C=6 则由相互独主事件乘法公式知M,N为相互独立事件，故②回 种袖法， :函数f(x)在(1，f(1))处的切线的斜率为(1)=a十b, 正确： ,两个函数在(1，f(1))处的切线互相平行，即a与b之和应 该相等， 若PM-号P(W=言，PMnN)=言则PM=1- 党时只有(2.3)，41这两种，所求桃率为子 PM)=,PMnN)=PM·PM. 由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知MN 为相互独立事件，故③正确： 517 若PM0=合，PN)=子，PMnN)=名当M.N为相互 第5节条件概率与全概率公式 做立事件时，P(N)=1-P(N)=号，PMn=号×号 夯实·必备知识必备知识掌握 寻故⑩错送 一、2.P(BA)=P(B) 3.(1)1(2)P(B1A)+P(CA)(3)1-P(BA) 若PM)=号P(N)=号，PMnN)=吾，期PMnN) 自主诊断查验思考辨析 (1)×(2)×(3)√(4)/ P(M)P(N)-P(MON)=1-P(MON). 小题查验 由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M,N 为相互独立事件，故⑤正确. 1.Aw-0-音-名 P(A) [答案]4 5 跟踪训练 C[由题意可得：PA)=,P(B)=十， 2.C[因事件A与B独立，且P(A)>0,剥PB1A)=PAB2 P(A) 有放回的随机取两次，每次取」个球，两次取出的球上数字之 P(A)·P(B2=P(B),即P(B)=0.68, P(A) 和是5的情况有(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)共4种，所以P(C) 由对立事件概幸公式得P(B)=1一P(B)=0.32.] 4 1 一子：两次取出的球上数字之和是6的精况有(2，)， 3.C[设A=《第一次拿到白球》，B=(第二次拿到红球)， 4,2》,3.3》共3种，故PD)==是，时于N,P(BD) 3. 附P(AB)= CxC.P(A)- CloC 是，片以P(BA=0 ☆店PPD)=×是=品制PEBD≠PBPD, 1 故B与D不是相互独立事件，故A错误：对于B,P(AD)=0, 4.解析：由题意知，A,B,C题库的比例为：5：4；3， PAPD)=×是-高别PAD)≠PAP(D,故A与 3 543 各占比分别为2221 D不是相互独立事件，故B错误：对于C,P(BC)=4X一6' 1 1 别根器企概率公式知所表正项率p=音大0,92+危×0,86十 P(BPC=×}-6尉P(BO)=P(BPC,黄B与C 立×0.72=0.85. 3 是相五独主事件，故C正确：对于D,P(CD)=0,P(C)P(D)= 答案：0.85 ×是-高，则P(CD)≠CPD,故C与D不是相三费 3 5,解析：由全能率公式可得：现从这三个地区中任选一人，这个 立事件，故D错误.] 人患流感的瓶率为：6%×3干行十5%×3十干十4%× 题型4 [典例]〔解]《1)第一题结来时甲我得1分的概车为号×号 27 1 3+1+-500 +安×(1-吾)-合 答案：品 (2)由(1)知，在每道题的抢答中甲、乙莪得1分的概率分别为 跃升·关键能力题型1 12 1.B[由条件概率公式、古典概型概率公式可知，所求为 33 两人共轮然了3道题，北赛结来且甲花胜的耗伞乃一（宁）厂 PA)0--图-号-号选] 2.A[根据题意，在报名是球或乒乓球俱乐部的70人中，设某 人报足球俱乐部为事件A,报乒乓球俱乐部为事件B,则P(A) 两人共抢答了4道题，比赛结来且甲莪胜的概率P2■ 由于有50人报名足球俱乐部，60人报名乒兵球俱乐部，则同 两人共抢答了5道题，比赛结来且甲获胜的概率P妇= 时报名两个保乐邮的由50十60-70=40（人），则PAB)=8 ()'×(号)广=是 戴甲孩得雅彩的能奉P=P十P+R-品。 =,则P(BA)=PAB)-7 P(A) 5 =0.8.] 跟踪训练 3.解析：设事件A为“解题成功”，即甲乙两个小如至少有一个小 解：1)记他得分不铁于10分“为事件A,则PA)=专× 3 组解题成功， ×(1-号)+专×(-)×号+(-)×是×号十 共概率为PA)=1-(1-号)·(1-号)=日 ××号-+后+品+号-器- 事件B为“乙小组解题失败“，则P(AB)一号 (2)记方案一通过决零“为事件，则P(B)-子×高+号 1 (1-)=3 ××品+×是×品-是+品+--器记 所以在解题成功的条件下，乙小组解题失败的概率为P(B引A) “方案二道址决赛~为事件C则P(0=品×高+品×品× =PAB)32 P(A)5 5 是+品×音×品-品+品+品品-品周为 37、3、39 6 P(C)>P(B),所以推荐方案二给小红. 答案：号 518主题四第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布列 题后反思 (1)某人购买了一台这个品牌的计算机，设 求复杂互斥事件概率的两种方法 Ag=“一年内需要维修k次”，k=0,1,2,3,请 (1)直接法：将所求事件分解为一些彼此互斥 填写下表： 事件的和，运用互斥事件概率的加法公式 事件 Ao A A2 A3 计算. 概率 (2)间接法：先求此事件的对立事件，再用公 式P(A)=1一P(A)求得，即运用逆向思 事件A。,A1,A2,A3是否满足两两互斥？ 维（正难则反），特别是“至多”“至少”型题 (2)求下列事件的概率： 目，用间接法就会较简便， ①A=“在1年内需要维修”； ②B=“在1年内不需要维修”； 1跟踪训练 ③C=“在1年内维修不超过1次”。 1.(2025·河南商丘模拟)已知袋子中有10个小 球，其中红球2个，黑球和白球共8个，从中随 机取出一个，设取出红球为事件A,取出黑球 为事件B,随机事件C与B对立.若P(A十B) =0.5,则P(C)= ( ) A.0.3 B.0.6 C.0.7D.0.8 2.(2025·郑州模拟)某品牌计算机售后保修期 为1年，根据大量的维修记录资料，这种品牌 的计算机在使用一年内需要维修1次的占 15%,需要维修2次的占6%，需要维修3次的 占4%. 请完成课时冲关61 第4节 古典概型与事件的独立性 ★[课程标准] 1.理解古典概型的定义及特点. 2.会应用古典概型的概率公式解决实际问题. 3.了解事件相互独立的含义 4.会利用相互独立事件的概率公式计算随机事件的概率. 夯实，必备知识 教材夯实强基固本 必备知识学握 2.古典概型的计算公式 如果样本空间2包含的样本点总数为，随机 一、古典概型 事件A包含的样本点个数为m,那么事件A 1.定义：一般地，若试验E具有如下特征： 发生的概率为P(A)= (1)有限性：试验E的样本空间2的样本点总数 二、相互独立事件 ,即样本空间2为 1.定义：事件A(或B)是否发生对事件B(或A) (2)等可能性：每次试验中，样本空间2的各个样 发生的概率 ,这样的两个事件叫作相 互独立事件 本点出现的可能性 2.计算公式：两个相互独立事件同时发生的概 则称这样的试验模型为古典概率模型，简称 率，等于这两个事件发生的概率的积，即 古典概型. P(AB)= 247 金榜题名创新高考总复习数学北师大版 3.性质：如果事件A与事件B相互独立，则A与 (5)分别从3名男同学、4名女同学中各选一 B,A与B,A与B也都 名作代表，那么每个同学当选的可能性相同. ·重要结论· 1.一个试验是否为古典概型，在于这个试验是 (6)利用古典概型的概率公式求“在边长为2 否具有古典概型的两个特征一有限性和等 的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离 可能性，只有同时具备这两个特点的概型才 小于或等于1”的概率， 是古典概型.正确的判断试验的类型是解决 ◆[小题查验 概率问题的关键. 1.袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中 任取一球，则取到白球的概率为 ( 2.相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件是指两个事件发生的概率互不 A.号 B清 c.号 D号 影响，计算式为P(AB)=P(A)P(B),互斥事 2.掷两枚质地均匀的骰子，设A=“第一枚出现 件是指在同一试验中，两个事件不会同时发 小于4的点”，B=“第二枚出现大于3的点”， 生，计算公式为P(AUB)=P(A)十P(B). 则A与B的关系为 ( 自主诊断查验 A.互斥 B.互为对立 ◆[思考辨析] C.相互独立 D.相等 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括 3.(2023·全国乙卷)某学校举办作文比赛，共6 号里打“√/”，错误的打“×” 个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题 准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主 (1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否 题的概率为 发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不 发芽” A哥 B号 c (2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一 4.(对事件的限制条件理解不正确致误)从1,2， 反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件. 3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为偶数 的概率是 (3)某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑 5.(BSD必修第一册P214习题7一4A组T4改 球、一个白球，那么每种颜色的球被摸到的可 编)天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是 能性相同. ( ) 0.2,乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内 (4)从一3，一2，一1,0,1,2中任取一数，取到 两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中 的数小于0与不小于0的可能性相同.( 恰有一个地方降雨的概率为 跃升>关键能力 层级突破素养提升 题型1 古典概型 作数一.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下 珠.例如，在十位档拨上一颗上珠和两颗下珠， L.(2022·新高考I卷)从2至8的7个整数中 个位档拨上四颗下珠，则表示数字74，若在 随机取2个不同的数，则这2个数互质的概 个、十、百、千位档中随机选择一档拨上一颗下 率为 ( 珠，再随机选择两个不同档位各拨一颗上珠， A C.2 0. 则所表示的数字大于300的概率为 2.(2025·长郡中学模 3.(2024·全国甲卷)有6个相同的球，分别标有 活古在 拟)算盘是中国传统 数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次 的计算工具，其形长 每次取1个球.记m为前两次取出的球上数字 方，周为木框，内贯直 的平均值，n为取出的三个球上数字的平均 柱，俗称“档”，档中横 值，则m与n之差的绝对值不大于2的概率为 以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠 248 主题四第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布列 题后反思 跟踪训练 求古典概型概率的步骤 1.(2025·武汉模拟)如 (1)反复阅读题目，收集题目中的各种信息，理 3 图，在平面直角坐标系 解题意 xOy中，O为正八边形 (2)判断试验是否为古典概型，并用字母表示 A1A2…Ag的中心 0 所求事件. A1(1,0).任取不同的 (3)利用列举法或排列组合知识求出总的基本 两点A:,A,(i≠j,i,j∈ 事件的个数n及事件A中包含的基本事件 {1,2,3,…,8}),点P满足OP+OA,十OA 的个数m. 0,则点P落在第一象限的概率是 (4)计算事件A的概率P(A)= n ●[命题点2]古典概型与函数相结合 题型2 古典概型的交汇问题 [典例2]已知M={1,2,3,4},若a∈M,b∈ [命题点1]古典概型与平面向量相结合 M,则函数f(x)=a.x3+b.x2十x一3在R上为 [典例1](2025·兰州市模 增函数的概率是 拟)如图，在平行四边形 ABCD中，O是AC与BD A是 8话 的交点，P,Q,M,N分别是 [尝试解答] 线段OA,OB,OC,OD的中点.在A,P,M,C 中任取一点记为E,在B,Q,N,D中任取一点 记为F.设G为满足向量OG=OE+OF的点， 则在上述的点G组成的集合中的点，落在平行四 边形ABCD外（不含边界）的概率为 [尝试解答] 技巧点拨 古典概型与函数交汇问题的处理方法 (1)首先根据函数的相关性质，确定相关系数 应满足的条件： (2)再根据系数满足的条件进行分类考虑，求 出所有符合条件的基本事件个数： (3)最后利用古典概型的概率计算公式求解 概率。 …技巧点拨 跟踪训练 古典概型与平面向量交汇问题的处理方法 (1)根据平面向量的知识进行坐标运算，得出 2.设a∈{2,4，b∈1,3，则函数f(x)=2ax 事件满足的约束条件： +bx十1.在区间（一o,一1]上是减函数的概 (2)根据约束条件（等式或不等式）列举所有 率为 ;从满足条件的所有函数f(x) 符合的结果； 中随机抽取两个，则它们在(1，f(1))处的切线 (3)利用古典概型概率计算公式求解概率 互相平行的概率为 249 金榜题名创新高考总复习数学北师大版 ◆[命题点3]古典概型与统计相结合 跟踪训练 [典例3](2025·广西柳州质检)某校为了增 3.(2025·全国模拟)某市于2024年举行第一届 强学生的身体素质，积极开展体育锻炼，并给 高中数学竞赛，竞赛结束后，为了了解该次竞 学生的锻炼情况进行测评打分，现从中随机选 赛的成绩情况，从所有参赛学生中随机抽取 出100名学生的成绩（满分为100分），按分数 1000名学生，得到他们的成绩，将数据整理后 分为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)， 分成五组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)， [80,90),[90,100],共6组，得到如图所示的 [90,100],并绘制成如图所示的频率分布直 频率分布直方图. 方图. ↑频率组期 频率1 0.030 组距 0.020 0.015 0.030 0.005 0405060708090100成绩/分 0.015 0.010 (1)求m的值，并求这100名学生成绩的中位 0.005 数（保留一位小数）； 0 5060708090100成绩1分 (2)若认定评分在[80,90)内的学生为“运动爱 (1)请补全频率分布直方图并估计这1000名 好者”，评分在「90,100]内的学生为“运动达 学生的平均成绩： 人”，现采用分层抽样的方式从不低于80分的 (2)采用分层随机抽样的方法从这1000名学 学生中随机抽取6名学生参加运动交流会，大 生中抽取容量为40的样本，再从该样本中成 会上需要从这6名学生中随机抽取2名学生 绩不低于80分的学生中随机抽取2名进行问 进行经验交流发言，求抽取的2名发言者中恰 卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90分 好“运动爱好者”和“运动达人”各1人的概率. 的概率。 [尝试解答] 技巧点拨 解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关 的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本 事件和随机事件的个数，然后利用古典概型 的概率计算公式进行计算. 250 主题四 第十章计数原理、概率、随机变量及其分布列 题型3 相互独立事件的判定 跟踪训练 [典例](1)如果A、B是独立事件，A、B分别是 (2025·江苏常州市第一中学模拟)袋子里装 A、B的对立事件，那么以下等式中不一定成 有形状大小完全相同的4个小球，球上分别标 立的是 有数字1,2,3,4，从中有放回的随机取两次， A.P(A∩B)=P(A)P(B) 每次取1个球，A表示事件“第一次取出的球 B.P(A∩B)=P(A)P(B) 上数字是1”，B表示事件“第二次取出的球上 C.P(AUB)=P(A)+P(B) 数字是2”，C表示事件“两次取出的球上数字 D.P(A∩B)=(1-P(A))(1-P(B)) 之和是5”，D表示事件“两次取出的球上数字 (2)设M,N为两个随机事件，给出以下命题： 之和是6”，通过计算，则可以得出 A.B与D相互独立 B.A与D相互独立 ①若M,N为互斥事件，且P(M)=号，P(N) C.B与C相互独立 D.C与D相互独立 =,则P(MUN)=易：②若P(M)=: 题型4( 相互独立事件的概率的计算 [典例们 (2025·河北邢台期中)某档知识竞赛 P(N)=号PMnN)=石，则M,N为相互独 节目的规则如下：甲、乙两人以抢答的方式答 题，抢到并回答正确得1分，答错则对方得1 立事件：③若PM=号，P(N)=3,P(MnN) 分，先得3分者获胜.已知甲、乙两人每次抢到 =行，则M,N为相互独立事件：④若P(M= 题的概率都为)，甲、乙两人每道题答对的概 2P(N)=3,PMnN)=石，则M,N为相 率分别为，名·并且每道题两人答对与否相 1 互独立事件：⑤若P(M)=,P(N)= 互独立. 3, (1)求第一题结束时甲获得1分的概率： PMnN)=名，则M,N为相互独立事件，其 (2)求甲获得胜利的概率. [尝试解答] 中正确命题的个数为 [尝试解答] 题后反思 判断事件是否相互独立的方法 (1)定义法：事件A,B相互独立台P(A∩B) =P(A)·P(B). (2)由事件本身的性质直接判定两个事件发 生是否相互影响。 (3)条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B1A) =P(B)判断. 251 金榜题名创新高考总复习数学北师大版 方法指导 现有两种方案 求相互独立事件同时发生的概率的方法 方案一：依次做一道选择题两道填空题； (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接 方案二：做三道填空题， 求解； 请你推荐一种合理的方式给小红. (2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其 对立事件入手计算. 跟踪训练 某市为传播中华文化，举办中华文化知识选拔 大赛.决赛阶段进行线上答题.题型分为选择 题和填空题两种，每次答题相互独立.选择题 答对得5分，否则得0分.填空题答对得4分， 否则得0分.将得分逐题累加. (1)若小明直接做3道选择题，他做对这3道 选择题的概率依次为吉，是，景求他得分不低 于10分的概率： (2)规定每人最多答3题，若得分高于7分，则 通过决赛，立即停止答题，否则继续答题，直到 答完3题为止，已知小红做对每道选择题的概 率均为子，做对每道填空题的概率均为 请完成课时冲关62 第5节 条件概率与全概率公式 ★[课程标准] 1.结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率. 2.掌握条件概率的性质并能解决复杂的条件概率. 3.结合古典概型，会利用全概率公式计算概率. 4.了解贝叶斯公式并会简单应用 夯实，必备知识 教材夯实强基固本 必备知识学握 (3)设B和B互为对立事件，则P(B|A)= 一、条件概率 1.定义：设A,B是两个事件，且P(A)>0,则称 二、全概率公式 P(B1A)=PAB为在事件A发生的条件下 一般地，设B1,B2,…,B为样本空间2的一 P(A) 个划分，若P(B:)>0(i=1,2,…,n),则对 事件B发生的条件概率。 2.一个结论：当P(A)>0时，当且仅当事件A与 任意一个事件A,有P(A)=P(B)P(AB). B相互独立时，有 ·重要结论 3.条件概率的性质：设P(A)>0,则 1.条件概率中P(BA)与P(AB)不是一回事. (1)P(A)= ,0≤P(B|A)≤1： P(BA)是在A发生的条件下B发生的概 (2)如果B和C是两个互斥事件，那么P[(BU 率，P(AB)是在B发生的条件下A发生的 C)|A]= 概率。 252