第3节 随机事件的概率-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

主题四第十章计数原理、概率、随机变量及其分布列 第3节随机事件的概率 ★[课程标准] 1.结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系.了解随机事件 的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算 2.结合具体实例，理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率， 3.通过实例，理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则. 4.结合实例，会用频率估计概率. 夯实必备知识 教材夯实强基固本 必备知识掌握 二、随机事件的运算 一、随机现象与随机事件 事件 内容 图示 1.随机现象 般地，由事件A和事件 (1)确定性现象：在一定条件下 的现象。 B都发生所构成的事件，称 (2)随机现象：在一定条件下，进行试验或观察会 交事件 为事件A与事件B的交事 出现 的结果，而且每次试验之前都 (或积 件（或积事件），记作 A (AB B 会出现哪一种结果的现象， 事件) (或AB).事件A∩B是由 2.样本空间 事件A和事件B所共有的 (1)样本空间：一般地，将试验E的所有 样本点构成的集合 组成的 称为试验E的样本空间，记 一般地，由事件A和事件 作 B (即A (2)样本点：样本空间2的元素，即试验E的 发生，或B发生或 ,称为试验E的样本点，记作 )所构成的事件，称为 并事件 事件A与事件B的并事件 (或和 (或和事件)，记作 (3)有限样本空间：如果样本空间2的样本点的 事件) (或A十B).事件A与事 个数是 的，那么称样本空间2为有 件B的并事件是由事件A 限样本空间. 或事件B所包含的样本点 3.随机事件 构成的集合. (1)随机事件：一般地，把试验E的样本空间2 一般地， 发生的两 的 称为E的随机事件，简称 个事件A与B(A∩B= 常用A,B,C等表示. 互斥 )称为互斥事件.它可以 (2)必然事件：样本空间2是其自身的 事件 理解为A,B同时发生这一 因此2也是一个 ;又因为它包含所 事件是不可能事件. 有的样本点，每次试验无论哪个样本点出 给定事件A,A不发生也是 现，2都 ,因此称2为必然事件， 一个事件，记为B.若A∩ (3)不可能事件：空集心也是2的一个子集，可以 对立 B= ,且AUB= 看作一个 ；由于它不包含任何样本 事件 ,则称事件A与事 点，它在每次试验中都 ,故称为不 件B互为对立事件，事件 可能事件。 A的对立事件记作A. 243 金榜题名创新高考总复习数学北师大版 三、互斥事件的概率加法公式 (5)两个事件的和事件是指两个事件都得 1.如果事件A和事件B是互斥事件，那么有 发生 ( P(AUB)= (6)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一 2.若A是A的对立事件，则P(A) 定是对立事件 ) 3.如果事件A1,A2,…,Am两两互斥，那么有 (7)事件A,B同时发生的概率一定比A,B中 P(A1UA2U…UAn)= 恰有一个发生的概率小。 ( 四、用频率估计概率 ◆[小题查验] 在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随 1.(多选)抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机 机事件A发生的频率通常会在某个常数附近 事件：C:=(“点数为”，其中i=1,2,3,4,5,6}: 摆动，即随机事件发生的频率具有稳定性.这 D1={“点数不大于2”}，D2={“点数大于2”}， 时，把这个常数叫作随机事件A的概率，记作 D3={“点数大于4”.则下列结论正确的是 P(A).显然， ≤P(A)≤ ,通常 用频率估计概率。 A.C1与C2互斥 B.C2,C3为对立事件 ·重要结论·… C.D2 UD3=D2 D.D2∩D1=D3 1.从集合的角度理解互斥事件和对立事件 2.(多选)一批产品共有100件，其中5件是次 (1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的 品，95件是合格品.从这批产品中任意抽取5 结果组成的集合的交集为空集。 件，给出以下四个事件： (2)事件A的对立事件A所含的结果组成的集 事件A:恰有一件次品： 合，是全集中由事件A所含的结果组成的集 事件B:至少有两件次品； 合的补集. 事件C:至少有一件次品： 2.频率随着试验次数的改变而改变，概率是一 事件D:至多有一件次品. 个常数。 下列选项正确的是 ( 3.对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事 A.AUB=C B.BUD是必然事件 件未必是对立事件，“互斥”是“对立”的必要 C.A∩B=C D.A∩D=C 不充分条件. 3.(混淆对立事件和互斥事件的概念致误)关于 4.概率的一般加法公式P(AUB)=P(A)+ 事件A,B的以下结论，其中一定正确的为 P(B)-P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B 0,即A,B互斥时，P(AUB)=P(A)+P(B), A.若A,B为对立事件，则A,B可能不是互斥 此时P(A∩B)=0. 事件 5.当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互 B.若A,B为对立事件，则A,B必为互斥事件 斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1十 C.若A,B为互斥事件，则A,B必为对立事件 A2十…十A.)=P(A1)+P(A2)+…十P(Am). D.若A,B为互斥事件，则A,B不可能为对立 自主诊断查验 事件 ◆[思考辨析] 4.(BSD必修第一册P1s6例2改编)先后三次抛 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括 掷同一枚硬币，若正面向上记为1，若反面向 号里打“√/”，错误的打“×” 上则记为0，则这个试验的样本空间中有 (1)“明天会下雨”是随机事件. 个样本点 (2)“物体在只受重力的作用下会自由下落”是 5.某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下： 必然事件 命中环数 6 7 9 10 (3)“方程x2十2x十8=0有两个实根”是不可 能事件。 频率 0.10.150.25 0.30.2 (4)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值. 如果这名运动员只射击一次，则命中的环数小于 9环的概率为 244 主题四第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布列 跃升>关键能力 层级突破素养提升 题型1 随机事件与样本空间 2.(多选)下列结论正确的是 () A.若A,B互为对立事件，P(A)=1,则P(B) 1.下列事件中不是确定事件的个数是 =0 ①从三角形的三个顶点各画一条高线，这三条 B.若事件A,B,C两两互斥，则事件A与BUC 高线交于一点；②水中捞月；③守株待兔：④某 互斥 地区明年1月的降雪量高于今年1月的降 C.若事件A与B对立，则P(AUB)=1 雪量 D.若事件A与B互斥，则它们的对立事件也 A.1 B.2 C.3 D.4 互斥 2.(2025·全国模拟)利用如图所示的两个转盘 题后反思 玩配色游戏两个转盘各转一次，观察指针所指 事件间关系的判断方法 区域的颜色（不考虑指针落在分界线上的情 对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于 况).事件A表示“转盘①指针所指区域是黄 对立事件除不能同时发生外，其并事件应为 色”，事件B表示“转盘②指针所指区域是绿 必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体 色”，用样本点表示A∩B,AUB. 应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事 件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件 绿 的关系 黄 提醒：“互斥事件”与“对立事件”的区别：对立 事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互 斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立” 的必要不充分条件， 题型3 随机事件的频率与概率 [典例]某厂接受了一项加工业务，加工出来的 产品（单位：件）按标准分为A,B,C,D四个等 级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级 题后反思 品，厂家每件分别收取加工费90元、50元、20 1,判断事件类型要看事件的发生是否具有随 元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费 机性，搞清事件的条件。 50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业 2.确定样本空间的方法 务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加 (1)必须明确事件发生的条件： 工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂 (2)根据题意，按一定的次序列出问题的答 承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件 案，特别要注意结果出现的机会是均等 这种产品，并统计了这些产品的等级，整理 的，按规律去写，要做到既不重复也不 如下： 遗漏。 甲分厂产品等级的频数分布表： 题型2〔 随机事件之间关系的判断 等级 A B C D 1.(2025·浙江省桐庐中学模拟)抛掷一枚质地 频数 40 20 20 20 均匀的正方体骰子，若事件A=“向上的点数 乙分厂产品等级的频数分布表： 为3”，B=“向上的点数为6”，C=“向上的点 等级 A B C D 数为3或6”，则有 ( 频数 28 17 34 21 A.A三B B.CCB ①分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为 C.A∩B=C D.AUB=C A级品的概率； 245 金榜题名创新高考总复习数学北师大版 ②分别求甲，乙两分厂加工出来的100件产品的 电子商务公司决定给购物者发放优惠券，其金 平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分 额（单位：元）与购物金额关系如下： 厂承接加工业务？ 购物金 [尝试解答] 0.3,0.5)[0.5,0.6)0.6,0.8)[0.8,0.9 额分组 发放 50 100 150 200 金额 (1)求这1000名购物者获得优惠券金额的平 均数； (2)以这1000名购物者购物金额落在相应区 间的频率作为概率，求一个购物者获得优惠券 金额不少于150元的概率. 方法指导 求概率的关键是分清所求事件是由哪些事 题型4（互斥事件与对立事件的概率 件组成的，求解时通常有两种方法： 「典例]经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队 (1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件 的人数相应的概率如下： 的和事件，利用概率加法公式求解概率； (2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥 排队 5人及 0 1 3 事件的和事件时，需要分类太多，而其对 人数 5人以上 立面的分类较少，可考虑利用对立事件的 概率 0.10.160.30.3 0.1 0.04 概率公式，即“正难则反” 求：(1)至多2人排队等候的概率： 跟踪训练 (2)至少3人排队等候的概率. (2025·湖北七市联考)某电子商务公司随机 [尝试解答] 抽取1000名网络购物者进行调查.这1000名 购物者2023年网上购物金额（单位：万元）均 在区间[0.3,0.9]内，样本分组为[0.3,0.4)， [0.4,0.5),[0.5,0.6).[0.6,0.7),[0.7,0.8) [0.8,0.9],购物金额的频率分布直方图如下： 3 2.5 2.0 1.5 0.8 0.23 00.30.40.50.60.70.80.9金7万元 246 主题四第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布列 题后反思 (1)某人购买了一台这个品牌的计算机，设 求复杂互斥事件概率的两种方法 Ag=“一年内需要维修k次”，k=0,1,2,3,请 (1)直接法：将所求事件分解为一些彼此互斥 填写下表： 事件的和，运用互斥事件概率的加法公式 事件 Ao A A2 A3 计算. 概率 (2)间接法：先求此事件的对立事件，再用公 式P(A)=1一P(A)求得，即运用逆向思 事件A。,A1,A2,A3是否满足两两互斥？ 维（正难则反），特别是“至多”“至少”型题 (2)求下列事件的概率： 目，用间接法就会较简便， ①A=“在1年内需要维修”； ②B=“在1年内不需要维修”； 1跟踪训练 ③C=“在1年内维修不超过1次”。 1.(2025·河南商丘模拟)已知袋子中有10个小 球，其中红球2个，黑球和白球共8个，从中随 机取出一个，设取出红球为事件A,取出黑球 为事件B,随机事件C与B对立.若P(A十B) =0.5,则P(C)= ( ) A.0.3 B.0.6 C.0.7D.0.8 2.(2025·郑州模拟)某品牌计算机售后保修期 为1年，根据大量的维修记录资料，这种品牌 的计算机在使用一年内需要维修1次的占 15%,需要维修2次的占6%，需要维修3次的 占4%. 请完成课时冲关61 第4节 古典概型与事件的独立性 ★[课程标准] 1.理解古典概型的定义及特点. 2.会应用古典概型的概率公式解决实际问题. 3.了解事件相互独立的含义 4.会利用相互独立事件的概率公式计算随机事件的概率. 夯实，必备知识 教材夯实强基固本 必备知识学握 2.古典概型的计算公式 如果样本空间2包含的样本点总数为，随机 一、古典概型 事件A包含的样本点个数为m,那么事件A 1.定义：一般地，若试验E具有如下特征： 发生的概率为P(A)= (1)有限性：试验E的样本空间2的样本点总数 二、相互独立事件 ,即样本空间2为 1.定义：事件A(或B)是否发生对事件B(或A) (2)等可能性：每次试验中，样本空间2的各个样 发生的概率 ,这样的两个事件叫作相 互独立事件 本点出现的可能性 2.计算公式：两个相互独立事件同时发生的概 则称这样的试验模型为古典概率模型，简称 率，等于这两个事件发生的概率的积，即 古典概型. P(AB)= 247跟踪训练 跃升·关键能力题型1 2.C[令x=1,则(2+2)(2x-号)）°=3×1=3 1.B[三角形三条高线一定交于一点，则①是必然事件：②水 中榜月是不可能事件：③守株待兔是随机事件，不是响定事 所以：+2)(2-）的展开式中所有项的系食都为3 件：④菜地区明年1月的降雪量高于今年1月的降雪量是随 机事件，不是确定事件.] 国为(2-子)”的展开式中台子的项为心·(2： 2.解：由题可得： (）-0 转盘①转出的颜色 红 黄 蓝 (2:-士)》°的展开式中常数项为C·(2·(）广 (红，蓝) (黄，蓝) (蓝，蓝) -160. (红，黄) (黄，黄) (蓝，黄) 所以(2+2)(2r-) 的展开式中常数项为60+2×（一 转盘②转 红 (红，红) (黄，红) (蓝，红) 出的颜色 160)=-260 (红，绿) (黄，绿) (蓝，缘) 所以（十2(2：-士）广”的展开式中所有项的系盘和与常数 (红，紫) (黄，紫) (蓝，紫) 项分别为3：一260.] 由表可知，共有15种等可能的结果， 命题点3 其中A={(黄，蓝)，（黄，黄），（黄，红），（黄，绿）， [典例3][解桥](+公-2)'的通项公式为T+1=G· (黄，紫)， (e+) B=〈（红，绿），（黄，绿），（蓝，绿）}，所以A∩B={(黄，绿)}， ·(-2y)r, AUB={(黄，蓝)，（黄，黄），（黄，红），（黄，绿），（黄，紫）， 当=3时，工1=心·(-2)·(+安)八， (红，绿)，（蓝，绿）， 题型2 (+品)广中，合产项的系载为C心·r·2 1,解析：D[对于A,事件A=“向上的点数为3”发生，事件B- 所以展开式中r2y的系数为C母·(-2)3·2=-560， “向上的点数为6”一定不发生，故选项A不正确：对于B,事件 C=“向上的点数为3或6”发生，事件B=“向上的点数为6"不 [答案] -560 跟踪训练 一定发生，但事件B=“向上的点数为6”发生，事件C=“向上 3.解析：(2x2+x-y)i可看作5个(2x2+x-y)相乘，有2个括 的点数为3或6”一定发生，所以B二C,故选项B不正响：对 号提供一y,还有3个括号都是22， 于C,事件A和事件B不能同时发生，A∩B一心，故选项C不 则C唱（一y)2·C号(2x2)3=80xy,系数为80. 正确：对于D,事件A=“向上的点数为3”或事件B=“向上的 答案：80 点数为6”发生，则事件C=“向上的点数为3或6”发生，故选 项D正确.] 第3节随机事件的概率 2.ABC[若A,B互为对立事件，P(A)=1,则A为必然事件 夯实·必备知识必备知识掌握 故B为不可能事件，则P(B)=0,故A正确：若事件A,B,C两 一，1.(1)必然出现(2)不同无法预言 两互斥，则事件A,B,C不能可时发生，则事件A与BUC也 2.(1)可能结果集合？(2)每种可能结果。(3)有限 不可能同时发生，则事件A与BUC互斥，故B正确：若事件 3.(1)子集事件(2)子集事件必然发生(3)事件不 A与B对立，则P(AUB)=P(A)十P(B)=1,故C正确：若事 会发生 件A,B互斥但不对立，则它们的对立事件不豆斥，故D 二，A∩B至少有一个发生A,B都发生AUB不能同时 错误.] 0Ω 题型3 三.1.P(A)+P(B) [典例][解]①由试加工产品等级的频数分布表知， 2.1-P(A) 3.P(A1)+P(A2)+…+P(A) 甲分厂知工出来的一件产品为A领品的概率的倍计值为铝 四、01 =0.4: 自主诊断查验思考辨析 乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为 28 (1)/(2)√(3)/(4)/(5)×(6)/(7)× 小题查验 =0.28. 1.AC ②由数据知甲分厂加工出来的100件产品利涧的频数分布 2.AB[对于A速项，事件AUB指至少有一件次品，即事件C, 表为： 故A正确：对于B选项，事件BUD指至少有两件次品或至多 利润6525 -5-75 有一件次品，次品件数包含0到5，即代表了所有情况，故B正 频敦40202020 确：对于C选项，事件A和B不可能同时发生，即事件A∩B 因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为 一⑦，故C错误：对于D选项，事件A门D指恰有一件次品，即 事件A,而事件A和C不同，故D错误.门 65×40+25×20-5×20-75×20=15. 100 3.B[因为对立事件一定是互斥事件，所以B正确，A错误：又 由数据知乙分厂加工出桑的100件产品利润的频数分布表为： 因为互斥事件可能是对立事件也可能不是对立事件，所以C, D错误.] 利润70300-70 4,解析：这个试验的样本空间为2=(1,1,1)，(1,1,0)，(1,0,1)， 频数28173421 (0,1,1),(0,0,1),(0.1,0).(1,0,0),(0,0.0)},共8个样本点. 因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利涧为 答案：8 70×28+30×17+0X31-70X21=10. 5.解析：命中的环数小于9环的概率为P=0.1十0.15十0.25 100 =0.5. 比较甲，乙两分厂加工的产品的平均利润，厂家应选甲分厂承 答案：0.5 接加工业务 515 跟踪训练 解：(1)购物者的购物全额x与获得优惠券金额y的频率分布 第4节古典概型与事件的独立性 如下表： 夯实·必备知识必备知识掌握 一、1.(1)有限 有限样本空间(2)相等 0.3≤x 0.5 0.6≤x 0.8≤r A包含的样本点个数。m <0.5 r<0.6 <0.8 ≤0.9 2包言的样本点总薮” 二、1.没有影响 50 100 150 200 2.P(A)P(B) 3.相互独立 频率 0.4 0.3 0.28 0.02 自主诊断查验思考辨析 (1)×(2)×(3)×(4)/(5)×(6)× 这1000名购物者获得优急券金额的平均载为1000X(50× 小题查验 1.A[从袋中任取一球，有15种取法，其中取到白球的取法有 100+100×300+150×280+200×20)=96. (2)由获得优惠券金额y与购物金额：的对应关系及(1)知 6种：则所求能率为P=号-号，] P(y=150)=P(0.6≤x<0.8)=0.28,P(y-200)=P(0.8 2.C[对于该试脸，第一枚骰子与第二救般子出现点数互不影 x≤0.9)=0.02，从而，获得犹意东全额不少于150元的概率 响，故A与B相互独立.故选C.] 3.A[甲有6种选择，乙也有6种选择，故总数共有6×6 为P(y≥150)=P(y=150)+P(y=200)=0.28+002 36(种)， =0.3. 若甲，乙抽到的主题不同，则共有30种 题型4 彩共桃本为器一。] [典例们[解]记“无人排队等候”为事件A,“1人排队等侯”为 4.解析：总的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3) 事件B,“2人排队等候"为事件C,“3人排队等候”为事件D, (2,4),(2,5),(3,4),(3.5),(4,5),共10个.两个不同的数之 “4人排队等传”为事件E,“5人及5人以上排队等候”为事件 和为偶数包含的基本事件有(1,3)，(1,5)，(2,4)，(3,5)，共4 F,则事件A,B,C,D,E,F彼此互斥 (1)记“至多2人排队等侯”为事件G,则G=AUBUC, 个，所以所求极率P-高一号 所以P(G)=P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+ 答案：号 0.16十0.3=0.56，故至多2人排队等候的概率为0.56. 5.解析：设甲地降雨为事件A,乙地降雨为事件B,剥两地恰有一 (2)法一：记"至少3人排队等候”为事件H,剥H=DUEUF, 地降雨为AB十AB. 所以PAB+AB)=P(AB)+PAB)=P(A)P(B)+P(A)P(B) 所以P(H)=P(DUEUF)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+ =0.2×0.7+0.8×0.3=0.38. 0.1+0.04=0.44. 答案：0.38 法二：记“至少3人排队等候”为事件H,则其对立事件为事件 跃升·关键能力题型1 G,所以P(H)=1-P(G)=0.44. 1.D[总事件数共Cg=7X6=21. 2 故所求概率为0.44. 取到的2个数互质的为 跟踪训练 第一个数取2时，第二个教可以是3,5,7： 1.C[由题意可知，P(A=品=02. 第一个数取3时，第二个数可以是4,5,7,8 第一个数取4时，第二个数可以是5,7： 因为A与B互斥且P(A十B)=0.5,故P(B)=0.3. 第一个数取5时，第二个数可以是6,7,8： 第一个数取6时，第二个数可以是7： 又周为随机事件C与B对主.所以P(C)=1一0.3=0.7. 第一个数取7时，第二个数可以是8： 2.解：(1)因为一年内需要堆修1次的占15%，需要雏修2次的 占6%，需要维修3次的占4%， 所以P3+4+2告9+1中-并-号] 21 则有P(A1)=0.15,P(A2)=0.06,P(A)=0,04 2.解析：由题意，在个、十、百、千位桂中随机选择一档找上一颗 下珠， 显然事件A,A1,A2,A3中，任意两个不可能可时发生，固此事 再随机选择两个不同档位各战一颗上床，共有CC=24种， 件A。,A,A2·A3两两互斥， ①当在个、十位档中随机选择一档拔上一颗下珠，再随机从 于是得P(A。)=1-(0.15十0.06十0.04)=0.75， 个、十位两个不同档位各拔一颗上珠时，得到的数字不大于 填表如下： 300,有CC=2种： ②②当在百位档中拔上一颗下珠，再随机从个、十位两个不同档 事件 A A A: 位各拔一颗上床时，得到的数宇不大于300，有C=1种： 概率0.750.150.06 0.04 所以所发款字大子0的就率为P=1一费引-名 所以事件Ag,A1A2,A满足两两互斥。 答案： (2)①由(1)知，“在1年内需要雏修”的事件，即事件A1,A, 3.解析：从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有A一 A1至少有一个发生，而它们两两互斥， 120种， 所以P(A)=P(A UA,UA)=P(A)+P(A2)十 设前两个球的号码为，b,第三个球的号码为c,则 P(A)=0.25. atbteatb1 3 ②“在1年内不需要维修“的事件，即事件A发生，所以P(B) 故|2c一(a十b)|≤3，故-3≤2c-(a+b)≤3， =P(A。)=0.75. 枚a十b-3≤2c≤a十b+3. ③“在1年内维修不超过1次”的事件，即事件A,A至少发生 若c=1,则a十≤5，则(a,b)为：(2,3)，(3,2)，故有2种 若c=2,则1≤a十b≤7，则(a,b)为：(1,3)，(1,4)，(1,5)， 一个， (1,6),(3,4),(3,1),(4.1),(5,1),(6,1),(4.3),故有 所以P(C)=P(A。UA1)=P(A)+P(A)=0.9. 10种， 516