第2节 二项式定理-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

金榜题名创新高考总复习数学北师大版 [尝试解答] [命题点3]不等分问题 [典例3]中国救援力量在国际自然灾害中为 拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际 形象，增进了国际友谊.现有6支救援队前往 A,B,C三个受灾点执行救援任务，若每支救 援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点 至少安排1支救援队，其中A受灾点至少需要 2支救援队，则不同的安排方法种数是() A.180 B.240 C.320 D.360 [尝试解答] 方法点拨 对于部分均分，解题时注意重复的次数是均 匀分组的阶乘数，即若有组元素个数相等， 则分组时应除以！，一个分组过程中有几个 这样的均匀分组就要除以几个这样的全排 列数. 方法点拨 跟踪训练 对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分 2.(2025·南昌市新建区模拟)五经是指：《诗经》 组时任何组中元素的个数都不相等，所以不 《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，记载了我国古代 需要除以全排列数 早期思想文化发展史上政治军事、外交、文化 跟踪训练 等各个方面的史实资料，在中国的传统文化的 3.(2025·江苏南通一模)把8个相同的篮球分 诸多文学作品中，占据相当重要的位置.学校 发给甲、乙、丙、丁4人，不同的分发种数为 古典研读社的三名社团学生，到学校图书馆借 ( 了一套五经书籍共5本进行研读，若每人至少 A.70 B.99 C.110 D.165 分一本，则5本书的分配方案种数是( 请完成课时冲关59 A.360 B.240 C.150 D.90 第2节 二项式定理 ★[课程标准] 1.能用计数原理证明二项式定理， 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 夯实，必备知识 教材夯实强基固本 必备知识学握 续表 1.二项式定理及相关概念 Ca"一b称为二项展开式中第 二项 项，可记作Tk+1=Ca"-b“(其中0≤k 公式(a十b)"= 式通项 ≤n.k∈N,n∈N+) 概念 称为二项式 定理 二项 Coa"+Cha"Ib+C2a"-2 62+...+ 展开式 Ca"-b+…+Cb"(n∈N+) 在二项式定理中，如果设a=1,b=x,则 二项 各项系数C(k=0,1,2,…,n)称为二项 式系数式系数 备注 得到公式(1+x)”=Cg+Cx+C2x2+. +Cx+…+Cx"(n∈N+) 238 主题四第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布列 2.二项式系数的性质 自主诊断查验 (1)对称性 ◆[思考辨析] 与 的两个二项式系数相 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括 等，即C9=C%,C=C州-1，…，C=C”- 号里打“√”，错误的打“×” (2)增减性与最大值：当k<”十时，C随k的 (1)Ca”-b是二项展开式的第k项.() 2 (2)通项Ca”一b中的a和b不能互换. 增加而 ;当>”十1 2 时，C随k的 增加而 (3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项 取得最大 或中间两项. () 当n是偶数时，中间一项 (4)(a十b)”的展开式中某一项的二项式系数 值：当n是奇数时，中间的两项 与 与ab无关。 () 相等，且同时取得最大值. (5)C-2C2+3C%-…+(-1)"-1nC”=0. (3)二项式系数的和 ( ①C9+C+C%+…+CW= (6)C9+C%+C+…=C+C%+C+… ②C9+C2+C4+…=C+C?+C+…= ◆[小题查验] ·重要结论 1.(-) 的展开式中的中间项为( 1.二项式的通项易误认为是第k项，实质上是 第k十1项， A智 2.(a十b)”与(b十a)”虽然相同，但具体到它们 C.-7 D.-7.x 展开式的某一项时是不相同的，所以公式中 2.(BSD选择性必修第一册P11例4改编) 的第一个量a与第二个量b的位置不能 3.x3+ 展开式中的常数项是 颠倒. 3.易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二 A.189 B.63 C.42 D.21 项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母 3.(二项式系数与展开式的系数混淆致误)若二 因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指C 项式(x-)”展开式的二项式系数之和为 (=0,1,…,n). 8,则该展开式的系数之和为 ( 4.(1)C9+C+C2+…+C”=2m. A.-1 B.1 C.27 D.-27 (2)C%+C2+C+…=C+C%+C?+… 4.(2022·北京卷)若(2x-1)4=a4x+a3x3+ a2x2+a1x十a0,则a0十a2十a4= ( =20-1 A.40 B.41 (3)C,+2C号+3C3+…十nCg=n2m-1. C.-40 D.-41 (4)C.Co+CmC++CC=Cm 5.在(1十x)5+(1一x)6展开式中，含x1的项的 (5)(C9)2+(C)2+(C2)2+…+(C)2=C8m 系数是 239 金榜题名创新高考总复习数学北师大版 跃升>关键能力 层级突破素养提升 题型1 二项展开式中特定项或系数问题 题型2( 二项式系数及项的系数问题 1.在(2-° 的展开式中，x2的系数为 [命题点1]二项式系数和与系数和 [典例1(2025·湖南期中)已知（匠-）广展 开式中的第四项为常数项， 2.(2024·天津卷)在 2+) 的展开式中，常 (1)求n的值： 数项为 (2)求展开式中所有项的系数和以及所有项的 3.(2025·黑龙江哈尔滨市模拟)求二项式 二项式系数和 (x2- 展开式的第7项及含x9的项的 [尝试解答] 系数 题后反思 要注意区分二项式系数和项的系数，二项式 系数和利用C9十C十C2十…+C”=2m 求解， 展开式中各项系数的和利用赋值x=1求解. 题后反思 求二项展开式中的项或项的系数的方法 跟踪训练 (1)展开式中常数项、有理项的特征是通项中 1.已知e-）(a∈+)的展开式中各项的二 未知数的指数分别为零和整数.解决这类 项式系数之和为256，则展开式中的常数项为 问题时，先要合并通项中同一字母的指 () 数，再根据上述特征进行分析 A.-70 B.70 C.-40 D.30 (2)有关求二项展开式中的项、系数、参数值 ◆[命题点2]二项式系数的最值问题 或取值范围等，一般要利用通项公式，运 用方程思想进行求值，通过解不等式（组） [典例2] (2024·全国甲卷)（号+）”的展开 求取值范围. 式中，各项系数中的最大值为 提醒：二项展开式中各项的系数与二项式 [尝试解答] 系数是不同的概念.一般地，某一项的系数 是指该项中字母前面的常数值（包括正负 号)，它与a,b的取值有关，而二项式系数 与a,b的取值无关， 240 主题四第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布列 方法指导 跟踪训练 1.二项式系数最大项的确定方法 3.(2025·江西抚州模拟)已知(1一3.x)n的展开 )如果n是偶数，则中间一项（第(2+)项)的 式中各项系数之和为64，则该展开式中系数 最大的项为 二项式系数最大： ●[命题点4]各项的系数和问题 (2)如果是奇数，则中间两项（第”十项与 [典例4](2025·广东南海中学模拟)已知 (1-2x)2024=a0十a1x十a2.x2+…十a2024.x2024 第”+1)项)的二项式系数相等并 (x∈R),求解： 最大 (1)a0+a1十a2十…十a2o24: 2.二项展开式系数最大项的求法 (2)a1十a3+a5+…+a2023: 如求(a十b.x)"(a,b∈R)的展开式系数最大 (3)lao|+la1|+a2|+…+a2o24: 的项，一般是采用待定系数法，设展开式各 (4)a1+2a2+3a3+…+2024a2024. 项系数分别为A1,A2,…,Am+1,且第k项 [尝试解答] 系数最大，应用 A≥A-1'从而解出k Ak≥A+1, 来，即得 1跟踪训练 2.(2023·上海卷)已知(1+2023.x)100+(2023 -x)100=a十a1.x十a2.zx2++ag9.x9+a10.x10, 其中a0a1a2,…,a1oe∈R,若k∈{0,1,2，… 100}且a<0时，则k的最大值是 卜[命题点3]系数最大问题 [典例3](2025·全国模拟)若(2十a.x)m(a≠0) 的展开式中各项的二项式系数之和为512，且 第6项的系数最大，则a的取值范围为() A.(2,3) B(3》 C.[2,3] n[3] [尝试解答] 方法指导 求展开式中系数最大项与求二项式系数最大 项是不同的，一般需根据各项系数的正、负变 化情况，采用列不等式组并求解的方法求得 241 金榜题名创新高考总复习数学北师大版 方法指导 [命题点2]几个多项式积的展开式中的特 赋值法研究二项式的系数和问题 定项（系数）问题 (1)形如(ax十b)",(ax2+b.x+c)m(a,b,c∈ [典例2] (2022·新高考1卷)(1-)(x十y)8 R)的式子求其展开式的各项系数之和，常 的展开式中x2y6的系数为 (用数字 用赋值法，只需令x=1即可 作答) (2)对形如(a.x十by)"(a,b∈R)的式子求其展 [尝试解答] 开式各项系数之和，只需令x=y=1 即可， (3)若f(x)=a0十a1x十a2x2十…十amx",则 f(x)展开式中各项系数之和为f(1), 奇数项系数之和为a0十a2十a1十… 方法点拨 =f(1)+f(-1) 对于几个多项式积的展开式中的特定项问 2 题，一般都可以根据因式连乘的规律，把每一 偶数项系数之和为a1十a3十a5十… 个因式用二项展开式展开，结合组合思想求 f(1)-f(-1) 解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复 或遗漏. 1跟踪训练 1跟踪训练 4.(2022·浙江卷)已知多项式(.x十2)(x一1)1= 2.(2025·深圳富源学校期中)(x2十2)· a0十a1x+a2x2+a3x3+a4x+a5x5,则a2 (2x-1) 的展开式中所有项的系数和与常 ,a1十a2十d3十a4十a5= x 题型3（多项式展开式中的特定项或系数问题 数项分别为 A.3,260 B.-3,260 ●[命题点1门几个多项式和的展开式中的特 C.3,-260 D.-3,-260 定项（系数）问题 卜[命题点3]三项展开式中特定项（系数） [典例1] 的展开式中的 问题 常数项为 ( [典例3] (2025·河南模拟)+2-2)的 A.32 B.34 C.36 D.38 展开式中x2y3的系数为 [尝试解答] [尝试解答] 方法点拨 方法点拨 对于三项式问题一般先变形化为二项式再解 对于几个多项式和的展开式中的特定项（系 决，把其中两项看作整体展开，再把这两项继 数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每 续展开，要注意各参数的取值范围，适当地运 一项中分别得到特定的项，再求和即可. 用分类方法，以免重复或遗漏， !跟踪训练 1跟踪训练 1.(2025·台州市模拟)在(2x一1)2十(2x一1)3 3.(2025·江苏模拟)(2x2+x-y)5的展开式中 +…十(2.x一1)8的展开式中，含x2项的系数 x5y2的系数为 ,(用数字作答) 为 请完成课时冲关60 2423.D[先将语文、数学、英语排在第二节，有A=6(种)排法，将 命题点2 物理和政治，化学和地理，生物和历史分别“捆绑”，有 [典例2][解析]根据题意，这8名志愿者人数分配方案共有 A号AA号一8（种）排法，将拥绑后的三个元素排在三天，有 两类：第一类是2,2,4，第二类是3,3,2， A=6(种)排法，则不同的排课方案的种数为6×8×6 =288(种).] 故不同的安捧方法共有(gCC+CCg 】A日=2940（种）. A A 4.D[第一步：全排列2个语言类的节目，共有A号种情况， [答案]A 第二步：从4个歌年类节目中选出2个节目放入2个语言类的 跟踪训练 节日之间，共有A子种情况， 第三步：再将排好的4个节日视为一个整体，与其余的两个歌 2.C[先分类再分配第一步分两类2,2,1和3,1,1，则分类方法 舞节日全排列， 共有A种情况，所以N=A号A号A号=114.] 有 +Cg种： 题型3 第二步分配给三名学生有A种分法 [母题][解](1)从余下的34种商品中，选取2种有C一 561(种)取法， 由分步来法计数原理得N-(保+G)）州=150c种.】 ,某一种服货必须在内的不同取法有561种. 命题点3 (2)从20种真货中选取1种，从15种假货中逸取2种有 CC=2100(种)取法. [典例3] [解析]若6支效援队按1,1,4分成3组，则不同的 .恰有2种假货在内的不同的取法有2100种 安排方法种数是A·A好二30， (3)法一（直接法）：恰好2种假货有CC5种远法，恰好3种 假货有C种选法， 若6支救接队按1,2,3分成3组，则不月的安排方法种数是 因此，选取方式共有C0C号+C=2100+455=2555(种). C￥CA号=240， .至少有2种假货在内的不同的取法有2555种. 若6支数接队按2,2,2分成3组，别不同的安排方法种数是 法二（间接法）：没有假货有C。=1140种选法，恰好1种假货 CC喝 ·A=90,故不同的安排方法种教是360. 有CC=2850种选法，而从35种商品中选取3种有C= A 6545种选法 [答案]D ∴.至少有2种假货在内的不同的取法有655一1140一2850 跟踪训练 =2555(种). 3.D[当8个相同的蓝球只分给其中1人时，有4种分法： [子题1门解：从34种可选商品中，选取3种，有C种或者C -C号：=C-5984(种)取法. 当8个相同的蓝球分给其中的2人时，先从4人里面选出2 人，再将8个相同的蓝球排成一排，形成的7个空里面选出1 ∴.某一种限货不能在内的不同取法有5984种， 个空插入1个“隔板”即可，此时有号C=42种分法： 子题2]解：法一（间接法）：选取3种的总数为C3· 当8个相同的蓝球分给其中的3人时，先从4人里面逃出3 周此共有选取方式C一C6=6545-455=6090(种). .至多有2种佩货在内的不同的取法有6090种. 人，再将8个相同的蓝球排成一排，形成的7个空里面选出2 法二（直接法）：选取3种真货有C种，选取2种真货有 个空插入2个“隔板”即可，此时有CC号=84种分法： CC5种，选取1种真货有CC种， 当8个相同的蓝球分给其中的4人时，每人至少一个，此时将 因此共有选取方式C,+C%C+CC=6090(种). 8个相同的蓝球排成一瓣，形成的7个空里而远出3个空插入 .至多有2种假货在内的不同的取法有6090种. 3个“隔板”即可，此时有C=35种分法. 跟踪训练 因此把8个相同的蓝球分发给甲、乙、丙、丁4人时，不同的分 1.C[分两种情况，第一种：1家企业接待1名校长，1家企业提 发种数有：4十42十84十35=165.故选D.] 待3名校长，共有CC吲A号=8（种）方法：第二种：每家企业均 接待2名校长，共有CC=6(种)方法，所以共有8十6=14 第2节二项式定理 (种).」 2.当从这8门课中选修2门课时，共有C·C一16（种）：当从这 夯实·必备知识必备知识掌握 8门课中选修3门谋时，共有C·C+C·C=48(种)：综 1.Ca"+Ca-1b+Cga"-22+…+Ca"-+…十Cb(n∈ 上可知，共有64种不同的选课方案， N,)k+1 答案：64 2.(1)首末两端“等距离”(2)增大减小CC宁c中 题型4命题点1 (3)①2#②2-1 [典例1门[解析]法一：首先将12名同学平均分成四组，有 自主诊断查验思考辨析 CC世种分法，然后将这四组同学分配到四个不同的课题 (1)×(2)/(3)×(4)/(5)、/(6) A 小题查验 组，有A种分法，并在各组中选出1名组长，有3种选法，根 据分步乘法计数原理，满足条件的不同分配方案有CCC 1.B[由题意得中同项为心1·（一安）广-要. A ·A·3=C2CC3(种)， 2D[限开式的通项务1=C好8·（层）广 =37-4 法二：根据题意可知，第一组分3名同学有C:种分法，第二红 分3名同学有C种分法，第三组分3名同学有C种分法，第 C2-,令21-子=0，解得k=6,所以含数项为3C心 四组分3名同学有C种分法，第一组选1名组长有3种选 =21.] 法，第二组选1名组长有3种选法，第三组选1名组长有3种 3.A[依题意，得二项式系数的和为2"=8，所以n=3,故二项 选法，第四组选1名组长有3种选法，根据分步乘法计数原理 可知，满足条件的不同分配方案有CCC3种. 式为(2-子)广◆x=1,可求得系数之和为1-2 [答案]B -1.] 跟踪训练 4.B[当r=1时，1=44十49十a2+a1十4o①：当r=一1时，81 (解析：先花6个毕业生手均分成3组，有C什方法，弄将 =a:一s十a2一a1十ao②：①+②得原式=41.] 3组毕业生分到3所学校，有A=6(种)方法，故6个毕业生 5.解析：(1十x)的展开式中x的系数为C=5 平均分到3所学杭，共有CCC延.A=90(种)分添方法。 (1一x)的晨开式中x的系数为C=15, A 故在(1十x)5十(1一x)5展开式中，含的项的系教为20， 答案：90 答案：20 513 跃升·关键能力题型1 命题点3 L解析：展开式的通项公式 [典例3][解析]由于二项式(2十ux)(a≠0)的展开式中各 1=C22)-(-）》=(-1x20XX8-. 项的二项式系数之和为512， 所以2”=512n=9,即(2+ax)P(a≠0)， 令18-4k=2,可得k=4, 展开式的通项公式为C·2-4·(ar泸=d·2”-· 则x2项的系数为(-1)1×26-1×C=4×15=60. ·, 答案：60 意意可知0·20-C≥a·20-1·C 2解析：周为（停+亏）广的展开式的道项为T 1a5·29-5·c8≥a5·28-6·C, /a≥2， 1a2-3a≤0.1 解得2≤a≤3. g(3)(写）-3-Cc-=01…6 [答案]C 跟踪训练 令6(r-3)=0,可得r=3, 3.解析：令x=1,则(1一3x)"的展开式各项系数之和为（一2）” 所以常数项为3C一20. =64=2,则n=6: 答案：20 由(1一3x)产的展开式通项公式T+1=C(一3)产x知二项展 3解：二项式(r2-Z)展开式的通项为 开式的系数最大项在奇数项， 设二项展开式中第k十1项的系数最大， T1-g9(2）广-c-()t /(C(-3)≥(C+2(-3)4+2, 1C装(-3)≥C-(-3-2, cs(）)n- 化腾可释传+8牛实5X9, 所以展开式的第7项为T=C5()P·（一安）广=84r· 经验证可得r=4 则该展开式中系数装大的项为T,=C(-3)'x=1215x. 答案：1215.x 16 命题点4 令18-3k-9,所以=3，所以含x的项的系数为 [典例4][解](1)令x-1,得ao+a1十ag十…+ago24- c(）广-婴 (一1)2024=1①. (2)令r=-1,得a一41十a2-ug十…-a223+420g1=3220 题型2命题点1 @.由①-②得2(a1十a3十as…+a22a）=1-324,a1十 [典例1门[解](1)由题意得：第四项T,=C(压)” (子）广=-8-1为常载项， a十十+02=1一g2 2一 (3)相当于求展开式(1十2x)221的系数和，令x=1,得4|十 ”23-3=0 1a1+la1+…+la24l=3202 (4)(1-2r)24=a0+a1x十agx2十…十ay24x224(r∈R)两 n=9. 边分别求导得：-4048(1-2r203-a1+2ax+3ax2+… (2)令x=1,可得展开式中所有项的系数和为(1一2)9=一1. +2024 a22a(r∈R),令r=1,得a1+2ag+3d,+…+ 展开式中所有项的二项式系教和为2一512 2024agg1=4048. 跟踪训练 跟踪训练 1.B[依题意可得2=256，所以n=8, 4.解析：由题42=1×C(-1)+2×C好·(-1)2=8， 令r=I,则ag十a1十a2十ag十a:十as=0, 则(-)）广展开式的通项为T+1=C(-士）广 又a0-2,所以41十4g十41十au十45=一2. C哈x-(-1), 答案：8一2 题型3命题点1 令8一2k=0,解得k=4,所以展开式中常数项为T=CP(一1)川 =70.] [典例1门[解析] (-)广萄展开式的通项为工1 命题点2 [典例2][解析]由题展开式通项公式为 G)·(-2)”=G(-2-◆12-m=0, T+1=CG(）》 x',0≤r≤10且r∈Z. 解得m=3(十)）广的展开式的道项为工1=C() =Cxm,令8一2n=0,解得n=4,所以所求常教项为 设展开式中第r十1项系数最大， C明(-2)3+Cg=38. c()”≥c() [答案]D 则 跟踪训练 c(传)"≥c(传)" 1.解析：在(2-1)2十(2x-1)3+…十(2x-1)的展开式中， 含x2项为C9(2x)2-C(2x)2+C(2x)2-C(2x)2+ 解得 得程<型，又故-8 C(2x)2-C等(2.r)2+((2r)2, 则含x2项的系数为4(1-3+6-10+15-21+28)-64. < 答案：64 命题点2 所以展开式中系数最大的项是第9项，且斌项系数为 c(号）-5. [典例2灯[解析]因为(1-￥)x+)=(x+-兰（红 +y)8, [答案]5 跟踪训练 所以(-兰)x+y)的展开式中含ry的项为C产 2.解析：a4-Co(2023x)+(一1)*Cm20231o0-x<0,依题 c2=-282 意k为奇数，.2023*<202310-4，k<100-k→k<50→kmx =49. （1-兰)x十y)的展开式中产少的系数为-28. 答案：49 [答案]-28 514 跟踪训练 跃升·关键能力题型1 2.C[令x=1,则2+2(2x-})）°=3×1=3。 1.B[三角形三条高线一定交于一点，则①是必然事件：②水 中榜月是不可能事件：③守株得兔是随机事件，不是响定事 所以(：十2)(2-）厂'的展开式中所有项的系能都为3 件：④某地区明年1月的降雪量高于今年1月的降雪量是随 机事件，不是确定事件.] 因为(2-子)”的展开式中台子的项为心·(2：)： 2.解：由题可得： ()广-0 转盘①转出的颜色 红 黄 蓝 (2:-士)）的展济式中常数项为c·(2·(）广 蓝 (红，蓝) (黄，蓝) (蓝，蓝) -160. (红，黄) (黄，黄) (蓝，黄) 所以2+2(2-) 的展开式中常数项为60+2X(一 转盘②转 (红，红) (黄，红) (蓝，红) 出的颜色 160)=-260 (红，绿) (黄，绿) (蓝，缘) 所以（十2(2：一）广”的展开式中所有项的系载和与常数 (红，紫) (黄，紫) (蓝，紫) 项分别为3：-260.] 由表可知，共有15种等可能的结果， 命题点3 其中A={(黄，蓝)，（黄，黄），（黄，红），（黄，绿）， [典例3][解桥](+安-2)'的通项公式为工41=G· (黄，紫)， (e+）) B=〈（红，绿），（黄，绿），（蓝，绿）}，所以A∩B={(黄，绿)}， ·(-2y)r, AUB={(黄，蓝)，（黄，黄），（黄，红），（黄，绿），（黄，紫） 当=3时，工1=《-2)·(+安)八， (红，绿)，（蓝，繚）， 题型2 (+)）广中，合产项的系载为心··2 1,解析：D[对于A,事件A=“向上的点数为3”发生，事件B一 所以展开式中x2y的系数为C·（-2)3·2=-560, “向上的点数为6”一定不发生，故速项A不正确：对于B,事件 C=“向上的点数为3或6”发生，事件B=“向上的点数为6"不 [答案] -560 跟踪训练 一定发生，但事件B=“向上的点数为6”发生，事件C=“向上 3.解析：(2x2+x-y)i可看作5个(2x2+x-y)相乘，有2个括 的点数为3或6”一定发生，所以B二C,故选项B不正响：对 号提供一y,还有3个括号都是22， 于C,事件A和事件B不能同时发生，A∩B一⑦，故选项C不 则C鳄(-y)2·C号(2x2)3=80xy,系数为80. 正确：对于D,事件A=“向上的点数为3”或事件B=“向上的 答案：80 点数为6”发生，则事件C=“向上的点数为3或6”发生，故选 项D正确.] 第3节随机事件的概率 2.ABC[若A,B互为对立事件，P(A)=1,则A为必然事件 夯实·必备知识必备知识掌握 故B为不可能事件，则P(B)=O,故A正确：若事件A,B,C两 一，1.(1)必然出现(2)不同无法预言 两互斥，则事件A,B,C不能可时发生，则事件A与BUC也 2.(1)可能结果集合？(2)每种可能结果。(3)有限 不可能同时发生，则事件A与BUC互斥，故B正确：若事件 3.(1)子集事件(2)子集事件必然发生(3)事件不 A与B对立，则P(AUB)=P(A)十P(B)=1,故C正确：若事 会发生 件A,B互斥但不对立，则它们的对主事件不豆斥，故D 二，A∩B至少有一个发生A,B都发生AUB不能同时 错误.] 00 题型3 三，1.P(A)+P(B) [典例][解]①由试加工产品等级的频数分布表知， 2.1-P(A) 3.P(A1)+P(A2)十+P(A) 甲分厂加工出来的一件产品为A领品的概率的倍计值为铝 四，01 =0.4: 自主诊断查验思考辨析 乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的传计值为 28 (1)(2)√(3)/(4)/(5)×(6)/(7)× 小题查验 =0.28. 1.AC ②由数据知甲分厂加工出来的100件产品利涧的频数分布 2.AB[对于A遍项，事件AUB指至少有一件次品，即事件C, 表为： 故A正确：对于B选项，事件BUD指至少有两件次品或至多 利润6525 -5-75 有一件次品，次品件数包含0到5，即代表了所有情况，故B正 频数40202020 确：对于C选项，事件A和B不可能同时发生，即事件A∩B 因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为 一可，故C错误：对于D选项，事件A门D指恰有一件次品，即 事件A,而事件A和C不同，故D错误.门 65×40+25×20-5×20-75×20=15. 100 3.B[因为对立事件一定是互斥事件，所以B正确，A错误：又 由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为： 国为互斥事件可能是对立事件也可能不是对立事件，所以C, D错误， 利润70300-70 4,解析：这个试验的样本空间为0=(1,1,1)，(1,1,0)，(1,0,1)， 频数28173421 (0,1,1),(0,0,1),(0,1,0).(1,0,0),(0,0.0)},共8个样本，点. 因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为 答案：8 70×28+30×17+0X31-70X21=10. 5.解析：命中的环数小于9环的概率为P=0.1十0.15十0.25 100 =0.5. 比较甲，乙两分厂加工的产品的平均利润，厂家应选甲分厂承 答案：0.5 接加工业务 515