第1节 计数原理、排列与组合-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布列 第1节计数原理、排列与组合 ★[课程标准] 1.理解两个计数原理（分类加法计数原理和分步乘法计数原理）. 2.能正确区分“类”和“步”，并能利用两个计数原理解决一些简单的实际问题。 3.理解排列、组合的概念及排列数与组合数公式，并能用其解决一些简单的实际问题 夯实>必备知识 教材夯实强基固本 必备知识掌握 续表 一、计数原理 排列与排列数 组合与组合数 原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 从n个不同元素中取出组合数：从n个不同元素中 m(m≤n,且m,n∈N+)取出m(m≤n,且m,n∈ 个元素的所有不同排列N+)个元素的所有组合的 分类加法计数原理完分步乘法计数原理 完 义 的 ,叫作从n个不 ,叫作从n个不同元 成一件事，可以有n成一件事需要经过n个 同元素中取出m个元素 素中取出m个元素的组合 类办法，在第1类办步骤，缺一不可，做第1 的排列数，记作 数，记作 法中有m1种方法，步有m1种不同的方 在第2类办法中有法，做第2步有m2种 组合数公式C=A 定义m2种方法…在第 不同的方法…做第刀 公 排列数公式：A州= n(n-1)(n-2)…(n-n+1) ”类办法中有mn种步有m。种不同的方 式 m! n 方法，那么，完成这件法，那么，完成这件事共 m!(n-m)1 事共有N= 有N A对=n(1-1)(n2)· 规定：C=1. 种方法。 种方法.（也称“乘法原 性 质 …·2·1,记作l.规C=Cm: (也称“加法原理”) 理”) 定：①A8=1.②0！=1 C+C=C1 备 n,m∈N+,并且m≤n n,m∈N+,并且m≤n 各种方法彼此互斥，各个步骤中的方法互相 注 区别 用其中任何一种方法 依存，只有各个步骤都 ·重要结论 都可以完成这件事 完成才能做完这件事 解决排列组合问题“四项基本原则” (1)特殊优先原则：如果问题中有特殊元素或特 二、排列与组合 殊位置，优先考虑这些特殊元素或特殊 位置. 排列与排列数 组合与组合数 (2)先取后排原则：在既有取出又需要对取出的 排列：一般地，从n个不 元素进行排列时，要先取后排，即完整地把 同元素中取出m(m≤，组合：一般地，从n个不同 需要排列的元素取出后，再进行排列. 且m,n∈N+)个元素，按元素中，任取m(m≤m,且 (3)正难则反原则：当直接求解困难时，采用间 照一定的 排成一 m,n∈N+)个元素 接法解决问题. 列，叫作从n个不同元素叫作从n个不同元素中取 (4)先分组后分配原则：在分配问题中如果被分 中取出m个元素的一个出m个元索的一个组合 配的元素多于位置，这时要先进行分组，再 排列 进行分配， 234 主题四第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布列 自主诊断查验 2.有6个座位连成一排，现有3人就座，则恰有 ◆[思考辨析] 两个空座位相邻的不同坐法有 ( 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括 A.36种B.48种 C.72种 D.96种 号里打“/”，错误的打“×” (1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中 3.(多选)已知Ag-2A十0！=4，则m的可能 的方法可以相同. ( 取值是 (2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方 法都能直接完成这件事。 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 (3)所有元素完全相同的两个排列为相同 4.(BSD选择性必修第一册P161习题5-2A组 排列. ( ) T3改编)“五经”是儒家典籍《周易》《尚书》《诗 (4)两个组合相同的充要条件是其中的元素完 经》《礼记》《春秋》的合称.为弘扬中国传统文 全相同. (5)A=nA-. 化，某校在周末兴趣活动中开展了“五经”知识 ◆[小题查验] 讲座，每经排1节，连排5节，则《诗经》《春秋》 1.一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有 分开排的情况有 种 6个小球，所有这些小球的颜色互不相同，从 5.(重复计算或漏算导致错误)4名考生在三道 两个袋子中分别取1个球，不同的取法种数是 选做题中任选一道进行做答，则这三道题都有 ( A.5 B.6 C.11 D.30 人选做的方法为 跃升>关键能力 层级突破素养提升 题型1 计数原理及应用 [考题解读]本题以志愿者参加公益活动 1.算盘是中国古代的一项重要发明，迄今已有 为情境设题，考查排列、组合知识，课标中对 2600多年的历史.现有一算盘，取其两档（如 排列、组合的要求是“通过实例，理解排列、 图1)，自右向左分别表示十进制数的个位和 组合的概念”，这也就意味着该考点多以生 十位，中间一道横梁把算珠分为上下两部分， 产、生活中的实际问题为背景在试卷中出 梁上一珠拨下，记作数字5，梁下四珠，上拨一 现，在备考中，多关注生活背景、社会现实 珠记作数字1（如图2算盘表示整数51）.若拨 经济建设、科技发展、体育精神等各个方面， 动图1的两枚算珠，则可以表示不同整数的个 并从中提炼出具有社会价值的数学应用 数为 ( 背景 3.(2025·湖北车城模拟)现 有6种不同的颜色，给图中 十位个位 十位个位 图1 图2 的6个区域涂色，要求相邻 A.6 B.8 C.10 D.15 区域不同色，则不同的涂色方法共有 ( 2.(2023·全国甲卷)现有5名志愿者报名参加 A.720种 B.1440种 公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天， C.2880种 D.4320种 每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰 4.(2025·烟台模拟)用数字1,2,3,4,5,6,7,8， 有1人在这两天都参加的不同安排方式共有 9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶 ( 数的四位数，这样的四位数一共有 入 A.120种B.60种 C.30种 D.20种 (用数字作答) 235 金榜题名创新高考总复习数学北师大版 题后反思 题后反思 求解排列应用问题的主要方法 利用两个计数原理解决应用问题的一般思路 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 (1)弄清完成一件事是做什么. 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 (2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类。 捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素 (3)弄清分步、分类的标准是什么 起排列，同时注意据绑元素的内部排列 (4)分类要做到不重不漏. 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的 插空法 排列，再将不相邻的元素插在前面元素排 题型2 排列问题 列的空档中 1.(2025·山东淄博期中)某同学是个数学迷，他 定序间题：对于定序间题，可先不考虑顺序限制，排 在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前 除法处理 列后，再除以定序元素的全排列 六个数字3、1、4、1、5、9进行某种排列得到密 间接法 正难测反、等价转化的方法 码，要求两个1必须相邻，那么可以设置的不 同密码有 题型3 组合问题 [母题] 某市工商局对35种商品进行抽样检 A.120种B.240种C.60种 D.30种 查，已知其中有15种假货.现从35种商品中 2.(2022·新高考Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同 选取3种 学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端， (1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有 丙和丁相邻，则不同的排列方式共有() 多少种？ (2)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？ A.12种B.24种C.36种D.48种 (3)至少有2种假货在内，不同的取法有多 3.某校实行选科走班制度（语文、数学、英语为必 少种？ 选科目，此外学生需在物理、化学、生物、历史、 [尝试解答] 地理、政治六科中任选三科).根据学生选科情 况，该校计划利用三天请专家对九个学科分别 进行学法指导，每天依次安排三节课，每节课 一个学科.语文、数学、英语只排在第二节，物 理、政治排在同一天，化学、地理排在同一天， 生物、历史排在同一天，则不同的排课方案的 种数为 ( A.36 B.48 C.144 D.288 4.(2025·河南模拟)某晚会上需要安排4个歌 舞类节目和2个语言类节目的演出顺序，要求 语言类节目之间有且仅有2个歌舞类节目，则 不同的演出方案的种数为 A.72 B.96 C.120 D.144 236 主题四第十章计数原理、概率、随机变量及其分布列 [子题1门在母题条件下，若其中某一种假货不 2.(2023·新课标I卷)某学校开设了4门体育 能在内，则不同的取法有多少种？ 类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8 门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至 少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答） 题型4 分组分配问题 [命题点1]整体均分问题 [典例1]数学活动小组由12名同学组成，现将 这12名同学平均分成四组分别研究四个不同 课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选 出1名组长，则不同的分配方案有 ( [子题2]在母题条件下，若至多有2种假货在 内，则不同的取法有多少种？ CC3CA种 A A B.C2CC34种 c.CCC4种 A D.C12C8C43种 [尝试解答] 方法指导 方法点拨 组合问题常有以下两类题型 对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它 (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型： 们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后 “含”，则先将这些元素取出，再由另外元 定要除以A:(n为均分的组数)，避免重复 素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再 计数. 从剩下的元素中去选取. 跟踪训练 (2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型：解 1.国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重 这类题必须十分重视“至少”与“至多”这 点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后 两个关键词的含义，谨防重复与漏解，用 要分到相应的地区任教.现有6个免费培养的 直接法和间接法都可以求解，通常用直接 教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去 法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法 任教，有 种不同的分派方法。 处理. [命题点2]部分均匀问题 提醒：区分一个问题是排列问题还是组合 [典例2](2025·贵州模拟)为有效阻断某病 问题，关键在于是否与顺序有关。 毒传播途径，构筑好免疫屏障，某市启动该病 跟踪训练 毒疫苗加强针接种工作，凡符合接种第三针条 1.教育部于2022年开展全国高校书记校长访企 件的市民，要求尽快接种.该市有3个疫苗接 拓岗促就业专项行动，某市4所高校的校长计 种定点医院，现有8名志愿者将被派往这3个 划拜访当地的甲、乙两家企业，若每名校长拜 医院协助疫苗接种工作，每个医院至少2名至 访1家企业，每家企业至少接待1名校长，则 多4名志愿者，则不同的安排方法共有() 不同的安排方法共有 ( ) A.2940种 B.3000种 A.8种 B.10种 C.14种 D.20种 C.3600种 D.5880种 237 金榜题名创新高考总复习数学北师大版 [尝试解答] [命题点3]不等分问题 [典例3]中国救援力量在国际自然灾害中为 拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际 形象，增进了国际友谊.现有6支救援队前往 A,B,C三个受灾点执行救援任务，若每支救 援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点 至少安排1支救援队，其中A受灾点至少需要 2支救援队，则不同的安排方法种数是() A.180 B.240 C.320 D.360 [尝试解答] 方法点拨 对于部分均分，解题时注意重复的次数是均 匀分组的阶乘数，即若有组元素个数相等， 则分组时应除以！，一个分组过程中有几个 这样的均匀分组就要除以几个这样的全排 列数. 方法点拨 日跟踪训练 对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分 2.(2025·南昌市新建区模拟)五经是指：《诗经》 组时任何组中元素的个数都不相等，所以不 《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，记载了我国古代 需要除以全排列数. 早期思想文化发展史上政治军事、外交、文化 跟踪训练 等各个方面的史实资料，在中国的传统文化的 3.(2025·江苏南通一模)把8个相同的篮球分 诸多文学作品中，占据相当重要的位置.学校 发给甲、乙、丙、丁4人，不同的分发种数为 古典研读社的三名社团学生，到学校图书馆借 ( 了一套五经书籍共5本进行研读，若每人至少 A.70 B.99 C.110 D.165 分一本，则5本书的分配方案种数是( 请完成课时冲关59 A.360 B.240 C.150 D.90 第2节 二项式定理 ★[课程标准] 1.能用计数原理证明二项式定理， 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 夯实>必备知识 教材夯实强基固本 必备知识学握 续表 1.二项式定理及相关概念 Ca"一b*称为二项展开式中第 二项 项，可记作Tk+1=Ca"-b“(其中0≤k 公式(a十b)"= 式通项 ≤n.k∈N,n∈N+) 概念 称为二项式 定理 二项 Coa"+Cha"Ib+C2a"-2 62+...+ 展开式 Ca"-b+…+Cb"(n∈N+) 在二项式定理中，如果设a=1,b=x,则 二项 各项系数C(k=0,1,2,…,n)称为二项 式系数式系数 备注 得到公式(1十x)"=Cg+Cx+C2x2+ 十Cx+…+Cx"(n∈N+) 238跟踪训练 第十章计数原理、概率、 3.解析：由表中数据得y随x的增大而增大， 所以该老师每天一次最多答对题数y与天数x之间是正 随机变量及其分布列 相关， 第1节计数原理、排列与组合 公y,-7xy 夯实·必备知识必备知识掌握 600-7×4×19 一、m1+mg+…十mm1·m·…·mn y-7 √140-7×4平 二、顺序为一组个数A个数Cmn(n一1)(n-2)· ··[n一(m-1)] 1 6 1 17 √2695-7×19 2厅×2V厘≈7×2.5≈0.99. 自主诊断查验思考辨析 (1)×(2)/(3)×(4)/(5) 答案：正0.99 小题查验 题型3 1,D[根据分步乘法计数原理不同的取法种数为5×6一 30种.] [典例门[解](1)根据题意可得列联表： 2.C[格有两个空座住相邻，相当于两个空座位与第三个空位 优级品 非优线品 不相邻，先捧三个人，然后插空，从而共有AA号=72（种） 坐法.门 甲车间 26 24 3.CD[因为N-2AN+0!-4,所以A-号×6+1-4，所 乙车间 70 30 以A四=6， 可得K= 150(26×30-24×70)275 其中m∈N,m≤3，而A2-1,A-3,A导一A-6,所以m的值 =4.6875, 50×100×96×54 16 可能是2或3.] 因为3.841<4.6875<6.635， 4.解析：先将《周易》《尚书《礼记》进行裤列，共有A种排法，再 所以有95%的把报认为甲、乙两车间产品的犹级品率存在差 从产生的4个空位中选2个按排《诗经》（春秋》，共有A好种排 法，所以满足条件的情形共有AA=72(种). 异，没有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在 答案：72 差异， 5.解析：4个人微三道题日，每题至少一人，则必有一个题日有两 (2)由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优 个人做，因此要先将四个人分成三组，然后再排列，方法数为 域品的频单为部-0.61 CA=36. 答案：36 用频来估计概率可得p=0.64, 跃升·关键能力题型1 1.B[拔动两枚算球可分为以下三类 又因为升级改造前该工厂产品的优级品率p=0.5, (1)在个位上拔动两枚，可表示2个不同整数. 期p+1.6,/Pa2-0.5+1.65@50西≈.5+ (2)同理在十位上找动两枚，可表示2个不同整数， 150 (3)在个位、十位上分别拔动一救，由分步乘法计数原理易得 0.5 可表示2X2一4个不同整数，所以，根据分类加法计数原理 1.65×12.27≈0.568. 一共可表示2十2十1=8个不同整数.] T知D>+1.65√P包. 2.B[不妨记五名志愿者为a,b心，d,e,假设a连续参加了两天 社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天 的社区服务，共有A好=12种方法， 所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优饭 同理：b,心d,连续参加了两天社区服务，也各有12种方法， 品率提高了. 所以恰有1人连续参加了两天社区服务的逸择种数有5×12 跟踪训练 =60种.] 解：(1)根据表中数据，A共有班次260次，准，点班次有240次， 3.D[根据题意分步完成任务： 第一步：完成3号区战：从6种颜色中选1种涂色，有6种不同 设A家公司长途客车准点事件为M,则P(M)=240=12。 方法： 26013 第二步：完成1号区城：从除去3号区城的1种颜色后剩下的 B共有班次240次，准点班次有210次。 5种颜色中选1种涂色，有5种不同方法： 设B家公司长建客车准点事件为N,则PN=器子 第三步：究成4号区域：从除去3,1号区城的2种颜色后剩下 的4种颜色中选1种涂色，有4种不同方法： A家公司长建家车准点的桃率为昌， 第四步：完成2号区战：从除去3,1、4号区域的3种颜色后剩 下的3种颜色中选1种涂色，有3种不月方法： B家公明长连客车准点的能率为子 第五步：究成5号区城：从除去1,2号区城的2种颜色后刺下 的4种瓶色中选1种涂色，有4种不同方法： (2)列联表 第六步：完成6号区城：从除去1、2.5号区战的3种颜色后剩 下的3种颜色中选1种涂色，有3种不同方法： 准点班次数未准点班次数 合计 所以不同的涂色方法：6×5×4×3×4×3=4320（种）.] 4.解析：①当组成四位数的数宇中有一个偶数时，四位数的个数 A 240 20 260 为C号·C·A=960. B 210 30 240 ②当组成四位数的数字中不含偶数时，四位数的个数为A =120. 合计 450 50 500 故符合题意的四位数一共有960+120=1080（个）. 答案：1080 n(ad-be)2 (a+b)(c+d)(a+e)(b+d) 题型2 1.A[根据题意，将2个1拥绑在一起，再与其余4个数字全 500×(240×30-210×20) 3.205>2.706, 排列， 260×240×450×50 所以共有Ag=120种不同的密码，故选A.门 根据临界值表可知，有90%的把提认为甲，乙两城之间的长途 2.B[先利用相绑法排乙丙丁戌四人，再用插空法选甲的位置， 客本是否准点与客幸所属公司有关， 则有A经AC=24(种).] 512 3.D[先将语文、数学、英语排在第二节，有A=6(种)排法，将 命题点2 物理和政治，化学和地理，生物和历史分别“捆绑”，有 [典例2][解析]根据题意，这8名志觅者人数分配方案共有 A号AA号一8（种）排法，将拥螂后的三个元素排在三天，有 两类：第一类是2,2,4，第二类是3,3,2， A=6(种)排法，则不同的排课方案的种数为6×8×6 =288(种). 故不同的安捧方法共有（写CC+CC A A号 ）A=2940(种). 4.D[第一步：全排列2个语言类的节目，共有A号种情况， [答案]A 第二步：从4个歌年类节目中选出2个节目放入2个语言类的 跟踪训练 节日之间，共有A子种情况， 第三步：再将排好的4个节日视为一个整体，与其余的两个歌 2.C[先分类再分配第一步分两类2,2,1和3,1,1，则分类方法 舞节目全排列， 有 +Cg种： 共有A种情况，所以N=A号A号A号=144.] 题型3 第二步分配给三名学生有A种分法 [母题][解](1)从余下的34种商品中，选取2种有C一 561(种)取法， 由分步来法计数原理得N-(保+G)）州=150c种.] ,某一种服货必须在内的不同取法有561种. 命题点3 (2)从20种真货中选取1种，从15种假货中逸取2种有 CC=2100(种)取法. [典例3] [解析]若6支救援队按1,1,4分成3组，则不同的 .恰有2种假货在内的不同的取法有2100种 安排方法种数是A·A=30, (3)法一（直接法）：给好2种假货有CC5种选法，恰好3种 假货有C种选法， 若6支救接队按1,2,3分成3组，则不月的安排方法种数是 因此，选取方式共有CoC院+C唱=2100+455=2555（种）. CC￥CA号=240， .至少有2种假货在内的不同的取法有2555种. 若6支数接队按2,2,2分成3组，别不同的安排方法种数是 法二（间接法）：没有假货有C。=1140种选法，恰好1种假货 CC货 ·A=90,故不同的安排方法种教是360. 有CC=2850种选法，而从35种商品中选取3种有C= A 6545种选法， [答案]D ∴.至少有2种假货在内的不同的取法有6545一1140一2850 跟踪训练 =2555(种). 3.D[当8个相同的蓝球只分给其中1人时，有4种分法： [子题1门解：从34种可选商品中，选取3种，有C种或者C 一C3=C3=5984(种)取法. 当8个相同的蓝球分给其中的2人时，先从4人里面选出2 人，再将8个相同的蓝球排成一排，形成的7个空里面选出1 .某一种假货不能在内的不同取法有5984种， 子题2]解：法一（间接法）：选取3种的总数为C, 个空插入1个“隔板”即可，此时有CC=42种分法： 当8个相同的蓝球分给其中的3人时，先从4人里面选出3 因此共有选取方式C一C=6545一455=6090（种）. .至多有2种佩货在内的不同的取法有6090种 人，再将8个相同的蓝球推成一排，形成的7个空里面选出2 法二（直接法）：选取3种真货有C种，选取2种真货有 个空插入2个“隔板”即可，此时有CC号=84种分法： CC5种，选取1种真货有CC种， 当8个相同的蓝球分给其中的4人时，每人至少一个，此时将 因此共有选取方式C+CC+CC=6090(种). 8个相同的蓝球排成一瓣，形成的7个空里而选出3个空插入 .至多有2种假货在内的不同的取法有6090种。 3个“隔板"即可，此时有C=35种分法。 跟踪训练 因此把8个相阿的蓝球分发给甲，乙，丙，丁4人时，不同的分 1.C[分两种情况，第一种：1家企全业接待1名校长，1家企业提 发种数有：4十42+84十35=165.故选D.] 待3名校长，共有CC吲A号=8（种）方法：第二种：每家企业均 接待2名校长，共有CC避=6（种）方法，所以共有8十6=14 第2节二项式定理 (种).」 2.当从这8门课中选修2门课时，共有C·C一16（种）：当从这 夯实·必备知识必备知识掌握 8门课中远修3门谋时，共有C·C十C·C=48(种)：综 1,Cga"+Can-1b+Cga"-22+…+Cta"-+…十C(n∈ 上可知，共有64种不同的选课方案， N,)k+1 答案：64 2.(1)首末两端“等距离”(2)增大减小CC宁c中 题型4命题点1 (3)①2#②24-1 [典例1门[解析]法一：首先将12名同学平均分成四组，有 自主诊断查验思考辨析 CCC种分法，然后将这四组同学分配到四个不同的深题 (1)×(2)/(3)×(4)/(5)/(6) A 小题查验 组，有A种分法，并在各组中选出1名组长，有3种选法，根 据分步乘法计数原理，满足条件的不同分配方案有CCC 1.B[由题意得中间项为··(一）-曾.] A好 ·A·3=C2C号C3(种). 2D[限并我的通项为11=C好8·（后） =37-4 法二：根据题意可知，第一组分3名同学有C:种分法，第二红 分3名同学有种分法，第三组分3名同学有C种分法，第 C时21-，令21-子=0，解释k=6,所以含数项为3C心 四组分3名同学有C浮种分法，第一组选1名组长有3种选 =21.] 法，第二组选1名组长有3种选法，第三组选1名组长有3种 3.A[依题意，得二项式系数的和为2=8，所以n=3,故二项 选法，第四组选1名组长有3种选法，根据分步乘法计数原理 可知，满足条件的不同分配方案有CCC3种. 式为(x-是)八，令x=1,可求得系数之和为(1-2 [答案]B -1.] 跟踪训练 4.B[当r=1时，1=a4十a9十a2+a1十a①：当r=一1时，81 1.解析：免把6个毕业生平均分成3组，有CC种方法，弄将 A =a:一s十a一a十a②：①+②得原式=41.] 3组毕业生分到3所学校，有A=6(种)方法，故6个华业生 5.解析：(1十x)的展开式中x的系数为C=5 平均分到3所学杭，共有CC延.A=90(种)分深方法。 (1一x)°的晨开式中x的系数为C=15, A 故在(1十x)5十(1一x)5展开式中，含x的项的系数为20， 答案：90 答案：20 513