第3节 成对数据的统计分析-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

第3节成对数据的统计分析 (2)依题意知-回 D票10 夯实·必备知识必备知识掌握 (5-) 一、1.相关关系 又因为》x=380,》y=390, 3.一条光滑的曲线一条直线附近 二，1.小最小最小 所以7=38,9=39， 2+++)+%+…+%) 所以=了-6739一需×38-14.1山 三2.10正负不 所以y关于x的线性回归方程为y=1.40x-14.11. 四、3.(1)没有(2)90%(3)95%(4)99% 命题点2 自主诊断查验思考辨析 [典例2][解](1)由数点图可知，y=c更造合作为经济收 (1)(2)×(3)×(4)/(5)× 入y关于月份r的回归方程类型， 小题查验 (2)y=ce的两边取自然对数，得lny=lne+dx.因为x= 1.AB[由题可知A,B中的点落在一条直线册近，故其变量X, 3.5,=3.34.2(x,-r)=17.5,2(x-x)(w-)=10.63, 4=1 Y有近似的线性关系：C,D中的，点没有落在一条直线附近，故 其变量X,Y不具有近似的线性关系， 所以=1 2.BCD[相关系数的取值范围是|r≤1，故A错：直线Y=bX (x,-4-0_10,63≈0.61，nc=a-a证≈ 2(x-F)2 17.5 十a必过样本点中心即点(r,y),故B正确：直线Y一X十a是 3.34-0.61×3.5=1.205≈1.21，所以c≈e.1,所以经济放 采用最小二乘法求解出的直线方程，接近真实关系，故C正 入Y关于月份X的回归方程为Y=.1+1x 确：相关系数r的绝对值越接近于1，表示相关程度越大，越接 (3)当X=7时y=c山21+861×7=5.48≈239.85.预调接公司 近于0，相关程度越小，故D正确。了 7月份的经济收入约为239.85万元. 3.99% 跟踪训练 4.解析：由r=30,得y=0.67X30十54.9=75 2.解：周为y=b·(a>0,b>0),所以lny=ln(h·)=nb 设表中的“模糊数字”为4， +aln r. 则62+a+75+81+89=75×5,.a=68. 令v=lny,u=lnx,则v=ln6十au. 答案：68 5.解析：x=18+13+10-1-10. 图为2血4)=4=6.60含（血）=y=-2.70, 1 4 y=25+35+37十63-40.样本中心为(10.40).回归直线经过 lnx:2=24=9.46 4 之(ln无·lny)=之(4·)=-1.87 样本中心，所以40=一2×10+4→a=60. 所以t=1.10,0=-0.45, 答案：60 跃升·关键能力题型1 之u,-6mw_-1.87-6×1.10×(-0.42=号 1,A[观察4幅图可知，A图散点分布比较集中，且大体接近某 4= 9.46-6×1.102 一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相 2-6m 关，|r值相比于其他3图更接近1.故选A.门 周为hb=D-am=-0.45-号×1.10=-1， 2.C[依题意：1=0.8995，r2=-0.9568,所以X,Y正相关， U,V负相关，n<r2<1,所以U,V的线性相美性较强.] 所以b= e ,所以回归方程为Y=区 3.AC[由图形特征可知r1都是负相关，都是负教，n比r 的相关系数更强，所以n<r<0,r都是正相关，2比n 当x=9时，y= 3≈1.11 的相关系数更强，所以0<r<r2.门 故估计该制造企业2023年8月份的利润为1.11×165= 题型2命题点1 183.15万元 [典例1门[解](1)根据表格中7日、15日和22日的数据，可 命题点3 得=号(1+13+12)=12y=号(25+30+26)=27,2(x [典例3][解](1)样衣中10棵这种树木的根部横载面积的 7)(y-y)=5.2(-7)2=2, 平均值r-0:6-0.06, 10 所以=一%- 5 样本中10株这升树木的材积量的手均值了8=0.39。 2(x,-x) ，所以a=y-=27-号× 据此可估计斌林区这种树木平均一棵的根部横截面积为 0.06m2, 12=-3. 平均一猴的材积量为0.39m3. 所以了关于X的线性回归方程为r=名X-31 2(x-)(y-) (2)当r=10时y-号×10-3=2.22-211<2 (2)r= 2x,-20w- 当x=6时y=2×6-3=12,12-131<2 2第10四 所以(1)中所得的线生回归方程是可靠的. 眼踪训练 √2-102)(2-10y) 0.2474-10×0.06×0.39 1.解：1)依题意知空(x,-7)2=254,空(%-)2=546， (0.038-10×0.06)(1.6158-10×0.392) 含(x-7)(y-)=35, = 0.0134 √0.0001896 88别0.7 (,-)(y- 355 则r≈0.97. 所以相关系数r= √(-)公(-) √/254X546 (3)设该林区这种树木的总材积量的估计值为Ym3, 又已知树木的材积量与其根部横煮面积近似成正比， 355 ≈0.95>0.75， 2√34671 可得台8-世，解得Y=1209m 所以y与x之间具有较强的线性相关关系」 则该林区这种树木的总材积量估计为1209m, 511 跟踪训练 第十章计数原理、概率、 3.解析：由表中数据得y随x的增大而增大， 所以该老师每天一次最多答对题数y与天数x之间是正 随机变量及其分布列 相关， 第1节计数原理、排列与组合 公y,-7xy 夯实·必备知识必备知识掌握 600-7×4×19 一、m1+mg+…十mm1·m·…·mn y-7 √140-7×4平 二、顺序为一组个数A个数Cmn(n一1)(n-2)· ··[n一(m-1)] 1 6 1 17 √2695-7×19 2厅×2V厘≈7×2.5≈0.99. 自主诊断查验思考辨析 (1)×(2)/(3)×(4)/(5) 答案：正0.99 小题查验 题型3 1,D[根据分步乘法计数原理不同的取法种数为5×6一 30种.] [典例门[解](1)根据题意可得列联表： 2.C[格有两个空座住相邻，相当于两个空座位与第三个空位 优级品 非优线品 不相邻，先捧三个人，然后插空，从而共有AA号=72（种） 坐法.门 甲车间 26 24 3.CD[因为N-2AN+0!-4,所以A-号×6+1-4，所 乙车间 70 30 以A四=6， 可得K= 150(26×30-24×70)275 其中m∈N,m≤3，而A2-1,A-3,A导一A-6,所以m的值 =4.6875, 50×100×96×54 16 可能是2或3.] 因为3.841<4.6875<6.635， 4.解析：先将《周易》《尚书《礼记》进行裤列，共有A种排法，再 所以有95%的把报认为甲、乙两车间产品的犹级品率存在差 从产生的4个空位中选2个按排《诗经》（春秋》，共有A好种排 法，所以满足条件的情形共有AA=72(种). 异，没有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在 答案：72 差异， 5.解析：4个人微三道题日，每题至少一人，则必有一个题日有两 (2)由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优 个人做，因此要先将四个人分成三组，然后再排列，方法数为 域品的频单为部-0.61 CA=36. 答案：36 用频来估计概率可得p=0.64, 跃升·关键能力题型1 1.B[拔动两枚算球可分为以下三类 又因为升级改造前该工厂产品的优级品率p=0.5, (1)在个位上拔动两枚，可表示2个不同整数. 期p+1.6,/Pa2-0.5+1.65@50西≈.5+ (2)同理在十位上找动两枚，可表示2个不同整数， 150 (3)在个位、十位上分别拔动一救，由分步乘法计数原理易得 0.5 可表示2X2一4个不同整数，所以，根据分类加法计数原理 1.65×12.27≈0.568. 一共可表示2十2十1=8个不同整数.] T知D>+1.65√P包. 2.B[不妨记五名志愿者为a,b心，d,e,假设a连续参加了两天 社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天 的社区服务，共有A好=12种方法， 所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优饭 同理：b,心d,连续参加了两天社区服务，也各有12种方法， 品率提高了. 所以恰有1人连续参加了两天社区服务的逸择种数有5×12 跟踪训练 =60种.] 解：(1)根据表中数据，A共有班次260次，准，点班次有240次， 3.D[根据题意分步完成任务： 第一步：完成3号区战：从6种颜色中选1种涂色，有6种不同 设A家公司长途客车准点事件为M,则P(M)=240=12。 方法： 26013 第二步：完成1号区城：从除去3号区城的1种颜色后剩下的 B共有班次240次，准点班次有210次。 5种颜色中选1种涂色，有5种不同方法： 设B家公司长建客车准点事件为N,则PN=器子 第三步：究成4号区域：从除去3,1号区城的2种颜色后剩下 的4种颜色中选1种涂色，有4种不同方法： A家公司长建家车准点的桃率为昌， 第四步：完成2号区战：从除去3,1、4号区域的3种颜色后剩 下的3种颜色中选1种涂色，有3种不月方法： B家公明长连客车准点的能率为子 第五步：究成5号区城：从除去1,2号区城的2种颜色后刺下 的4种瓶色中选1种涂色，有4种不同方法： (2)列联表 第六步：完成6号区城：从除去1、2.5号区战的3种颜色后剩 下的3种颜色中选1种涂色，有3种不同方法： 准点班次数未准点班次数 合计 所以不同的涂色方法：6×5×4×3×4×3=4320（种）.] 4.解析：①当组成四位数的数宇中有一个偶数时，四位数的个数 A 240 20 260 为C号·C·A=960. B 210 30 240 ②当组成四位数的数字中不含偶数时，四位数的个数为A =120. 合计 450 50 500 故符合题意的四位数一共有960+120=1080（个）. 答案：1080 n(ad-be)2 (a+b)(c+d)(a+e)(b+d) 题型2 1.A[根据题意，将2个1拥绑在一起，再与其余4个数字全 500×(240×30-210×20) 3.205>2.706, 排列， 260×240×450×50 所以共有Ag=120种不同的密码，故选A.门 根据临界值表可知，有90%的把提认为甲，乙两城之间的长途 2.B[先利用相绑法排乙丙丁戌四人，再用插空法选甲的位置， 客本是否准点与客幸所属公司有关， 则有A经AC=24(种).] 512主题四第九章统计与成对数据的统计分析 2.(2025·全国模拟)随着手机和网络的普及，外 (3)在(2)的条件下，若用户的满意度评分在 卖行业得到迅速的发展.某外卖平台为了解某 (x一s,x十s)内，则满意度等级为“A级”，试用 地区用户对其提供的服务的满意度，随机调查 样本估计总体的思想，根据所抽到的10个数 了40个用户，得到用户的满意度评分如下： 据，估计该地区满意度等级为“A级”的用户所 用户 用户 用户 用户 占的百分比.（参考数据：√/30≈5.48，√33≈ 评分 评分 评分 评分 编号 编号 编号 编号 5.74W35≈5.92) 78 11 88 21 79 31 93 73 12 86 22 83 32 78 81 13 95 23 72 33 75 92 14 76 24 74 34 81 5 95 97 25 9 35 84 6 85 78 26 66 36 77 7 7 17 88 8 37 8 18 38 76 9 63 19 7 29 74 39 85 10 86 20 89 30 82 40 89 (1)请你估计该地区所有用户评分的25%， 95%分位数； (2)若从这40个用户中抽取一个容量为10的 样本，且抽到的10个用户的评分分别为92， 84,86,78,89,74,83,78,77,89,试计算这10 个数据的平均数x和方差x2: 请完成课时冲关57 第3节 成对数据的统计分析 ★[课程标准] 1.结合实例，了解样本相关系数的统计含义，了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系，会通 过相关系数比较多组成对样本数据的相关性。 2.结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘法原理，掌 握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法. 3.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测. 4.通过实例，理解2×2列联表的统计意义，了解2×2列联表独立性检验及其应用. 夯实，必备知识 教材夯实强基固本 必备知识学握 3.直线拟合 一、相关关系 从散点图上可以看出，如果变量之间存在着某 1.两个变量有关系，但又没有确切到由其中的一 种关系，这些点会有一个大致趋势，这种趋势 个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为 通常可以用 来近似地描述.这样 近似描述的过程称为曲线拟合.若在两个变量 2.散点图 X和Y的散点图中，所有点看上去都在 将成对样本数据用直角坐标系中的点表示出 波动，此时就可以用一条直线来近似 来，每个点对应的一对数据(x,y:),称为成对 地描述这两个量之间的关系，称之为直线 数据.这些点构成的图称为散点图. 拟合. 225 金榜题名创新高考总复习数学北师大版 二、一元线性回归方程 2.相关系数的应用 1.最小二乘法 |r值越接近 ,随机变量之间的线性相 对于给定的两个变量X和Y(如身高和体重)， 关程度越强； 可以把其成对的观测值(x1y1),(x2y2),…, r|值越接近 ,随机变量之间的线性相 (xm,yn)表示为平面直角坐标系中的n个点. 关程度越弱 现在希望找到一条直线Y=a十bX,使得对每 当>0时，两个随机变量的值总体上变化趋 一个x:(i=1,2,…,n),由这个直线方程计算 势相同，此时称两个随机变量 相关；当， 出来的值a十b.x;与实际观测值y:的差异尽可 <0时，两个随机变量的值总体上变化趋势相 能 .为此，希望[y1一(a十bx1)]+ 反，此时称两个随机变量 相关；当r=0 [y2-(a+b.x2)]2+…+[ym-(a+b.xn)]2达 时，此时称两个随机变量线性 相关 到 换句话说，我们希望a,b的取值 四、独立性检验 能使上式达到 ,这个方法称为最小二 1.分类变量 乘法。 (1)分类变量：用一种特殊的随机变量，以区别不 2.用向量的方法可得使[y1一(a十b)]+[y2 同的现象或性质，这类随机变量称为分类 -(a+b.x2)]2+…+[yn-(a十b.xn)]达到最 变量 6= 2x-0- (2)取值：分类变量的取值可以用实数表示. 2.2×2列联表 小的a,b取值为 -2 设A,B为两个变量，每一个变量都可以取两 a=y-bx, 个值， 其中，x y= 变量A:A1,A2=A1 这时直线方程Y=a十 变量B:B1,B2=B1 bX称作Y关于X的 通过观察得到如下表所示的数据： 线性回归方程，相应的 =+6 B 直线称作Y关于X的 B B2 总计 回归直线（如图），a, 是这个线性回归方程的系数， A a b a+b 三、相关系数及其范围 A2 c+d 1.相关系数 一般地，设随机变量X,Y的n组观测值分别 总计 b+d n=a+b+c+d 为(x1,y1),(x2y2）,…,(xnyn）, 其中，a表示变量A取A1,且变量B取B1时的 记r= 数据：b表示变量A取A1,且变量B取B2时的 (-)(y=y)+(:一)（出-y)+“+(,一(。一y》 √-)+(-F)+…+(x,)√-y+(wy》++y 数据：c表示变量A取A2,且变量B取B1时的 数据：d表示变量A取A2,且变量B取B2时的 2(x,-x)(y:-y) 数据. 设n=a十b+c+d,用g估计P(A1B1),a+b估 称r为随机变量X和Y的样本（线性）相关 计P(A1),a+C估计P(B1). 系数 为了计算的方便，我们再给出如下式子： 若有式子g-a+b.a+c,则可以认为A1与B 7 独立 (x1十x2y2+…十xmym)-nxy 根据2×2列联表中的数据来判断两个分类变量 √(.x++…十x)-nx√/(y+呢+…+y)-y 是否有关系，即它们是否独立，这一问题称为2 样本（线性）相关系数r的取值范围为[一1,1]， ×2列联表的独立性检验。 226 主题四第九章统计与成对数据的统计分析 3.独立性检验的基本思想 ◆[小题查验] n(ad-be)2 计算随机变量X=a十b)c十d)(a+c)b+dD 1.(多选)下列散点图中，变量X,Y可用直线拟 合的是 统计上已经证明：在变量A,B独立的前提下， 当样本量很大时，x2近似服从一个已知的分 布x2(1).当x2较大时，说明变量之间不独立. 在统计中，用以下结果对变量的独立性进行 判断。 (1)当x2≤2.706时，没有充分的证据判断变量 A,B有关联，可以认为变量A,B是 关联的； 2.(多选)在统计中，由一组样本数据(x1·y1), (2)当x2>2.706时，有 的把握判断变 (x2y2),·,(xnym）,利用最小二乘法得到两 量A,B有关联； 个变量的线性回归方程为Y=bX十a,那么下 (3)当x2>3.841时，有 的把握判断变 列说法正确的是 量A,B有关联； A.相关系数”不可能等于1 (4)当x2>6.635时，有 的把握判断变 B.直线Y=bX十a必经过点(x,y) 量A,B有关联 ·重要结论· C.直线Y=bX十a表示最接近y与x之间真 1.求解回归方程的关键是确定回归系数a,b,应 实关系的一条直线 充分利用回归直线过样本中心点(x,y) D.相关系数为r,且|r越接近于1，相关程度 2.根据x2的值可以判断两个分类变量有关的 越大：r越接近于0，相关程度越小 可信程度，若X2越大，则两分类变量有关的 3.(BSD选择性必修第一册P250习题7一3T3改 把握越大. 编)随着国家三胎政策的放开，为了调查一线 3.根据回归方程计算的y值，仅是一个预报值， 城市和非一线城市的三胎生育意愿，某机构用 不是真实发生的值， 简单随机抽样的方法从不同地区调查了100 位育龄妇女，结果如下表： 自主诊断查验 ◆[思考辨析] 城市级别 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括 非一线 线 总计 号里打“/”，错误的打“X” 生育意愿 (1)利用样本点的散点图可以直观判断两个变 愿生 45 20 65 量的关系是否可以用线性关系去表示.() 不愿生 13 22 35 (2)线性回归方程Y=X+a恒过样本中心点 总计 58 42 n=100 (x,y),且至少过一个样本点. () (3)样本相关系数的绝对值越接近1，成对样 计算得2= 100×(45×22-20×13)2 65×35×58×42 ≈9.616. 本数据的线性相关程度越强。 ( 则有 的把握认为生育意愿与城市级别 (4)事件X,Y关系越密切，则由观测数据计算 有关。 得到的x2的观测值越大. ( 4.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件 (5)由独立性检验可知，在犯错误的概率不超 所花费的时间，为此进行了5次试验.根据收 过1%的前提下认为物理成绩优秀与数学成 绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可 集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归 能物理优秀， 方程Y=0.67X+54.9. 227 金榜题名 创新高考总复习 数学北师大版 5.(忘记回归直线过样本中心致错)某单位为了 零件数X 10 20 30 40 50 了解用电量（度）与当天平均气温（℃）之间的 (个) 关系，随机统计了某4天的当天平均气温与用 加工时间Y 电量（如表）.由数据运用最小二乘法得线性回 62 75 81 89 (min) 归方程Y=一2X十a,则a 平均气温X(℃) 18 13 10 现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据 的值为 用电量Y(度) 25 35 37 63 跃升>关键能力 层级突破素养提升 题型1 相关关系的判断 A.r<r B.r2<r3 1.(2024·天津卷)下列图中，线性相关性系数最 C.r3>0 D.r4>0 大的是 ( ) 题后反思 (1)画散点图：点的分布从左下角到右上角， 两个变量正相关；点的分布从左上角到右 下角，两个变量负相关. (2)相关系数：r>0时，正相关；r<0时，负 B 相关. (3)线性回归方程中：b>0时，正相关：b<0 时，负相关 题型2 回归分析 [命题点1门线性回归分析 D 2.(2025·陕西宝鸡模拟)对两个变量X,Y进行 [典例1]随着我国中医学的发展，药用昆虫的 线性相关检验，得线性相关系数r=0.8995, 使用愈来愈多，每年春暖以后至寒冬前，昆虫 对两个变量U,V进行线性相关检验，得线性 大量活动与繁殖，易于采集各种药用昆虫.已 相关系数r2=一0.9568，则下列判断正确 知一只药用昆虫的产卵数Y(单位：个)与温度 的是 ( ) X(单位：℃)有关，于是科研人员在3月份中随 A.变量X与Y正相关，变量U与V负相关， 机挑选了5天进行研究，现收集了该种药用昆 变量X与Y的线性相关性较强 虫的5组观测数据，如表所示。 B.变量X与Y负相关，变量U与V正相关，变 量X与Y的线性相关性较强 日期 2日 7日 15日22日30日 C.变量X与Y正相关，变量U与V负相关，变 温度X/℃ 10 量U与V的线性相关性较强 11 13 12 D.变量X与Y负相关，变量U与V正相关， 产卵数Y/个 21 25 30 26 13 变量U与V的线性相关性较强 3.(多选)(2025·广东潮州模拟)对四组数据进 科研人员确定的研究方案是：先从这5组数据中 行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关 任选2组，用剩下的3组数据建立Y关于X的 系数的关系，正确的有 线性回归方程，再用选取的2组数据进行检验. 20 (1)若选取的是2日与30日这2组数据，请根据 15-"g 10 10 7日、15日和22日这3组数据，求出Y关于X的 3 6 0 线性回归方程： 相犬系数， 州关系数， 20 20川 (2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出 15 15 的检验数据的误差均不超过2个，则认为得到的 线性回归方程是可靠的.试问(1)中所得的线性 0 相关系数 和关系数 回归方程是否可靠？ 228 主题四第九章统计与成对数据的统计分析 附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计 (1)依据表中的统计数据，请判断投资x与纯 2(x-x)(y- 利润y是否具有较强的线性相关程度？（参 公式分别为b -,a=y-bx. 考：若0.30<r<0.75,则线性相关程度一 2(x-) 般；若r≥0.75，则线性相关程度较强.计算x [尝试解答] 时精确度为0.01) (2)求y关于x的线性回归方程（精确到0.01）. 参考数据：公x,=380,2y=390,(x-T)2 =254,20y-)2=546.(x,-0y-0 355W/34671≈186.20. 2(x-)(-) 参考公式：相关系数r= ②2(%-列2 对于一组具有线性相关关系的数据 (x,y:)(i=1,2,…,n),其回归直线y=6.x+a 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为= 含x-)0- a=y-br. 2(x-0)2 …解题技法 1.在分析实际中两个变量的相关关系时，可 根据样本数据作出散点图来确定两个变量 之间是否具有相关关系，也可计算相关系 数r进行判断.若具有线性相关关系，则可 通过线性回归方程估计和预测变量的值. 2.正确运用计算b,a的公式和准确的计算， 是求线性回归方程的关键.并充分利用回 归直线Y=X十a必过样本点的中心 (x,y)进行求值. 跟踪训练 1.(2025·成都诊断性考试)近些年来，促进新能 源汽车产业发展政策频出，新能源市场得到很 大发展，销量及渗透率远超预期，新能源几乎 成了各个汽车领域的热点.在对某品牌10个 子工厂投资及利润的统计后，得到如下表格， x;y:分别表示第i个子工厂的投资（单位：万 元)和纯利润（单位：万元） 投人x/万元 32313336373839434546 纯利润/万元25303437394142444850 229 金榜题名创新高考总复习数学北师大版 ◆[命题点2]非线性回归分析 [尝试解答] [典例2](2025·河南商丘模拟)5G网络是指 第五代移动网络通讯技术，它的主要特点是传 输速度快，峰值传输速度可达每秒钟数十GB. 作为新一代移动通讯技术，它将要支持的设备 远不止智能手机，而是会扩展到未来的智能家 居，智能穿戴等设备.某科技创新公司基于领 先技术的支持，经济收入在短期内逐月攀升， 该公司1月份至6月份的经济收入Y(单位：万 元)关于月份X的数据如下表所示，并根据数 据绘制了如图所示的散点图. 月份X 1 2 3 5 收人Y 6 11 23 37 72 124 1收入 140 120 100 80 40 20 0 4 6 8月份 (1)根据散点图判断，y=a.x+b与y=ce(a,b, 技巧点拨 c,d均为常数)哪一个更适合作为经济收入Y关 非线性回归分析问题的处理方法 (1)描点，选模.画出已知数据的散点图，把它 于月份X的回归方程类型（给出判断即可，不必 与已经学过的各种函数（幂函数、指数函 说明理由)？ 数、对数函数等)图象作比较，挑选一种跟 (2)根据(1)的结果及表中数据，求Y关于X的 这些散点拟合最好的函数」 回归方程（结果保留两位小数）： (2)解模.先对变量进行适当地变换，再利用 (3)根据(2)所求得的回归方程，预测该公司7月 线性回归模型来解模 份的经济收入（结果保留两位小数）， (3)比较检验，通过回归分析比较所建模型的 参考公式及参考数据：回归方程Y=bX+a中斜 优劣. 率和截距的最小二乘估计公式为：= 1跟踪训练 2(x-x)(y-y) Sriyi-nzy 2.(2025·河北承德模拟)某制造企业从生产的 2,- a=y-bx; 产品中随机抽查了1000件，经检验，其中一等 品有800件，二等品有150件，次品有50件. (x 2(x 若销售1件该产品，一等品的利润为200元 -1 = 二等品的利润为100元，次品直接销毁，亏损 一x) 一x) e,8 -x)2 200元. (y-y) (4一u) 根据统计，该制造企业在2022年12月至2023 3.545.53.34 17.5 393.5 10.63 239.85 年5月的产量Y(万件)与月份编号X(记2022 其中u=lny4=lny(i=1,2,3,4,5,6). 年12月，2023年1月，..编号分别1,2，…) 230 主题四第九章 统计与成对数据的统计分析 近似满足关系式y=b·x“(a>0,b>0),相关 P[命题点3]相关系数的计算 统计量的值如下：2ln=6.60,立lny= [典例3](2022·全国乙卷)某地经过多年的环 境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计 -2.70,2(1nx)2=9.46,2nx·lny)= 一林区某种树木的总材积量，随机选取了10 一1.87，e≈2.7.根据所给的统计量，求Y关于 棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单 X的回归方程，并估计该制造企业2023年8 位：m)和材积量（单位：m3).得到如下数据： 月份的利润为多少万元（结果精确到0.01）. 样本号 10 总和 附：对于一组数据()(i=1,2,3,…,n),其 回归直线V=U十α的斜率和截距的最小二乘 根都横 0.040.060.040.080.080.050,050.070,070,060.6 估计分别为= 2u,v,一 截面积 a=v-Bu Su?-nu2 材积量片0.250.400.225.540.510.340.360.460.420.403.9 并计算得2x=0.038,22=1.6158,xy =0.2474. (1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截 面积与平均一棵的材积量： (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积 量的样本相关系数（精确到0.01）； (3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截 面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总 和为186m2.已知树木的材积量与其根部横截 面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这 种树木的总材积量的估计值， (x,-x)(y-y) 附：相关系数” =1 ，-2- V1.896≈1.377. [尝试解答] 231 金榜题名创新高考总复习 数学北师大版 方法指导 (1)填写如下列联表： 2(xD)y 优级品 非优级品 利用相关系数公式r 甲车间 乙车间 可计算两个变量的相关系数，并利用其大小 判断两个变量的相关性，进行回归分析. 能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优 级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲， 跟踪训练 乙两车间产品的优级品率存在差异？ 3.(2025·天津期末)学习于才干信仰，犹如运动 (2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率p 于健康体魄，持之已久、行之愈远愈受益.为实 =0.5,设p为升级改造后抽取的n件产品的优 现中华民族伟大复兴，全国各行各业掀起了 级品率.如果p>p+1.65, p(1一p),则认为 “学习强国”的高潮.某老师很喜欢“学习强国” 中“挑战答题”模块，他记录了自己连续七天每 该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的 150件产品的数据，能否认为生产线智能化升 天一次最多答对的题数如下表： 级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？ 天数x 1 4 567 (√/150≈12.247) 次最多答对题数y 12151618212427 附：K2= n (ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 参考数据：x=4,y=19,x=140,y= P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 2695,2xy=600,6≈2.45， k 3.841 6.635 10.828 2(x-x)(y一y】 [尝试解答] 相关系数r xiy:-nzy 1-1 √②-n √y-n 由表中数据可知该老师每天一次最多答对题 数y与天数x之间是 相关（填“正”或 “负”)，其相关系数r (结果保留两 位小数) 题型3( 独立性检验 [典例](2024·全国甲卷)某工厂进行生产线 智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙 两个车间的产品中随机抽取150件进行检验， 数据如下： 优级品 合格品 不合格品 总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150 232 主题四 第九章统计与成对数据的统计分析 方法指导 (2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长 1.在2×2列联表中，如果两个变量没有关 途客车是否准点与客车所属公司有关？ 系，则应满足ad-bc≈0.ad一bc|越小，说 附：x2= n(ad-be)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 明两个变量之间关系越弱；ad一bc|越大， 说明两个变量之间关系越强， P(x≥k) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.解决独立性检验的应用问题，一定要按照 k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 独立性检验的步骤得出结论，独立性检验 的一般步骤： (1)根据样本数据制成2×2列联表： n(ad-bc)2 (2)根据公式X=a+ba千0)6+dc+dD计 算x2的观测值ko: (3)比较k与临界值的大小关系，作统计 推断 提醒：准确计算X2的值是正确判断的前提. 跟踪训练 (2022·全国甲卷)甲、乙两城之间的长途客车 均由A和B两家公司运营，为了解这两家公 司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两 城之间的500个班次，得到下面列联表： 准点班次数 未准点班次数 A 240 20 B 210 30 (1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之 间的长途客车准点的概率： 请完成课时冲关58 233