第2节 用样本估计总体-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

题型3 3.解析：因为8×60%=4.8， [典例](1)[解析]小明的期末数学总评成绩为：90×60%十 所以这组数据的第5个数：50为第60百分住教. 80×20%+85×20%=87(分). 观察易知这组数据的众数为50，所以a和b的大小关系是口 [答案]87 =b. 答案：u=b 2[证用】①-+-年+7·中得强 4.(1)0.0044(2)70 @2=12x-w)2+2y-w)y2]= 5.解析：设原数据为a1,a2aga4a5a4,则2a,=6X4=24, m十n, 136-r+r-o)2+2(y-y+y-m)2], 1(a-4)2=8, 6 m十n, 4,+2+6 "g-7)=9-m=0, 加入数据2和6，后，所得8个数据的平均数x= 8 ·.22(x-x)(x-0)=2(x-0)2(x-x)=0, =4, 同理可得22(y一y)(y一0)=0， 方差=回 (a-4)2+(2-4)2+(6-4)2 _48十4十1=7. 8 8 2=12(x-)+G-o)2+(y-)2+20 答案：7 m十n 跃升·关键能力题型1 o门-m时+mG-2+f+n-]。 1.C[由图可得第二小组的频率为1一0.30一0.05-0.10 0.05=0.5. 所以产=m[对+位-西]++-]，中 又第二小组频数为0， 40 得证， 期参家的人数为0.5=80， 跟踪训练 用频率估计概率则成绩优秀的概辛0.10十0.05=0.15.故 解：由题意，1=138.7,2=80.6， 选C.] -1-109.65. 2.解：(1)[100.120)，[120.140)，[140,160)，[160,180)， 2 [180,200们对应的频率分别为0.1,0,2,0.3,0.3,0.1，则对应 由号=3300，号=1082，得， 的额毫为0.05,001.0,015,0.015,0.05，故这老数扬的频 =22-+80内 率分布直方图如图所示： 频率 08-五-29.05)P+-+29.05)门 红距 0.025 -六4-P+艺-P+29.0时X20 0.020 -20(330+10820)+28.05≈303a5 0.015 0.010 第2节用样本估计总体 0.005- 夯实·必备知识必备知识掌据 一，比值样本数据的频率估计 0 10012014016018020 二、1.(1)底边长(2)高频率与组距(3)面积频率组距 采购量箱) × 由直方图可知，采购数在168籍以上（含168箱）的客户数为 (0.005+0.015×180168)×20×50-14(人. 20 2.面积大小 (2)由题意可知，去年年底客户采购酥梨在[100,200]内的数 3.(1)差别(2)面积之和 量为 4.左边右边中点顶端中点中点 110×5+130×10+150×15+170×15+190×5=7600(箱)， 5.越大精确光滑曲线 则小李去年年底总销售量为 三，1.比例频数频案 2.离散型连续型 760×号=950（箱）. 四，2.从小到大中间一样 (3)由题意可得Y=(9500+950m)(14一m) 3.最多 =950(一m2十4m+140), 4.差 当m=2时，Ymx=950(-4+8+140)=136800(元). 5.离散程度 题型2 1,A[由条形图得演讲人数为30，由饼款图得演讲人数占比 五、1.(0,1)小于或等于p 30 2.越大精确 15%,因此选取的总人数为后男=200， 由饼状图得绘画及合唱人数和占比为1一20%一20%一15% 自主诊断查验思考辨析 =45%,人数和为200×45%-90. (1)X(2)/(3)/(4)、/(5)×(6)、/ 由条形图得合唱人数为70，所以绘画人数为20故选A.] 小题查验 2.D[对A,从图中可以看出2023年1月全国居民消费价格的 1.A[设第4个小矩形对应的频率为x,则其余(n一1)个小矩 同比增长率为0.9%>0，所以2023年1月全国居民消费价格 形对应的频率为1一， 有所上升，故A错误：对B.由图2023年5月全国居民消费价 格环比增长率为一0.2%<0，所以2023年5月全国居民消费 所以x=号(1-，解得r=0.3] 价格有所下降，故B错误：对C,将C选项中的数据由小到大 2.解析：因为75%×20一15， 排列得，0.7%，0.8%，0.9%，0.9%，1%.1.5%，1.5%，1. 5%,2.1%,2.1%,2.3%.2.5%.2.7%,因为13×40%=5.2 所以75%分位数为4十15=1L.5 则同比增长率的40%分位数为第6个数1.5%，故C错误：对 2 D,环比增长平的平均数为 因为86%×20=17.2， 0.7%+0.4%-0.3%+0.4%+0.6%+0.4%-0.2%+0.5% 所以86%分位数为第18个数据为17. 10 答案：14,517 =0.25%,故D正骑.] 509 3.ABC[对于A,互联网行业中仅90后从事技术和运营岗位 命题点3 的人数占总数的56%×(39.6%+17%)=31.696%>30%， [典例4们(1)[解析]根搭题意x= 故A正确：对于B,互联网行业中仅90后从事技术岗位的人 195+500+503+508+498+500+493+500+503+500=500. 数占总人数的56%×39.6%=22.176%>20%，故B正确：对 10 于C,互联网行业中90后从事运营岗位的人数占总人数的 所以= 56%×17%=9.52%,而80前从事互联网行业的人数占总人 (495-500)2+(500-500)2+·+(503-500)2+(500-500) 数的3%，故C正确：对于D,由于80后中从事技术岗位的人 W 9 数所占比例不确定，所以无法比较，故D不正确.门 =4, 题型3 所以质量落在区间[496,504]内的产品，其质量为：500,503， 1.B[将数据从小到大排序得72,78.80,81,83,86,88,90. 498.500,500.503,500. 因为8×75%=6， 所以质量落在区间内的产品件数为7个 所以第75百分位数是86十88=87，枚选B.] 2 [答案]7 2.C[由题意可知，(0.010+0.015+0.015+0.025十a十 (2)[解]①甲厂提供的10个轮胎宽度的平均数0×(195+ 0.005)×10=1,解得a=0.030, 194+196+193+194+197+196+195+193+197)=195.乙 化学考试成绮在[80,100]内的频率为(0.025十0.005)×10 0.3, 厂提供的10个轮胎宽度的平均数品×195十196十193+192 所以第39百分位数的一定位于[70,80)内，设第39百分位数 +195+194+195+192+195+193)=194. 为x,则(80-x)×0,03十0.3-0.39，解得x-77. ②甲厂提供的10个轮胎的宽度在[194.196]内的数据为195， 所以估计化学老师选取的学生分数应不低于77分，门 194,196,194,196,195,共6个，标准轮胎宽度的平均数为 3.解析：10个数据从小到大顺序排列为：100,120,125,165,175 186,234,310,425,430, 195+194+196+194+196+195-=195,方差为言×(0+1+1 6 10×品=6，而第6个载据为186，第7个数据为231， 2 十1+1+0)=3，乙厂提供的10个轮胎的宽度在[194,196] 186+234=210. 2 内的数据为195,196,195,194,195,195，共6个，标准轮胎宽 所以第60百分位数为210。 度的年均数为195+196+195+194+195+195=195.方差为 6 答案：210 1 题型4命题点1 ×(0+1+0+1十0+0)=3，由于甲，乙两厂标准轮胎宽 [典例1][解析]首先对10位市民的幸福感指数按从小到大 度的平均数相等，但乙的方差更小，所以乙厂的轮胎会被 的顺序进行排序：4,5,5,6,7,7,8,8,9,9， 选择. 该组数据的中位数为第五个和第六个数据的平均值？，因此A 说法正确： 跟踪训练 孩组数搭的平均数为4+5十56十7十7+8+8+9+9=6.8， 1.BD[因为十十十道-当十十十十+ 10 6 因此B说法不正确： =+十x+-2十)≠0. 又10×60%=6.国此该组数据的第60百分位数为7十8 12 2 所以A错误：因为石是最小值，是最大值，所以，x 7.5,因此C说法正确： x4的中位数的位置与，2，x%的中位数的住置相 又该组数据最大为9，最小为4，因此校差为9一4=5，因此D 同，所以B正确：闲为是最小值，x6是最大值，距离数据 说法正确.故选B 工9，的平均值较迹，即波动性大，所以标准差大，所 [答案]B 以C错误：假设，3的最小值为2，最大值为，则 [典例2][解析]讲隐前中位数为70%)75%>70%，所以A 2 1≤1≤6，所以6一11≥一2，所以D正骑.] 2.解：(1)这40个用户评分按从小到大挎列如下：63.66,72,73 错误，讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%，4个85%， 剩下全部大于等于90%，所以讲座后问卷答题的正确率的平 74,74,75,76,76,76,77,78,78,78,79.79,80.81,81,81,82, 均数大于85%，所以B正确：讲座前问卷答题的正确率更加分 82,83,83,84.84,85,85,86,86,88,88,89,89,91,92,93,95 散，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确 95,97,得到流×40=10，器×40=38，可知这40个月户计 单的标准差，所以C错误：讲座后问卷答题的正确率的极益为 100%一80%=20%，讲座前问卷答题的正确率的极差为95% 分的25%，95%分位数分别为第10项和第11项数搭的平均 一60%=35%>20%，所以D错误. 数，第38项和第39项数据的平均数，分别为76.5,95，据此估 [答案]B 计该地区所有用户评分的25%，95%分位数分别约为 命题点2 76.5.95. [典例3][解析]由直方图可知此次测试众数的估计值为 1 (2)7=10×(92+84+86+78+89+74+83+78+77+89)= 85,故A正确：周为不低于80分的学生的频率为(0.03十 0.015)×10=0,45,∴.该校高中生中随机抽取学生的人数为 882-0×[(92-832+(84-832+(86-83P+(78+ 0.布=60人，所以此次测诚分数在[50,60)的学生人数为60 27 83)2+(89-83)2+(74-83)2+(83-83)2+(78-83)2+(77 ×0.01×10=6人，故B正确：图为(0.005十0,005十0.01十 -83)2+(89-93)2]=33. 0.015十0.02)×10=0.55，所以随机热取的学生测试分数的 (3)由题意知评分在(83一√33,83+√33)，即(77.26.88.74) 第55百分位数约为80，故C正确：由直方图在左边“拖尾”，可 内的满意度等级为“A级”，科本中评分在(77.26,88.74)内的 知平均数小于中位数，即平均数m在中位数”左侧，故D 有5人，则可估计该地区满意度等级为“A级”的用户所占的 错误， [答案]ABC 百分比的为品×100%=50%， 510金榜题名创新高考总复习数学北师大版 (2)若从某市甲、乙两所高中分别抽取样本量 跟踪训练 为m、n的两个样本，经计算得它们的平均数 对2022一2024年排名前十的省份的滑雪人次 和方差分别为：x、s号与y、s号，记总的样本平均 (单位：万人次)数据统计如下：2022一2023年 数为地，样本方差为s2,证明： 和2023一2024年这10个省份滑雪人次的平 ①w=n开+n开：②g=nnm[f+ m十n 均数x1=138.7,x2=80.6:2022-2023年和 (x-)2]+n[s号+(y-)2]}. 2023一2024年这10个省份滑雪人次的方差 [尝试解答] 好=3300，s号=1082.据此计算这两年滑雪人 次的平均数x和方差s2(结果保留整数). 题后反思 在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直 接用样本平均数西=m?十m升和样本 的方差s2=w,[s号+（一x)2门，估计总体 请完成课时冲关56 平均数和总体方差. 第2节 用样本估计总体 ★[课程标准] 1.结合实例，能用样本估计总体的取值规律. 2.会列频率分布表，画频率分布直方图，能根据频率分布表和频率分布直方图观测数据的分布规律. 3.了解不同的统计图在表示数据上有不同的特点， 4.结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义，会求样本数据的第p百分位数. 5.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数（平均数、中位数、众数），会求样本数据的平均数、中 位数、众数并理解它们的统计含义和作用. 6.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数（标准差、方差、极差），会求样本数据的方差、标准差、 极差，理解离散程度参数的统计含义. 夯实必备知识 教材夯实强基固本 必备知识学握 二、频率分布直方图 一、从频数到频率 1.在频率分布直方图中每个矩形的底边长、高、 面积的功能 频率表示频数与总数的 在统计中， (1)每个小矩形的 是该组的组距： 经常要用 去估计总体中相应 (2)每个小矩形的 是该组的 的频率，即对总体分布进行 的比； 218 主题四第九章统计与成对数据的统计分析 (3)每个小矩形的 等于该组的 5.方差：刻画的是数据偏离平均数的 即每个小矩形的面积 方差计算公式：s2=1[(x1-x)2+(x2-x)2 频率。 2.频率分布直方图的作用：以 的形式反 十…十(xm一x)2] 映了数据落在各个小组的频率的 标准差：由于方差的单位是原始数据单位 的平方，而刻画离散程度的一种理想度量 3.频率分布直方图的好处 应当具有与原始数据相同的单位，为此， (1)能清楚直观地显示各组频率分布情况及各组 频率之间的 计算方差的算术平方根，得s=√S2= (2)当考虑数据落在若干个组内的频率之和时， (x1-x)2+(x2-x)2+…+(.xm-x)2 可以用相应矩形的 来表示。 4.频率分布折线图 称之为标准差。 在频率分布直方图中，按照分组原则，再在 五、百分位数 和 各加一个区间.从所加 1.百分位数的特点：一般地，当总体是连续变量 的左边区间的 开始，用线段依次连接 时，给定一个百分数p∈ ,总体的p 各个矩形的 ,直到右边所加区间的 分位数有这样的特点：总体数据中的任意一个 ,就可以得到一条折线，我们称之为 数 它的可能性是 频率折线图，有时也用它来估计总体的分布 2.四分位数：25%，50%，75%分位数是三个常用 情况. 的百分位数，这三个百分位数把总体数据按照 5.一般地，样本容量 ,用样本的频率分 从小到大排列后分成了4个部分，在这4个部 布去估计总体的分布就越 随着样 分取值的可能性都是 ,因此称为总体 本容量的增大，所划分的区间数也随之增多， 的四分位数。 而每个区间的长度则会相应随之减小，相应的 说明：总体的p分位数通常是未知的，人们用 频率折线图就会越来越接近于一条 样本的p分位数来估计它，样本容量 估计越 三、其他统计图 ·重要结论· 1.不同的统计图在表示数据上有不同的特点.如 1,频率分布直方图与众数、中位数与平均数的 扇形图主要用于直观描述各类数据占总数的 关系 ,条形图和直方图主要用于直观描述 (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是 不同类别或分组数据的 和 众数 折线图主要用于描述数据随时间的变化趋势. (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是 2.不同的统计图适用的数据类型也不同.如条形 相等的 图适用于描述 的数据，直方图适用于 (3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频 描述 数据。 率分布直方图中每个小长方形的面积乘以 四、样本的数字特征 小长方形底边中点的横坐标之和， 1.平均数：一组数据的平均值. 2.平均数、方差的公式推广 2.中位数：将一组数据按 的顺序排列 (1)若数据x1,2,…,xn的平均数为x,那么 后，“ ”的那个数据为这组数据的中位 m.x1十a,m.x2+a,mx3十a,…,mxn十a的平 数，它使数据被分成的两部分的数据量是 均数是mz十a. 的. (2)若数据x1,x2,…,xn的方差为s2,则： 3.众数：是指这组数据中出现次数 的 数据。 ①数据x1十a,x2十a,…,xn十a的方差也 4.极差：是数据中最大值和最小值的 为s2; 它计算简单，但没有充分利用其他数据. ②数据ax1,a.x2,…,a.xm的方差为a22 219 金榜题名创新高考总复习数学北师大版 自主诊断查验 2.(BSD必修第一册P174例7改编)一个容量为 ◆[思考辨析] 20的样本，其数据按从小到大的顺序排列为： 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括 1,2,2,3,5,6,6,7,8,8,9,10,13,13,14,15, 号里打“/”，错误的打“×” 17,17,18,18,则该组数据的75%分位数为 ,86%分位数为 (1)在频率分布直方图中，小矩形的高表示 3.已知一组数据：20,30,40,50,50,60,70,80，记 频率。 ( 这组数据的第60百分位数为a,众数为b,则a (2)频率分布直方图中，小矩形的面积越大， 和b的大小关系是 (用“<”“>”或 表示样本数据落在该区间内的频率越高， “=”连接). ( 4.从某小区抽取100户居民用户进行月用电量 (3)在频率分布直方图中，样本数据的80%分 调查，发现他们的用电量都在50~350kW·h 位数即由小到大分组的累计频率为0.8对应 之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区 的数据 ( 间)，画出频率分布直方图如图所示 (4)平均数、众数与中位数从不同的角度描述 「巅率组距 了一组数据的集中趋势， ( ) 0.0060H (5)一组数据的平均数一定大于这组数据中的 每个数据. ( ) 0.036 0.002 (6)一组数据的方差越大，说明这组数据的波 0.001 动越大 ( ) 0 ◆[小题查验] 50100150200250300350 月用电量W·h) 1.在样本的频率分布直方图中，一共有n(n≥4， (1)直方图中x的值为 n∈Z)个小矩形，第4个小矩形的面积等于其 (2)在被调查的用户中，用电量落在区间 余(m一1)个小矩形面积和的，则第4个小矩 [100,250)内的户数为 5.(方差公式记忆不准致误)已知某6个数据的 形对应的频率为 平均数为4，方差为8，现加入数据2和6，此时 A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.7 8个数据的方差为 跃升>关键能力 层级突破素养提升 题型1 频率分布直方图 A.100,0.15 B.100,0.30 1.(2025·浙江衢州期末)某中学举行的电脑知 C.80,0.15 D.80,0.30 识竞赛，满分100分，80分以上为优秀，现将 2.(2025·全国模拟)山西运城王过酥梨是国家 高一两个班参赛学生的成绩整理后分成五组， 农产品地理标志保护产品，王过酥梨含有多种 绘制频率分布直方图，已知图中从左到右的第 对人体有益的钙、铁、磷等微量营养元素，食后 一、第三、第四、第五小组频率分别为0.30、 清火润肺，止咳化痰，能起到祛病养生之效， 0.05、0.10、0.05.第二小组频数为40，则参赛 致被人们作为逢年过节走亲访友，馈赠待客及 的人数和成绩优秀的概率分别为 日常生活的必备佳品.某水果批发商小李从事 频率 酥梨批发多年，他把去年年底客户采购酥梨在 组距 [100,200]内的数量x(单位：箱)绘制成下表： 采购数 100,120)120,140)[140,160160.180[180,200 单位：箱 05060708090100分数 客户数 10 15 15 220 主题四第九章统计与成对数据的统计分析 4频率 题后反思 组距 0.025 1.准确理解频率分布直方图的数据特点，频 0.020 率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频 0.015 0.010 率除以组距的结果，不要误以为纵轴上的 0.005 数据是各组的频率，不要和条形图混淆. 0 10012014016018020 2.在很多题目中，频率分布直方图中各小长 采购量箱) 方形的面积之和为1，是解题的关键，常利 (1)根据表中的数据，补充完整这些数据的频 用频率分布直方图估计总体分布 率分布直方图，并估计采购数在168箱以上 (含168箱)的客户数： 题型2 统计图表 (2)若去年年底采购在[100,200]内的酥梨数 1.(2025·重庆期未)某校高一组建了演讲，舞 量约占小李去年年底酥梨总销售量的；，估算 蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，高一1000 名学生每人都参加且只参加其中一个社团，学 小李去年年底总销售量（同一组中的数据用该 组区间的中点值作代表)： 校从这1000名学生中随机选取部分学生进行 (3)在(2)的条件下，由于酥梨受到人们的青 调查，并将调查结果绘制成如图不完整的两个 睐，小李做了一份市场调查以决定今年年底是 统计图： 否在网上出售酥梨，若没有在网上出售酥梨， 人数 80 则按去年的价格出售，每箱利润为14元，预计 合唱 60 销售量与去年持平；若计划在网上出售酥梨， 绘画 英语协会 演讲 15% 则需把每箱售价下调1至5元（网上，网下均 2U% 舞蹈 20% 下调)，且每下调m元(1≤m≤5，m∈Z)销售 0 演讲舞蹈合明绘画英语协会社闭 量可增加950m箱，试预计小李在今年年底销 则选取的学生中，参加绘画社团的学生数为 售酥梨总利润Y(单位：元)的最大值 A.20 B.30 C.40 D.45 2.2022年7月至2023年7月，我国居民消费价 格保持平稳，居民消费价格涨跌幅如图所示，则 全国片无消量价挤涨歌网 月比增长半 环比州长率 30毫 2.5% 25 23 2121 1.5% 1.5 15 1.% 1.0080 .909 0.5% 406 0.0克 00 隔 -10 222年8月0万10月11月12月22s年2月3月4厅5月6月7月 7月 1月 备注：同比增长率= 当月消费价格一去年同期消费价格×100%， 去年同期消费价格 环比增长率 当月消费价格一上月同期消费价格×100%. 上月同期消费价格 221 金榜题名创新高考总复习数学北师大版 A.2023年1月全国居民消费价格比2022年1 题型3 百分位数及应用 月全国居民消费价格有所下降 1.(2025·河南郑州模拟)已知某学校参加学科 B.2023年5月全国居民消费价格比2023年4 节数学竞赛决赛的8人的成绩（单位：分）为： 月全国居民消费价格有所上升 72,78,80,81,83,86,88,90,则这组数据的第 C.2022年7月至2023年7月全国居民消费 价格同比增长率的40%分位数为1.0% 75百分位数是 D.2022年10月至2023年7月全国居民消费 A.86 B.87 价格环比增长率的平均数为0.25% C.88 D.90 3.(多选)(2025·宁德模拟)调查机构对全国互 2.(2025·四川眉山模拟)某班最近一次化学考 联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业 试成绩的频率分布直方图如下图所示，若化学 从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行 老师欲将大家的成绩由高到低排列，并奖励排 业岗位分布条形图，则下列选项中正确的是 名在前39%的同学，试估计化学老师选取的 学生分数应不低于 注：90后指1990年及以后出生，80后指1980 4 频率 一1989年之间出生，80前指1979年及以前 组雨 出生， 0.025 80前3% 0.015 0.010 0.005 90后 80后 56% 41% 01 405060 708090100分数 A.73 B.75 90后从事互联网行业岗位分布图 技术 39.6 C.77 D.79 运营 7179% 市场 132% 3.有10种不同的零食，每100克可食部分包含 没计 12.3% 能口 ☐9.8% 的能量（单位：J)如下：100,120,125,165,430， 产品■ 6.5 其他口1.6% 186,175,234,425,310.这10种零食每100克可 A.互联网行业中从事技术和运营岗位的人数 食部分的能量的第60百分位数为 占总人数的三成以上 题后反思 B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总 计算第p百分位数的步骤 人数的20% (1)按从小到大排列原始数据】 C.互联网行业中从事运营岗位的人数90后比 80前多 (2)计算i=n×p%. D.互联网行业中从事技术岗位的人数90后比 (3)若i不是整数，而大于i的比邻整数为j, 80后多 则第p百分位数为第j项数据：若i是整 题后反思 数，则第p百分位数为第i项与第(i十1) 常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图等 项数据的平均数 1.通过扇形统计图可以很清楚的表示出各部 提醒：频率分布表和频率分布直方图与原始 分数量同总数之间的关系 数据相比，它们损失了一些信息，计算第 2.折线图、条形图可以显示随时间（根据常用 p百分位数的值，根据累计频率先推算这 比例放置)而变化的连续数据，因此非常适 个值所在的区间，再把区间内的数据看成 用于显示在相等时间间隔下数据的趋势 均匀分布，估计这个值。 222 主题四第九章 统计与成对数据的统计分析 题型4( 样本的数字特征 [尝试解答] ●[命题点1]样本的数字特征 [典例1](2025·贵州遵义模拟)“幸福指数” 是某人对自己目前生活状态满意程度的自我 评价指标，常用区间[0,10]内的一个数来表 示，该数越接近10表示满意程度越高.现随机 抽取10位市民，他们的幸福感指数分别为5， 6,7,8,7,9,4,5,8,9,则下列说法错误的是 解题技法 ( 样本的数字特征与直方图交汇是考试常见内 A.该组数据的中位数为7 容，时刻牢记，频率分布直方图与众数、中位 B.该组数据的平均数为7.5 数与平均数的关系，准确计算】 C.该组数据的第60百分位数为7.5 ●[命题点2]频率分布直方图中的数字特征 D.该组数据的极差为5 [典例3]（多选）(2025·黑龙江哈九中模拟)》 [尝试解答] 某校为了解学生对食堂的满意程度，设计了一 份调查问卷，从该校高中生中随机抽取部分学 生参加测试，记录了他们的分数，将收集到的学 生测试分数按照[30,40)，[40,50)，[50,60)， [60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分组，画 出频率分布直方图，已知随机抽取的学生测试 分数不低于80分的学生有27人，则以下结论 中正确的是 [典例2](2022·全国甲卷)某社区通过公益 频 组距 讲座以普及社会居民的垃圾分类知识.为了解 0.030 讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在 0.025 讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问 0.020 0.015 卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷 0.010 答题的正确率如下图： 0.005- 100% 030405060708090100评分 95% 90% A.此次测试众数的估计值为85 *讲座前 75% 70% ·讲座后 B.此次测试分数在[50,60)的学生人数为6人 C.随机抽取的学生测试分数的第55百分位数 0 12345678910 约为80 居民编号 D.平均数m在中位数n右侧 则 ( [尝试解答] A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小 于70% B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大 于85% C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲 座后正确率的标准差 D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座 前正确率的极差 223 金榜题名创新高考总复习数学北师大版 解题技法 [尝试解答] 频率分布直方图的数字特征 1.众数：众数一般用频率分布表中频率最高 的一组的组中值来表示，即在样本数据的 频率分布直方图中，最高小长方形的底边 中点的横坐标 2.中位数：在频率分布直方图中，中位数左边 和右边的直方图的面积应该相等。 3.平均数：平均数在频率分布表中等于组中 值与对应频率之积的和. 卜[命题点3]样本的数字特征与优化决策 问题 [典例4](1)为了了解某设备生产产品质量的 稳定性，现随机抽取了10件产品，其质量（单 位：克)如下：495,500,503,508,498,500,493， 500,503,500,质量落在区间[x一s,x+s] (工表示质量的平均值，s为标准差)内的产品 件数为 (2)为响应“绿色出行”号召，某市先后推出了 “共享单车”和“新能源分时租赁汽车”，并计划 在甲、乙两个工厂选择一个工厂生产汽车轮 胎，现分别从甲、乙两厂各随机选取10个轮 胎，将每个轮胎的宽度（单位：mm)记录下来并 绘制出如下的折线图： 解题技法 甲厂轮胎的宽度mm 平均数与方差都是重要的数字特征，是对总 198 197 体的一种简明的描述，它们所反映的情况有 196 着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描 193 述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大 192 小，在实际决策中，方差越小，波动越小，成绩 191 012345678910 越稳定 乙厂轮胎的觉度/mm 197 跟踪训练 1 189 1.(多选)(2023·新课标I卷)有一组样本数据 1 x1,x2,…,x6,其中x1是最小值，x6是最大 192 191 值，则 () 012345678910 A.x2,x3,x1,x5的平均数等于x1,x2,…,x6 ①分别计算甲、乙两厂提供的10个轮胎宽度 的平均数 的平均数： B.x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,…,x6 ②轮胎的宽度在[194,196]内，则称这个轮胎 的中位数 是标准轮胎.试比较甲、乙两厂分别提供的10 C.x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,…, 个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根 x6的标准差 据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动 D.x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,…,x6 情况，判断这两个工厂哪个工厂会被选择， 的极差 224 主题四第九章统计与成对数据的统计分析 2.(2025·全国模拟)随着手机和网络的普及，外 (3)在(2)的条件下，若用户的满意度评分在 卖行业得到迅速的发展.某外卖平台为了解某 (x一s,x十s)内，则满意度等级为“A级”，试用 地区用户对其提供的服务的满意度，随机调查 样本估计总体的思想，根据所抽到的10个数 了40个用户，得到用户的满意度评分如下： 据，估计该地区满意度等级为“A级”的用户所 用户 用户 用户 用户 占的百分比.（参考数据：√30≈5.48，√33≈ 评分 评分 评分 评分 编号 编号 编号 编号 5.74W35≈5.92) 78 11 88 21 79 31 93 73 12 86 22 83 32 78 81 13 95 23 72 33 75 92 14 76 24 74 34 81 5 95 97 25 91 35 84 6 85 18 26 66 36 77 7 7 17 88 8 37 8 2 38 76 9 63 1 76 74 39 85 10 86 20 89 30 82 40 89 (1)请你估计该地区所有用户评分的25%， 95%分位数； (2)若从这40个用户中抽取一个容量为10的 样本，且抽到的10个用户的评分分别为92， 84,86,78,89,74,83,78,77,89,试计算这10 个数据的平均数x和方差s2: 请完成课时冲关57 第3节 成对数据的统计分析 ★[课程标准] 1.结合实例，了解样本相关系数的统计含义，了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系，会通 过相关系数比较多组成对样本数据的相关性， 2.结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘法原理，掌 握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法. 3.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测. 4.通过实例，理解2×2列联表的统计意义，了解2×2列联表独立性检验及其应用. 夯实>必备知识 教材夯实强基固本 必备知识学握 3.直线拟合 一、相关关系 从散点图上可以看出，如果变量之间存在着某 1.两个变量有关系，但又没有确切到由其中的一 种关系，这些点会有一个大致趋势，这种趋势 个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为 通常可以用 来近似地描述.这样 近似描述的过程称为曲线拟合.若在两个变量 2.散点图 X和Y的散点图中，所有点看上去都在 将成对样本数据用直角坐标系中的点表示出 波动，此时就可以用一条直线来近似 来，每个点对应的一对数据(x,y:),称为成对 地描述这两个量之间的关系，称之为直线 数据.这些点构成的图称为散点图. 拟合. 225