第1节 随机抽样-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

变式训练 A(一22,0)，.AE所在直线方程为 3解：1)猴超意，圈C后十若=1a>6>0)右%点为R,2,0 y= ·(x+22), c=2, 1+V√个+2网 点B2,-②)在C上心正+ 42 =1, M0.22 ,同理可得 1+√1+2k2 又"a2=十c2,.a2=8,b=4, 2②k C的方为写+苦=1 (2)假设存在这样的点P,设P(0,0),E(1·1), 22k 则F(一一y) (y=kr, 2√2k 联立直线与椭国的方程 8 4 =1 -(-+2} 22 PM.PN=0. 1 ∴.x-4=0,x0=2或x0=-2, .(1+2k2)·x2-8=0,解得 √1+2F 22k ,存在点P,使得无论非零实数k怎么变化，总有∠MPN为直 ”1= V1+22 角，点P坐标为(2,0)或（一2,0）. 主题四 概率与统计 第九章 统计与成对数据的统计分析 跃升·关键能力题型1 1,B[第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为号，则 第1节随机抽样 夯实·必备知识必备知识掌握 二号解得=肌 一，1.(1)调查观察试验直接数据一手数据(2)报纸 杂志统计报表年鉴广播电视网络间接数据二 故在整个抽样过程中，每个个体被抽到的可能性为品。故 手数据 选B.] 2.(1)全体(2)方法 一部分全体调查抽样调查 2.B[从随机数表第1行的第9列数字开始由左向右每次连续 3.(1)全体(2)部分 读取2个数字，剩除超出范国及重复的然号，特合条件的编号 抽样样本容量样本量 有14,05,11,09，所以速出来的第4个个体的编号为09.] 二，1.不放回相等 题型2命题点1 2.某些特别信息 1.D[由于分层抽样比为11：7：2，则200个人中，中卷录取人 3.(1)编号搅拌均匀一个搅拌均匀编号抽签(2)随 机数表 量为20×品-20，故选D] 三，1.属性特征类型层所占比例 2.解：(1)在3个区分别抽取的学生人教之比也是2￥3：5，所以 自主诊断查验思考辨析 2 (1)×(2)√(3)×(4)√(5)√ 抽取的学生人数分别是200×2+3-5=40,200×2+3+5 小题查验 5 1,B[依题意春、夏，秋，冬每个季节某路口在学校放学时段的 60.200×2+3+5-100. 车流量可能会有差异，为了统计该路口在学校放学时？的车 流量，春、夏，秋、冬每个季节各逃两周作为样本更具有代表 (2)样来中高中年生的辛均视力为品×48+0×.8+8调 性，故B正确：对于A,随机抽取两天作为一个样本，不具有代 ×4.6=4.7. 表性，故A错误：对于C,显然星期一到星期五学校放学时段 所以估计该市高中学生的平均视力约为4.7 的丰流量与周末时学校放学时段的车流量会有差异，故选取 跟踪训练 每周星期日作为样本也不具有代表性，故C错误：对于D,金 年每天的数据，属于全面调查，不属于抽样词查，故D错误，」 1B[国为“泥塑”社团的人数占总人教的号，所以“剪纸“社国 2.D[由题意，依次取到的编号为16,15、08、02,19，所以第5个 的人数占总人数的号，人数为800×号 一320.因为“剪纸”社 个体的编号为19。门 3 3 3.B[园为学较有高中学生1000人，抽取一个样本量为200的 闭中高二年级人数比倒为十y+5十3+2一0，所以“剪 样本，故应抽取高二年线学生的人载为20×300=60.] 纸“社用中高二年线人：为320×高=96，以从“育纸”鞋调的 4,解析：第二次抽取时，余下的每个个体被抽取到的概率为3， 高二年机学生中轴取的人就为96×积=96×高=6，门 则13-1.1 m-1=3· 命题点2 12 即n一1=36，则n=37,∴在整个抽样过程中， 3C[由于1-0.4-0.1=0.26=50.所以斌考场总共有50人， 每个个作栽轴取到的概单为品。 所以化学考试获得一等奖的有50·(1一0.16一0.38一0.38》 一4（人），所以①正确：全校莪得物理考试二等奖的有1000× 答案品 0.24=240(人)，所以②正确：如果采用分层随机抽样从全校 抽取200人，则化学考试被淘汰的人数为200×0.38=76 解折：因为分配比州为品一高： 3 (人)，所以③错误，门 跟踪训练 所以男生应抽360×0 3 =27(名)， 2.B[选项A,样本容量为6000×4%=240，该选项正确：选项 40 女生应抽40× B.根指题意得平台三的满意率2500X4%=40%,m=40,不 =33(名). 是m=0%,该选项错误：选项C,样本可以估计总体，但会有 则总样水平均载为西=品×171+ 一定的误差，总体中对平台二满意人数的为1500×20%= 60 ×160=164.95(cm). 300,孩送项正确：选项D,样本中对平台一满意人数为2000× 答案：164.95cm 4%×30%=24,该选项正确，] 508 题型3 3.解析：因为8×60%=4.8， [典例](1)[解析]小明的期末数学总评成绩为：90×60%十 所以这组数据的第5个数：50为第60百分住教. 80×20%+85×20%=87(分). 观察易知这组数据的众数为50，所以a和b的大小关系是口 [答案]87 =b. 答案：u=b 2[证用】①-+-年+7·中得强 4.(1)0.0044(2)70 @2=12x-w)2+2y-w)y2]= 5.解析：设原数据为a1,a2aga4a5a4,则2a,=6X4=24, m十n, 136-r+r-o)2+2(y-y+y-m)2], 1(a-4)2=8, 6 m十n, 4,+2+6 "g-7)=9-m=0, 加入数据2和6，后，所得8个数据的平均数x= 8 ·.22(x-x)(x-0)=2(x-0)2(x-x)=0, =4, 同理可得22(y一y)(y一0)=0， 方差=回 (a-4)2+(2-4)2+(6-4)2 _48十4十1=7. 8 8 2=12(x-)+G-o)2+(y-)2+20 答案：7 m十n 跃升·关键能力题型1 o门-m时+mG-2+f+n-]。 1.C[由图可得第二小组的频率为1一0.30一0.05-0.10 0.05=0.5. 所以产=m[对+位-西]++-]，中 又第二小组频数为0， 40 得证， 期参家的人数为0.5=80， 跟踪训练 用频率估计概率则成绩优秀的概辛0.10十0.05=0.15.故 解：由题意，1=138.7,2=80.6， 选C.] -1-109.65. 2.解：(1)[100.120)，[120.140)，[140,160)，[160,180)， 2 [180,200们对应的频率分别为0.1,0,2,0.3,0.3,0.1，则对应 由号=3300，号=1082，得， 的额毫为0.05,001.0,015,0.015,0.05，故这老数扬的频 =22-+80内 率分布直方图如图所示： 频率 08-五-29.05)P+-+29.05)门 红距 0.025 -六4-P+艺-P+29.0时X20 0.020 -20(330+10820)+28.05≈303a5 0.015 0.010 第2节用样本估计总体 0.005- 夯实·必备知识必备知识掌据 一，比值样本数据的频率估计 0 10012014016018020 二、1.(1)底边长(2)高频率与组距(3)面积频率组距 采购量箱) × 由直方图可知，采购数在168籍以上（含168箱）的客户数为 (0.005+0.015×180168)×20×50-14(人. 20 2.面积大小 (2)由题意可知，去年年底客户采购酥梨在[100,200]内的数 3.(1)差别(2)面积之和 量为 4.左边右边中点顶端中点中点 110×5+130×10+150×15+170×15+190×5=7600(箱)， 5.越大精确光滑曲线 则小李去年年底总销售量为 三，1.比例频数频案 2.离散型连续型 760×号=950（箱）. 四，2.从小到大中间一样 (3)由题意可得Y=(9500+950m)(14一m) 3.最多 =950(一m2十4m+140), 4.差 当m=2时，Ymx=950(-4+8+140)=136800(元). 5.离散程度 题型2 1,A[由条形图得演讲人数为30，由饼款图得演讲人数占比 五、1.(0,1)小于或等于p 30 2.越大精确 15%,因此选取的总人数为后男=200， 由饼状图得绘画及合唱人数和占比为1一20%一20%一15% 自主诊断查验思考辨析 =45%,人数和为200×45%-90. (1)X(2)/(3)/(4)、/(5)×(6)、/ 由条形图得合唱人数为70，所以绘画人数为20故选A.] 小题查验 2.D[对A,从图中可以看出2023年1月全国居民消费价格的 1.A[设第4个小矩形对应的频率为x,则其余(n一1)个小矩 同比增长率为0.9%>0，所以2023年1月全国居民消费价格 形对应的频率为1一， 有所上升，故A错误：对B.由图2023年5月全国居民消费价 格环比增长率为一0.2%<0，所以2023年5月全国居民消费 所以x=号(1-，解得r=0.3] 价格有所下降，故B错误：对C,将C选项中的数据由小到大 2.解析：因为75%×20一15， 排列得，0.7%，0.8%，0.9%，0.9%，1%.1.5%，1.5%，1. 5%,2.1%,2.1%,2.3%.2.5%.2.7%,因为13×40%=5.2 所以75%分位数为4十15=1L.5 则同比增长率的40%分位数为第6个数1.5%，故C错误：对 2 D,环比增长平的平均数为 因为86%×20=17.2， 0.7%+0.4%-0.3%+0.4%+0.6%+0.4%-0.2%+0.5% 所以86%分位数为第18个数据为17. 10 答案：14,517 =0.25%,故D正骑.] 509主题四 概率与统计 第九章 统计与成对数据的统计分析 第1节 随机抽样 ★[课程标准] 1.知道获取数据的基本途径，包括：统计报表和年鉴、社会调查、试验设计、普查和抽样、互联网等 2.了解总体、样本、样本量概念，了解数据的随机性。 3.理解随机抽样的必要性和重要性，会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本， 4.了解分层抽样的意义，能利用分层抽样解决实际问题. 夯实>必备知识 教材夯实强基固本 必备知识学握 二、简单随机抽样 一、普查与抽样调查 1.定义：一般地，从N(N为正整数)个不同个体 1.直接获取与间接获取数据 构成的总体中，逐个 地抽取n(1≤n (1)直接获取：指通过社会 或 <N)个个体组成样本，并且每次抽取时总体 等途径收集获取数据.直接获取的 内的每个个体被抽到的可能性 ,这样 数据称为 或 的抽样方法叫作简单随机抽样. (2)间接获取：指借助各种媒介，包括 2.使用范围：简单随机抽样是一种最基本的抽样 和 或 方法，对于不知道 的总体，往往 等获取数据.间接获取的数据称为 采用简单随机抽样. 或 3.简单随机抽样的方法 2.普查与抽查 (1)抽签法：先把总体中的N(N为正整数)个个 (1)普查：是为了掌握调查对象的整体情况，对 体 ,并把编号依次分别写在形状、大 调查对象进行研究的一种调查 小相同的签上（签可以是纸条、卡片或小球 方式 等)，再将这些号签放在同一个不透明的箱子 (2)抽查：从全体调查对象中，按照一定的 里 ,每次随机地从中抽取 抽取 对象作为代表进行调查分析， 然后将箱中余下的号签 ,再进行下 并以此推断 对象的状况.这种抽取 一部分对象的调查方式叫作 ,简称 一次抽取.如此下去，直到抽到预先设定的 样本容量 抽查. 3.总体和样本 抽签法的具体步骤：①给总体中的每个个体 (1)总体：调查对象的 称为总体.通常总 :② 体中的每个个体可以对应成数值，当知道了 (2)随机数法：先把总体中的N个个体依次编码 这些数值在总体中所占的比例（百分比），就 为0,1,2，…，N一1，然后利用工具（转盘或摸 知道了总体的分布。 球 、科学计算器或计算机)产生0， (2)样本：在进行抽样调查时，从总体中抽取的 1,2,…,N一1中的随机数，产生的随机数是 称为样本，其过程称为 ,样本 几，就选第几号个体，直至选到预先设定的样 中个体的数目称为 ,简称 本容量 214 主题四 第九章统计与成对数据的统计分析 三、分层随机抽样 3.两种抽样方法的特点、联系及适用范围 1.定义：将总体按其 分成互不交叉的 类别 若干 简单随机抽样 分层随机抽样 (有时称作 ),然后在每个 类型中按照 随机抽取一定的个体，这 抽样过程中每个个体被抽到的可能 共同点 种抽样的方法通常叫作分层随机抽样. 性相等 2.准确理解抽样比 从总体中逐个将总体分成几层 (1)分层随机抽样也称“按比例抽样”，这里的“按 各自特点 抽取 分层进行抽取 比例”是指： ①样本中第n层的个体数_样本容量 各层抽样时，采用 总体中第n层的个体数总体容量 联系 简单随机抽样 ②总体中第m层的个体数 总体中第”层的个体数 总体由差异明显 适用范围总体个数较少 的几部分组成 样本中第m层的个体数 样本中第n层的个体数 (2)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性是相 自主诊断查验 等的，与层数、分层情况无关 ◆[思考辨析] 3.分层随机抽样的平均数 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括 (1)一般地，将样本a1,a2,…,am和样本b1,b2, 号里打“/”，错误的打“X” (1)任何事件都可作抽样调查， …,b合并成一个新样本，则这个新样本的 (2)抽样调查即通过样本来估计总体.( 平均数为 (3)在分层随机抽样中，每层抽取的样本量都 a1十a2十…+am十b十b2十…+b=m 一样。 ( mn m十n (4)在分层随机抽样中，每层样本量都与层的 a十a2十…am+n.b1十b2十…十b 大小成比例. m mn n (2)一般地，设样本中不同层的平均数和相应权 (5)在样本量比例分配的分层随机抽样中，分 重分别为工1，T2…,w和e1,2,…,n,则 配比例等于誉奈量 ( 这个样本的平均数为w1下1十2x2十…十 ◆[小题查验] 0xn·为了简化表示，引进求和符号，记作 1,为了了解某路口每天在学校放学时段的车流 01x1十2.工2十…十0n元n=,元 量，有下面几个样本，统计该路口在学校放学 时段的车流量，你认为合适的是 4.分层随机抽样的方差 A.抽取两天作为一个样本 设样本中不同层的平均数分别为x1,2,…, B.春、夏、秋、冬每个季节各选两周作为样本 xm,方差分别为s,s号，…，s,相应的权重分别 C.选取每周星期日作为样本 为12…，，则这个样本的方差为2= D.以全年每一天作为样本 2,[号+（国一）门，其中x为这个样本的平 2.总体编号为01,02，…，29,30的30个个体组 成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取 均数 方法是从随机数表第1行的第3列和第4列 ·重要结论 数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出 1.不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入 来的第5个个体的编号为 样的概率是相同的 78161572080263150216431997140198 2.分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体 32049234493682003623486969387181 数为该层的个体数乘以抽样比。 A.02 B.15 C.16 D.19 215 金榜题名创新高考总复习数学北师大版 3.(BSD必修第一册P157习题6-2A组T1改 体，若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到 编)某学校有高中学生1000人，其中高一年 的概率为子，则在整个抽样过程中，每个个体 级，高二年级、高三年级的人数分别为320， 300,380,为了调查学生参加“社区志愿服务” 被抽到的可能性为 的意向，现采用分层抽样的方法从该校学生中 5.在某校高一年级的800名学生中，男生有360 抽取一个样本量为200的样本，那么应抽取高 名，女生有440名.现采用样本量比例分配的 二年级学生的人数为 ( 分层随机抽样方法，从中抽取样本量为60的 A.50 B.60 C.70 D.80 样本，计算出男生样本的平均数为171cm,女 4.(忽视抽样的等可能性致误)利用简单随机抽 生样本的平均数为160cm,则总样本的平均 样的方法，从n个个体(n>13)中抽取13个个 数为 跃升>关健能力 层级突破素养提升 题型1 简单随机抽样 题型2 分层随机抽样 1.(2025·天津模拟)利用简单随机抽样的方法， ●[命题点1]分层随机抽样的有关计算 从n个个体(n≥13)中抽取13个个体，若第二 1.(2025·陕西汉中模拟)中国古代科举制度始 次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为 于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝.明代会试分 分·则在整个拍样过程中，每个个体被抽到的 南卷、北卷、中卷，按11：7：2的比例录取，若 某年会试录取人数为200，则中卷录取人数为 可能性为 ( ( ) A号 B号 c n.8 A.150 B.110 C.70 D.20 2.某市的3个区共有高中学生20000人，且3个 2.(2025·全国模拟)某工厂利用随机数表对生 区的高中学生人数之比为2：3：5.现要从所 产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件 有学生中抽取一个容量为200的样本，调查该 进行编号，编号分别为01,02，…，50，从中抽 市高中学生的视力情况， 取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第 (1)用分层随机抽样法抽取样本，则在3个区 2行： 分别抽取的学生人数分别为多少？ 6667403714640571110565099586687683203790 (2)若样本中3个区的高中学生的平均视力分 5716031163149084452175738806905223594310 别为4.8,4.8,4.6，试估计该市高中学生的平 若从表中第1行第9列开始向右依次读取数 均视力。 据，则得到的第4个样本编号是 A.10 B.09 C.71 D.20 题后反思 抽签法与随机数表法的适用情况 (1)抽签法适用于总体中个体数较少的情况， 随机数表法适用于总体中个体数较多的 情况。 (2)一个抽样试验能否用抽签法，关键看 两点： 一是抽签是否方便：二是号签是否易搅 匀.一般地，当总体容量和样本容量都较 小时可用抽签法 216 主题四第九章统计与成对数据的统计分析 解题技法 ①该考场化学考试获得一等奖的有4人： 分层随机抽样的步骤 ②全校物理考试获得二等奖的有240人： (1)将总体按一定标准分层； ③如果采用分层抽样从全校抽取200人，则化 (2)计算各层的个体数与总体数的比，按各层 学考试被淘汰78人. 个体数占总体数的比确定各层应抽取的 A.①②③B.②③ C.①② D.①③ 样本容量； 解题技法 (3)在每一层进行抽样（可用简单随机抽样）. 高考中常把分层随机抽样、频率分布、统计图 表综合起来进行考查，反映了当前高考的命 跟踪训练 题方向.这类试题难度不大，但考查的知识面 1.某高中为了促进学生个体的全面发展，针对学 较为宽广，在解题中要注意准确使用所学知 生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与 识，不然在一个点上的错误就会导致整体失误. “剪纸”两个社团.已知报名参加这两个社团的 跟踪训练 学生共有800人，按照要求每人只能参加一个 2.某商场开通三种平台销售商品，收集一月内的 社团，各年级参加社团的人数情况如下表： 数据如图1：为了解消费者对各平台销售方式 高一年级 高二年级 高三年级 的满意程度，该商场用分层抽样的方法抽取 泥塑 b C 4%的顾客进行满意度调查，得到的数据如图 剪纸 2.下列说法错误的是 x y x 其中x:y:心=5：3：2，且“泥塑”社团的人数占 4满意米% 通过平合 道过平在一 二消费150 路20人 两个社团总人数的号为了了解学生对两个社团 30 通过平台三 20 消费2500人 销代平台 活动的满意程度，从中抽取一个容量为50的样 本进行调查，则从“剪纸”社团的高二年级学生中 图1 图2 应抽取的人数为 ( A.样本容量为240 A.4 B.6 B.若样本中对平台三满意的人数为40，则m C.9 D.10 =40% [命题点2]与统计图表相结合问题 C.总体中对平台二满意的消费者人数约 3.某个高级中学组织物理、化学学科能力竞赛， 为300 全校1000名学生都参加两科考试，考试后按 D.样本中对平台一满意的人数为24人 学科分别评出一、二、三等奖和淘汰的这四个 等级，现有某考场的两科考试数据统计如下， 题型3〔分层随机抽样的平均数与方差 其中物理科目成绩为二等奖的考生有12人 [典例](1)某校规定：学生期末总评成绩由卷 如果以这个考场考生的物理和化学成绩去估 面成绩、研究性学习成绩、平日成绩三部分构 计全校考生的物理和化学成绩分布，则以下说 成，各部分所占比例如图所示，小明本学期数 法正确的是 学学科三部分成绩分别是90分、80分、85分， 则小明的期末数学总评成绩为 分 频率 频率 0.40 0.38 0.26 成 0.16 卷而成绩 20% 0.10 60% 平日成 0 等二等二等沟汰等级0 绩20% 一等二等三等湖汰等级 物埋 化学 217 金榜题名创新高考总复习数学北师大版 (2)若从某市甲、乙两所高中分别抽取样本量 跟踪训练 为m、n的两个样本，经计算得它们的平均数 对2022一2024年排名前十的省份的滑雪人次 和方差分别为：x、s号与y、s号，记总的样本平均 (单位：万人次)数据统计如下：2022一2023年 数为记，样本方差为s2,证明： 和2023一2024年这10个省份滑雪人次的平 ①a=m7+n:@g=nnm[f+ m十n 均数x1=138.7,x2=80.6:2022-2023年和 (x-花)2]十n[s号+(y-)2]}. 2023一2024年这10个省份滑雪人次的方差 [尝试解答] 子=3300，s号=1082.据此计算这两年滑雪人 次的平均数x和方差s2(结果保留整数). 题后反思 在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直 接用样本手均数西=m?十m升和样本 的方差s2=心，[s号+(2一x)2门，估计总体 请完成课时冲关56 平均数记和总体方差. 第2节 用样本估计总体 ★[课程标准] 1.结合实例，能用样本估计总体的取值规律. 2.会列频率分布表，画频率分布直方图，能根据频率分布表和频率分布直方图观测数据的分布规律. 3.了解不同的统计图在表示数据上有不同的特点. 4.结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义，会求样本数据的第p百分位数. 5.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数（平均数、中位数、众数），会求样本数据的平均数、中 位数、众数并理解它们的统计含义和作用. 6.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数（标准差、方差、极差），会求样本数据的方差、标准差、 极差，理解离散程度参数的统计含义， 夯实>必备知识 教材夯实强基固本 必备知识学握 二、频率分布直方图 一、从频数到频率 1.在频率分布直方图中每个矩形的底边长、高、 面积的功能 频率表示频数与总数的 在统计中， (1)每个小矩形的 是该组的组距： 经常要用 去估计总体中相应 (2)每个小矩形的 是该组的 的频率，即对总体分布进行 的比： 218