热点强化课9 第2课时 定点、定值、探索性问题-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

金榜题名创新高考总复习数学北师大版 第2课时定点、定值、探索性问题 圆锥曲线中的定点、定值与探索性问题是高考考查的重点和热点，常利用特殊与一般、方程思想求解. 题型1 定点问题 日变式训练 [例小(2023·全国乙卷)尼知椭圆C.芳+后 1.(2022·全国乙卷)已知椭圆E的中心为坐标 原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0,一2)， =1a>6>0)的商心率为号，点A(一2,0)在 B(多.-1)两点 C上. (1)求E的方程： (1)求C的方程： (2)设过点P(1,一2)的直线交E于M,N两 (2)过点(-2,3)的直线交C于P,Q两点，直 点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交 线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N,证明： 于点T,点H满足MT=TH.证明：直线HN 线段MN的中点为定点. 过定点. [尝试解答] 题型2 定值问题 [例2](2025·云南玉溪模拟)已知点A(一1,0)， 圆B:(x一1)2+y2=8,点P是圆B上的动 点，PA的垂直平分线与PB交于点Q,记Q的 轨迹为C. (1)求C的方程； (2)设经过点E0, 的直线l与C交于M, N两点，求证：OM·ON为定值，并求出该 定值. [尝试解答] ◆[通技法]定点问题的常见解法 (1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个 直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关， 故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个 方程组的解为坐标的点即所求定点： (2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合 题意， 212 主题三第八章平面解析几何 ◆[通技法]求定值问题常见的方法 ◆[通技法]解决存在性问题的注意事项 (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量 存在性间题，先假设存在，推证满足条件的结论， 无关 若结论正确则存在，若结论不正确则不存在. (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去 (1)当条件和结论不唯一时要分类讨论； 变量，从而得到定值. (2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假 变式训练 设成立，再推出条件； 2.(2025·湖北荆州三模)从抛物线y2=8x上各 (3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难 点向x轴作垂线段，垂线段中点的轨迹为厂. 时，要思维开放，采取另外的途径 (1)求T的轨迹方程： 变式训练 (2)A,B,C是Γ上的三点，过三点的三条切线 分别两两交于点D,E,F 3.(2025·太原市模拟)已知椭圆C:+、。 ”62 =1 ①若AC∥DF,求B BF的值： (a>b>0)的左顶点为A,右焦点为F2(2,0), ②证明：三角形ABC与三角形DEF的面积之 点B(2,一√2)在椭圆C上 (1)求椭圆C的方程； 比为定值. (2)若直线y=k.x(k≠0)与椭圆C交于E,F 两点，直线AE,AF分别与y轴交于点M,N. 在x轴上.是否存在点P,使得无论非零实数 怎样变化，总有∠MPN为直角？若存在，求 出点P的坐标：若不存在，请说明理由 题型3 存在性问题 [例3] 【2024·天津卷)已知椭圆子大 62 1 (a>b>0)椭圆的离心率e= 2·左顶点为A, 下顶点为B,C是线段OB的中点，其中S△ABC -33 2 (1)求椭圆方程： (2)过点(0，一)的动直线与椭圆有两个交点 P,Q.在y轴上是否存在点T使得T严.T≤0. 若存在求出这个T点纵坐标的取值范围，若不 存在请说明理由. [尝试解答] 请完成课时冲关55 213变式训练 3.解：(1)由题意c=25,e-√5- (2A0,-2.B(是-1）所以AB:y+2-号 a 则u=2,=16,双南线C的方程为片一言=1 ①若过点P1,一2)的直线斜年不存在，直线r=1.代入号+苦 =1, (2)证明：设过点B的直线x=1y一4，联立 双曲线得(42-1)y2-321y+48=0, 可得M.2)N(1,-2）代入AB方程y=号-2，可 321 则y+为=二为 得T(6+32）由7-7i.释到H(26+52）表择 48 8 2与则+=与 HN方程 A2王 说直货M,-号 y=(2-2）-2,进点0，-2， 直线NA,:”业-T2 ②若过点P(1,一2)的直线斜率存在，设kr-y一(k+2)=0, 为-2· M(m1y1).N(x). 联立游去释（写）= (k.x-y一(k+2)=0. 联专+苦 得(3k2+4)x2-6k(2+k)x+3k(k+ (号+1小 4)=0, 代入韦达定理解得x=一1， 6k(2+k) -8(2+k) 即P在定直线x=一1上. 1十2 可得 3k2+4 ,十= 3k2+4 第2课时定点，定值、探索性问题 3k(4+k) 4(4+4k-2k2) 题型1 3k2+4 为为= 3k2+4 [例1门[解](1)由点A(-2,0)在C上得b2=4, 一24k(￥)联立 y=· 且x1为十y=3k+4 解得a2=9, 技C的方程为号+号=1. 可得T(警+3），H3+6- (2)设P(x1y1),Q(r2y),易知直线斜率存在且不为0， 可求得此时HNy为=3y中6--石红一， 故设过点（一2,3）的直线方程为y=k十m(≠0)， 将(0，-2)，代入整理得2(1十2)-6（当+）十为十2为 则m=2k+3. -33为-12=0， (y=kx+m. 将(*)代入，得24+12k2+96+48k一24k-48-48k+24k2 联立y2 +=1.消去y得(4十9)x十82十㎡一36二0， 36k2一48=0，显然成立， 24m2-36 综上，可得直线HN过定点(0，一2) 则4十=十9=4e+9 题型2 [例2][解](1)圈B的圆心为B(1.0),半径|BP|=2√2， +2x+2). 周为A(-2,0),别直线AP:y= 由点Q在PA的垂直平分线上，得|QP|=|QA|· 令-0，解得y-2甲M(o小同理可得 所以|QA|+|QB|=|QP|+|QB|=IBP|=22> AB=2, N(o) 所以Q的轨迹是以A,B为焦，点的椭间，2a-2√区，2=2， 所以a=√2，c=1,b=1, 则Mv的中点业标为(0，十年》 所以C的方程为十y=1 则当 (2)证明：①当直线1的斜率不存在时，易知OM·ON=(0,1), 2k.x1x2+(2k十m)(r1+xe)十4m (0,-1)=-1. x1x2十2(x1十x2)十4 2k.x12+(4h+3)(+2)+8k+12 @查直线的钟幸存在时，设+MN nx4+2(0+2)+4 2·+4+3…()+8+12 则起y=红+号代入号+=1，得3(2+1DF+4后红-4 4k+9 =0, -+2()+4 43k 4k2+9 显然△>0，有1十x2= 8km2-32k3m-24km十32k3+48k2+108 320+D=3022+D 4m2-36-16km+4(4k2+9) _8k(2k+3)2-32k2(2k+3)-24k(2k+3)+32k3+482+108 =(a+9)+图）=有+g+g)+号 4(2k+3)2-36-16k(2k+3)十4(4k2+9) -6k2+1 =32+1D 所以OM·ON=14十为为= -6k2+1 即线段MN的中点是定点(0,3). 3(22+1D+3(22+1) 变式训练 1.解：(1)设椭国E的方程为mr2十ny2=1,过A(0,-2), 3(22+元-1， -6k2-3 B(受，-1 综上所迷，OM·ON为定值-1， (4n=1, 变式训练 则9 2.解：(1)设垂线段中点坐标为(x,y),则抛物线上点坐标为 了m+n=1, (r,2y), 片以特强E的方程为号+号-山 代入抛物线方程，则(2y)2=8x,即y2=2.x, 所以P的轨迹方程为y=2.r, 506 (2)①如围，A,B,C是P上的三点，过三点的三条切线分别两两 交于点D.E,F, D(学，”产)(》，）（受，产） 2 2 2 设A(受）B(婆）C(受)D(以)，E(%) 可和DE=/1+1y-为， F(x66), 点F到直线ED的距离为 当一当为十当+ 2 2 2 dy= 1(-y)(为一)1 √1+ 2√1+听 则外切三角彩DEF的面积S:=号ED1·d g1%-))%-%) 1(%一y)(为-)（为-） =2. 则抛物线y2=2x上过点A的切线方程为x =1(y-y1), 言1(%-)(-)（为-为） 将切线方程与批物线方程联立，得： 因此三角形ABC与外切三角形DEF的面积之比为定值2. 题型3 联艺1y一·消来，签理得2y十2一况 [酬】[解])因为精调的高心率为-名所以u=2,b- y2=2x. 其中c为半焦距， =0, 所以△=(-2)2一4(21%-)=42-81y,+47 所以A(-2,0),B(0,-c),C(0,- 2 ）,故S=2 1(1-y)2=0. 从而有=y1· 2xg-3 2 所以抛物线上过点A的切线方程为工=y1y 解得c=,所以a=23,b=3, 故精围方程为后十苦-1. 同理可得抛物线上过，点B,C的切线方程分别为r=yy一 21 (2②)芳进点(0，一兰)的动直线的针率存在，明可设黄直线方程 =yy-2 两两联立，可以求得交点D,E,F的纵坐标分别为： 2 2 则AD 当十为 y1一y4 2 y1一% DE y一s 1为一为T EF 设P(y),Q(2),T(0t), 同理可得FC y-y:DB y1一 y2-ysBFT ,即AD y一y DE 3.x2+4y=36, EF DB 6是. 由 可得(3+4k2)2-12k.x-27=0, BF 当AC∥DF时， AD EF FC 故4=144k2+108(3+4k2)=324+5762>0且+x= DE EF 即 12k 27 IEFI=IFCI. 3+4=一3+4 而T市=(1y-1),T0=(y一1)： FCI =1. 数T市.T0=xx+(y-1)(-1) ②易知女指=当一兰 2 -,则直线AB的方程为y一y= =+(k1-受-)(e-受-） 22 -(1+0)-(是+）m+)+(受+) -1+)x()(2+)×3路e+(侵+） 化简得y 2x+当业，即（十为）y-2x+· yity -27-27-18-121+3(受+）+(3+2)20 且AB1-√（受-）+(-) 3+4k2 +() [(3+20)-121-45]0+3(是+）-27 3+4k3 点C(受)到直线AB的距离为： (3+21)2-121-45≤0. 因为T市.T≤0恒成立，所以 (受+）°-27<0， 2 2 2 1(-)(为二)1 解得-3<1<号 √+() 2+(”) 若过点(0，-号)的动直线的斜率不存在，则P(03) 期三角形ABC的面叔S,=号1AB·d=子1(n-)(为 Q(0,-3)成P(0,-3),Q(0,3), 1)(⅓一y). 光时需-313，两者特合可得-3<1<受 由(2)①知切线DE的方程为r=1y一2， 综上，存在T(0)(-3<1≤号)使得T币.T0≤0恒成立. 507 变式训练 A(一22,0)，.AE所在直线方程为 3解：1)猴超意，圈C后十若=1a>6>0)右%点为R,2,0 y= ·(x+22), c=2, 1+V√个+2网 点B2,-②)在C上心正+ 42 =1, M0.22 ,同理可得 1+√1+2k2 又"a2=十c2,.a2=8,b=4, 2②k C的方为写+苦=1 (2)假设存在这样的点P,设P(0,0),E(1·1), 22k 则F(一一y) (y=kr, 2√2k 联立直线与椭国的方程 8 4 =1 -(-+2} 22 PM.PN=0. 1 ∴.x-4=0,x0=2或x0=-2, .(1+2k2)·x2-8=0,解得 √1+2F 22k ,存在点P,使得无论非零实数k怎么变化，总有∠MPN为直 ”1= V1+22 角，点P坐标为(2,0)或（一2,0）. 主题四 概率与统计 第九章 统计与成对数据的统计分析 跃升·关键能力题型1 1,B[第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为号，则 第1节随机抽样 夯实·必备知识必备知识掌握 二号解得=肌 一，1.(1)调查观察试验直接数据一手数据(2)报纸 杂志统计报表年鉴广播电视网络间接数据二 故在整个抽样过程中，每个个体被抽到的可能性为品。故 手数据 选B.] 2.(1)全体(2)方法 一部分全体调查抽样调查 2.B[从随机数表第1行的第9列数字开始由左向右每次连续 3.(1)全体(2)部分 读取2个数字，剩除超出范国及重复的然号，特合条件的编号 抽样样本容量样本量 有14,05,11,09，所以速出来的第4个个体的编号为09.] 二，1.不放回相等 题型2命题点1 2.某些特别信息 1.D[由于分层抽样比为11：7：2，则200个人中，中卷录取人 3.(1)编号搅拌均匀一个搅拌均匀编号抽签(2)随 机数表 量为20×品-20，故选D] 三，1.属性特征类型层所占比例 2.解：(1)在3个区分别抽取的学生人教之比也是2￥3：5，所以 自主诊断查验思考辨析 2 (1)×(2)√(3)×(4)√(5)√ 抽取的学生人数分别是200×2+3-5=40,200×2+3+5 小题查验 5 1,B[依题意春、夏，秋，冬每个季节某路口在学校放学时段的 60.200×2+3+5-100. 车流量可能会有差异，为了统计该路口在学校放学时？的车 流量，春、夏，秋、冬每个季节各逃两周作为样本更具有代表 (2)样来中高中年生的辛均视力为品×48+0×.8+8调 性，故B正确：对于A,随机抽取两天作为一个样本，不具有代 ×4.6=4.7. 表性，故A错误：对于C,显然星期一到星期五学校放学时段 所以估计该市高中学生的平均视力约为4.7 的丰流量与周末时学校放学时段的车流量会有差异，故选取 跟踪训练 每周星期日作为样本也不具有代表性，故C错误：对于D,金 年每天的数据，属于全面调查，不属于抽样词查，故D错误，」 1B[国为“泥塑”社团的人数占总人教的号，所以“剪纸“社国 2.D[由题意，依次取到的编号为16,15、08、02,19，所以第5个 的人数占总人数的号，人数为800×号 一320.因为“剪纸”社 个体的编号为19。门 3 3 3.B[园为学较有高中学生1000人，抽取一个样本量为200的 闭中高二年级人数比倒为十y+5十3+2一0，所以“剪 样本，故应抽取高二年线学生的人载为20×300=60.] 纸“社用中高二年线人：为320×高=96，以从“育纸”鞋调的 4,解析：第二次抽取时，余下的每个个体被抽取到的概率为3， 高二年机学生中轴取的人就为96×积=96×高=6，门 则13-1.1 m-1=3· 命题点2 12 即n一1=36，则n=37,∴在整个抽样过程中， 3C[由于1-0.4-0.1=0.26=50.所以斌考场总共有50人， 每个个作栽轴取到的概单为品。 所以化学考试获得一等奖的有50·(1一0.16一0.38一0.38》 一4（人），所以①正确：全校莪得物理考试二等奖的有1000× 答案品 0.24=240(人)，所以②正确：如果采用分层随机抽样从全校 抽取200人，则化学考试被淘汰的人数为200×0.38=76 解折：因为分配比州为品一高： 3 (人)，所以③错误，门 跟踪训练 所以男生应抽360×0 3 =27(名)， 2.B[选项A,样本容量为6000×4%=240，该选项正确：选项 40 女生应抽40× B.根指题意得平台三的满意率2500X4%=40%,m=40,不 =33(名). 是m=0%,该选项错误：选项C,样本可以估计总体，但会有 则总样水平均载为西=品×171+ 一定的误差，总体中对平台二满意人数的为1500×20%= 60 ×160=164.95(cm). 300,孩送项正确：选项D,样本中对平台一满意人数为2000× 答案：164.95cm 4%×30%=24,该选项正确，] 508