第8节 直线与圆锥曲线的位置关系-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

主题三第八章平面解析几何 规律方法 (1)求抛物线Γ的方程及点M的坐标； (1)有关直线与抛物线相交的弦长问题，要注 (2)证明：AC·BD为定值 意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线 的焦点，可直接使用公式|AB|=x1十x2 十p,若不过焦点，则必须用一般弦长 公式. (2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问 题时，一般利用根与系数的关系采用“设 而不求”“整体代入”等解法。 (3)涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法” 求解 ①跟踪训练 已知点M(m,4)在抛物线T:x2=2py (p>0)上，点F为T的焦点，且MF=5.过 点F的直线1与P及圆x2十(y-1)2=1依次 相交于点A,B,C,D,如图. 请完成课时冲关52 第8节直线与圆锥曲线的位置关系 ★[课程标准] 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法： 2.了解圆锥曲线的简单应用. 3理解数形结合的思想， 夯实~必备知识 教材夯实强基固本 心备知识学握 续表 直线与圆锥曲线的位置关系的判定 1与C1 (1)代数法：把圆锥曲线方程与直线方程联立消 方程a.x2十bx十c=0的解 的交点 去y,整理得到关于x的方程a.x2十b.x十c =0. △>0 两个 的解 1与C1 方程a.r2+bx+c=0的解 的交点 a≠0 △=0 两个相等的解 无解（含1是双曲线的渐 b=0 近线) △<0 无实数解 无公共点 a=0 有一解（含！与抛物线的 (2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线 b≠0 对称轴平行或与双曲线 和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥 的渐近线平行) 曲线的位置关系. 205 金榜题名创新高考总复习数学北师大版 ·重要结论。 (④直线y=:十1与桶圆号+号=1恒有两 1.直线与圆锥曲线的相交弦长问题 个公共点： ( 设斜率为k(k≠0)的直线I与圆锥曲线C (5)直线与椭圆有且只有一个公共点，则其判 相交于A,B两点，A(x1,y1),B(c2,y2): 别式△=0. () 则|AB|=V1+k21x1-x2|=W1+k2· ◆[小题查验] 1.直线y=k红-十1与椭圆+=1的位置 x1+x2)2-4r1x2=√1+2·-2 4 关系为 ( √1+2·十2)4y12,特别，若直线 A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 过抛物线的焦点，则弦长|AB|=x1十x2十p 2.过P(0,2)且与双曲线2x2一y2=1有且只有 2p(a为弦AB的领斜角)， 一个公共点的直线有 ( sin-a A.1条 B.2条 2.中点弦的重要结论 C.3条 D.4条 AB为精圆兰+ 3.(忽视双曲线的双支致误)若过原点的直线L =1(a>b>0)的弦，A(x1y1), 与双曲袋-苦-1有两个不同交点，则直线 3 B(x2y2),弦中点M(xoyo). L的斜率的取值范围是 (1)斜率：k= b2xo a2yo A 33 22 (2)弦AB的斜率与弦中点M和椭圆中心O的 B. 33 22 连线的斜率之积为定值 a c「-5， Γ22 自主诊断查验 D. ◆[思考辨析] 9]u[+ 2 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括 4.设F为抛物线C:y2=4x的焦点，过F且倾斜 号里打“√”，错误的打“×”. 角为45的直线交C于A,B两点，A在x轴上 (1)直线与双曲线有且只有一个公共点，则判 方则品 ( 别式△=0. ( A.3+2W2 B.1+√2 (2)经过抛物线上一点有且只有一条直线与抛 C.8 D.2√2 物线有一个公共点 ( ) (3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有 及已如直线数一十2-0与描圆后+兰-1相 且只有一个公共点. ( 交于M,N两点，则MN的长为 跃升>关键能力 层级突破素养提升 题型1 直线与圆锥曲线的位置关系 2.(2025·四川南部县模拟)过点P(3,1)作直线 1.(2025·江西联考)直线后+名=1与椭圆 1与抛物线y2=一4x只有一个交点，这样的直 b 2 y2 线1有 条 =1(a>b>0)的位置关系为 ( A.1 B.2 A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定 C.3 D.4 206 主题三第八章平面解析几何 3.(2025·江西新钢中学月考)直线y=kx(k>0) 方法指导 与双曲线号一普-1没有交点，则大的取值范 1.利用弦长公式求弦长要注意斜率k不存在 6 的情形，若k不存在时，可直接求交点坐标 围为 ( 再求弦长。 [停+ B.(2,+o∞) 2.涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的 应用. C.[v3,+o∞) D.(0,V3) ①跟踪训练 题后反思 判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交 已知椭圆C: =1(a>b>0)的焦距为 点问题有两种常用方法 (1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得 2.且过点PE 到一个关于x,y的方程组，消去y(或x) (1)求C的标准方程： 得一元方程，此方程根的个数即为交点个 (2)过C的右焦点的直线1与C交于A,B两 数，方程组的解即为交点坐标 点，C上一点M满足O=号OM+OB, (2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象， 根据图象判断公共点个数。 求1OM. 提醒：直线与双曲线相交时要注意交点的 位置限制参数的范围， 题型2 弦长问题 [典例] (2025·贵阳市摸底) 如图，在平面直角坐标系 a b>0)的离心率为2，过椭圆右焦点F作两条 互相垂直的弦AB与CD.当直线AB斜率为O 时，AB=4. (1)求椭圆的方程： (2)若AB1+CD-S,求直线AB的方程 [尝试解答] 207 金榜题名 创新高考总复习数学北师大版 题型3( 中点弦问题 [命题点2]由中点弦确定曲线方程 ◆[命题点1]由中点弦确定直线方程 大2 2.(2025·四川南充模拟)过椭圆C:十 b2 =1 y 、1.(2025·福建莆田一中模拟)双曲线C:乙 (a>b>0)右焦点F的直线l:x-y-2=0交 C于A,B两点，P为AB的中点，且OP的斜 =-14>0,b>0),离心率e=2y3,虚轴长为2. 3 率为一2，则椭圆C的方程为 (1)求双曲线C的标准方程： (2)经过点P(1,1)的直线l与双曲线C相交 + =1 于A,B两点，且P为AB的中点，求直线l的 方程. c号+ =1 n+苦 方法点拨 由中点弦确定曲线方程，一般常用点差法，用 中点坐标和斜率找到曲线方程有关参数的关 系式，求解即可 ●[命题点3]由中点弦解决对称问题 3已知双曲线号 =1(a>0,b>0)上的一点 到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛 物线y=ax2上的两点A(x1,y1),B(x2,y2)关 2,则m 于直线y=x十m对称，且x2= 的值为 A是 5 b. C.2 D.3 方法点拨 由中点弦解决对称问题，首先根据斜率之积 等于一1，用点差法表示出有关式子.再利用 中点在已知直线上，代入解得】 ◆[命题点4]由中点弦解决离心率问题 方法点拨 =1(a>b>0)的右焦点为 由中点弦确定直线方程常用点差法：即设出 弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将 F(I,0),且离心率为2，△ABC的三个顶点都 西式相减，武中含有十丝十边- 在椭圆r上，设△ABC三条边AB、BC、AC的 中点分别为D、E、M,且三条边所在直线的斜 三个未知量，这样就直接联系了中点和直线 率分别为k1、k2、k3,且k1、k2、k3均不为0.O 的斜率，借用中点公式即可求得斜率；也可以 为坐标原点，若直线OD、OE,OM的斜率之和 利用根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲 线的方程得到方程组，化为一元二次方程后 为1则++ 由根与系数的关系求解， 方法点拨 提醒：中点弦问题常用的两种求解方法各有 由中点弦解决离心率间题，指导思想是整体 弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生 代换，设而不求，设出两个相关点的坐标，利 漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定 用点差法，把相关的关系式表示出来，再根据 范围方面略显不足 具体题目的条件求解。 208 主题三第八章平面解析几何 题型4利用直线与圆锥曲线的位置关系求参数 方法指导 [典例](2025·江西模拟)已知抛物线C:y2= 由位置关系求字母参数时，用代数法转化为 2x,A(c1y1),B(x2,y2)是C上两个不同 方程的根或不等式解集，也可以数形结合，求 的点. 出边界位置，再考虑其他情况 (1)求证：直线y1y=x1十x与C相切： 跟踪训练 (2)若0为坐标原点，OA·OB=-1,点 1.若直线y=k.x十2与双曲线x2一y2=6的右支 P(xoyo)满足PA,PB均与C相切，求xo 交于不同的两点，则k的取值范围是( 的值. [尝试解答] A 15√/15 33 3,0 D √/15 2.(2025·全国模拟)已知椭圆C:号+y2=1的 右焦点为F,直线：y=k(x一2)(k≠0)与椭圆 C交于A,B两点，AB的中点为P,若O为坐 标原点，直线OP,AF,BF的斜率分别为kOP, kAF,k脚，且kAF=kF·kOP,则k= 请完成课时冲关53 [热点化课9习]圆锥曲线的综合可题 第1课时最值、范围、证明问题 圆锥曲线中的最值、范围问题及证明问题是高考考查的重点与热点，最值、范围问题常常通过可 以建立目标函数，通过研究函数的性质求解，也利用三角函数有界性求解，还可以数形结合利用几何 性质求解。 题型1 最值问题 [尝试解答] ●[命题点1]代数法求最值 [例】(2025·南昌月考)已知椭圆C后+发 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,长 轴长为4，焦距长为2. (1)求椭圆C的方程： (2)已知点A(0,3),点G为椭圆C上一点，求 △AGF:周长的最大值： (3)直线l:y=kx+m(m>0)与椭圆C交于 P,Q两点，且P,Q关于原点的对称点分别为 M,N,若|OP12十|OQ12是一个与m无关的 常数，则当四边形PQMN面积最大时，求直线 1的方程. 209IPQ=V√+F(0-r)=--1)+12 跃升·关键能力题型1 2+1 所以PA|·|PQ=一(k-1)(k+1) kC[因为直线话+齐=1迹点(e,0).(0,b), 令f(k)=一(k一1)(k+1)8, 而(a,0),(0,b)为描圈 =1(a>b>0)的右端点和上 因为(k)=一(4k-2)(k十1)2， a2 所以f)在区间(-1，)上单调递增，（分1）上单调递减， 瑞点， 因光当长=号时，PA1·PQ取得最大器 故底线是+名=1与篇国后+若=1@>6>0)湘文，比选C] 2.C[当直线1斜率不存在时，l:x=3,与抛物线无交点，不合 跟踪训练 题意： 解：(1)因为点M(m,4)在抛物线T:x2=2py(p>0)上，点F为 当直线1斜牵为零时，：y=1,与抛物线有且仅有一个交点 抛物线的焦点，且|MF=5, 所以：4+号=5Pp=2 （-1)满足海意： 所以抢物线厂的方程为：x2=4y 当直线1针奉不为零时一3=-1， 由m2=4X4=16→m=土1， 故M,点坐标为(4,4)成（一4,4）. 率x-y-0+3 (2)证明：由(1)知：F(0,1),显然直线（的斜率存在，所以设克线 方程为：y=kr十1， 由号大yD+3”将v2十4y+126-40, 电2=0 y2=-4x 设A(T1y).B(r2y2), 则4=16-4(12k-0=0,解得k=1±区 则x1十I2=4k,工1·rg=一4 .满足题意的直线I有两条： 由抛物线的定义得：|AF|=为+1，|BF|=y2十1， 所以|AC1·|BD1=(|AF-1)(|BF|-1)=为·2= 综上所述，过点P(3,1)与抛物线y2=一4x只有一个交点的直线 1有3条.] ==1 16 即|AC|·|BD|为定值1. -苦-1.（兮一岩）=1光方程无实数和，期 (y=kx. 3.C[由r2y2 第8节直线与圆锥曲线的位置关系 12 2 ≤0解得≤-B或2尽.又>0.所以k≥3.] 夯实·必备知识必备知识掌握 题型2 )无公共点一个交点不等两个交点一个切点 自主诊断查验思考辨析 [典例][解]由超意知=。=名，2a=4 a (1)×(2)×(3)/(4)/(5)/ 小题查验 又2=+2，解得a=2: b=5, 1.A[直线y=kr一k+1=k(x一1)十1战过定点(1,1)，又点 (1,1)在椭图内部，故直线与椭国相交.] 所以精圆方程为宁+苦-。 2.D[当斜率不存在时，过P的直线与双曲线没有公共点： (2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条孩所在 当鲜率存套时议直孩为y=怎十2联立侣二.得2 直线的针率不存在，由题意知|AB川十CD=7,不满足条件， ②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程 k2)x2-4kx-5=0①， 为y=(r-1),A(1y),B(22), 当2一k2=0,即k=士2时，①式只有一个解： 当2-2≠0.则△=16k2+20(2一2)=0.解得k=士/10： 则直线CD的方程为y=一右(r一1)， 综上可知过P(0,2)且与双曲线2x2一y2=1有且只有一个公共 将直线AB方程代入椭园方程中并整里， 点的直线有4条，] 得(3+4k2).x2-8k2x十4k2-12=0. 8k2 4k2-12 品B[国为号一苦=，号两条有运我的纤奉分别为=一受。 则十互3十4原山·=3+4 一受安使过原点的直钱与双曲我有两个不同的文友，高国 所以|AB=+1-x 可，直线1的件率的取位范图盒是[0受)U(-号0] =VF++n)-石=122 3+4k2 ()门 12(是+) 同现，CD= _12(+1) 3+日 3k2十4 4.A[由题意可知F(1,0),所以直线AB的方程为y=x一1，代入 抛物线方程可得r2-6r十1=0，解得xA=3+2√2，xm=3- 所以AB+1CD1=12(十D+12(+1D 3+4k2 3k2+4 22, 84(2+1)2 開-得得 8时+D9解得6=士1. 所以直线AB的方程为x一y-1=0或x十y一1=0. 3x-y+2=0, 5,解析：联立方程x2 +苦-1.得7+8=0，+n 跟踪训练 解：(1)法一：设焦距为2c,则c=2, 48 37xg=0. 设黄园左右焦点为F,B,则1PR=复，P明，= 因为斜率k=3,MN=1十k21x一x2 √e+(T-. =V1+V国+)2-4=48而 37 则2a=PF+P℉=23，解得a=√3，所以椭圆C的标准方 答案，8⑩ 37 程为写十y=1 502 二：设级范为2，则=区，点P(巨号）在精国上：有是+ 命题点3 3.A[由双曲线的定义如2a=4,得u=2, 361, 所以抛物线的方程为y=2.2.阁为点A(1为)，B(x22)在抛 物线y=2x2上，所以y1=2y2=2x号，两式相减得为 解得公=1.心2=3，所以赣国C的标准方程为号+y=1. 2(1-2)(x1+x2), (2)南0i=含oi+0成，释BA=专0i, 不妨设1<2，又A,B关于直线y=T十m对称， ①当直线1：y=0时，BA|=2,√5，|OM=√5，舍去： 所以器=-1，故4十=一号而4=一号，解得4 ②设直线l:x=my十√2，直线(OM:x=my, =-1=宁，设A当，B)的中点为M,则 设A(1y1),B(2)· 写+=1得(m+3)y+2应y-1=0 2 2 2 联立 r=my+2. 在直线=十m上所以=一十m,解得m=是] △=12(m2十1)>0， 命题点4 由韦达定理得十y=一2m。 一m十3为=一m+3' 4解折：由6=1=后=之则a=2,公=心-2=3 |AB1=√1+m1y1-2 =/1+m/+为)-4M西-25m+D. :精围的标准方程为行+苦-1。 m2+3 设A(1当)，B22),C(为)，D(山)，E2),M山3. x2 联立5十y=1·解得y 由A,B在辅圆上，则3x子十4y=12,3.x十4=12，两式相减得 m+3得到OM=V+m1w =my, 3(m2+1) -0=m+3 3 4 , 1 41 3s1 依题意得AB2=12(m2+12 m2+316 1OM12 (m2+3)2 3m+D=9,解得m 同理三一3k k2 是所以oM- 3(m+1)_23 m2+3 3· -4(++点) 题型3命题点1 直线OD,OE,OM的斜率之和为1， 1k解：1--292b-2c-2.61 3 =一3 =-21=音2-2=8 答案：一3 ∴双南线C的标准方程为号-子=。 题型4 (2)设以定点P(1,1)为中点的弦的端点坐标为A(xy), B(ry)(r1≠r2), 鬼到[]用：聚立屏-y十2 =0, 可得1十x=2,y1十为=2， 国为A(y)在C上.则听=2m· 由AB在双由找上.可得 3 一听=1， 所以4=(-2y1)2-4×2x1=4-8.x1=0, 图此直线为y=x1十x与C相切. 3-=1, (2)由(1)知，切线PA的方程为y1y=1十T,切线PB的方程为 两式相减可得以定点P(1,1)为中点的弦所在的直线斜率为 y2y=xg十x, 一义边 十xg1 2-3(y十)-3· 联立当y二十得。-二 yy=2+x y1一2 则以定点P1)为中点的孩所在的直线方程为y一1=号- 1),即为r-3y十2=0， (r 联立方程3一少=1，得62-12y+1=0,4=12:-1X6×1 所以=业一2”=当型 y一h 2 x-3y+2=0, =120>0.符合， 又周为成.0成-一1，所以西十的- 2 .直线1的方程为x一3y十2=0. -1, 命题点2 解得y为=一2，所以0=一1. 2.A[依题意，焦点F(2,0),即轴圆C的半焦距=2， 跟踪训练 设A(x1y),B(x2),P(x%), 因有海式有或得 (y-kx+2, 1.D[由22=6得1-)-r-10=0. 1-k2≠0. 2(1+x红)（知1-r2)+a2（y1+2)(1-为）=0， △=16k2-4(1-k2)×(-10)>0, 西百十=2+为=2%：且尝=-号，学有-2m x2)十a(y1-32)=0, 又直线1的斜率二兰=1，周光有2=2，而2-仔=产=4， =9>0 r1一x2 解得2=8，广=4，经验证杆合题意， 直线与双曲线右支有两个不同交点， 所以精周C的方程为后+号=1.门 部得-压<k<-1.门 3 503 2.解析：设A(1y1),B(ty),P(x0y%): =322m2-24m2+72+96k 则k=当 是 (3+4k2)2 -(322-24)m2+72+96k (3十4k2)2 由〈 所以10P+10Q12=(82-6)m+18+24k+6. (3+4k2)2 z+呢-1 因为|OP2+OQ2与m无关， 要专费 所以8k-6-0,即-是k-士号. r1-r生 所以k= 所以PQ=√T+√+2)一4x12 ya y=k(x-2), -/)广-（哥- 31 联立方程组 2+y2=1 得(1+2k2)x2-82x十8k2-2=0, 由题意可知，四边形PQMN为平行四边形， 8k2 8k2-2 因为，点O到直线1的距离d=m 则1+4=1+2F11+22 √个+2 国为如十如为十是 所以Sow=PQ×24=2√4-7受×m √1十网 =y12-1)十2(x1-1) (x1-1)(x2-1) 2k1,-3(十)+=0. x1r?-(r1+2)+1 =2√厂言(m-3)+12<2亚=4 =-1,故= 所以bP一k证 所以m2=3, 因为m>0, 答案：号 所以m=√3，四边形PQMN面积最大， 热点强化课9圆锥曲线的综合问题 故度线1的方程为y-号+后浅=-十尽 命题点2 第1课时最值、范围、证明问题 [例2][解](1)设猫国的半焦距为c,则c=2√②，故a2-∥=8， 题型1命题点1 [例1][解](1)由题意得，2a=4,2c=2, 石M(2区，己学）在指国上：故亭十亦=1 所以a=2,c=1, 所以6°=a2一2=4-1=3， 将释心=12，公=，此裤同C的方程为后+号-1 所以横国C的方整为号+苦-山 由{十3=12.可得4产+6tx+312=0, (2)依题意，F2(1,0),A(0,3),如图①所示， 故4=36r2-16(32-12)>0,脚192-12>0，解得-4<1 所以|AF。=√10.且}GFI+GF2=2a=4. <4. 因为GA+1GF2=IGA+2a-IGF,1=4+|GA-IGF1I≤ (2)当1=2时，直线：y=x+2,故A(-2.0),B(0,2), 4十|AF,I=4十/10， 2 当且仅当G为AF,的延长线与椭留相交时取等号， 所以△AGF2的周长最大值为4+2√/10. 有 由题设可得P,Q为位于直线AB的两侧，不妨设Q在直线AB 上方，P在直线AB的下方， 当过Q的直线与直线AB平行且与椭圈相切时， 图① 图② Q到直线AB的距离最大及△QAB的面积最大， (3)设P(11),Q(x2y2),如图②所示， 当过P的直线与直线AB平行且与椭圆相切时， P到直线AB的距离最大及△PAB的面积最大， y=kr十m, 为+苦-释.8+状++㎡-120 由(1)可得相切时△=0即=土4， =-3.切点坐标为（一3,1）， 所以十g一 35-m212 当1一4时，切成的横象耨为一 8km 3十k2, 在直线AB上方， 所以OP列2+1OQ12=x片+++ 北时(-3,1)到AB的距离为一3-1+2=2， 2 =听+3-是++3-是对 当1=一4时，切点的横坐标为一 =3,初点坐标为(3，一1D, 8 =+)+6=[国十户-2]+6. 在直线AB下方， 周为+产-2m=(3）广-2(g) 8km、 光时(3，-1)到AB的距高为3十1+2=3厄。 ② 64k2m22(4m2-12)(3+42) 又|AB1-22, (3+4k2)2 (3+4k2)2 =64k2m2-2(12m2+16k2m2-36-48k2) 故回边卷PAQB面积的最大值S=S△M十Sa0n=立× (3+4k2) (2+32)×22-8. 504